1.3 直角三角形（第2课时 HL）同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.3直角三角形（第2课时 HL）同步练习 一、单选题 1．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（    ）    A． B．6 C．9 D．12 3．如图，，，，要根据“”证明则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 4．下列判定直角三角形全等的方法，错误的是（    ） A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一直角边对应相等 D．两锐角对应相等 5．在课堂上，李老师发给每人一张印有（如图1）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小宏同学先画出了之后，后续画图的主要过程如图所示．这种画图方法的依据是（    ） A．SAS B．AAS C．ASA D．HL 6．如图，正方形的顶点B在直线l上，将直线l向上平移线段的长得到直线m，直线m分别交，于点E，F，若求的周长，则只需知道（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 7．如图，，垂足为点A，，，射线，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线运动，点D为射线上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持，当点E运动t秒时，与全等．则符合条件的t值有（  ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 8．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，添加下列选项中的条件，能用判定的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，于点，交于点．若，，，则 ． 10．如图，已知点是内一点，且点到的距离，则 ． 11．如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为12，，则的长是 ． 12．如图，某游乐园有两个长度相等的滑梯，，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，平行于地面．若，，则的长度为 ． 13．如图，在中，于点于点为上一点，连结，有下列结论：①；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 14．如图，在四边形中，连接、，于点．若，则的长为 ． 三、解答题 15．如图，在中，，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线，，点E和点F分别为垂足，且．求证：． 16．如图，，，垂足分别为，，，相交于点，．求证：． 17．如图，，点、、、在同一直线上，，，、是垂足，．求证：． 18．如图，点在线段上，，请只添加一个合适的条件，使． (1)根据“”，需添加的条件是 ；根据“”，需添加的条件是 ． (2)请从（1）中选择一种加以证明． 19．如图，在中， ，D为边的中点，于点E，于点F，．求证∶是等边三角形． 20．如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 21．已知，． (1)将和按图①方式摆放，使经过点C，延长交线段于点F．试判断线段之间的数量关系，并证明你的结论； (2)将和按图②方式摆放，延交线段于点F．请直接写出之间的数量关系______． (3)将和按图③方式摆放，延长交的延长线于点F．若，，则______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可． 【详解】解：过D作，交的延长线于F，    ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在和中， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了用“”证明三角形全等，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知条件可知，两三角形是直角三角形，且有一条直角边相等，若用“”证明全等，需再有斜边对应相等，据此可解答． 【详解】解：如图，，，， 要根据“”证明， 需再有斜边对应相等， 即． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，直角三角形全等的判定．根据全等三角形的判定及直角三角形全等的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，再加上夹角都等于，根据“边角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，再加上一对直角相等，根据“角角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； C、斜边和一直角边对应相等，根据“斜边直角边”可判断两直角三角形全等，该选项不符合题意； D、两锐角相等和直角对应相等，没有边相等，不能证明两直角三角形全等，该选项符合题意． 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定解答．根据演示由尺规作图的方法确定作图的具体步骤，即可判断． 【详解】解：由图示知，小宏第一步为截取线段， 第二步为作线段， 在与中， ， ∴， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查了平移的性质和全等三角形的性质和判定，同时也利用了三角形周长的定义，掌握平移的性质以及全等三角形的性质与判定是解题的关键．过作于，连接，，然后利用已知条件可以证明)，)，接着利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：过作于，连接，， 直线向上平移线段的长得到直线， ， 而，， )， ， 同理)， ， 的周长为：． 求的周长，则只需知道的长． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，一元一次方程的应用．利用分类讨论的思想，结合三角形全等的判定和性质列出方程求解即可；分类讨论：①当点E在线段上，且时，②当点E在线段延长线上，且时，③当点E在线段上，且时和④当点E在线段延长线上，且时，再分别列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ②当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ③当点E在线段上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：； ④当点E在线段延长线上，且时，， ∵动点E的速度为2/秒， ∴， ∴， 解得：． 综上可知符合条件的t值有4个． 故选C． 8．D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理．根据三角形全等的判定定理即可得． 【详解】解：∵，， A、添加，利用定理可判定，则此项不符合题意； B、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； C、添加，利用定理判定，则此项不符合题意； D、添加，∴，则，能用可判定，则此项符合题意； 故选：D． 9．6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握斜边直角边的证明方法是解题的关键．连接，先证明，推出，最后利用解得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6． 10．/20度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明，推出，即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11．3 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质． 过点A作于H，判定，得出，再判定，判定，得出，再根据，求得的面积，进而得到的长． 【详解】解：过点A作于H，如图所示： 在与中， ， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， 又∵， ∴在和中， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 故答案为：3． 12．1 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键； 先证明，得出对应边长度，再结合的性质得出EG的长度． 【详解】解：由题可知：， ∴和是直角三角形 ∴在和中 ， ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：1 ． 13．①② 【分析】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 根据条件证明，然后根据全等三角形的性质得出①正确，再利用平行线的判定定理可得②正确，根据条件无法证明③④． 【详解】解：①∵，， ∴， 在与中， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ②∵，， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③根据现有条件无法证明， 故③错误，不符合题意； ④根据现有条件无法证明， 故④错误，不符合题意； 故答案为：①②． 14．2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，过点作，交延长线于点，先证明，再证明，利用列出等式求解即可． 【详解】解：过点作，交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得：． 故答案为：． 15．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，再根据得到，即可得到，即． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 16．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．先证明，得出，再证明即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ． 17．证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是关键． 先证明，则，结合等量代换可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． ∴． 18．(1) (2)选择及证明过程见解析 【分析】本题考查添加条件使两个三角形全等，并证明，熟记两个三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由题中条件可知，按照“”，“”，使所缺的条件添加即可得到答案； （2）由（1）中不同的判定定理及添加的条件，利用两个三角形全等的判定定理证明即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，， ， 根据“”，使，需添加的条件是； 根据“”，使，需添加的条件是； 故答案为：； （2）解：选择“”，添加， 证明过程如下： ， ，即， 在和中， ； 选择“”，添加， 证明过程如下： ，， ，即， 在和中， ． 19．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．证明，得到，进而得到，推出，即可得证． 【详解】证明：∵D为的中点， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 20．(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答． （2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）得， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∵ ∴在中， ∴ 解得（负值已舍去）． 21．(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段的数量关系，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质进行解题，注意运用数形结合的思想进行解题． （1）由全等三角形的判定和性质，得到，，再证明，即可得到结论成立； （2）连接，与（1）的证明过程一样，即可得到答案； （3）连接，与（1）的证明过程一样，得到，即可得到答案． 【详解】（1）． 证明：如图，连接， ∵， ∴，． ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵，， ∴； （2）； 证明：如图，连接， 与（1）同理，可得，， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴； （3）；解：如图，连接， 与（1）同理，则有， ∴； ，， 则． 故答案为：6． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $