专题07 利用极化恒等式解决平面向量的数量积问题5种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版高一必修第二册

专题07 利用极化恒等式解决平面向量的数量积问题5种常考题型 题型一：利用极化恒等式求向量数量积 题型二：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 题型三：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 题型四：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 题型五：利用极化恒等式求参数问题及其它问题 题型一：利用极化恒等式求向量数量积 1．已知在中，是的中点，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量线性运算可得，根据长度可求得结果. 【解析】 . 故选：C. 2.如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取HF中点O代入极化恒等式求即可. 【解析】取HF中点O，则,，因此， 选A. 3.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（  ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【解析】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得． 故选：A． 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，代入极化恒等式求即可. 【解析】.由极化恒等式可得：. 故选：A 5.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合题设易得为等边三角形，可得，，进而得到，再结合平面向量数量积的运算律求解即可. 【解析】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 6.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（  ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【分析】由题设有，代入极化恒等式求即可. 【解析】由题设，，， . 故选：D 7.在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量法求得. 【解析】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， 则， 所以． 故选：C 8.在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】/0.875 【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)即可得出结果. 【解析】由题意， 在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得 ∴． 故答案为：. 题型二：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 9．圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的线性运算法则，得到，再由圆的性质，得到的最小值，即可得出结果. 【解析】由题意可得， ， 为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：D. 10.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算可得，根据PO长度可求得结果. 【解析】由题意，四边形为菱形，，可得， 在中，得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，，则，， 所以． 故选：B. 11.（多选）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（  ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 【答案】ABC 【分析】结合点和点的轨迹可以判断A选项；由向量的数量积公式可知的最小值，判断B选项；利用向量的线性表示，得到，结合向量夹角的范围得到的范围，即得最大值和最小值，判断C、D两个选项. 【解析】A选项，设中点为，∵，，且， ∴，∴ 由题意可知，∵， ∴， 即，当，即同向时取得最小值1.故A正确； B选项，， ∵，即， ∴当，即反向时，取得最小值， ∴， 由图可知，当三点共线且在的两侧时，取得最大值为3， ∴，即最小值为，故正确； 选项C、D，， ∴ ， 而 ∵，∴， ∴ ∴， ∴， 即的最大值是10，最小值是6，故C正确，D错误． 故选：ABC. 12.已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【解析】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 13.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 【答案】 【分析】取的中点首先由极化恒等式,，然后观察几何图形求得最小值 【解析】如图所示,取的中点为点到的距离, 由极化恒等式,, , 则 故答案为： 14.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（  ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】分别取，中点Q，R，连接，代入极化恒等式求的最大值即可. 【解析】分别取，中点Q，R，连接，， 则由题，，即， 所以， 作图如下，由图可知当P运动到D或E时PQ最大， 所以 ， 所以的最大值为3. 故选：C. 15.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算及向量数量积的运算将所求式子表示为，再利用三角形的几何意义求解即可. 【解析】设为的中点，为的中点，如图所示， 则 ， 在正三角形中，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以的最小值为： . 故答案为：. 题型三：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 16．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设的中点为，代入极化恒等式求的最小值即可. 【解析】设的中点为， 则 （当为中点时取等号）. 故选：C． 17.如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由，代入极化恒等式求的最小值即可. 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 故选：B． 18.如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（  ）    A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，   ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 19.如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为 .    【答案】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出的取值范围，即可得解. 【解析】连接，则 ， 又，，，所以，则， 所以， 又，则边上的高为， 要确保以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点， 当在靠近，且时，， 当在靠近，且时，， 所以，则， 即.      故答案为：. 题型四：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 20．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得，再由的范围，即可得到结果. 【解析】由题意可得， ， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即. 故选：B 21.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义求出范围. 【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 故答案为：. 22.在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【解析】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 23.边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义求出范围. 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 24.已知AB是半圆的直径，，点C，D在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用极化恒等式，结合几何意义及余弦定理求出范围. 【解析】    连接CD，取CD的中点，连接，依题意，， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆的一段， 则， 而点在半圆弧上运动，则当三点共线时，； 当在点，在点（或在点，在点）时，最大， ，因此， 所以的取值范围为. 故选：A 题型五：利用极化恒等式求参数问题及其它问题 25．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【分析】利用极化恒等式，结合几何图形求出. 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 26.如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，连接，则可得到，建立平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量的数量积公式可求得，再结合余弦的倍角公式即可求得. 【解析】因为正方形的面积为，所以正方形的边长为； 如图，连接，则，建立如图平面直角坐标系，则；    所以； 所以，即； 所以. 故选：D. 27.已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用极化恒等式，结合几何图形求出的取值范围。 【解析】如图所示,设的中点为,则,两式平方相减，所以（可由计划恒等是直接得出）， 即，所以,由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得， 故选:D 28.已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】取的中点，的中点，连接，，根据向量的线性运算计算向量并计算，同理计算， 根据不等关系可得出对于边上任意一点都有，从而确定，从而得到结果. 【解析】取的中点，的中点，连接，（如图所示），    则 ， 同理， 因为，所以， 即，所以对于边上任意一点都有， 因此， 又，为中点，为中点， 所以，所以， 即，所以，即为钝角三角形. 故选：A． 29.设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【分析】利用极化恒等式，结合几何图形求出的取值范围。 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 故答案为：C为顶角的等腰三角形． 30.如图所示，直角梯形中，，点是线段上的动点，，则满足条件的点的个数是 ．    【答案】1 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，其中，根据平面向量数量积的坐标运算结合可得出关于的方程，解出的值，即可求解. 【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、，设点，其中， 则，， 则，整理可得，解得， 所以满足条件的点只有1个. 故答案为：1.    1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 利用极化恒等式解决平面向量的数量积问题5种常考题型 题型一：利用极化恒等式求向量数量积 题型二：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 题型三：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 题型四：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 题型五：利用极化恒等式求参数问题及其它问题 题型一：利用极化恒等式求向量数量积 1．已知在中，是的中点，，，则（  ） A． B． C． D． 2.如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则（  ） A． B． C． D． 3.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，，我们称为极化恒等式. 已知在中，是中点，，，则（  ） A． B．16 C． D．8 4.如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（  ）    A． B． C． D． 6.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（  ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 7.在边长为1的正方形中，点、点分别为边，的中点，则（   ） A． B． C． D． 8.在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 题型二：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 9．圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（  ） A． B． C． D． 10.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 11.（多选）已知点在以为直径的圆上运动，且，动点为平面内一点，且，则下列结论正确的是（  ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为10 D．的最小值为8 12.已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 13.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 14.点是边长为1的正六边形边上的动点，则的最大值为（  ） A．2 B． C．3 D． 15.莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为 ． 题型三：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 16．在边长为2的正方形中，动点P，Q在线段上，且，则的最小值为（  ） A．2 B． C．1 D． 17.如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 18.如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（  ）    A．9 B．10 C．11 D．12 19.如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为 .    题型四：利用极化恒等式求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 20．如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 21.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 22.在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A． B． C． D． 23.边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 24.已知AB是半圆的直径，，点C，D在半圆弧上运动，且，点是半圆弧上的动点，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 题型五：利用极化恒等式求参数问题及其它问题 25．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 26.如图，四边形是面积为的正方形，以为斜边作等腰直角三角形，再以为边分别作正方形，点是的中点，则的值为（  ）    A． B． C． D． 27.已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 28.已知在中，是边上一定点，满足，且对于边上任意一点，都有，则是（   ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．无法确定 29.设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 30.如图所示，直角梯形中，，点是线段上的动点，，则满足条件的点的个数是 ．    1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $