专题07 全等三角形中的奔驰模型与婆罗摩笈多模型（几何模型讲义）（山东专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“全等三角形中的奔驰模型与婆罗摩笈多模型”专题，覆盖中考常考的旋转构造、全等证明、勾股定理应用等核心考点。资料按模型分类（点在等边/等腰直角三角形内、外及婆罗摩笈多模型）构建知识体系，通过模型条件结论梳理、证明思路解析、中考真题例题精讲、分层练习巩固上，帮助学生突破几何综合题难点。 亮点在于以“共顶点等线段”为核心，通过旋转构造全等（如奔驰模型中以顶点为中心旋转60°或90°）、倍长中线法（婆罗摩笈多模型）等方法，培养学生几何直观和推理能力。设计“模型特征-证明过程-例题应用-变式训练”四步教学活动，配合中考真题限时训练和错题诊断，帮助学生提升空间观念和问题解决能力，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

专题07 全等三角形中的奔驰模型与婆罗摩笈多模型 目录 1 模型1.奔驰模型之点在等边三角形内 1 模型2.奔驰模型之点在等腰直角三角形内 4 模型3.奔驰模型之点在三角形外 8 模型4.“婆罗摩笈多”模型 12 17 模型1.奔驰模型之点在等边三角形内 此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转一起考查，因为旋转的特征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 例1．如图，点是等边内一点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则，进而得到，然后求出四边形的面积解答即可． 【详解】解：将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， 又∵，， ， ， 在中，，，， ∴， 是直角三角形，， 面积为， 过点B作于点D， 则， ∴， ∴等边面积为 ， ∴四边形的面积为， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 故选B． 例2．）如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查旋转变换的性质、等边三角形的判定及其性质、勾股定理逆定理，正确判定是直角三角形，得出是解题关键．将绕点顺时针旋转得，先证明是等边三角形，得，，，再证明，得到，由即可得答案． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 故答案为： 例3.（24-25八年级下·山东枣庄·期中）【问题】如图甲，在等边内有一点P，且， ，，求的度数和等边的边长． 【探究】解题思路是：将绕点B逆时针旋转，如图乙所示，连接．是 三角形，是 三角形， ； 【拓展】如图丙，在正方形内有一点P，且， ，，求的度数． 【答案】[探究]等边，直角，150度；[拓展]135度 【分析】[探究]根据旋转的性质得出，，，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，根据勾股定理的逆定理可求出，即可求解； [拓展]类比[探究]， 将绕点B逆时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可知：， ，，根据勾股定理的逆定理可求出，根据等边对等角求出，即可求解． 【详解】解：[探究]将绕点B逆时针旋转，如图乙所示，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， 故答案为：等边，直角，150°； [拓展]将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可知：， ，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 模型2.奔驰模型之点在等腰直角三角形内 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 例1．（23-24九年级上·山东济宁·月考）如图，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，连接，如果，那么的长等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握旋转前后对应线段相等，对应线段的夹角等于旋转角．根据旋转的性质得出，再根据勾股定理即可解答． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转后，能与重合，，， ∴， ∴， 故选：C． 例2．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键在于构造相似三角形进行转化． 过点C作，使，连接，证明，推出，则，可知当点D，F，H在同一条直线时，取最小值，最小值为，再由勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，而 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点D，F，H在同一条直线时，取得最小值，最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 例3.（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，请直接写出线段与有什么关系？ 尝试应用：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，猜测：，，之间有什么数量关系，并证明． 拓展延伸：如图（），等腰直角绕点逆时针旋转一定角度，使得点在一条直线上，，，，连接交于一点，在线段上有一动点，求的最小值．    【答案】[问题背景]：；[尝试应用]：，见解析；[拓展延伸]：． 【分析】[问题背景]：先证明，则，，如图，延长交于点，然后通过三角形内角和定理得出，从而得； [尝试应用]：先证明，则，在等腰中，，所以，则，即，然后通过线段的和与差即可求解； [拓展延伸]：先证明，则，，同理可得，在等腰中，，所以，根据勾股定理，得：，在上任找一点，作，垂足为点，如图，求最小值就转化为求的最小值，则当在同一条直线上时，长度最小，过点作垂线段，交于点，此时长度就是所求最小值，再利用面积法求出即可． 【详解】问题背景]解：∵与为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点，    在中，， ∴， ∴， ∴； [尝试应用]解：∵与为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，    在等腰中，， ∴， ∴，即， ∴； [拓展延伸]解：∵与为等腰直角三角形，， ∴，，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在等腰中，， ∴， 又∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得：， 在上任找一点，作，垂足为点，如图，    在中，， 即=， ∴， ∴， ∴求最小值就转化为求的最小值， ∴当在同一条直线上时，长度最小，过点作垂线段，交于点，此时长度就是所求最小值， ∵， ∴， ∴， ∴最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，转化思想以及添加适当的辅助线等，灵活运用以上知识是解题的关键． 模型3.奔驰模型之点在三角形外 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 鸡爪模型的本质是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 例1．如图，是等边三角形外一点，连接，，．若，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质及全等三角形的判定和性质，可将绕点C顺时针旋转，再利用勾股定理逆定理证明直角三角形，最后利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转，则点B与点A重合，点D的对应点为点E，连接， 由旋转可知，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 又∵， 则， ∴是直角三角形，且， 过点C作的垂线，垂足为G， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 在中，， 过点A作的垂线，垂足为H，则， ∴， ∴， 故选：B． 例2．如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    【答案】 【分析】把绕点B顺时针旋转，连接，，可证是等边三角形，利用证明，得出，在中，利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：把绕点B顺时针旋转，连接，，如图所示：    则，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 例3．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为___________度．    【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ， ∴． ∵是等边三角形． ∴， ∴ 请你补全余下的证明过程． 【延伸】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．则、、之间满足什么关系？证明你的结论． 【应用】如图④，是的外接圆，，，点P在上，且点P是上一点，连结、、．若，则的值为___________． 【答案】【感知】，【探究】见解析，【延伸】，见解析，【应用】 【分析】感知：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出答案； 探究：延长至点E，使，连接，先通过“”证明，得出，，进而得出是等边三角形，即可得出结论； 延伸：延长至点G，使，连接，先结合圆内接四边形对角互补，则通过通过“”证明出，进而判断出，进而得出是等腰直角三角形，即可得出结论； 应用：过点作，记与的交点为点，根据圆周角定理得，结合，得是等腰直角三角形，通过两个角对应相等证明，得，同理证明，得，即，即可作答． 【详解】解：感知∵， ∴； 探究：延长至点E，使，连结， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ， ∴． ∵是等边三角形． ∴， ∴ ∴，， ∵△ABC是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 延伸：如图③，延长至点G，使，连接．    ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 应用：如图：过点作，记与的交点为点，设，    因为， 所以， 因为，， 所以， 因为， 所以是等腰直角三角形， 则 即， 因为，， 所以， 则， 即， 故， 因为， 所以， 因为， 所以， 则， 即， 故， 所以， 那么． 【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，勾股定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，难度较大，综合性较强，正确作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 模型4.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别交于点P，M．对于下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定．在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案． ①由等腰和等腰三边关系可证；②由题可得P、E、D、A四点共圆，进而得到，即可判定；③通过证明，即可得到． 【详解】解：由已知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 所以①正确； ∵， ∴， ∵， ∴P、E、D、A四点共圆， ∴， ， 所以②正确； ∵， ∴， ∴， 所以③正确． 故选：A． 例2．（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，在中，为钝角，以点为直角顶点，分别以，为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】先证明，进而可依据“”判定△和△全等，然后根据全等三角形的性质可对①进行判断；设与交于点，在△中，，再根据，得，进而得，由此可对②进行判断；过点作于点，于点，根据和全等得，，进而根据三角形的面积公式得，则平分，然后根据得，由此可对④进行判断；根据，得，当时，平分，再根据得，由此得，可是根据已知条件无法判定，由此可对③进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：和都是等腰直角三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ， 故①正确； 设与交于点，如图1所示： 在中，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 故②正确； 过点作于点，于点，如图2所示： ， ，， ，， ， 点在的平分线上， 平分， ， ， ， 故④正确； ，， ， 当时，，即平分， ， ， ， 可是根据已知条件无法判定， 故③不正确． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形是解决问题的关键． 例3.如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使，连结与分别交于点P，M，连结，下列结论：①；②；③．其中正确的是 ．（只填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．①正确．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可；②正确．证明，可得结论；③正确．证明，推出可得． 【详解】解：∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴，①正确． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴，②正确． 由②得， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵，是公共角， ∴， ∴ ∴． ∵， ∴，③正确． 故答案为：①②③． 例4.（23-24七年级上·山东威海·期末）等腰直角三角形既是等腰三角形也是直角三角形，它有很多等腰三角形和直角三角形的性质． 如图1，在等腰直角三角形中，，，点是边中点，请结合等腰三角形和直角三角形的性质写出的性质____________．（至少两条） 问题解决： 已知，在等腰直角三角形中，，． （1）如图2，点是边中点，点，分别为边，上．且，求证； （2）如图3，点，，三点在同一条直线上，，，，则______； （3）如图4．在等腰直角三角形中，，，连接，交点为，且分别与，交于点，，判断与的关系，并说明理由． 【答案】①；②； 问题解决：（1）证明见解析；（2）3；（3）且，理由见解析 【分析】根据等腰三角形和直角三角形的性质作答填空即可； 问题解决： （1）证明，进而结论得证； （2）证明，则，，根据，计算求解即可； （3）证明，则，，则，进而可得． 【详解】解：由等腰三角形和直角三角形的性质写的性质为①；②； 故答案为：；②； 问题解决： （1）证明：由题意知，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3； （3）解：且，理由如下； ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质．熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 一、单选题 1．如图，是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据旋转的性质知：旋转角度是90°，根据旋转的性质得出，即是等腰直角三角形，腰长AP=3，则可用勾股定理求出斜边的长． 【详解】解：∵绕点A逆时针旋转后与重合， ∴′， 即线段AB旋转后到AC， ∴旋转了90°， ∴=∠BAC=90°，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质和勾股定理．掌握图形旋转前后的特征是解决本题的关键． 2．如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和勾股定理的逆定理．先根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，得到，，接着利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，然后利用进行计算即可． 【详解】解：连接，如图， 为等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转后，得到， ，，， 为等边三角形， ，， 在中， ∵，，， ， 为直角三角形，， ． 故选：A． 3．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，⑤平分，恒成立的是______． A．①②④ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，由等边三角形的性质可证明，则可得①正确；由可得，由，则由三角形内角和可得，则可得③正确；证明，可得，由可得④正确；由等边三角形的性质可得②正确；连接，作，根据全等三角形对应边上的高线相等，得到，即可判定⑤正确，从而可确定答案． 【详解】解：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，；故①正确 ∵， ∴由三角形内角和得：， 故③正确； ∵， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故④正确； ∴， ∴，故②正确； 连接，作， ∵，为边上的高线， ∴， ∴平分；故⑤正确； ∴正确的是①②③④⑤， 故选：D． 4．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键． 先证明，则，推出，由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，如图，当在下方且与相切时，线段最短，面积的最小；再证明四边形是正方形，则，由勾股定理得，，则，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵和是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图：由题意知，E在以A为圆心，2为半径的圆上运动， ∵， ∴当在下方且与相切时，点M到距离最小，面积的最小 ∵， ∴四边形是矩形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 5．如图，是等腰直角三角形外一点，，把绕点逆时针旋转到．已知，，则点在旋转过程中所经过的路径的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求弧长，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接，证明，可得，然后在和中，利用勾股定理可得，，再根据弧长公式解答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 在中，， ∴， 即， ∵在旋转过程中所经过的路径的长是弧长， ∴． 故答案为： 6．如图，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点F，设，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，由等腰直角三角形和旋转得到，，，则和是等边三角形，得到，，与交于点，过作交于，即可得到， 中，求出，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，，， ∴，，， ∴， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，，， ∴和是等边三角形， ∴， ∴， 如图，与交于点，过作交于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 中，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，已知是等腰直角三角形，，将线段AC绕点A逆时针旋转得到，连接，．当是等腰三角形（不含等腰直角三角形）时， ． 【答案】30°，60°或150° 【分析】分四种情况：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，可得C′E=AC′，得出∠C′AC=30°，即α=30°；当CC′=BC时，如图2，可证得△ACC′是等边三角形，得出∠CAC′=60°，即α=60°；当BC=BC′时，如图3，可得出∠CAC′=90°，即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去；当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4，过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，得出AE=AC′，∠AC′E=30°，进而求得∠CAC′=90°+60°=150°，即α=150°． 【详解】解：当CC′=BC′，点C′在△ABC的内部时，如图1，过点C′作C′D⊥BC于点D，C′E⊥AC于点E，取A C′的中点F，连接EF， ∵CC′=BC′，C′D⊥BC， ∴CD=DB=BC， ∵∠ACB=∠C′EC=∠C′DC=90°， ∴四边形CDC′E是矩形， ∴C′E=CD， ∵△ABC是等腰直角三角形， ∴AC=BC， 由旋转得：AC′=AC， ∴C′E=AC′，EF=A C′= C′F， ∴C′E= EF= C′F， ∴三角形C′EF是等边三角形， ∴∠EC′F=60° ∵∠AEC′=90°， ∴∠C′AC=30°， 即α=30°； 当CC′=BC时，如图2， 由旋转得：AC′=AC， ∵CC′=BC，AC=BC， ∴AC=AC′=CC′， ∴△ACC′是等边三角形， ∴∠CAC′=60°， 即α=60°； 当BC=BC′时，如图3， 由旋转得：AC′=AC， ∵BC=BC′=AC， ∴AC=BC=BC′=AC′， ∴四边形ACBC′是菱形， ∵∠ACB=90°， ∴四边形ACBC′是正方形， ∴∠CAC′=90°， 即α=90°，此时△BCC′为等腰直角三角形与题意不含等腰直角三角形不相符，舍去； 当CC′=BC′，且点C′在△ABC外部时，如图4， 过点C′作C′D⊥BC于点D，过点A作AE⊥C′D于点E，取A C′的中点F，连接EF， 则∠AED=∠CDC′=∠ACB=90°， ∴四边形ACDE是矩形， ∴AE=CD，∠CEA=90°， ∵CC′=BC′，C′D⊥BC， ∴CD=BC， 由旋转得AC′=AC， 又∵AC=BC，   ∴AE=AC′，EF=A C′=AF， ∴三角形AEF是等边三角形， ∴AE= EF= AF， ∵∠AEC′=90°， ∴∠AC′E=30°， ∴∠C′AE=60°， ∴∠CAC′=90°+60°=150°， 即α=150°； 综上所述，α=30°或60°或150°． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质，特殊四边形的性质等腰三角形性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，掌握特殊四边形的性质． 8．如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为 ；的面积为 ． 【答案】 /150度 / 【分析】由旋转的性质得到得，结合等边三角形的性质证明，得到，根据，证明是以为直角的直角三角形，即可求出的度数；过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为，利用直角三角形的性质求出，进而求出，，利用等边三角的性质求出，利用即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是以为直角的直角三角形， ∴； 过点A作，交延长线于点，过点P作，垂足为， ∵，是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形． 三、解答题 9．综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）先证明，然后根据即可证明； （2）同理可证得，求出，即可得； （3）同理可证得，由勾股定理得，然后根据即可证明结论成立； （4）作于点M，作于点N，同理可证得，根据全等三角形对应边上的高相等得，进而可证平分． 【详解】（1）∵和均为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∴即； （2）同理可证， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：； （3）同理可证， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴； （4）作于点M，作于点N， 同理可证， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，以及勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 10．定义：直角顶点重合的两个等腰直角三角形称为“同根等腰直角三角形”．如图，和都是等腰直角三角形，，则和为“同根等腰直角三角形”． (1)如图1，当点E在上，点D在上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是______． (2)把绕点C旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是 ． 【答案】(1)， (2)（1）中的结论成立．理由见解析 (3)或 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出，，再作差，得出，再用，即可得出结论； （2）先由旋转的旋转得出，进而判断出，得出，，与交于M，与交于N，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论； （3）分两种情况，①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，求出，再由勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论． 【详解】（1）和都是等腰直角三角形， ，， ， ， 点在上，点在上，且， ， 故：，； （2）成立； 如图2，与交于M，与交于N，    由题意可知： ， ， ， 在与中： ， ，， 又，， 在中， ， ， ， 结论成立； （3）①当点E在线段上时，如图3，过点C作于M，   是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ； ②当点D在线段上时，如图4，过点C作于N，   是等腰直角三角形，且， ， ， ， 在中，， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的旋转，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 11．问题：如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形(如图②)，连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得的度数，所以可知的度数，还可证得是直角三角形，进而求出等边三角形的边长，问题得到解决． (1)根据李明同学的思路填空： ， ，等边三角形的边长为 ． (2)探究并解决下列问题：如图③ ， 在正方形内有一点 P，且 ，，．求的度数和正方形 的边长． 【答案】(1)，，； (2)；正方形的边长为． 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、正方形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由旋转的性质可得，，，，推出，进而得到是等边三角形，得出，，由勾股定理逆定理得出，即可得出，过点作，交的延长线于，则，求出，，，最后由勾股定理进行计算即可； （2）由旋转的性质可得，，，，推出，由勾股定理逆定理得出，即可得出；过点作，交的延长线于，则，求出，得到，最后由勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：是等边三角形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， ， ， 如图，过点作，交的延长线于， ， ， ， ， ， 故答案为：，，； （2）解：①如图，将绕点逆时针旋转得到， 四边形是正方形， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，，，， ， ， ， ，，， ， ， ； 过点作，交的延长线于， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 12．综合与应用： 数学活动课上，老师出示如图1，在等边三角形内有一点P，已知，，，求的度数． 【方法探索】（1）小丽在解决这个问题时，想到了以下思路：如图2，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，请你帮她求出的度数． 【方法应用】（2）如图3，在等腰直角三角形内有一点P，若，，，求的度数． 【方法迁移】（3）在等腰直角三角形边上有两点P、Q，已知，，，求以、、为边的三角形面积．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）；（3）3 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，证明是等边三角形，得出，，证明是直角三角形，，得出； （2）由旋转的性质可得，，，，然后证明得到，则； （3）将绕点逆时针旋转90度得到，证明，求得，利用勾股定理求得，根据以、、为边的三角形面积即，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、，如图2， 由旋转的性质得：， ，，，， 是等边三角形， ，， ， 是直角三角形，， ， ； （2）在等腰直角三角形内有一点且．将绕点逆时针旋转，得到了，连接．如图3， ，，，， ，， ，，， ， ， ； （3）∵等腰直角三角形， ∴， 如图4，将绕点逆时针旋转90度得到， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴以、、为边的三角形面积即． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 全等三角形中的奔驰模型与婆罗摩笈多模型 目录 1 模型1.奔驰模型之点在等边三角形内 1 模型2.奔驰模型之点在等腰直角三角形内 4 模型3.奔驰模型之点在三角形外 8 模型4.“婆罗摩笈多”模型 12 17 模型1.奔驰模型之点在等边三角形内 此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转一起考查，因为旋转的特征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式：（选填题非常适用） 证明：以AP为边向左侧作等边三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AP’=PP’，∠BAC=∠PAP’=∠PP’A=60°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠BAP=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=150°；∴∠APB=150°。 例1．如图，点是等边内一点，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 例2．）如图，已知点P在等边内，且，，，则 °． 例3.（24-25八年级下·山东枣庄·期中）【问题】如图甲，在等边内有一点P，且， ，，求的度数和等边的边长． 【探究】解题思路是：将绕点B逆时针旋转，如图乙所示，连接．是 三角形，是 三角形， ； 【拓展】如图丙，在正方形内有一点P，且， ，，求的度数． 模型2.奔驰模型之点在等腰直角三角形内 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以AP为边向左侧作等腰直角三角形APP’，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APP’都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AP’，∠BAC=∠PAP’=90°，，∠AP’P=45°； ∴∠BAC-∠PAC=∠PAP’-∠PAC，∴∠PAB=∠P’AC，∴（SAS），∴BP=CP’，∠APB=∠AP’C； ∵，∴，∴∠PP’C=90°， ∴∠AP’C=∠PP’C+∠PP’A=135°；∴∠APB=135°。 例1．（23-24九年级上·山东济宁·月考）如图，是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转后，能与重合，连接，如果，那么的长等于（　　） A． B． C． D． 例2．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为 ． 例3.（2026·山东临沂·模拟预测）问题背景：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，请直接写出线段与有什么关系？ 尝试应用：如图（），与为等腰直角三角形，，连接，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点，猜测：，，之间有什么数量关系，并证明． 拓展延伸：如图（），等腰直角绕点逆时针旋转一定角度，使得点在一条直线上，，，，连接交于一点，在线段上有一动点，求的最小值．    模型3.奔驰模型之点在三角形外 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 鸡爪模型的本质是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。 模型1）证明：以AP为边向右侧作等边三角形ADP，连接DC。 ∵三角形ABC和三角形ADP都为等边三角形；∴AB=AC，AP=AD=DP，∠BAC=∠PAD=∠APD=60°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠BAP=∠CAD，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠CPA=∠DPC-∠APD=30°。 模型2）证明：以AP为边向上方作等腰直角三角形APP’，且∠PAD=90°，连接P’C。 ∵三角形ABC和三角形APD都为等腰直角三角形； ∴AB=AC，AP=AD，∠BAC=∠PAD=90°，，∠APD=45°； ∴∠BAC+∠PAC=∠PAD+∠PAC，∴∠PAB=∠DAC，∴（SAS），∴BP=CD； ∵，∴，∴∠DPC=90°，∴∠APC=∠DPC-∠APD=45°。 例1．如图，是等边三角形外一点，连接，，．若，，，则三角形的面积为（ ） A． B． C． D． 例2．如图，点P为等边三角形外一点，连接，，若，，，则的长是 ．    例3．【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为___________度．    【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， ∵四边形是的内接四边形， ∴． ， ∴． ∵是等边三角形． ∴， ∴ 请你补全余下的证明过程． 【延伸】如图③，是的外接圆，，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．则、、之间满足什么关系？证明你的结论． 【应用】如图④，是的外接圆，，，点P在上，且点P是上一点，连结、、．若，则的值为___________． 模型4.“婆罗摩笈多”模型 婆罗摩笈多定理：如果一个圆内接四边形（即对角互补的四边形）的对角线互相垂直且相交，那么从交点向某一边所引垂线的反向延长线必经过这条边对边的中点（反之亦能成立）。 模型特征：（1）△BCP和△ADP是两个等腰直角三角形，且直角顶点重合. 模型1）知中点证垂直 条件：分别以三角形ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，N为EG的中点，M、A、N三点共线。结论：AM⊥BC；BC=2AN；S△ABC=S△AEG 。 证明：（倍长中线法）延长AN到W，使NW=NA，连接EW。 在∆WEN和∆AGN中，NW=NA（已作），∠WNE=∠ANG（对顶角），EN=GN（已知） ∴∆WEN≌ ∆AGN(SAS)，∴EW=GA，∠EWN=∠GAN。 ∵∠EWN=∠GAN∴EW//GA，∴∠WEA+∠EAG=180°(平行线同旁内角)。 ∵∠GAC=90°，∠EAB=90°，∴∠EAG+∠CAB=180°，∴∠WEA=∠CAB。 ∵EW=GA，又∵GA=AC，∴EW=AC。 在∆EWA和∆ACB中：EA=AB，∠WEA=∠CAB，EW=AC，∴∆EWA ≌ ∆ACB(SAS)。 ∴WA=CB，∠EAW=∠ABC，∵∆ABC ≌ ∆EAW， ∴S∆EWA = S∆ACB。 ∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN，∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 ∵WN=AN，∴BC=2AN ，∵∠WAB=∠EAB+∠EAW。 又∵∠WAB=∠ABM+∠AMB（三角形外角性质），∴∠EAB+∠EAW=∠ABM+∠AMB。 ∵∠EAW=∠ABC（∠ABC即∠ABM），∴∠EAB+∠ABM=∠ABM+∠AMB。 ∴∠EAB=∠AMB，∴∠AMB=90°，即AM⊥BC。 模型2）知垂直证中点 条件：分别以∆ABC的边AB、AC为边，向三角形外侧外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM⊥BC。 结论：N为EG的中点；BC=2AN ；S△ABC=S△AEG。 证明：（法1:平行线法）作EW//AG，交AN的延长线于W，∵EW//AG，∴∠WEA+∠EAG=180°， ∵∠EAB和∠GAC为正方形的角，所以两个角均为90°，∴∠EAG+∠BAC=180°， ∴∠WEA=∠BAC，∵EW//AG，∴∠EWN=∠GAN， ∵∠GAN+∠MAC =90°，∵AM⊥BC，∴∠MAC+∠MCA=90°，∴∠MCA=∠GAN，∴∠MCA=∠EWN， 在∆ABC和∆EAW中，∠BCA=∠AWE，∠CAB=∠WEA，AB=EA，∴∆ABC ≌ ∆EAW(AAS) ， ∴AW=BC，∴WE=CA，∵CA=AG，∴WE=AG，∵EW//AG，∴∠WEN=∠AGN， 在∆WEN和∆AGN中，∠WEN=∠AGN，WE=AG，∠ENW=GNA，∴∆WEN≌ ∆AGN (ASA)， ∴EN=GN，即N为EG的中点，∴WN=AN，∴BC=AW=2AN， ∵∆ABC ≌ ∆EAW，∴S∆EWA = S∆ACB，∵∆WEN≌ ∆AGN， ∴S∆WEN= S∆AGN， ∴S∆ACB=S∆EWA =S∆AEN +S∆EWN=S∆AEN+S∆AGN=S△AEG。 （法2:三垂直模型法）作EX⊥AN，交AN的延长线于X，作GY⊥AN，将AN于Y。 ∵AM⊥BC，∴∠ABM+∠BAM=90°，∵∠EAB=90°，∴∠EAN+∠BAM=90°，∴∠ABM=∠EAN 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∵∠ABM=∠EAN，∴∠AEX=∠BAM； 在Rt∆ABM和Rt∆EAX中，∠BAM=∠AEX，AB=EA，∠ABM=∠EAX； ∴Rt∆ABM ≌Rt∆EAX （ASA），∴AM=EX，同理可证：∴Rt∆AYG ≌Rt∆CMA （ASA），∴GY=AM； ∵AM=EX，∴GY=EX，在Rt∆EXN和Rt∆GYN中，∠ENX=∠GNY，∠EXN=∠GYN，EX =GY； ∴Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN（AAS），∴EN=GN，即N为EG的中点； ∵Rt∆ABM ≌Rt∆EAX ，∴S∆ABM =S∆EAX，BM=AX，∵Rt∆AYG ≌Rt∆CMA，∴S∆AYG =S∆CMA，CM=AY； ∵Rt∆EXN ≌ Rt∆GYN，∴S∆EXN = S∆GYN，XN=YN； ∴S△ABC=S∆ABM+S∆CMA =S∆EAX+S∆AYG=S∆EAN +S∆ENX+S∆ANG-S∆GNY=S∆AEG； ∴BC=BM+CM=AX+AY=AN+NX+AN-YN=2AN。 其实该模型也可以模仿 模型1）中的倍长中线法，有兴趣的同学们可以自己去尝试以下哦！ 例1．如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别交于点P，M．对于下列结论：①；②；③，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 例2．（25-26八年级上·山东聊城·月考）如图，在中，为钝角，以点为直角顶点，分别以，为直角边在外作等腰直角三角形和等腰直角三角形．连接，交于点，连接，以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①③④ 例3.如图，点A在线段上，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使，连结与分别交于点P，M，连结，下列结论：①；②；③．其中正确的是 ．（只填序号） 例4.（23-24七年级上·山东威海·期末）等腰直角三角形既是等腰三角形也是直角三角形，它有很多等腰三角形和直角三角形的性质． 如图1，在等腰直角三角形中，，，点是边中点，请结合等腰三角形和直角三角形的性质写出的性质____________．（至少两条） 问题解决： 已知，在等腰直角三角形中，，． （1）如图2，点是边中点，点，分别为边，上．且，求证； （2）如图3，点，，三点在同一条直线上，，，，则______； （3）如图4．在等腰直角三角形中，，，连接，交点为，且分别与，交于点，，判断与的关系，并说明理由． 一、单选题 1．如图，是等腰直角三角形，是斜边，P为内一点，将绕点A逆时针旋转后与重合，如果，那么线段的长是（    ） A．6 B．3 C． D． 2．如图所示，点是等边三角形内的一点，且，，，若将绕点逆时针旋转后，得到，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论：①；②；③；④是等边三角形，⑤平分，恒成立的是______． A．①②④ B．①③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 4．如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，分别作射线、，它们交于点．以点为旋转中心，将按顺时针方向旋转，若的长为2，则面积的最小值是（    ） A．4 B．8 C． D． 二、填空题 5．如图，是等腰直角三角形外一点，，把绕点逆时针旋转到．已知，，则点在旋转过程中所经过的路径的长为 ． 6．如图，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，，延长交于点F，设，则的长为 ． 7．如图，已知是等腰直角三角形，，将线段AC绕点A逆时针旋转得到，连接，．当是等腰三角形（不含等腰直角三角形）时， ． 8．如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为 ；的面积为 ． 三、解答题 9．综合与实践 【问题情境】 在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转． 【解决问题】 （1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明； （2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______； （3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现； 【拓展探究】 （4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分． 10．定义：直角顶点重合的两个等腰直角三角形称为“同根等腰直角三角形”．如图，和都是等腰直角三角形，，则和为“同根等腰直角三角形”． (1)如图1，当点E在上，点D在上时，线段与的数量关系是 ，位置关系是______． (2)把绕点C旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)在绕点C在平面内旋转过程中，若，，当A，E，D三点在同一直线上时，则AE的长是 ． 11．问题：如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．李明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形(如图②)，连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可证)，可得的度数，所以可知的度数，还可证得是直角三角形，进而求出等边三角形的边长，问题得到解决． (1)根据李明同学的思路填空： ， ，等边三角形的边长为 ． (2)探究并解决下列问题：如图③ ， 在正方形内有一点 P，且 ，，．求的度数和正方形 的边长． 12．综合与应用： 数学活动课上，老师出示如图1，在等边三角形内有一点P，已知，，，求的度数． 【方法探索】（1）小丽在解决这个问题时，想到了以下思路：如图2，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，请你帮她求出的度数． 【方法应用】（2）如图3，在等腰直角三角形内有一点P，若，，，求的度数． 【方法迁移】（3）在等腰直角三角形边上有两点P、Q，已知，，，求以、、为边的三角形面积．（直接写出答案） 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 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