突破讲练三 圆锥的体积（知识梳理+六大题型讲练+优选题拔尖练 共38题）-2025-2026学年北师大版数学六年级下册专项培优讲练

突破讲练三 圆锥的体积 （第一单元 圆柱和圆锥） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：圆锥的认识和特征 1 知识点二：圆锥的切面积问题 2 知识点三：圆柱与圆锥的关系问题 2 重点难点 题型讲练 2 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 2 题型二：圆锥的体积（容积） 2 题型三：体积的等积变形(圆柱、圆锥) 3 题型四：立体图形的切拼（圆锥） 4 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 4 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、园锥） 5 培优检测 能力提升 6 知识点一：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点二：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点三：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 【变式训练1】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积都相等，圆柱的高是15分米，那圆锥的高是( )分米。 【变式训练2】（24-25六年级下·浙江金华·期中）一个圆柱，底面直径为6分米，高为8分米，它的体积是( )立方分米；将它削成一个最大的圆锥，要削去( )立方分米。 题型二：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一部分水，水深10厘米，将一个底面直径4厘米、高6厘米的圆锥体没入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？（容器厚度忽略不计） 【变式训练1】（24-25六年级下·河南商丘·期中）小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）一个高是20厘米的圆柱形水桶，底面半径与高的比是2∶5，水深12厘米。现将一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水桶中，这时水面升高了多少厘米？ 题型三：体积的等积变形(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西西安·期中）“村村通”工程硬化路面，买来的沙子堆成一个圆锥形，笑笑量得它的底面周长是31.4米，高3米。用这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 【变式训练2】一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 题型四：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）棱长是6dm的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥体积是( )。 【变式训练1】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如图，将一个高是5dm的圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来增加了60dm2，则这个圆锥的体积是( )dm3，比和它等底等高的圆柱体积少( )dm3。 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（2024·陕西咸阳·小升初真题）一个粮仓（如图），如果每立方米粮食的质量为500千克，这个粮仓最多能装粮食多少吨？ 【变式训练1】（23-24六年级下·河南商丘·期末）如图，当梯形以AB为轴旋转一周后，所形成立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 【变式训练2】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、园锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器，装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了2厘米。这个圆锥体的铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【变式训练1】（2024·陕西咸阳·小升初真题）把一个铁块完全浸没在一个底面半径是5分米的圆柱形水槽中，水面上升了3厘米但没溢出，这个铁块的体积是（　　）立方分米。 A．2355 B．23.5 C．23.55 D．2.355 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）一个底面周长是25.12厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高为10厘米、底面半径为3厘米的圆锥浸没在水中（水没有溢出），当取出圆锥后，容器中的水面下降了多少厘米？ 1．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱与一个圆锥等底等体积，已知圆柱的高是12dm，圆锥的高是（    ）dm。 A．4 B．8 C．12 D．36 2．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的9倍 D．扩大到原来的27倍 3．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积相差80立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．160 B．120 C．100 D．60 4．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）一个圆锥和一个圆柱的体积、底面积相等。已知这个圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．12 D．18 5．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）在一个圆柱形水槽中，放入一个底面直径是10cm，高是24cm的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了2cm。这个圆柱形水槽的底面积是（    ）cm2。 A．157 B．314 C．628 D．942 6．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）一个圆锥与一个圆柱等底等高，已知圆锥体积比圆柱体积少12cm3，那么圆锥体积是( )cm3，圆柱体积是( )cm3。 7．（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥形碎石堆，底面半径是3m，高是1.5m，每立方米碎石约重2t，这堆碎石堆约重( )t。 8．（2024·陕西咸阳·小升初真题）把一个体积是62.1m3的圆柱形木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 m3。 9．（2023·广东深圳·小升初真题）一个圆锥体的底面直径是2dm，高是3dm，它的体积是( )dm3。 10．（24-25六年级下·河南商丘·期中）下图的容器刚好能盛20升水，若只将圆锥部分装满，则需( )升水；若水深2分米，则容器里有( )升水。 11．（24-25六年级下·陕西西安·期中）等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积之差是24立方分米，则这个圆锥的体积是( )立方分米，这个圆柱的体积是( )立方分米。 12．（24-25六年级下·四川成都·期中）一个圆锥的底面直径是6分米，高是4分米，它的体积是( )立方分米。与它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米。 13．一个圆锥的体积是16立方分米，如果高不变，底面半径缩小到原来的，这时圆锥的体积是( )立方分米。 14．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积比圆锥大30立方分米，则圆柱的体积是30立方分米。( )（判断对错） 15．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积扩大到原来的27倍。( )（判断对错） 16．（20-21六年级下·辽宁·课后作业）圆锥的表面积就是该圆锥的侧面积。( )（判断对错） 17．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个圆锥的体积是30立方厘米，高是3厘米，那么它的底面积是30平方厘米。( )（判断对错） 18．（24-25六年级下·广东湛江·期中）如果一个圆锥和圆柱体积比是1∶3，那么它们一定要等底等高。( )（判断对错） 19．（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算如图的体积。 20．（24-25六年级下·广东惠州·期中）我国在新型材料研发领域取得进展，制造出一种特殊合金材料。工程师将这种合金材料先加工成一个底面积是125.6平方分米，高是6分米的圆柱体。在后续工艺处理时，圆柱体合金被重新铸造成一个底面半径为3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 突破讲练三 圆锥的体积 （第一单元 圆柱和圆锥） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一：圆锥的认识和特征 1 知识点二：圆锥的切面积问题 2 知识点三：圆柱与圆锥的关系问题 2 重点难点 题型讲练 2 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 2 题型二：圆锥的体积（容积） 3 题型三：体积的等积变形(圆柱、圆锥) 5 题型四：立体图形的切拼（圆锥） 7 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 9 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、园锥） 11 培优检测 能力提升 13 知识点一：圆锥的认识和特征 1. 圆锥的形成。 圆锥是以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周而得到的。当然，圆锥也可以由扇形卷曲形成，即将扇形的两边重合。 2. 圆锥的组成和特征。 圆锥由平面和曲面两部分组成，平面部分是一个圆，叫作圆锥的底面，曲面部分叫作圆锥的侧面，侧面展开图是一个扇形，从顶点到底面圆心的距离叫作圆锥的高，圆锥的高用字母h表示，值得注意的是，圆锥只有一条高。 知识点二：圆锥的切面积问题 将圆锥沿着高并垂直于底面的方向切成完全相同的两块，每一块的切面都是一个等腰三角形，而且这个三角形的底是底面圆的直径，高是圆锥的高，相比较圆锥的表面积，增加了两个这样的切面。 知识点三：圆柱与圆锥的关系问题 1. 底面积和高均相等的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，反之，圆锥的体积是圆柱体积的。 2. 体积和高相等的圆锥与圆柱，圆锥的底面积是圆柱的三倍。 3. 体积和底面积相等的圆锥与圆柱，圆锥的高是圆柱的三倍。 题型一：圆柱与圆锥体积的关系 【典例精讲】（2025·四川成都·小升初真题）一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是( )cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是( )cm。 【答案】 18 2 【思路引导】根据等底等高的圆锥与圆柱体积比是1∶3，已知一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，由此推出这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3；也就是圆柱的高应该是圆锥高的3倍。由此解答。 【完整解答】由分析可知，这个圆锥与这个圆柱的高的比是1∶3。 当圆锥的高是6厘米时，圆柱的高为： 3×6＝18（cm） 当圆柱的高是6厘米时，圆锥的高为： 6÷3＝2（cm） 一个圆锥和一个圆柱的底面积相等，体积的比是1∶9，如果圆锥的高是6cm，那么圆柱的高是18cm；如果圆柱的高是6cm，那么圆锥的高是2cm。 【变式训练1】（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积都相等，圆柱的高是15分米，那圆锥的高是( )分米。 【答案】45 【思路引导】当圆柱与圆锥的底面积和体积相等时，圆锥的高是圆柱高的3倍。根据圆柱的高15分米，用15乘3即可求出圆锥的高。 【完整解答】15×3＝45（分米） 即圆锥的高是45分米。 【变式训练2】（24-25六年级下·浙江金华·期中）一个圆柱，底面直径为6分米，高为8分米，它的体积是( )立方分米；将它削成一个最大的圆锥，要削去( )立方分米。 【答案】 226.08 150.72 【思路引导】根据圆柱的体积＝底面积×高，代入数据，求出圆柱的体积；等底等高的圆锥的体积是圆柱的，再用圆柱的体积×，求出圆锥的体积，最后用圆柱的体积－圆锥的体积，即可求出削去部分的体积。 【完整解答】3.14×（6÷2）2×8 ＝3.14×32×8 ＝3.14×9×8 ＝28.26×8 ＝226.08（立方分米） 226.08－226.08× ＝226.08－75.36 ＝150.72（立方分米） 一个圆柱，底面直径为6分米，高为8分米，它的体积是226.08立方分米；将它削成一个最大的圆锥，要削去150.72立方分米。 题型二：圆锥的体积（容积） 【典例精讲】（24-25六年级下·陕西渭南·期中）一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一部分水，水深10厘米，将一个底面直径4厘米、高6厘米的圆锥体没入水中，水没有溢出，求水面上升了多少厘米？（容器厚度忽略不计） 【答案】 0.08厘米 【思路引导】水面上升的体积等于圆锥的体积。先根据圆锥的体积公式，计算圆锥体积，再根据圆柱的体积公式的逆运算，用圆锥体积除以圆柱的底面积得上升高度。 【完整解答】 （厘米） 答：水面上升了0.08厘米。 【变式训练1】（24-25六年级下·河南商丘·期中）小琪家有一个底面半径10厘米，高30厘米的圆柱形水桶，里面装了25厘米深的水。小琪将一个底面半径5厘米的圆锥形铁块完全浸没在水中，这时水面上升了2厘米。 （1）圆锥形铁块的体积是多少立方厘米？ （2）圆锥形铁块的高是多少厘米？ 【答案】（1）628立方厘米 （2）24厘米 【思路引导】（1）因为圆锥形铁块完全浸没在水中，水面上升的体积就是圆锥形铁块的体积。上升的水形成的是一个圆柱，这个圆柱的底面半径为10厘米，水面上升了2厘米（即为高）。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式即可解答。 （2）已知圆锥体积为628立方厘米，圆锥底面半径为5厘米。根据公式：h＝V÷÷（πr2），π取3.14，r为半径，h为高，把数据代入公式计算即可得出圆锥铁块的高。 【完整解答】（1）3.14×102×2 ＝3.14×100×2 ＝628（立方厘米） 答：圆锥形铁块的体积是628立方厘米。 （2）628÷÷（3.14×52） ＝628×3÷（3.14×25） ＝628×3÷78.5 ＝1884÷78.5 ＝24（厘米） 答：圆锥形铁块的高是24厘米。 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西渭南·期末）一个高是20厘米的圆柱形水桶，底面半径与高的比是2∶5，水深12厘米。现将一个底面半径是6厘米，高是10厘米的圆锥形铁块完全浸没在这个圆柱形水桶中，这时水面升高了多少厘米？ 【答案】1.875厘米 【思路引导】将比的前后项看成份数，高÷对应份数＝一份数，一份数×底面半径的对应份数＝底面半径，据此求出水桶的底面半径，水面上升的体积就是圆锥体积，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出铁块体积，铁块体积÷水桶底面积＝水面上升的高度，据此列式解答。 【完整解答】20÷5×2＝8（厘米） 3.14×62×10÷3÷（3.14×82） ＝3.14×36×10÷3÷（3.14×64） ＝376.8÷200.96 ＝1.875（厘米） 答：这时水面升高了1.875厘米。 题型三：体积的等积变形(圆柱、圆锥) 【典例精讲】（24-25六年级下·四川成都·期末）古代匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形，然后完全没入一底面积为3000平方厘米的长方体容器里“淬火”，水面上升了1.8厘米。这个圆锥的高是多少厘米？（损耗忽略不计）（π取3） 【答案】54厘米 【思路引导】由题意知：“将底面半径为10厘米圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形”，则这个圆锥铁块的底面半径也是10厘米。又知：将铁块完全放入长方体容器中，则上升部分水的体积＝圆锥铁块的体积。长方体体积＝底面积×高，圆锥的体积＝×圆锥的底面积×圆锥的高，则圆锥的高＝3×圆锥的体积÷圆锥的底面积，据此计算即可。 【完整解答】上升部分水的体积＝圆锥的体积＝3000×1.8＝5400（立方厘米） 圆锥的高： （厘米） 答：这个圆锥的高是54厘米。 【变式训练1】（24-25六年级下·陕西西安·期中）“村村通”工程硬化路面，买来的沙子堆成一个圆锥形，笑笑量得它的底面周长是31.4米，高3米。用这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，能铺多少米？ 【答案】157米 【思路引导】已知圆锥形沙子的底面周长是31.4米，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出沙子的体积； 把这堆沙子在10米宽的公路上铺5厘米厚的路面，沙子的体积不变，根据长方体的长＝体积÷宽÷高，求出能铺的长度。 【完整解答】5厘米＝0.05米 圆锥的底面半径： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 圆锥形沙子的体积： ×3.14×52×3 ＝×3.14×25×3 ＝78.5（立方米） 能铺的长度： 78.5÷10÷0.05 ＝7.85÷0.05 ＝157（米） 答：能铺157米。 【变式训练2】一个圆锥沙堆，底面周长是62.8米，高是6米，用这堆沙铺宽为10米，厚为0.1米的长方体沙地，长方体沙地的长是多少米？（π取3.14） 【答案】628米 【思路引导】先求出这堆沙的体积，再根据沙子的体积不变，代入长方体的体积公式即可求出所铺沙子的长度。 【完整解答】沙堆的底面半径： 62.8÷（3.14×2） ＝62.8÷6.28 ＝10（米） 沙堆的体积： ×3.14×102×6 ＝3.14×100×2 ＝314×2 ＝628（立方米） 所铺沙子的长度： 628÷（10×0.1） ＝628÷1 ＝628（米） 答：长方体沙地的长是628米。 【考点剖析】本题考查了圆锥的体积公式和长方体的体积公式，关键是沙子的体积不变。 题型四：立体图形的切拼（圆锥） 【典例精讲】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）棱长是6dm的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥体积是( )。 【答案】56.52dm3/56.52立方分米 【思路引导】把一个正方体削成一个最大的圆锥，圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式，代入数据计算即可。 【完整解答】 （dm3） 棱长是6dm的正方体削成一个最大的圆锥，圆锥体积是56.52dm3。 【变式训练1】（24-25六年级下·辽宁大连·期中）把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 12.56 25.12 【思路引导】根据题意可知，圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，增加两个底等于圆锥底面直径，高等于圆锥的高的三角形面积和；用增加的面积÷2，求出一个截面的面积；三角形面积＝底×高÷2，底＝面积÷高×2，代入数据，求出底，也就是圆锥的底面直径；根据圆的面积＝π×半径2，据此求出圆锥的底面面积；根据圆锥的体积＝底面积×高×，据此求出圆锥的体积。 【完整解答】24÷2÷6×2 ＝12÷6×2 ＝2×2 ＝4（cm） 3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12.56×6× ＝75.36× ＝25.12（cm3） 把一个圆锥沿着高垂直于底面切成两部分，表面积比原来增加了24cm2。如果原来圆锥的高是6cm，它的底面积是12.56cm2，体积是25.12cm3。 【变式训练2】（24-25六年级下·陕西西安·期末）如图，将一个高是5dm的圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来增加了60dm2，则这个圆锥的体积是( )dm3，比和它等底等高的圆柱体积少( )dm3。 【答案】 188.4 376.8 【思路引导】根据题意，把一个圆锥沿底面直径和高切分成完全相同的两部分，表面积比原来圆锥的表面积增加了2个切面的面积，切面是一个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形； 用增加的表面积除以2，求出一个切面的面积即三角形的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2可知，三角形的底＝面积×2÷高，据此求出圆锥的底面直径；然后根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的体积。 根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，用圆锥的体积乘3，求出与它等底等高的圆柱的体积，再用减法求出圆锥比圆柱少的体积。 【完整解答】圆锥的底面直径： 60÷2×2÷5＝12（dm） 圆锥的体积： ×3.14×（12÷2）2×5 ＝×3.14×62×5 ＝×3.14×36×5 ＝188.4（cm3） 圆柱的体积： 188.4×3＝565.2（cm3） 圆锥比圆柱的体积少： 565.2－188.4＝376.8（cm3） 则这个圆锥的体积是（188.4）dm3，比和它等底等高的圆柱体积少（376.8）dm3。 题型五：组合体的体积（圆柱、圆锥) 【典例精讲】（2024·陕西咸阳·小升初真题）一个粮仓（如图），如果每立方米粮食的质量为500千克，这个粮仓最多能装粮食多少吨？ 【答案】2.669吨 【思路引导】根据半径＝直径÷2，圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个粮仓能装粮食的体积，然后再乘每立方米粮食的质量，最后把单位转化为吨即可。 【完整解答】[×3.14×（2÷2）2×0.6＋3.14×（2÷2）2×1.5]×500 ＝[×3.14×1×0.6＋3.14×1×1.5]×500 ＝[0.628＋4.71]×500 ＝5.338×500 ＝2669（千克） 2669千克＝2.669吨 答：这个粮仓最多能装粮食2.669吨。 【变式训练1】（23-24六年级下·河南商丘·期末）如图，当梯形以AB为轴旋转一周后，所形成立体图形的体积是多少？（单位：厘米） 【答案】351.68立方厘米 【思路引导】以AB为轴并将梯形绕这个轴旋转一周而得到的旋转体为：上部是一个底面半径为4厘米，高为（9－6）厘米的圆锥体，下部是一个底面半径为4厘米，高为6厘米的圆柱体，由此利用圆柱的体积公式：V＝πr2h与圆锥的体积公式：V＝πr2h代入数据即可解答。 【完整解答】3.14×42×（9－6）× ＝3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24（立方厘米） 3.14×42×6 ＝3.14×16×6 ＝301.44（立方厘米） 50.24＋301.44＝351.68（立方厘米） 答：所形成立体图形的体积是351.68立方厘米。 【变式训练2】（23-24六年级下·陕西榆林·期末）如图，一个长方体的上面有一个圆锥，计算这个组合图形的体积。 【答案】102.28m3 【思路引导】长方体体积＝长×宽×高，圆锥体积＝×底面积×高，由此先分别求出长方体和圆锥的体积，再相加求出组合体的体积。 【完整解答】8×6×2＋×3.14×（2÷2）2×6 ＝96＋×3.14×12×6 ＝96＋×3.14×1×6 ＝96＋6.28 ＝102.28（m3） 题型六：不规则物体的体积算法（圆柱、园锥） 【典例精讲】（23-24六年级下·陕西咸阳·期中）一个底面半径是6厘米的圆柱形容器，装一部分水，水中浸没着一个高9厘米的圆锥体铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了2厘米。这个圆锥体的铅锤的底面积是多少平方厘米？ 【答案】75.36平方厘米 【思路引导】由题意可知，下降的水的体积就是圆锥的体积，根据圆柱的体积公式，代入数据计算下降的水的体积，即圆锥的体积，再根据的逆运算，用圆锥的体积除以再除以高，即可得解。 【完整解答】 （平方厘米） 答：这个圆锥体的铅锤的底面积是75.36平方厘米。 【变式训练1】（2024·陕西咸阳·小升初真题）把一个铁块完全浸没在一个底面半径是5分米的圆柱形水槽中，水面上升了3厘米但没溢出，这个铁块的体积是（　　）立方分米。 A．2355 B．23.5 C．23.55 D．2.355 【答案】C 【思路引导】水面上升的体积就是铁块的体积，根据圆柱体积公式，圆锥形水槽底面积×水面上升的高度＝铁块的体积，注意单位的统一，据此列式计算。 【完整解答】3厘米＝0.3分米 3.14××0.3 ＝3.14×25×0.3 ＝78.5×0.3 ＝23.55（立方分米） 所以这个铁块的体积是23.55立方分米。 故答案为：C 【变式训练2】（2025六年级下·全国·专题练习）一个底面周长是25.12厘米的圆柱形容器中装有一些水，将一个高为10厘米、底面半径为3厘米的圆锥浸没在水中（水没有溢出），当取出圆锥后，容器中的水面下降了多少厘米？ 【答案】1.875厘米 【思路引导】先根据圆柱的底面周长求出底面半径，再利用“”求出圆柱形容器的底面积，然后根据“”求出圆锥的体积，下降的水面高度＝圆锥的体积÷圆柱形容器的底面积，据此解答。 【完整解答】25.12÷3.14÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 3.14×32×10× ＝（3.14×10）×（32×） ＝31.4×3 ＝94.2（立方厘米） 94.2÷50.24＝1.875（厘米） 答：容器中的水面下降了1.875厘米。 1．（23-24六年级下·河南驻马店·期末）一个圆柱与一个圆锥等底等体积，已知圆柱的高是12dm，圆锥的高是（    ）dm。 A．4 B．8 C．12 D．36 【答案】D 【思路引导】根据V柱＝Sh，V锥＝Sh可知，圆柱的高h柱＝V÷S，圆锥的高h锥＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等底等体积时，圆锥的高是圆柱高的3倍，据此解答。 【完整解答】12×3＝36（dm） 圆锥的高是36dm。 故答案为：D 2．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积（    ）。 A．扩大到原来的3倍 B．扩大到原来的6倍 C．扩大到原来的9倍 D．扩大到原来的27倍 【答案】C 【思路引导】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，再根据圆的面积公式：S＝πr2，底面半径扩大3倍，底面积就扩大9倍，高不变，所以体积就扩大到原来的9倍，据此解答。 【完整解答】因为圆锥的体积＝×底面积×高，如果一个圆锥体高不变，底面半径扩大到原来的3倍，这个圆锥的体积扩大到原来的32＝9倍； 故答案为：C 【考点剖析】此题考查的目的是理解掌握圆锥的体积公式、圆的面积公式，学会灵活运用。 3．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积相差80立方厘米，这个圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．160 B．120 C．100 D．60 【答案】B 【思路引导】等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，所以这里的体积之差就是圆锥的2倍，由此可得圆锥的体积就是80÷2＝40（立方厘米），所以圆柱的体积是40×3＝120（立方厘米）；据此解答。 【完整解答】80÷2＝40（立方厘米） 40×3＝120（立方厘米） 圆柱体的体积是120立方厘米。 故答案为：B 【考点剖析】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间关系的灵活运用。 4．（24-25六年级下·陕西榆林·期中）一个圆锥和一个圆柱的体积、底面积相等。已知这个圆柱的高是6厘米，那么圆锥的高是（    ）厘米。 A．2 B．3 C．12 D．18 【答案】D 【思路引导】圆柱的体积公式为：V＝Sh（V是圆柱体积，S是圆柱底面积，h是圆柱的高）。圆锥的体积公式为：V＝Sh（V是圆锥体积，S是圆锥底面积，h是圆锥的高）。已知圆锥和圆柱的体积、底面积相等，所以圆柱的高＝×圆锥的高，即圆锥的高＝圆柱的高÷，圆柱的高是6厘米，所以用6除以计算即可解答。 【完整解答】圆柱的体积：V＝Sh 圆锥的体积：V＝Sh 已知圆锥和圆柱的体积、底面积相等。 圆锥的高＝圆柱的高÷ 6÷ ＝6×3 ＝18（厘米） 所以圆锥的高是18厘米。 故答案为：D 5．（24-25六年级下·陕西咸阳·期中）在一个圆柱形水槽中，放入一个底面直径是10cm，高是24cm的圆锥形物体（完全浸没），水面上升了2cm。这个圆柱形水槽的底面积是（    ）cm2。 A．157 B．314 C．628 D．942 【答案】B 【思路引导】已知圆锥形物体的底面直径是10cm，高是24cm，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的体积； 把这个圆锥形物体完全浸没在有水的圆柱形水槽中，水面上升了2cm，则水上升部分的体积等于圆锥形物体的体积；根据圆柱的体积公式V＝Sh可知，圆柱的底面积S＝V÷h，求出这个圆柱形水槽的底面积。 【完整解答】圆锥的体积： ×3.14×（10÷2）2×24 ＝×3.14×52×24 ＝×3.14×25×24 ＝628（cm3） 圆柱形水槽的底面积： 628÷2＝314（cm2） 这个圆柱形水槽的底面积是314cm2。 故答案为：B 6．（24-25六年级下·辽宁大连·期中）一个圆锥与一个圆柱等底等高，已知圆锥体积比圆柱体积少12cm3，那么圆锥体积是( )cm3，圆柱体积是( )cm3。 【答案】 6 18 【思路引导】等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，即圆柱体积比圆锥体积大2倍，所以等底等高时，V柱＝3V锥，那么V柱－V锥＝3V锥－V锥＝2V锥。已知圆锥体积比圆柱体积少12cm3，也就是V柱－V锥＝12cm3，又因为V柱－V锥＝2V锥，所以2V锥＝12，则圆锥体积为12÷2＝6cm3。因为V柱＝3V锥，所以圆柱体积为3×6＝18cm3。 【完整解答】等底等高时，圆柱体积是圆锥体积的3倍，即圆柱体积比圆锥体积大2倍。 V柱－V锥＝3V锥－V锥＝2V锥 V柱－V锥＝12（cm3） V柱－V锥＝2V锥 2V锥＝12（cm3） 12÷2＝6（cm3） 3×6＝18（cm3） 圆锥体积是6cm3，圆柱体积是18cm3。 7．（24-25六年级下·广东惠州·期中）一个圆锥形碎石堆，底面半径是3m，高是1.5m，每立方米碎石约重2t，这堆碎石堆约重( )t。 【答案】28.26 【思路引导】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形碎石堆的体积，再用碎石堆的体积×2，即可求出这堆碎石堆的重量，据此解答。 【完整解答】3.14×32×1.5××2 ＝3.14×9×1.5××2 ＝28.26×1.5××2 ＝42.39××2 ＝14.13×2 ＝28.26（t） 一个圆锥形碎石堆，底面半径是3m，高是1.5m，每立方米碎石约重2t，这堆碎石堆约重28.26t。 8．（2024·陕西咸阳·小升初真题）把一个体积是62.1m3的圆柱形木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 m3。 【答案】20.7 【思路引导】由题意可知，把一个圆柱形木块削成一个最大的圆锥，即圆锥和圆柱是等底等高的，等底等高圆锥的体积是圆柱体积的，用圆柱的体积×，即可解答。 【完整解答】62.1×＝20.7（m3） 把一个体积是62.1m3的圆柱形木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是20.7m3。 9．（2023·广东深圳·小升初真题）一个圆锥体的底面直径是2dm，高是3dm，它的体积是( )dm3。 【答案】3.14 【思路引导】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，代入数据计算，即可求解。 【完整解答】×3.14×（2÷2）2×3 ＝×3.14×12×3 ＝×3.14×1×3 ＝3.14（dm3） 它的体积是3.14dm3。 10．（24-25六年级下·河南商丘·期中）下图的容器刚好能盛20升水，若只将圆锥部分装满，则需( )升水；若水深2分米，则容器里有( )升水。 【答案】 5 10 【思路引导】因为等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，而整个容器由等底等高的圆锥和圆柱组成，且容器刚好能盛20升水，这20升水的体积就是圆锥体积的（1＋3）倍，用20÷（1＋3），求出若只将圆锥部分装满，则需多少升水。已知圆锥的高是1.5分米，当水深2分米时，水的体积由圆锥部分的全部体积和圆柱部分高为（2－1.5）分米的体积组成。圆柱的底面积和圆锥的底面积相同，先根据圆锥的底面积＝体积÷÷高，求出圆锥的底面积，即圆柱的底面积，再根据圆柱的体积＝底面积×高，即可求出圆柱部分的体积，最后加上圆锥部分的全部体积，即可求出若水深2分米，则容器里有多少升水。 【完整解答】20÷（1＋3） ＝20÷4 ＝5（升） 5升＝5立方分米 5÷÷1.5 ＝5×3÷1.5 ＝10（平方分米） 10×（2－1.5）＋5 ＝10×0.5＋5 ＝5＋5 ＝10（立方分米） 10立方分米＝10升 即下图的容器刚好能盛20升水，若只将圆锥部分装满，则需5升水；若水深2分米，则容器里有10升水。 11．（24-25六年级下·陕西西安·期中）等底等高的一个圆柱和一个圆锥的体积之差是24立方分米，则这个圆锥的体积是( )立方分米，这个圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 12 36 【思路引导】当圆柱和圆锥等底等高时，圆柱的体积是圆锥体积的3倍。可以把圆锥的体积看作1份，那么圆柱的体积就是3份，两者的体积之差为3－1＝2份。已知两者体积之差是24立方分米，且这24立方分米对应2份。先求1份的体积（即圆锥的体积）：24÷2＝12（立方分米）。再用12乘3即可求出圆柱的体积。 【完整解答】3－1＝2（份） 24÷2＝12（立方分米） 12×3＝36（立方分米） 这个圆锥的体积是12立方分米，这个圆柱的体积是36立方分米。 12．（24-25六年级下·四川成都·期中）一个圆锥的底面直径是6分米，高是4分米，它的体积是( )立方分米。与它等底等高的圆柱的体积是( )立方分米。 【答案】 37.68 113.04 【思路引导】根据圆锥的体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥的体积；等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，用圆锥的体积×3，即可求出与它等底等高的圆柱的体积。 【完整解答】3.14×（6÷2）2×4× ＝3.14×32×4× ＝3.14×9×4× ＝28.26×4× ＝113.04× ＝37.68（立方分米） 37.68×3＝113.04（立方分米） 一个圆锥的底面直径是6分米，高是4分米，它的体积是37.68立方分米。与它等底等高的圆柱的体积是113.04立方分米。 13．一个圆锥的体积是16立方分米，如果高不变，底面半径缩小到原来的，这时圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】 【完整解答】本题考查的知识点是圆锥的底面半径的变化引起的体积的变化。圆锥的高不变，底面半径缩小到原来的，底面积就缩小到原来的，体积也缩小到原来的，这时圆锥的体积为16×=（立方分米）。 14．（24-25六年级下·辽宁·假期作业）等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积比圆锥大30立方分米，则圆柱的体积是30立方分米。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，假设圆锥的体积是1份，圆柱的就是3份，圆柱比圆锥多2份，根据题意圆柱比圆锥的体积大30立方分米，即2份是30立方分米，求得一份是15立方分米，也就是圆锥的体积，再乘3求出圆柱的体积。 【完整解答】 （立方分米） （立方分米） 即圆柱的体积是45立方分米，所以原题说法错误。 故答案为：× 15．（22-23六年级下·陕西宝鸡·期中）一个圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，它的体积扩大到原来的27倍。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】圆锥的体积＝πr2h，设原来圆锥的半径为2，高为2，则变化后的圆锥的半径为6，高不变还是2，由此利用公式分别计算出它们的体积即可解答。 【完整解答】设原来圆锥的半径为2，高为2，则变化后的圆锥的半径为6，高为2， 原来圆锥的体积是： π×22×2 ＝π×4×2 ＝π×2 ＝π 变化后的圆锥的体积是： π×62×2 ＝π×36×2 ＝π×12×2 ＝π×24 ＝24π 24π÷π ＝24× ＝9 所以底面半径扩大3倍，高不变，它的体积扩大到原来的9倍，原题说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】此题考查了圆锥的体积公式的灵活应用。 16．（20-21六年级下·辽宁·课后作业）圆锥的表面积就是该圆锥的侧面积。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据圆锥表面积的定义及计算方法解答即可。 【完整解答】表面积是指立体图形外部各面面积的和，圆锥有一个侧面和一个底面，所以圆锥的表面积为圆锥的侧面积加上底面面积。 故答案为：× 【考点剖析】本题考查圆锥表面积的定义，应当理解并牢记。 17．（24-25六年级下·河北邯郸·期中）一个圆锥的体积是30立方厘米，高是3厘米，那么它的底面积是30平方厘米。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】由圆锥的体积公式“”可知“”，把这个圆锥的体积和高代入公式计算，即可求得这个圆锥的底面积，据此解答。 【完整解答】3×30÷3 ＝90÷3 ＝30（平方厘米） 所以，它的底面积是30平方厘米。 故答案为：√ 18．（24-25六年级下·广东湛江·期中）如果一个圆锥和圆柱体积比是1∶3，那么它们一定要等底等高。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】如果一个圆锥和圆柱体积比是1∶3，则这个圆锥的体积是圆柱体积的。等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，但圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高×，那么只要一个圆柱和一个圆锥的底面积与高的积相等，这个圆锥的体积就是圆柱体积的，不一定等底等高。据此解答。 【完整解答】通过分析可得：如果一个圆锥和圆柱体积比是1∶3，它们不一定要等底等高。原题说法错误。 故答案为：× 19．（24-25六年级下·陕西西安·期中）计算如图的体积。 【答案】216.52m3 【思路引导】该立体图形由一个长方体和一个圆锥组成，需要分别计算长方体和圆锥的体积，再将两者相加得到总体积。 长方体体积：长方体长10m，宽8m，高2m，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，把数据代入公式即可得出长方体体积。 圆锥体积：已知圆锥的底面直径是6m，那么半径为6÷2＝3m，高为6m，根据圆锥体积公式：（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入公式计算即可得出圆锥的体积。 然后把计算出的长方体体积与圆锥体积相加即可得到该图形的体积。 【完整解答】10×8×2＝160（m3） 6÷2＝3（m） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（m3） 160＋56.52＝216.52（m3） 该图形的体积是216.52m3。 20．（24-25六年级下·广东惠州·期中）我国在新型材料研发领域取得进展，制造出一种特殊合金材料。工程师将这种合金材料先加工成一个底面积是125.6平方分米，高是6分米的圆柱体。在后续工艺处理时，圆柱体合金被重新铸造成一个底面半径为3分米的圆锥体，这个圆锥体的高是多少分米？ 【答案】80分米 【思路引导】圆柱体积公式：V圆柱＝S底h （S底是底面积，h是高），圆锥体积公式：V圆锥＝πr2h（r是底面半径，h是高）。因为合金材料铸造前后体积不变，所以圆柱体积等于圆锥体积。先算出圆柱体积，再根据圆锥体积公式求出圆锥的高。依据体积不变的原理及圆柱、圆锥体积公式，据此解答。 【完整解答】圆柱体积：125.6×6＝753.6（立方分米） 圆锥的高：753.6×3÷（3.14×32） ＝2260.8÷（3.14×9） ＝2260.8÷28.26 ＝80（分米） 答：这个圆锥体的高是80分米。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $