第09讲 正弦定理（知识清单+5题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年（苏教版必修第二册）数学高一重难点讲义与测试

第09讲 正弦定理 知识清单 知识点01：正弦定理 知识点02：三角形的面积公式 知识点03：利用正弦定理判断三角形解的个数 题型讲解 （举一反三） 题型1：正弦定理的辨析 题型2：三角形解的个数问题及应用 题型3：正弦定理解三角形 题型4： 正弦定理边角互化的应用 题型5：正弦定理与三角形面积公式的综合 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 正弦定理 文字语言 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等 符号语言 == 常见变形 a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C， sin A=，sin B=，sin C=， a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C， =2R，其中R为△ABC外接圆的半径 知识点2三角形的面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=casin B. 知识点3利用正弦定理判断三角形解的个数 1. 三角形解的情况 (1)已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能唯一确定. 2. 三角形解的个数的判断方法 “已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的情况，下面以已知a，b和A解三角形为例进行说明： 方法一：从代数角度分析 (1)若sin B=>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； (2)若sin B==1，则满足条件的三角形的个数为1； (3)若sin B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2，由0<sin B=<1可得 B有两种情况，一种是B为钝角，另一种是B为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论 方法二：从几何角度分析 角的类型 A为锐角 条件 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b b≤a 图形 解的情况 无解 一解 两解 一解 角的类型 A为钝角或直角 条件 a>b a≤b 图形 解的情况 一解 无解 题型1：正弦定理的辨析 【例1-1】在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知三角形的三边长分别为则最大的角为多少（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在中，若，则 . 题型2：三角形解的个数问题及应用 【例2-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【变式2-3】不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 题型3：正弦定理解三角形 【例3-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则的值为（ ）. A． B． C． D．1 【变式3-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为 . 【变式3-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若D为BC的中点，，，求AD的长. 题型4：正弦定理边角互化的应用 【例4-1】（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中，，若，则实数的值为 . 【变式4-3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 题型5：正弦定理与三角形面积公式的综合 【例5-1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏·月考）在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是 . 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高一下·江苏常州·期中）中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，已知，是上的点，平分，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）在中，，，，则（   ） A．45° B．60° C．75° D．105° 6．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 7．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 8．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若是锐角，，则为锐角三角形 11．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，，D为边BC上一动点，则（   ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．当D为BC中点时， D．当AD为角A的角平分线时， 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 13．已知中，角A，B，C满足：，则 ． 14．（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，，，，若为中点，则长为 . 四、解答题 15．在中，在边上，且平分，若， (1)证明：； (2)求的面积； (3)求的长． 16．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在 中，已知 ，是边上一点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的面积. 17．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 18．某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计）    (1)若，求景观欣赏区所在四边形的面积； (2)当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少? 19．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角A，B，C的对边分边为a，b，c，，的积为． (1)求B； (2)若点P在内部，满足，求的值； 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 正弦定理 知识清单 知识点01：正弦定理 知识点02：三角形的面积公式 知识点03：利用正弦定理判断三角形解的个数 题型讲解 （举一反三） 题型1：正弦定理的辨析 题型2：三角形解的个数问题及应用 题型3：正弦定理解三角形 题型4： 正弦定理边角互化的应用 题型5：正弦定理与三角形面积公式的综合 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1 正弦定理 文字语言 三角形的各边与它所对角的正弦的比相等 符号语言 == 常见变形 a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C， sin A=，sin B=，sin C=， a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C， =2R，其中R为△ABC外接圆的半径 知识点2三角形的面积公式 S△ABC=absin C=bcsin A=casin B. 知识点3利用正弦定理判断三角形解的个数 1. 三角形解的情况 (1)已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解. (2)已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能唯一确定. 2. 三角形解的个数的判断方法 “已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时，需要分析三角形解的情况，下面以已知a，b和A解三角形为例进行说明： 方法一：从代数角度分析 (1)若sin B=>1，则满足条件的三角形的个数为0，即无解； (2)若sin B==1，则满足条件的三角形的个数为1； (3)若sin B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2，由0<sin B=<1可得 B有两种情况，一种是B为钝角，另一种是B为锐角，考虑到“大边对大角”“三角形内角和等于180°”等，此时需进行讨论 方法二：从几何角度分析 角的类型 A为锐角 条件 a<bsin A a=bsin A bsin A<a<b b≤a 图形 解的情况 无解 一解 两解 一解 角的类型 A为钝角或直角 条件 a>b a≤b 图形 解的情况 一解 无解 题型1：正弦定理的辨析 【例1-1】在中，内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 再由和比定理得. 故选：C. 【变式1-1】已知三角形的三边长分别为则最大的角为多少（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由边角关系知边长为对应角最大，应用余弦定理求其大小. 【详解】由大边对大角知：边长为对应角最大，， 所以. 故选：C 【变式1-2】在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理即得. 【详解】在中，由正弦定理， ∴，，故ABD错误，C正确. 故选：C. 【变式1-3】在中，若，则 . 【答案】2 【分析】根据正弦定理及其推论计算即可. 【详解】因为，，所以. 故答案为：2. 题型2：三角形解的个数问题及应用 【例2-1】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，，，满足条件的三角形有两个，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解. 【详解】在中，由正弦定理和三角形有两解 ,得，且， 因此，所以的取值范围为. 故选：C 【变式2-1】（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求出关于的表达式，再结合三角形有两解的条件确定的取值范围. 【详解】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是， 故选：B. 【变式2-2】（2025高一下·江苏南京·专题练习）在中，已知，，若该三角形有两个解，则AC的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合正弦定理，根据三角形有两解的条件列不等式求解即可. 【详解】因为三角形有两个解，所以， 即，解得， 故答案为：. 【变式2-3】不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【答案】(1)一解 (2)两解 (3)无解 【分析】使用正弦定理、正弦函数的性质及三角形内角和、大边对大角等知识进行判断即可. 【详解】（1）由正弦定理， ∴， ∵，∴， ∴只有一解，三角形解的个数为一解. （2）由正弦定理， ∴，∴， ∵，，∴， ∴有两解，三角形解的个数为两解. （3）∵，∴，∴， ∴无解，三角形无解. 题型3：正弦定理解三角形 【例3-1】（24-25高一下·江苏南通·月考）已知的角A，B，C对边分别为a，b，c，若，，，则A=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由正弦定理即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，因为，所以. 故选：A 【变式3-1】（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则的值为（ ）. A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由正弦定理可得答案. 【详解】由正弦定理得，则. 故选：C 【变式3-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，由正弦定理可得， 又，，，， 所以，解得. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一下·江苏连云港·期中）在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求证：； (2)若D为BC的中点，，，求AD的长. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得到方程，计算出； （2）作出辅助线，得到三角形全等，，由余弦定理得到方程，求出，进而求出答案. 【详解】（1）由正弦定理得， 所以，即， 又，故，所以； （2）由（1）知，，故， 延长至点，使得，连接， 因为D为BC的中点，所以， 又，所以≌， 所以， 在中，， 由余弦定理得， 即，解得， 所以. 题型4：正弦定理边角互化的应用 【例4-1】（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角之比求出三个角的大小，再利用正弦定理将转化为即可求解. 【详解】因为，且， 所以，， 所以. 故选：D. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由正弦定理得出对边长度和对角正弦值的比值，然后换元作比即可求解. 【详解】在中，由正弦定理可知：， ∴，，∴. 故选：C. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏宿迁·期中）在中，，若，则实数的值为 . 【答案】 【分析】先利用正弦定理化简得，再根据余弦定理得出为钝角，最后利用正弦定理和余弦定理化简即可. 【详解】利用正弦定理则可化简为， 则， 因，则，则， 因，则利用正弦定理和余弦定理有 . 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，三个内角角，，所对的边分别为，，．且． (1)求角的大小； (2)若，，求边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边角转化得出，结合角的范围计算求值； （2）根据正弦定理边角转化再应用余弦定理计算求出边长即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为在中，所以， 所以， 所以； （2）因为，由正弦定理得， 由余弦定理得， 所以. 题型5：正弦定理与三角形面积公式的综合 【例5-1】（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知的内角的对边分别为.若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理得，求出和，利用余弦定理和题目条件得到方程组，计算出和即可求解. 【详解】因为，所以， 所以，因为， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，， 所以，所以， 因为，即， 所以， 将代入上式得，解得（负值舍去）， 所以（负值舍去），所以. 故选：B. 【变式5-1】（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知等式切化弦后由三角函数恒等变换变形后由正弦定理化角为边，得边角关系表示出，由平方关系得，再由余弦定理表示，从而可得边的关系，最终三角形面积可表示一个边长函数式，结合二次函数知识可得最大值． 【详解】 ，，即，， ， 由正弦定理知，， ，即， ， 由余弦定理知，， 化简得， 面积 ， 当时，有最大值为． 故选：D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏·月考）在中，已知角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是 . 【答案】 【分析】先根据正弦定理得出边与边的关系，再结合余弦定理求出边的值，进而得到边的值，最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】已知，由正弦定理可得. 对于，，已知，，，代入可得： ，解得. 因为，所以. 三角形面积公式为，代入可得： . 故答案为：. 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. （2）由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理结合三角形边角的性质可得. 【详解】由正弦定理可得， 代入可得， 又，由大边对大角可得. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏常州·期中）中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】利用正弦定理，结合大边对大角，小边对小角即可求解. 【详解】由正弦定理可得：，代入得：， 解得，因为，所以， 即， 故选：A. 3．（24-25高一下·江苏南京·月考）在中，已知，是上的点，平分，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过面积之比可得到，然后在中运用正弦定理可得到，然后利用角的关系可求出的值. 【详解】因为，所以. 根据正弦定理可得①，②， 因为， 所以用①除以②得，所以. 因为，所以，所以. 所以，所以. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏盐城·期末）在中，角，，的对边分别是，，，且满足，，则外接圆的半径为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【分析】设外接圆的半径为.在中，由余弦定理及题中条件可得，再由余弦定理可得的值，进而可求的值，由正弦定理即可求解外接圆的半径. 【详解】设外接圆的半径为. 在中，由余弦定理及可得，即， 即， 即，即. ∴由余弦定理可得. ∵，∴，∴由正弦定理可得，解得. 故选：A. 5．（24-25高一下·江苏连云港·月考）在中，，，，则（   ） A．45° B．60° C．75° D．105° 【答案】C 【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 又因为，所以，解得， 所以. 故选：C. 6．（24-25高一下·江苏扬州·期中）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（   ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据得到答案. 【详解】有两组解，需满足，即，， 所以a的值可以为8，B正确，ACD错误. 故选：B 7．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角、、的对边分别为、、，已知，则的形状为（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理化简得出、的值，结合三角形内角的取值范围可得出角、的值，即可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得， 所以， 因为、，故，， 因此，为等腰直角三角形. 故选：A. 8．（24-25高一下·江苏无锡·期中）在中，，的平分线AD交BC边于点D，的面积是的面积的2倍，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式，结合等面积法可得，，解出，进而求解即可. 【详解】由题意，AD为的平分线，， 则， 由， 则，即，① 又， 则， 则，② 由①②可得，， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏扬州·期末）在中，角所对的边为，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于A,B,D,根据三角形全等，易得三角形的形状唯一确定，故解唯一；对于C，可用正弦定理，结合正弦函数的图象，说明符合条件的三角形有两解. 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，可得，，因，则, 因，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【分析】由正弦定理求得，得到，可判定A正确；由，得到或，得到为等腰或直角三角形，可判定B错误；由，结合，得到，判定C正确；由，得到，得到，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，设的外接圆的半径为， 若，由正弦定理得，则，所以，所以A正确； 对于B中，因为，可得，且， 若，可得或，即或， 所以为等腰或直角三角形，所以B错误； 对于C中，因为，可得， 若，则，可得，即为钝角， 所以为钝角三角形，所以C正确； 对于D中，因为，可得 若，可得， 由函数在上为单调递增函数，所以，即， 又因为，则，所以为锐角三角形，所以D正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·江苏苏州·期中）在中，，D为边BC上一动点，则（   ） A． B．△ABC的外接圆半径为 C．当D为BC中点时， D．当AD为角A的角平分线时， 【答案】ABD 【分析】由余弦定理，求得，可判定A正确；根据弦定理，求得的外接圆的半径，可判定B正确；取的中点，得到，由余弦定理，求得，可判定C不正确；由为角的平分线，根据，列出方程，求得的长，可判定D正确. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 所以的外接圆的半径为，所以B正确； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则，可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C不正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件，利用正弦定理判断三角形解的个数的方法，即可求解. 【详解】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 13．已知中，角A，B，C满足：，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意可求得，再由余弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理可得，因此； 不妨取，其中， 因此. 故答案为： 14．（24-25高一下·江苏常州·期中）在中，，，，若为中点，则长为 . 【答案】 【分析】在中，根据面积公式可得，由余弦定理可得与，在中由余弦定理即可得长. 【详解】在中，，， 所以，则， 由余弦定理得：，故， 由余弦定理得：， 若为中点，则在中，， 由余弦定理得：， 故. 故答案为：. 四、解答题 15．在中，在边上，且平分，若， (1)证明：； (2)求的面积； (3)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理，，结合条件可得证结论； （2）根据（1）和余弦定理，解得长，结合三角形面积公式计算得到结果； （3）由，代入公式解得，再计算的结果. 【详解】（1） 证明：在中，在边上，且平分， 所以,，, 在中，， 在中，， 两式作比值可得，， 化简得. （2）因为平分，所以， 设，由余弦定理，得， 即，解得． （3）由，得， 解得，所以． 16．（24-25高一下·江苏南京·月考）如图，在 中，已知 ，是边上一点，，，. (1)求的值； (2)求的长； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）首先根据题意得到，从而得到，再利用正弦定理求解即可. （3）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用面积公式求解即可. 【详解】（1）在中，，，， 由余弦定理可得：. （2）因为， 所以，所以， 在中，，，， 由正弦定理可得. （3）在中，，，所以， 在中，由正弦定理 可得，， 所以， . 17．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在平面四边形ABCD中，，，，，. (1)求线段AC的长度； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解； （2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得. 【详解】（1），， ，， 在中，由余弦定理得： ，； （2）在中，由正弦定理得：， ，， ，， 在中，由正弦定理得：， ，. 18．某学校有一四边形地块，为了提高校园土地的利用率，现把其中的一部分作为学校生物综合实践基地．如图所示，，是中点，E，F分别在边、上，拟作为花草种植区，四边形拟作为景观欣赏区，拟作为谷物蔬菜区，和拟建造快速通道，，记．（快速通道的宽度忽略不计）    (1)若，求景观欣赏区所在四边形的面积； (2)当取何值时，可使快速通道的路程最短?最短路程是多少? 【答案】(1) (2)取，最短距离为． 【分析】（1）由已知可得为中位线，由计算可得结论； （2）由正弦定理分别可得，，计算可求的最小值. 【详解】（1）当时，，此时为中位线， （2）在中，，，， 由正弦定理得，，∴． 在中，，，， 由正弦定理得，，∴ ∴ ，其中 令，∵，∴， 则 ∵在单调递增，在单调递减， ∴在单调递增，∴当，即，时， ， 所以当取时，可使快速通道路程最短，最短距离为． 19．（24-25高一下·江苏·月考）在中，内角A，B，C的对边分边为a，b，c，，的积为． (1)求B； (2)若点P在内部，满足，求的值； 【答案】(1)或 (2)4 【分析】（1）利用两角和差余弦公式和弦切互化求解即可； （2）先利用面积得，设，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，从而化简求值即可. 【详解】（1）因为， ， 所以由，得， 因为有意义，所以， 所以，因为，所以或. （2）因为点在内部，所以，所以， 又的面积为，所以，则， 设，则，，， 在中，由正弦定理得， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $