第20章勾股定理 单元测试卷 2025--2026学年人教版八年级数学下册

保密★启用前 人教版2025-2026学年下学期八年级数学第20章勾股定理单元测试卷答案解析 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的判定，需依据勾股数的定义：若三个正整数a、b、c满足，则称这三个数为勾股数，通过计算各选项中两小边的平方和是否等于最大边的平方来判断即可． 【详解】解：A、，，，不是勾股数， B、，，，是勾股数， C、，，，不是勾股数， D、，，，不是勾股数， 故选B． 2．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求根据勾股定理网格中的线段长，由图形可知，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由图形可知，，且是直角三角形， 则斜边， 故选A． 3．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：A、选项中最长边为6，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． B、选项中最长边为17，，，，∴该三角形是直角三角形，故本选项符合题意． C、选项中最长边为15，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． D、选项中最长边为，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 5．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 6．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为， 故箭在投壶外面部分的长度可能是， 故选：D． 7．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 8．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理； 先利用勾股定理的逆定理求出，再根据列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为100， ∴正方形的边长， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ， 故选：C． 9．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查的是非负数的性质，勾股定理的逆定理的应用，先根据非负数的性质求出三边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，，，且， ∴，，， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形， 故选：D 10．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴ 设，则， 由勾股定理得：， ∴， 故选：D． 11．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，连接，由，，利用勾股定理可求出的长，再根据，，利用勾股定理的逆定理可证为直角三角形，然后即可求出这块地的面积． 【详解】解：连接， ，，， ∴， ， ，， ∴，， ，则为直角三角形，且， 这块地的面积为． 故选：B． 12．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，直角三角形的性质，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 过点作于点，先由面积关系证明，然后证明，，，最后得到，再由求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 由题意得，， ∵ ∴， ∴， ∴， 由正方形可得，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 二、填空题 13．在平面直角坐标系中，点到原点O的距离是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了勾股定理和平面直角坐标系内两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 本题可利用勾股定理，将点到原点的距离转化为横、纵坐标平方和的算术平方根进行求解． 【详解】解：点到原点O的距离是 ， 故答案为：． 14．如图，两个较大正方形的面积分别为64和113，则字母所代表的正方形的边长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理：以直角三角形三边为边长的正方形的面积，根据三个正方形的边长组成一个直角三角形，得到字母A所代表的正方形的面积等于大正方形的面积减去较小的正方形的面积，即可得出结果． 【详解】解：由图可知：三个正方形的边长组成一个直角三角形， 由勾股定理，得：字母A所代表的正方形的面积． ∴字母A所代表的正方形的边长为 故答案为：． 15．如图，在中，，，点C在直线上，于D，于E，，则 ． 【答案】 【分析】根据等腰直角三角形的性质，余角的性质，证明全等，再利用勾股定理解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理，多项式乘以多项式，求算术平方根，根据阴影面积等于边长为c的正方形面积减去边长为b的正方形面积即可表示；先求出，再根据得到，再根据，即可求出答案． 【详解】解：图中阴影部分的面积为， 如图所示：   ， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 17．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1), , (2)直角三角形 【分析】本题考查了偶次方、绝对值、算术平方根的非负性，勾股定理逆定理，根据题意得出a、b、c的值是解本题的关键． （1）根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，算术平方根的非负性得出a、b、c的值即可； （2）根据勾股定理逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， 解得：． （2）解：以为边长的三角形是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴以为边长的三角形是直角三角形． 18．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)与垂直，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键； （1）根据题意易得，然后问题可求解； （2）由题意可设，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：由题意可设，则有， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 19．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 20．某小区临街的拐角处有一块四边形空地（如图），物业准备进行绿化．经测量，，，若绿化的费用为120元，则绿化这片区域需要多少钱？ 【答案】28080元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理及三角形面积等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由勾股定理得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形．且，然后由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：如图，连接AC． ， ． ， ． 是直角三角形，且． ， （元）． 答：绿化这片区域需要28080元． 21．如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出的长度，进而即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ∴， ， ， 在中，， ∴， ． 答：梯子底端外移的距离为． 22．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 23．小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)连接，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）易证，再证，得出，即可得出； （2）先由已知得，则，再由勾股定理求出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵于D，于E， ∴， 又∵根据题意得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 在中， 答：的长为． 24．【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用．它架起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，． 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动_____秒时．． 【类比分析】 （2）如图2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点运动，连接，当点运动_____秒时．点在的平分线上． 【学以致用】 （3）如图3，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动．设运动的时间为． ①当为以为腰的等腰三角形时．求t的值； ②当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）①当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或；②当为直角三角形时，的值为或3． 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用勾股定理求得，设，在中，由勾股定理列式计算即可求解； （2）利用勾股定理结合角平分线的性质列式计算即可求解； （3）①分两种情况讨论，当时，当时，分别列式计算即可求解；②分两种情况讨论，当时，当时，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：（1）∵在中，， ∴， 设， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴点运动秒时，． 故答案为：； （2）如图，作， ∵点P恰好在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 由题意得，， 由勾股定理得， 解得； ∴的值为． （3）①当时，则， 解得； 当时， ∴， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， 综上，当为以为腰的等腰三角形时，的值为5或； ②当，，， 在中，由勾股定理得， 在中，， ∴， 即， 解得； 当，则P与C重合，则， 解得； 综上，当为直角三角形时，的值为或3． 25．【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 【答案】（1）①；②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了面积法验证勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，三角形外角性质，勾股定理，面积法求三角形高，三角形中线性质，三角形、梯形、对角线互相垂直的四边形面积公式，是解题的关键． （1）①根据，得，由三角形外角性质得，即得；②根据，得，根据 ，即得； （2）根据，得，推出，得，得，连接，得 ，结合，求得 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． （2）∵在中，，，． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 保密★启用前 人教版2025-2026学年下学期八年级数学第20章勾股定理单元测试卷 考试时间：120分钟；试卷分值：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题 1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（  ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 2．在网格中的位置如图所示，若每个小方格的边长均为，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 4．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） 第4题图 第5题图 第6题图 A． B． C． D． 5．如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 6．《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 7．在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（    ） 第7题图 第8题图 第10题图 第11题图 A．12尺 B．12.5尺 C．14.5尺 D．15尺 8．如图，正方形的面积为100，点E在正方形内，，，则阴影部分的面积是（   ） A．48 B．60 C．76 D．80 9．若三边满足，那么的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 10．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是 ，可列方程为（   ） A． B． C． D． 11．如图，一块四边形地，已知，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，以的三边为边长向外作正方形，已知这三个正方形构成的图形中，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 二、填空题 13．在平面直角坐标系中，点到原点O的距离是 ． 14．如图，两个较大正方形的面积分别为64和113，则字母所代表的正方形的边长是 ． 第14题图 第15题图 第16题图 15．如图，在中，，，点C在直线上，于D，于E，，则 ． 16．刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在《九章算术注》中指出：“勾、股幂合为弦幂，明矣．”也就是说，图1中直角三角形的三边a、b、c存在的关系．他在书中构造了一些基本图形来解决问题，如图2，将以a为边长的正方形和b为边长的正方形置于以c为边长的大正方形的左下角和右上角，若，则 ． 三、解答题 17．已知的算术平方根是 (1)求的值． (2)判断以为边长的三角形的形状，并说明理由． 18．为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 19．在社团活动中，徐老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离，物体C到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体C升高至处，求滑块B向左滑动至处的距离． 20．某小区临街的拐角处有一块四边形空地（如图），物业准备进行绿化．经测量，，，若绿化的费用为120元，则绿化这片区域需要多少钱？ 21．如图，一根长的竹竿，斜靠在一竖直的墙上，这时为，杆子的顶端沿墙下滑．求梯子底端外移的距离（的长）？ 22．如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 23．小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)连接，求的长． 24．【问题提出】 勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着极其广泛的应用．它架起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁．因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算． 在中，． 【新知初探】 （1）如图1，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点运动，连接．当点运动_____秒时．． 【类比分析】 （2）如图2，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向向点运动，连接，当点运动_____秒时．点在的平分线上． 【学以致用】 （3）如图3，当点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动．设运动的时间为． ①当为以为腰的等腰三角形时．求t的值； ②当为直角三角形时，直接写出的值． 25．【问题背景】 勾股定理的验证方法有几百种，常见的是用两种方式表示同一图形的面积，得到等量关系．如图1，将两张全等的直角三角形纸片（△△），按照图1的方式摆放，点与点重合，点，，，在一条直线上，连接，则可利用梯形面积的两种表示方式建立关于，，之间的等量关系，从而验证勾股定理． 【变式探究】 （1）智慧小组受此启发，将上述两张纸片按如图2的方式摆放，点与点重合，点在边上，连接，，线段与交于点． ①图2中线段与的位置关系为　　 ； ②智慧小组发现四边形的面积可以表示为以或为公共底边的两个三角形的面积之和，也可表示为梯形与△的面积之差．请按照这样的思路利用四边形的面积验证勾股定理； 【拓展应用】 通过图形的分割和重组，利用图形的面积不仅可以证明线段之间的关系，还可以计算线段的长度． （2）如图3，在△中，，于点，，．取边上的点，连接，使得．点是边上的一个动点，过点作和的垂线，垂足分别为点，．若，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $