专题08 等和线解决平面向量系数和、差、商、平方问题6种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题08 利用等和线解决平面向量系数问题6种常考题型 题型一：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的值 题型二：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的最值(范围) 题型三：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的线性关系式的最值 题型四：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的非线性的最值(范围) 题型五：利用等和线求不共线向量（不共起点）系数相关问题 题型六：利用等和线求可化为不共线向量（共起点）系数相关问题 题型一：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的值 1．在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【解析】 因为，所以， 则. 因为A，P，D三点共线，所以. 因为，所以. 因为E是边AB的中点， 所以.因为E，P，F三点共线， 所以， 则，解得，从而，，故. 故选：A 2.设是边上的点，,若，则 =________ 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求得，由此求得m，n，进而求得. 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即 故答案为： 3.如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】借助共线定理的推论即可得. 【解析】因为，所以， 所以， 因为P，B，N三点共线，所以，解得. 故答案为：. 题型二：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的最值(范围) 4．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如图 ， 由平面向量基底等和线定理可知，当等和线与圆相切时， 最大，此时 故选：A. 5.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 【答案】2 【解析】作平行于AB的直线l，当且仅当l与圆相切时，的取最大值2． 令，则由 得． 由三点共线可得 6.如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】在中，，，则， 故 ， 故； 又，而，， 所以，则， 又三点共线，所以，结合已知可知， 故， 当且仅当，结合，即时，取等号； 即的最小值为， 故答案为：； 7.如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解. 【解析】当点P位于B点时，过点B作，交的延长线于G，H， 则，且， ，， 所以. 故答案为：. 8.如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是_____________    【答案】 【分析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点，的，当点与点重合和点与点重合时，分别求得的最值，即可求解. 【解析】根据题意，将图形特殊化，设垂直平分于点， 因为与的面积之比为2，则， 当点与点重合时，可得，此时，即的最小值为； 当点与点重合时，可得， 此时，即，此时为最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：.    9.如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】连接，则，， 因为，所以, 因为点是圆及其内部任意一点， 所以，且当三点共线时，取得最值， 当取得最大值时，以为对角线，以为邻边方向作平行四边形, 则和为等边三角形， 所以， 所以， 所以的最大值为， 同理可求得的最小值为， 所以， 故答案为： 10.边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是（ ） 【答案】C 【解析】 如图，设，由等和线结论，.此为的最小值； 同理，设，由等和线结论，.此为的最大值. 综上可知. 11.如图,在矩形中,,动点在以点为圆心且与相切的圆上,若,则的最大值为 . 【解析】如图,过点作平行于直线的直线,则为的等和线. 当直线与圆上切时,正向远离点最远,由等和线性质知此时的值最大.作,由,易得.易求得此时. 12.如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 【答案】 【解析】如图，过作，交于，作，交的延长线于， 则：， 又因为，，则点为中点， 又是的中点，所以，则点在上， 由图形看出，当与重合时：，此时取最小值， 当与重合时：，此时取最大值， 所以的范围是 故答案为： 13.平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，当在直线上时，， 当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时， 当恰好切于点时，则，又，， 所以，则， 所以，则，故. 故选：B 题型三：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的线性关系式的最值(范围) 14．已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】如图,取中点为, 显然,当与重合时,取最小值1. 将平行移动至与相切处, 为切点时,取最大值. 延长交于,易知. 由等和线及平行截割定理,. 所以的最大值为. 故的取值范围是. 故答案为： 15.设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 【答案】 【解析】如图,取中点,则 此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大, 由于, 所以, 于是的最大值为 所以的取值范围是. 故答案为： 16.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】作圆的直径,则点在劣弧上运动.于是.其中. 考虑到问题涉及的代数式为,为了利用向量分解的系数和的几何意义, 将条件转化为. 此时可知连接向量的终点与向量的终点的直线即等系数和线,于是. 依次作出其余等系数和线,可得的取值范围是. 故答案为： 17.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【答案】 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 故答案为： 18.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为    【答案】 【分析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，设，，把用表示，由和的范围，求2x＋2y的最大值. 【解析】作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，    设，则， 等边三角形边长为2，则外接圆半径为，当点P为切点时, ， ∵，∴设，则，当点P为切点时, 有最大值, ，， ∴，，∴. 即2x＋2y的最大值为. 故答案为： 19.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 【答案】 【解析】如图,取的四等分点(靠近点),作出直线,则,令. 所以点在与直线平行的直线上,设交直线于,则 当重合时,取最大值4; 当重合时,取最小值1;综上可知,. 故答案为： 20.已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【分析】利用可得出P为的重心，取中点再利用三点共线，可得取得最小值1，再当点M与C重合时，取得最大值2，从而可得的范围. 【解析】 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 题型四：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的非线性的最值(范围) 21．已知中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据向量共线可得，即可利用基本不等式的乘“1”法求解. 【解析】∵，由于D在线段（不含端点）上， 故三点共线，所以且， 则， 当且仅当时，即时取等号， 故有最小值. 故答案为：. 22.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，其中，推导出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解析】因为在边上（不包含端点），不妨设，其中， 即， 所以，， 又因为，则，，其中、均为正数， 且有， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故则的最小值是. 故选：A. 23.在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 . 【答案】 【解析】； 为边的中点，如图， 则：； 在线段上； 设，； 又； ； 即，且； ； 时，取最小值． 故答案为：． 24.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】在△ABC中，M为边BC上任意一点，则， 于是得，而，且与不共线， 则，即有，因此，， 当且仅当时取“=”，此时M为BC中点， 所以的最小值为. 故选：C 25.如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，再由即可得解； （2）利用平面向量的共线定理到，进而得到，再利用平面向量的基本定理即可得解. 【解析】（1）因为，则，所以， 因为为的中点，故. （2）因为、、三点共线，则，，， 所以存在，使得，即， 所以， 又因为，且、不共线， 所以，则， 所以，故. 故答案为：3 题型五：利用等和线求不共线向量（不共起点）系数相关问题 26．设分别是的边上的点,且有,若,则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示, 过点作,设的延长线交于点,易知,即是的中位线,因此. 故选：D 27.在平行四边形中，与交于点，点满足，，则（ ） A． B． C． D． 【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出的值，进而求出. 【解析】因为 ， 又因为， 所以. 故选：A. 28.设是边上的点，,若，则 =（ ） 【答案】 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 故答案为： 29.在平行四边形中,,为的三等分点,为与的交点,为边上一动点,为内一点(含边界),若,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】如图,作,则.过点作直线的平行线,由及等和线定理,易知 故答案为： 题型六：利用等和线求可化为不共线向量（共起点）系数相关问题 30．在正方形中,如图所示,为中点,以为圆心,为半径的圆弧上的任意一点,设,则的最小值 . 【答案】 【解析】如图所示,由题意,作,设,直线与直线相交于点,则有,由等和线定理知,从而,当点与点重合时,如图,,此时,. 故答案为：. 31.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意画出图象，再利用平面向量基本定理列出方程组即可求解. （2）利用已知条件和的共线得出关系，再利用基本不等式求的最小值. 【解析】（1）由题意画出图像， 因为， 所以且， 注意到共线且共线，所以 解得. （2）由（1）和图象可知，结合. 于是，所以. 所以， 当且仅当，即，时等号成立. 于是的最小值为. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 利用等和线解决平面向量系数问题6种常考题型 题型一：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的值 题型二：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的最值(范围) 题型三：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的线性关系式的最值 题型四：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的非线性的最值(范围) 题型五：利用等和线求不共线向量（不共起点）系数相关问题 题型六：利用等和线求可化为不共线向量（共起点）系数相关问题 题型一：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的值 1．在中，，，E是AB的中点，EF与AD交于点P，若，则（ ） A． B． C． D．1 2.设是边上的点，,若，则 =________ 3.如图所示，在中，，P是上的一点，若，则实数m的值为 ． 题型二：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算系数和的最值(范围) 4．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=+，则+的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 5.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为，点在以为圆心的圆弧上变动．若，其中，则的最大值是__________． 6.如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 . 7.如图，四边形是边长为1的正方形，点D在的延长线上，且，点P是(含边界)的动点，设，则的最大值为 ． 8.如图，与的面积之比为2，点P是区域内任意一点（含边界），且，则的取值范围是（ ）    A． B． C． D．   9.如图所示， ，圆与分别相切于点， ，点是圆及其内部任意一点，且，则的取值范围是 ． 10.边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段(含短点)上运动，是圆上及其内部的动点，设向量，则的取值范围是____________ 11.如图,在矩形中,,动点在以点为圆心且与相切的圆上,若,则的最大值为 . 12.如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 . 13.平行四边形中，，，以C为圆心作与直线BD相切的圆，P为圆C上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ） A． B． C． D． 题型三：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的线性关系式的最值(范围) 14．已知为边长为2的等边三角形，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是__________ 15.设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 16.如图,已知为锐角三角形的外心,,且,则的取值范围为_________. 17.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 18.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O，P为圆O上任一点，若，则2x＋2y的最大值为    19.如图,在扇形中,,点在圆弧(包含端点)上运动,若,则的取值范围是 20.已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 题型四：利用等和线求不共线向量（共起点）线性运算的系数的非线性的最值(范围) 21．已知中，点D在线段（不含端点）上，且满足，则的最小值为 . 22.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 23.在中，点满足，当点在线段上移动时，若，则的最小值为 . 24.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D．1 25.如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线. (1)用、表示； (2)求的值. 题型五：利用等和线求不共线向量（不共起点）系数相关问题 26．设分别是的边上的点,且有,若,则的值（ ） A． B． C． D． 27.在平行四边形中，与交于点，点满足，，则（ ） A． B． C． D． 28.设是边上的点，,若，则 =（ ） 29.在平行四边形中,,为的三等分点,为与的交点,为边上一动点,为内一点(含边界),若,则的取值范围是 . 题型六：利用等和线求可化为不共线向量（共起点）系数相关问题 30．在正方形中,如图所示,为中点,以为圆心,为半径的圆弧上的任意一点,设,则的最小值 . 31.已知是不共线的三点，且满足，直线与交于点，若. (1)求的值； (2)过点任意作一条动直线交射线于两点，，求的最小值. 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $