第一章 三角形的证明 单元测试卷 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 单元测试卷 一、单选题（共20分） 1．（本题2分）如图，在中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（本题2分）直角三角形中两锐角之差为20°，则较大锐角为(　　) A．45° B．55° C．65° D．50° 3．（本题2分）将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（本题2分）若等腰的一个外角等于，则该三角形的顶角等于（    ） A． B． C．或 D．或 5．（本题2分）如图，已知直线，与直线c分别交于A、B两点，点C在直线b上，点D在线段上，连接，若，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 6．（本题2分）如图，一棵树在一次强台风中于离地面（）2米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角（），这棵树在折断前的高度为（    ） A．4米 B．6米 C．7米 D．8米 7．（本题2分）如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 8．（本题2分）下列说法正确的是（    ） A．角平分线是角的对称轴 B．三角形的三条高线交于一点 C．三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 9．（本题2分）如图，的两条高和相交于点E，，，，则的长为（    ）    A． B． C． D．13 10．（本题2分）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E．过点B作交的延长线于点F，连接，．现有如下结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题（共18分） 11．（本题2分）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为 ．    12．（本题2分）用反证法证明：“中，若，则”，第一步应假设： ． 13．（本题2分）如图，在中，，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则的度数是 度． 14．（本题2分）如图，直线，，，则的度数是 ．    15．（本题2分）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，点C固定，点D，E可在槽中滑动，．若，则的度数是 ． 16．（本题2分）如图，M是两个内角平分线的交点，N是两个外角平分线的交点，设，，则 17．（本题2分）等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为 ． 18．（本题2分）如图，，，，则的度数是 ． 19．（本题2分）如图中，为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，．若，则 度． 三、解答题（共82分） 20．（本题8分）如图，线段的垂直平分线相交于点O．求证：． 21．（本题8分）如图，已知在等腰三角形纸片中，．利用尺规按以下要求作图．（不写作法，保留作图痕迹．） 请从以下两个问题中任选一题作答． A题：作出一条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成两个等腰三角形，并说明理由． B题：作出两条裁剪线，使得该等腰三角形纸片分成三个等腰三角形，并说明理由． 22．（本题10分）如图，D，E是三角形的边，上的点，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 23．（本题10分）如图，在等边中，与的平分线相交于点，且交于点交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长； (3)求证：点在的角平分线上． 24．（本题10分）在中，，，是边的中线，是边上一点，，交于点． (1)如图①，判断的形状并证明； (2)如图②，， ①补全图形； ②用等式表示，，之间的数量关系并证明． 25．（本题10分）如图，是等边三角形，为边的中点，交的延长线于点，点在上，且，连接、． (1)求证： (2)求的度数． 26．（本题12分）在中，点是边上的两点．    (1)如图1，若，．求证：； (2)如图2，若，，设，． ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②在①的条件下，，请直接写出的度数． 27．（本题14分）综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八（1）班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计图案，小明在设计图案的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究． 已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】 （1）小明将绕点A在平面内自由旋转，连接、后，他发现这两条线段存在着一定的数量关系，如图（1），请探究线段、的数量关系，并证明； 【深入探究】 （2）若，旋转过程中，当点D、点E和的中点O三点共线时，如图2，请直接写出线段、和的数量关系________．（提示：在线段上截取线段，使并连接） 【应用探究】 （3）如图2，在（2）的条件下，若，，则________（直接写出结果） 【拓展探究】（4）如图3，当，，，则________（直接写出结果） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先根据等边对等角得到，再由三角形内角和为180度可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 2．B 【分析】设两个锐角分别为x、y，再根据直角三角形两锐角互余列出方程组，然后求解即可． 【详解】设两个锐角分别为x、y， 由题意得，， 解得， 所以，最大锐角为55°． 故选B． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是列出方程． 3．B 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 4．D 【分析】根据等腰三角形的一个外角等于，进行讨论可能是底角的外角是，也有可能顶角的外角是，从而求出答案． 【详解】解：①当外角是底角的外角时，底角为：， ∴顶角度数是； ②当外角是顶角的外角时，顶角为：， ∴顶角为或． 故选：D． 【点睛】主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况． 5．A 【分析】由平行线的性质得到，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 6．B 【分析】根据直角三角形角的性质求出的长度即可． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴， ∴这棵树在折断前的高度为米， 故选：B． 【点睛】此题考查了直角三角形角的性质：直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键． 7．C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，如图所示，连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形周长公式得到的周长，故当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵边的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴的周长， ∴当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长， ∴的周长的最小值为， 故选C． 8．C 【分析】此题主要考查了角的对称轴、三角形的高线、三角形的角平分线的性质及平行公理，关键是熟练掌握各知识点．利用角的对称轴、三角形的高线、三角形的角平分线的性质及平行公理进行分析即可． 【详解】解：A、角平分线所在的直线是角的对称轴，故原题说法错误； B、钝角三角形的三条高线没有交点，故原题说法错误； C、三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故原题说法正确； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原题说法错误； 故选：C 9．A 【分析】先证明，可得 ，，而，再由等面积法可得答案． 【详解】解：∵的两条高AD和BF相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴，而， 由等面积法可得： ， 解得：； 故选A 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，等面积法的应用，证明是解本题的关键． 10．B 【分析】如果是角平分线，则，而，显然与已知矛盾，故错误． 易证是等腰直角三角形，故． 由，推出，由，推出，即． 由三线合一性质可得出是的垂直平分线，则，由，推出，推出，结合平行线的性质即可推出． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴， 若平分，而 ， ∴， 又∵， ∴不可能平分，故①错误； ∵，，， ∴，， ∴， 是等腰直角三角形， ∴，故②正确． ，，， ， ， ， ， ，故③正确． ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质、角平分线的定义与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 11．/75度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和三角板中角度的特点求出的度数，再根据对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：．    12． 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断；需注意的是的反面有多种情况，应一一否定． 【详解】解：与的大小关系有，，三种情况， 因而的反面是．因此用反证法证明“”时， 应先假设． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 13．64 【分析】本题主要考查三角形的外角定理，三角形折叠中的角度问题．解题的关键是熟知外角定理．根据三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， 又∵折叠， ∴， ∴， 故． 故答案为：64． 14．/33度 【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角的性质可求得的度数． 【详解】解：令和相交于点，   ，，， ， ，， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等，是解题的关键． 15．/27度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 16．180 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，熟练掌握角平分线的应用是解题关键． 先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得， 【详解】解：点是两个内角平分线的交点， ， ， ， 点是两外角平分线的交点， ，， ，，即， ， ． 故答案为：180． 17．/50度 【分析】本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义，根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案． 【详解】解：根据三角形的底角 ． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查三角形内角和定理（三角形内角和为）知识点．解题方法是通过分析和的内角关系，先求出的度数，再结合、求出的度数，最后利用三角形内角和定理求出．解题关键是准确梳理两个三角形内角之间的联系，易错点是混淆不同三角形的内角，导致角度计算错误． 要计算的度数，首先在中，根据三角形内角和定理求出的度数；然后观察和与、、、的关系，求出的度数；最后在中，再次利用三角形内角和定理，用减去的度数，即可得到的度数． 【详解】在中， ． 在中，，， ． ． 综上，的度数是． 故答案为：． 19． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，， 得到，， ，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：如图所示，连接、， 边，的垂直平分线分别交于点，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20．证明见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，据此可得，则． 【详解】证明：如图所示，连接， ∵线段的垂直平分线相交于点O， ∴， ∴． 21．画图见解析，理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理： A题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求； B题：以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求． 【详解】解：A题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，则裁剪线即为所求； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴都是等腰三角形； B题：如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧交于D，连接，再点B为圆心，的长为半径画弧交于E，连接，则裁剪线、即为所求； 同理可得， ∴都是等腰三角形． 22．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及三角形内角和的性质，需熟练掌握同位角与内错角的关系，在解题时要注意由等量代换得到的相等的角是解决本题的关键． （1）先由，可由“两直线平行，同位角相等”得到，再根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． （2）由角平分线的性质可得，再由（1）中的结论，可得，再由三角形内角和的性质可求解的度数，再由即可求解． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． （2）解：因为平分， 所以， 由（1）可知，， 所以， 又因为在三角形中，且， 所以， 由（1）知，， 所以的度数为． 23．(1)是等边三角形；理由见解析 (2)10 (3)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质和判定． （1）根据平行线的性质和等边三角形的性质得出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质得出，则，进而得出，同理可证，即可得出的周长； （3）过点作于于于，根据角平分线的性质得出，，进而推出则点在平分线上． 【详解】（1）解：是等边三角形；理由如下： 是等边三角形， ； ∵，， ， 为等边三角形． （2）解：平分，， ， ， 同理可证； 的周长． （3）证明：过点作于于于，如图， 平分， 同理可得， 点在平分线上． 24．(1)等腰三角形，理由见解析 (2)①补全图形见解析，②，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点，做出正确的辅助线是解题的关键． (1)利用等腰三角形三线合一的性质和三角形外角的性质可推导出，即可得到是等腰三角形． (2) ①根据题意补全图形即可； ②过点E作于点H，利用已知条件和等腰三角形的性质可得到，，．继而可证得，即可推导出，所以． 【详解】（1）解：的形状等腰三角形．证明如下： ∵，是边的中线， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是等腰三角形． （2）①补全图形，如图． ②之间的数量关系是． 证明：过点E作于点H． ∵，是边的中线，， ∴，． ∴． ∵， ∴． ∴， 又∵， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， ∴． ∵由（1）知：， ∴． 25．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三我内角和定理，证明是解题的关键． （1）证明，即可由全等三角形的性质得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再求，即可由求解即可． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知： ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴， 又由（1）知：，， ∴， ∴． 26．(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）过A作于F，根据三线合一得到，，利用线段的和差可得结果； （2）①根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，整理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出，再根据，代入化简可得结果． 【详解】（1）解：如图，过A作于F， ∵，， ∴，， ∴，即；    （2）①猜想：，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， 整理得：； ②∵， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关键是利用这些性质找出角的关系． 27．（1）；理由见详解 （2），理由见详解 （3） （4） 【分析】（1）证明 即可； （2）过C作，证明，则，，由已知得，，由勾股定理得，进而得到． （3）由直角三角形的性质可分别求得、，进而求得，由即可求得结果： （4）设，则由（1）可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，，则，由勾股定理得，在中，，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得，再由即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过C作， 则， ∵O为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． （3）∵，，， ∴， 由勾股定理得， 由勾股定理得， 由（2）知， ∵， ∴， 即， 故答案为：． （4）设，则， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $