精品解析：江苏南京市金陵中学2025—2026学年度第二学期期初考试2月学情检测高一数学试题

金陵中学2025—2026学年度第二学期期初2月学情检测 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 2. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】若使成立，则选项中只有C能保证，故选C [点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意. 3. 已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为是的重心，所以. 故选：B. 4. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 【详解】因为. 5. 若，，并且为锐角,，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用两角差的余弦公式求角. 【详解】为锐角,，则，所以，又， ，， ，， ，， ， ， 故选：C. 6. .设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数的最小值为1 A. 若确定，则 唯一确定 B. 若确定，则 唯一确定 C. 若确定，则 唯一确定 D. 若确定，则 唯一确定 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，对任意实数恒成立， 所以恒成立， 令，所以， 若为定值，则当为定值时二次函数才有最小值. 故选：B. 7. 在锐角中，若，则的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 8. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和差的三角公式、二倍角公式化简 【详解】 ， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】 逆用正弦的二倍角公式可判断选项A；利用余弦的二倍角公式可判断选项B；对所给的等式左边通分化简计算可判断选项C；对所给等式左边利用余弦的二倍角公式和同角三角函数基本关系化简即可判断D，即可得正确选项. 【详解】对于选项A：， 故选项A正确； 对于选项B：，故选项B正确； 对于选项C： ，故选项C不正确； 对于选项D： ， 故选项D正确； 故选：ABD. 10. 声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 关于点中心对称 C. 在区间上为增函数 D. 函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据周期性的定义分析判断；对于B：根据对称性的定义分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据三角恒等变换结合换元法分析求解. 【详解】对于A， ， 所以是函数的一个周期，故A正确； 对于B， ， 所以关于点中心对称，故B正确； 对于C，由函数， 当时，， 当，，所以， 所以在区间上不是单增函数，故C错误； 对于D， ，定义域为， 令，，所以， 当时，取得最小值为，当时，， 所以函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ） A. 为的外心 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由根据数量积的运算律可得,可得为的垂心；结合与三角形内角和等于可证明B选项；结合B选项结论证明即可证明C选项，利用奔驰定理证明可证明D选项． 【详解】解：因为， 同理，，故为的垂心，故A错误； ，所以， 又，所以， 又，所以，故B正确； 故，同理， 延长交与点，则 ， 同理可得，所以，故C正确； ， 同理可得，所以， 又，所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由“相交弦定理”求出，，再结合，利用向量数量积的运算律求解． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 已知，则的值是_____. 【答案】. 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可. 【详解】由， 得， 解得，或. ， 当时，上式 当时，上式= 综上， 【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题. 14. 已知，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式化简可得，由此得 ，利用基本不等式可得结果. 【详解】， ， ，所以， ，，，， ， 当且仅当即时，取等号， 所以的最大值为. 故答案为：-4. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和的正弦公式、两角和的正切公式以及利用基本不等式求最值，属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图象法、函数单调性法求解，，利用基本不等式求最值，注意应用基本不等式的条件是“一正二定三相等”. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先根据，且，求出，则可求，再求； （2）先根据，，求出，再根据求解即可. 【详解】（1）∵且， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ， 所以. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．本题考查运算求解能力，是中档题. 16. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 【答案】（1）; （2） 【解析】 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； ②利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （2）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 ① 由可得，，则， 即； ②依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因与的夹角为，则由可得，，解得，. 【小问2详解】 依题意，设， 因是的中点，则， 是的中点，则， 故 因，， 则， 在中，由余弦定理，，即，代入上式可得， ， 由正弦定理，，设，则， 于是 ，其中， 则. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查新定义的仿射坐标系中的向量的运算，属于难题. 解决第（2）题的关键在于，设出的坐标，，求得的表达式，运用正弦定理，三角恒等变换化成正弦型函数是解决该题的关键. 17. 已知函数部分图象如图所示. （1）求和的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）设，已知函数在上存在零点，求实数的最小值和最大值. 【答案】（1）=2，；（2），，；.（3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】 （1）先由函数图象，先得到周期，求出，再由最大值点，求出； （2）由（1）的结果，确定函数解析式，利用正弦函数的单调性，求出函数增区间，再由给定区间，即可得出结果； （3）先化简得到，根据函数在上存在零点，得到在上有解，令，由正弦函数性质，求出时，，再结合二次函数的性质，得到的范围，即可得出结果. 【详解】（1）由图象可知：，，则， 又得，又，所以， （2），由得， ， 令，得，因，则， 令，得， 令，得，因，则， 所以在上的单调递增区间为，，；. （3）， ， 由函数在上存在零点，则在上有解， 令，由，则，即， 则， 所以，即， 故的最小值为，最大值为. 【点睛】思路点睛： 求解含三角函数的二次式在给定区间上的最值时，一般需要用换元法，将三角函数换成来表示，得到关于的二次函数，由三角函数的性质，得到的范围，再结合二次函数的性质，即可求解. 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用整体代入思想即可得到对称轴方程. （2）先利用图形的变化“左加右减”得到的图象，进而求出函数的解析式，再求出值域；又由整体思想转化得到的值. 【小问1详解】 因为， 令，，解得，， 所以图象的对称轴方程是，． 【小问2详解】 由题知，， 于是 ． （ⅰ）因为，所以， 即的值域是． （ⅱ）若，即， 因为，所以， 所以，， 所以， 即． 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金陵中学2025—2026学年度第二学期期初2月学情检测 高一数学试题 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 且 3. 已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 5. 若，，并且为锐角,，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. .设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数的最小值为1 A. 若确定，则 唯一确定 B. 若确定，则 唯一确定 C. 若确定，则 唯一确定 D. 若确定，则 唯一确定 7. 在锐角中，若，则的最小值为( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 声音也包含着正弦函数．我们平时听到的声音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音．复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生频率为的基音的同时，其各部分，如二分之一、三分之一、四分之一部分也在振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如等，这些音叫谐音，因为其振幅较小，我们一般不易听出来．例如，某一个复合音的函数为，关于，下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个周期 B. 关于点中心对称 C. 在区间上为增函数 D. 函数的值域为 11. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足.则（ ） A. 为的外心 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 平面几何中的“相交弦定理”是指：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知是圆内的定点，为经过点的直径，且，若，则__________． 13. 已知，则的值是_____. 14. 已知，，且，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，且. （1）求的值； （2）求. 16. 如图，设是平面内相交成的两条射线，分别与同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中 ①若，求； ②若，且与的夹角为，求； （2）如上图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，分别为中点，求的最大值. 17. 已知函数部分图象如图所示. （1）求和的值； （2）求函数在上的单调递增区间； （3）设，已知函数在上存在零点，求实数的最小值和最大值. 18. 已知函数． （1）求图象的对称轴方程； （2）若将函数的图象上各点向右平移个单位后得到函数的图象，记函数． （ⅰ）求的值域； （ⅱ）若，，求的值． 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $