专题03 全等三角形（专项训练）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第四章 三角形 专题03 全等三角形 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：全等三角形的性质 题型01 利用全等三角形的性质求角度 1．（2024·辽宁·模拟）如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，点在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，，，，则 ． 5．（12-13八年级上·全国·课后作业）如图所示，若，且，则 ．    题型02 利用全等三角形的性质求边长 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，在同一直线上，且，， 则的长（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）如图，若，且，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 3．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟）已知：如图，，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点二：全等三角形的判定 题型01 添加一个条件使两个三角形全等 1.（2024·辽宁·模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟）如图，已知，若使，则需使的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．1 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，交于点O，，添加： ①；②；③，三个条件中的一个，能使的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．（2024·辽宁·模拟）如图，已知，若要使，则添加的一个条件不能是（  ） A． B． C． D． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，，欲证，则补充的条件中不正确的是（   ） A． B． C． D． 题型02 全等三角形的判定与性质综合 1．（2024·辽宁·模拟）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 2．（2022·辽宁沈阳·一模）已知：如图，是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点，连接． (1)求证：； (2)直接写出的度数； (3)求证：． 3．（2024·辽宁·模拟）如图，已知：点、、、在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 4．（2024·辽宁·模拟）如图，在和中，，是的中点，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 7．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 8．（2024·辽宁·模拟）如图，C，A，D在同一直线上，已知． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 考点三：角平分线的性质与判定 题型01 角平分线的实际应用 1.（2024·辽宁·模拟）如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2．（2024·辽宁·模拟）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·辽宁·模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC=12，DB=13，点D到AB的距离是（    ） A．5 B．6 C．4 D．3 4．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，，平分交于点D．若，且，，则的面积是 ． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 题型02 角平分线的综合 1．（2024·辽宁·模拟）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 4．（2023·辽宁大连·模拟预测）判断下面的证明过程是否正确，并说明理由． 已知：如图，点是射线上的一点，点、分别在、上，且． 求证：平分． 证明：∵点是射线上一点，且（已知），∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． (1)判断的形状并证明； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 6．（2024·辽宁·模拟）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 7．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：；             【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024·辽宁·模拟）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 7．（2024·辽宁·模拟）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 8．（2024·辽宁·模拟）在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ． 9．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 1．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． (1)如图1，当时，的度数为_________． (2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． (3)在旋转过程中，当时，若，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 专题03 全等三角形 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：全等三角形的性质 题型01 利用全等三角形的性质求角度 1．（2024·辽宁·模拟）如图，若，点E在AB上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质，由三角形内角和定理求出，再根据全等三角形的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，解题的关键是利用全等三角形的对应角相等求出相关角的度数． 先根据全等三角形的性质得出，再在中利用三角形内角和定理求出，最后根据全等三角形对应角相等及角的和差求出的度数． 【详解】解： ， ， 在中，根据三角形内角和为，可得， 又 ， ． 故选：A． 3．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，，点在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质和平行线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．根据，得，再根据全等三角形的性质可得，进而有则可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）如图，，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 根据全等三角形的性质得到，再由三角形的外角求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（12-13八年级上·全国·课后作业）如图所示，若，且，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得的度数，由三角形内角和定理可得的度数． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 题型02 利用全等三角形的性质求边长 1．（25-26八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，，在同一直线上，且，， 则的长（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得，，进而根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在同一直线上， ∴， 故选：． 2．（25-26八年级上·辽宁大连·月考）如图，若，且，，则的长为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质．根据全等三角形的对应边相等，即可求得的长，即可得到的长． 【详解】解： ，， ， ， ， 故选：B． 3．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，于点D，E是上一点，若，，，则的周长为（    ） A．24 B．23 C．22 D．26 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的周长， ∵，， ∴的周长为． 故选：A． 4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，，若，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ． 故选C． 5．（2024·辽宁·模拟）已知：如图，，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，利用性质求有关线段的长，掌握性质是关键．由可知，得出，于是可求的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选B． 考点二：全等三角形的判定 题型01 添加一个条件使两个三角形全等 1.（2024·辽宁·模拟）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理的应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解题的关键． 根据图形得出，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：A、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； B、添加，与，不是夹角，不可判定，故选项符合题意； C、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； D、添加，则依据可判定，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（2024·辽宁·模拟）如图，已知，若使，则需使的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．1 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定．先求得，再由全等三角形的性质推出． 【详解】解：∵， ∴， 要使， 则， 故选：C． 3．（25-26八年级上·辽宁抚顺·月考）如图，交于点O，，添加： ①；②；③，三个条件中的一个，能使的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形全等，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：①∵，，， ∴，故①正确； ②根据，，，无法判定，故②错误； ③∵，，， ∴，故③正确； 综上，能使的有①③，共2个． 故选：B． 4．（2024·辽宁·模拟）如图，已知，若要使，则添加的一个条件不能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法：、、、、依次对各选项分析即可判断． 【详解】解：A．，，，符合全等三角形的判定定理AAS能推出，故本选项不符合题意； B．，，，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出，故本选项不符合题意； C．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； D．，，，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，，欲证，则补充的条件中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 从已知看，已经有一边和一角相等，则添加一角或夹这角的另一边即可判定其全等，从选项看只有第三项符合题意，所以其为正确答案，其它选项是不能判定两三角形全等的． 【详解】解：∵， ， ， ， 当时， 在和中， ∴，A是可以证明全等； 当时， 在和中， ∴，B是可以证明全等； 当时， 在和中， ， ∴，D是可以证明全等； 当时，不能证明三角形全等， 故选：C． 题型02 全等三角形的判定与性质综合 1．（2024·辽宁·模拟）如图，，，，与交于点，与交于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．证明，即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 2．（2022·辽宁沈阳·一模）已知：如图，是等边三角形，点是内一点，连接，将线段绕逆时针旋转得到线段，连接，，，并延长交于点，连接． (1)求证：； (2)直接写出的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)∠APB=60° (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，， 再根据旋转的性质证明是等边三角形，根据角的和差关系求出，然后利用SAS证明即可； （2）由（1）得，得出，然后根据等边三角形的性质和和三角形内角和定理解答即可； （3）延长DP至点F，使PF=PE，连接EF，根据等边三角形的性质和角的和差求出有关角或边相等，然后利用SAS证明，得出，即可证出结果． 【详解】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°， ∵将线段CD绕C顺时针旋转60°得到线段CE， ∴CE=CD，∠DCE=60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠DCE=60°， ∵∠ACD+∠DCB=60°，∠BCE+∠DCB=60°， ∴∠ACD=∠BCE， ∴在△ACD与△BCE中，      ∵ ∴△ACD≌△BCE（SAS）．                           （2）∠APB=60°，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）如图，延长DP至点F，使PF=PE，连接EF， 由（2）可得: ∠APB=60°， ∴∠FPE=∠APB=60°， 又∵PF=PE ， ∴△PEF是等边三角形， ∴EF=EP，∠PEF=60°， 在等边△CDE中， ∠CED=60°，DE=CE， ∴∠CED+∠DEP=∠PEF+∠DEP， 即：∠CEP=∠DEF， 在△CEP与△DEF中，   ∵， ∴△CEP≌△DEF（SAS）， ∴ DF＝ PC， 又∵DF=PD+PF,PF=PE， ∴PD +PE=PC．                      【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用所学的几何知识，找出有关相等的量． 3．（2024·辽宁·模拟）如图，已知：点、、、在同一直线上，，，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定； （1）根据三边对应相等两三角形全等即可判定； （2）根据全等三角形的性质可得，根据内错角相等两直线即可证明． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， （）． （2）， ， （同位角相等，两直线平行）． 4．（2024·辽宁·模拟）如图，在和中，，是的中点，，垂足为，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）先证，进而证明，可得； （2）由，得．再结合E是的中点，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ． 在和中， ， ． （2）解：由，得． E为的中点， ∴． ， ， ． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·辽宁铁岭·期中）如图，在中，，，是边上的一点，以为直角边作等腰，其中，连接． (1)求证：； (2)若时，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，，进而证明，即可根据证明； （2）由中，，，则，，由全等三角形性质可得，，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：在中，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 7．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）利用等边对等角，结合三角形的内角和定理求出的度数，进而得到的度数，利用全等三角形的对应角相等，得到的度数，利用三角形的外角的性质求出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵将线段绕A点旋转到的位置， ∴． 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角，熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键． 8．（2024·辽宁·模拟）如图，C，A，D在同一直线上，已知． (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质， 对于（1），先根据平行线的性质得，再根据“角角边”证明即可； 对于（2），根据全等三角形的对应边相等得，再根据可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． ∴线段的长度为4． 考点三：角平分线的性质与判定 题型01 角平分线的实际应用 1.（2024·辽宁·模拟）如图，三条公路两两交叉，现计划修建一个油库，若要求油库到三条公路的距离都相等，则满足条件的油库的位置有（    ）    A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】根据角平分的性质，即可得出油库的位置在角平分线的交点处，依此画出图形，由此即可得出结论． 【详解】解：∵三条公路两两相交，要求油库到这三条公路的距离都相等，    ∴油库在角平分线的交点处，画出油库位置如图所示． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键． 2．（2024·辽宁·模拟）如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 3．（2024·辽宁·模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，BC=12，DB=13，点D到AB的距离是（    ） A．5 B．6 C．4 D．3 【答案】A 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD． 【详解】如图，过点D作DE⊥AB于E． ∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝，即点D到直线AB的距离是5． 故选A． 【点睛】本题考查了，勾股定理，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 4．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，，平分交于点D．若，且，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】作于点E，如图所示，根据角平分线的性质，可以得到，然后根据，且，可以得到的长，从而可以得到的长，再根据的长，即可计算出的面积． 【详解】解：作于点E，如图所示， ∵平分，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是求出的长，利用数形结合的思想解答． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 ． 【答案】4 【分析】作于，先利用角平分线的性质得到，再根据即可得． 【详解】解：如图，作于， 平分，， ， ， ， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键． 题型02 角平分线的综合 1．（2024·辽宁·模拟）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，DB＝DC． （1）求证：BE＝CF； （2）如果BD//AC，∠DAF＝15°，求证：AB＝2DF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【分析】（1）证明，；进而证明 ，即可解决问题； （2）根据平行线的性质和含的直角三角形的性质解答即可． 【详解】证明：（1）平分，， ， ，； 在和中， ， ， ； （2）平分，， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 平分，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及其应用等几何知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，如图，于点于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理是解题的关键． （1）连接，先证，然后根据全等三角形的性质可进行求证； （2）由（1）可得，进而根据角平分线的性质定理可进行求证． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）可知：， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足分别为，利用全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案； 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵ 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故②正确； 若， 则， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ 故③正确． 故答案为：①②③． （2）．理由如下： ∵平分， ． 过点D作于点E，于点F． ． ， ． ． ∵平分，， ． ． ． 在中，， ． 同理可得， ． ． ． （3）过点D作于点E，于点F． ， ． ． ，平分， ． ． 在中，，， ，． ． 4．（2023·辽宁大连·模拟预测）判断下面的证明过程是否正确，并说明理由． 已知：如图，点是射线上的一点，点、分别在、上，且． 求证：平分． 证明：∵点是射线上一点，且（已知），∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． 根据角平分线的判定方法补充条件解答即可． 【详解】解：不正确．需添加条件，，， 证明：∵点是射线上一点，且，，，（已知）， ∴平分（在一个角的内部且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上）． 5．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，，点在边上，． (1)判断的形状并证明； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)是等腰三角形，证明见解析 (2) (3)8 【分析】本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质． （1）通过角平分线定义、外角定义，得出，可得是等腰三角形； （2）在上取，连接，先证，则，．通过角度关系得出，可求的度数； （3）在上取，连接，在上取，连接．由，可证，，由角得，可得出的值． 【详解】（1）解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ，， ． ． 是等腰三角形． （2）解：在上取，连接，设 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ． ， ． ， ． ． ， ． ， ，． 即． ． 由（1）知，． （3）解：在上取，连接，在上取，连接． 平分， ． 在和中 ． ，． ， ． ， ． 在和中 ． ， ， ． ． ， ． ，， ． ． 由（1）知． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义、外角定义，等腰三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质，正确转换角度关系是解题的关键． 6．（2024·辽宁·模拟）图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边上，沿画一条射线，交于点P．是的平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图3，在（1）的条件下，过点P作⊥于点Q，若，的面积是60，求的长． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查三角形全等的判定方法及角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得到高的长度是解题关键． （1）利用三条对应边相等证明来得到即可． （2）利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到的高，再运用割补法及面积计算公式解题即可． 【详解】（1）解：是的平分线 理由如下： 在和中， ， ∴ ∴， ∴平分． （2）解： ∵平分，， ∴的高等于， ∵． ∴， ∵ ∴． 7．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期中）【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系． （1）如图1，在中，，点为中点，于点，于点，求证：；             【变式再探】 （2）如图2，在中，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点，求证：点为的中点； 【类比深探】 （3）如图3，在中，，点为中点，，点为直线上一动点，点为射线上一动点（点不与点，重合），，连接．当点在点上方，猜想并证明，的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据三线合一得平分，再利用角平分线的性质即可证明结论； （2）由等腰三角形的性质得，又由等边三角形的性质得，进而得到，，于是证明垂直平分即可证明结论； （3）在上截取，连接，可证明；则由三线合一定理得到，垂直平分，证明是等边三角形，得到，证明，得到，据此可得结论． 【详解】解：（1）∵，点为中点， ∴平分， ∵于点，于点， ∴； （2）∵， ∴． ∵和分别为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴点G在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴点为中点． （3），证明如下： 如图所示，在上截取，连接， ∵ ， ∴， ∴； ∵点为中点， ∴，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）如图，在中，D是边上的一点，交于点E，，，若，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．利用“”证明，得到，即可求出的长． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2024·辽宁·模拟）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴， ， 故选：B． 3．（2025·辽宁葫芦岛·一模）矩形中，，，延长BA到点，使，连接，交于点，连接，则的面积为（   ） A．24 B．12 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形的面积．由矩形的性质得到，，， ，从而得到，，，证得，因此，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在中，，，以点B为圆心、任意长为半径画弧，交，于点D，E；分别以点D，E为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线；连接，．若平分的外角，且，，则的面积为（   ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查作角平分线，角平分线性质定理，勾股定理等知识，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作，证明出，可得平分，由三角形内角和定理得，即可得，，得出，由勾股定理得，可得，根据三角形面积公式可得的面积． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点，作交的延长线于点，作， ∵， ∴， 由作图得，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 5．（2024·辽宁·模拟）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，的面积为5，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到两边距离相等成为解题的关键． 如图：过D作垂足为F，由三角形面积公式可得，然后再根据角平分线的性质即可解答． 【详解】解：如图：过D作垂足为F， ∵的面积为5， ∴,即，解得：, ∵平分交于点D，，， ∴． 故选B． 6．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：D． 7．（2024·辽宁·模拟）如图，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线；已知，且于点．若，则线段长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的画法和性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，延长交的延长线于点，由作图可知，为的角平分线，据此可证，得到，即得，再证明，得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长交的延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（2024·辽宁·模拟）在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．设与交于点，连接，首先利用勾股定理解得的值，再根据旋转的性质可得为等边三角形，易得，，进而可知为的垂直平分线，然后求得，的值，即可获得答案． 【详解】解：设与交于点，连接，如图， ∵，， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴，， ∴平分，平分， ∴，， ∴，由勾股定理得， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级上·辽宁丹东·期中）已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）， 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：连接，如图，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 1．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． (1)如图1，当时，的度数为_________． (2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． (3)在旋转过程中，当时，若，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质，正方形的性质及等腰三角形的性质求得，再根据正方形的性质结合，利用三角形内角和得，从而求解；　 （2）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得到，再证明，得到，进而得到，证明，推出，利用勾股定理结合线段的和差关系即可得出结论； （3）分和两种情况，根据全等面积转化，以及同高三角形的面积比等于底边比，结合线段之间的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，，， ∴， 同理（1）得， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，分两种情况： ①当，如图， 由（2）可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，延长至点，使，连接， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $