专题18二次根式的加减（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题18二次根式的加减 【题型01 同类二次根式】.........................................2 【题型02 二次根式的加减运算】...................................4 【题型03 二次根式的混合运算】...................................7 【题型04 已知字母的值.化简求值】................................10 【题型05 已知条件式,化简求值】..................................12 【题型06 比较二次根式的大小】...................................14 【题型07 二次根式的应用】.......................................17 【解答题5题】................................................ ..19 ★知识梳理★ 知识点01:核心前置概念（必备基础） 1. 最简二次根式 定义：同时满足以下 3 个条件的二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 分母中不含根号。 示例：不是最简（可化为 2）， 不是最简（可化为 ），2是最简。 2. 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则它们是同类二次根式。 判断关键：先化简，再看被开方数；与根号外系数无关。 示例：=2、=3，化简后被开方数都是 2，是同类二次根式； 与 ​ 不是同类。 知识点02:二次根式加减的核心法则 核心本质：二次根式的加减，实质是合并同类二次根式，只有同类二次根式才能合并。 运算法则：a±b=(a±b)（m≥0） 类比理解：与整式中 “合并同类项” 原理一致，仅系数相加减，根号及被开方数保持不变。 知识点03:加减运算标准步骤（三步法） 一化：将所有二次根式化为最简二次根式 二找：识别并分组所有同类二次根式； 三合并：合并同类二次根式（系数相加减，根号部分不变），非同类二次根式直接照抄到结果中。 示例计算：计算 2−3+ 一化：2=4​，3=9，=4； 二找：均为 的同类二次根式； 三合并：4−9+4=(4−9+4)=−。 知识点04:运算规则与易错点 1. 运算律适用 整式加减的交换律、结合律、去括号 / 添括号法则，在二次根式加减中完全适用。 2. 高频易错点 1.未化简就判断同类二次根式（如误将 与 视为同类）； 2.非同类二次根式错误合并（如 +）； 3.合并时系数计算错误、带分数未化为假分数； 4.结果未化为最简二次根式。 知识点05:混合运算补充（拓展） 二次根式加减与乘除混合时，遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的运算顺序。 【题型1.同类二次根式】 【典例】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【答案】28 【分析】本题考查同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，根指数相同且被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：由于最简二次根式与是同类二次根式， 则根指数，解得， 被开方数，解得， 因此，． 故答案为：28． 【跟踪专练1】在下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先将各选项化为最简二次根式，再依据“化成最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式”进行判断即可． 【详解】解：∵同类二次根式的定义为：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则它们是同类二次根式， 又∵， ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A不符合题意； B选项：，被开方数为m，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B不符合题意； C选项：，被开方数为，与的被开方数相同，是同类二次根式，故C符合题意； D选项：，是整式，不是二次根式，故不是同类二次根式，故D不符合题意． 故选：C． 【跟踪专练2】下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键． 判断二次根式能否合并，需化简为最简二次根式后，被开方数相同才能合并；化简 =，被开方数为，再逐一化简各选项，比较被开方数即可． 【详解】解：=，被开方数为； ①=，被开方数为，可合并； ②=，被开方数为，不可合并； ③==，被开方数为，可合并； ④，被开方数为，可合并； ⑤=，被开方数为，不可合并． 故答案为：②⑤． 【跟踪专练3】下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 先把各根式化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】解：， 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数相同，不符合题意； 、，与的被开方数不相同，符合题意； 故选：． 【题型2.二次根式的加减运算】 【典例】计算 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，通过合并同类项即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加减法应用，根据三角形周长公式，将三边长相加合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：三角形的周长 ． 故选：C． 【跟踪专练2】计算： （1） ． （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式． （1）先将化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先将和化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解:（1） ． 故答案为：． （2） ． 故答案为：． 【跟踪专练3】设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 先对通式进行化简，然后将的各项代入计算即可． 【详解】解： ， ， 所以最接近的整数是2017， 故选：C． 【题型3.二次根式的混合运算】 【典例】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方差公式，二次根式混合运算．先求出，，再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故选：C 【跟踪专练2】若，，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握整体代入思想是解题的关键． 先将原式利用多项式乘以多项式法则变形，再将、的值代入计算可得． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练3】二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化． ①，把直接分母有理化即可判断． 把和分别分母有理化比较大小即可． 把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果． ④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断． ⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可． ⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可． 【详解】解：①若a是的小数部分，则， 故①错误，不符合题意． ②∵，，， ∴， 故②正确，符合题意． ③ ． 故③错误，不符合题意． ④， ， ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确． ⑤∵， ∴， ∴， 同理，两式相加得，， ∴． 故⑤正确． ⑥， ， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故⑥正确． 综上所述：正确的有②④⑤⑥． 故选：C． 【题型4.已知字母的值.化简求值】 【典例】若，则代数式的值是（       ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】将代入计算求解即可 【详解】当时， 故选：C 【点睛】此题考查了求代数式的值的能力，关键是能准确代入并熟练掌握二次根式的相关计算． 【跟踪专练1】已知，，则的值为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值．先求出． ，再根据进行求解即可． 【详解】解：，， ． ． ． 【跟踪专练2】如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式和平方差公式，先求出的值，再根据计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 【跟踪专练3】设，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算，通过观察发现和互为倒数，即，从而将原式化简为． 【详解】解：由，， 计算， 所以． 则． 因此． 故答案为：． 【题型5.已知条件式,化简求值】 【典例】当时，二次根式的值为 ． 【答案】4 【分析】把代入二次根式求值即可得结果．本题主要考查代数式求值，算术平方根，解答本题的关键要注意二次根式的符号． 【详解】解：根据题意，把代入得： ． 故答案为：4． 【跟踪专练1】已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求代数式的值，先根据二次根式有意义的条件求出，从而可得，再代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，， 解得：， ∴ ， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】已知实数a，b，c满足，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，非负数的性质，先把代入中得到，再由非负数的性质求出，进而求出，据此可得答案． 【详解】解；∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】结合所给的条件，把所求的式子进行化简，再求值即可． 【详解】解：三个实数，，满足，且， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，数字的变化规律，分式的加减法，解答的关键是理解清楚所给的条件． 【题型6.比较二次根式的大小】 【典例】比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 【跟踪专练2】比较大小： ．（用“”、“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，先计算出，令，，求出与的值，比较与的大小，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： ， 令，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 【题型7.二次根式的应用】 【典例】古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，先根据题意求出，再根据公式代值计算即可． 【详解】解：由题意得，， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则： （1）面积为27的正方形的边长是的 倍； （2）剩下阴影部分的面积是 ． 【答案】 3 72 【分析】本题考查了二次根式的应用， （1）直接利用二次根式的性质得出面积为27的正方形的边长，即可得出答案； （2）利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：（1）面积为27的正方形的边长为， 面积为27的正方形的边长是的3倍， 故答案为：3； （2）两个小正方形面积为27和48， 大正方形边长为， 大正方形面积为， 剩下阴影部分的面积为， 故答案为：72． 【跟踪专练3.】八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了二次根式的应用，根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 设边上的高的长为， ∴， ∴， 故选：C． 解答题 1．有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： (1)上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； (2)计算：． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了同类二次根式，二次根式的乘除法，正确计算是解题的关键． （1）先化简每个二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可； （2）先根据完全平方公式计算，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解：，， 能合并的是①和②， 故答案为：①，②； （2）解：． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算； （1）先利用平方差公式和完全平方公式展开，再计算即可； （2）先化简，再根据二次根式乘除运算法则计算即可； （3）先化简，再合并同类二次根式即可； （4）先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：解： ； （4）解： ． 3．已知，，求的值． 【答案】39 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算以及完全平方公式等知识．根据已知条件，先求得，，然后将整理为，再代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 4．已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．先对括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，同时分解因式约分，化简后再将的值整体代入计算即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 5．如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)铺完整个通道，购买地砖需要花费元 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、二次根式的性质与化简、最简二次根式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键； 依据题意得，矩形绿地 的周长 ，即可得解； 依据题意，购买地砖需要花费，进一步计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意得，矩形绿地的周长 ； （2）解：由题意，购买地砖需要花费 元， 答：铺完整个通道，购买地砖需要花费元； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18二次根式的加减 【题型01 同类二次根式】.........................................2 【题型02 二次根式的加减运算】...................................3 【题型03 二次根式的混合运算】...................................3 【题型04 已知字母的值.化简求值】.................................4 【题型05 已知条件式,化简求值】...................................4 【题型06 比较二次根式的大小】....................................5 【题型07 二次根式的应用】........................................5 【解答题5题】...................................................6 ★知识梳理★ 知识点01:核心前置概念（必备基础） 1. 最简二次根式 定义：同时满足以下 3 个条件的二次根式： 被开方数不含分母； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； 分母中不含根号。 示例：不是最简（可化为 2）， 不是最简（可化为 ），2是最简。 2. 同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，则它们是同类二次根式。 判断关键：先化简，再看被开方数；与根号外系数无关。 示例：=2、=3，化简后被开方数都是 2，是同类二次根式； 与 ​ 不是同类。 知识点02:二次根式加减的核心法则 核心本质：二次根式的加减，实质是合并同类二次根式，只有同类二次根式才能合并。 运算法则：a±b=(a±b)（m≥0） 类比理解：与整式中 “合并同类项” 原理一致，仅系数相加减，根号及被开方数保持不变。 知识点03:加减运算标准步骤（三步法） 一化：将所有二次根式化为最简二次根式 二找：识别并分组所有同类二次根式； 三合并：合并同类二次根式（系数相加减，根号部分不变），非同类二次根式直接照抄到结果中。 示例计算：计算 2−3+ 一化：2=4​，3=9，=4； 二找：均为 的同类二次根式； 三合并：4−9+4=(4−9+4)=−。 知识点04:运算规则与易错点 1. 运算律适用 整式加减的交换律、结合律、去括号 / 添括号法则，在二次根式加减中完全适用。 2. 高频易错点 1.未化简就判断同类二次根式（如误将 与 视为同类）； 2.非同类二次根式错误合并（如 +）； 3.合并时系数计算错误、带分数未化为假分数； 4.结果未化为最简二次根式。 知识点05:混合运算补充（拓展） 二次根式加减与乘除混合时，遵循先乘除、后加减，有括号先算括号内的运算顺序。 【题型1.同类二次根式】 【典例】如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值等于 ． 【跟踪专练1】在下列二次根式中，与属于同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列二次根式：①；②；③；④；⑤．其中不能与合并的是 （填序号）． 【跟踪专练3】下列各式经过化简后与的被开方数不相同的二次根式是（ ） A． B． C． D． 【题型2.二次根式的加减运算】 【典例】计算 【跟踪专练1】若一个三角形的三边长分别是，，则此三角形的周长为（   ） A．9 B． C． D． 【跟踪专练2】计算： （1） ． （2） ． 【跟踪专练3】设，则最接近的整数是（   ） A． B． C． D． 【题型3.二次根式的混合运算】 【典例】计算的结果是 ． 【跟踪专练1】若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若，，则代数式的值为 ． 【跟踪专练3】二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1； ②比较两个二次根式的大小； ③计算； ④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x，y满足，则； ⑥若，，且，则正整数． A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥ 【题型4.已知字母的值.化简求值】 【典例】若，则代数式的值是（       ） A．0 B．1 C． D． 【跟踪专练1】已知，，则的值为 ． 【跟踪专练2】如果，则的值是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【跟踪专练3】设，，则的值是 ． 【题型5.已知条件式,化简求值】 【典例】当时，二次根式的值为 ． 【跟踪专练1】已知、为实数，且，求的值为（    ） A．2 B．3 C．5 D．13 【跟踪专练2】已知实数a，b，c满足，，则 ． 【跟踪专练3】若三个实数，，满足，且，则有：，则的值（    ） A． B． C．2023 D． 【题型6.比较二次根式的大小】 【典例】比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【跟踪专练1】比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】比较大小： ．（用“”、“”、“”或“”填空） 【跟踪专练3】若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【题型7.二次根式的应用】 【典例】古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a、b、c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦-秦九韶公式，请你利用海伦-秦九韶公式计算以下的面积为 ． 【跟踪专练1】如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，从一个大正方形中裁去面积为27和48的两个小正方形，则： （1）面积为27的正方形的边长是的 倍； （2）剩下阴影部分的面积是 ． 【跟踪专练3.】八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（   ） A． B． C． D． 解答题 1．有下面三张卡片，每张卡片上书写不同的二次根式： (1)上面三张卡片上的二次根式能合并的是________和________； (2)计算：． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．已知，，求的值． 4．已知：，求代数式的值． 5．如图，某居民小区有一块矩形绿地，绿地的长为，宽为．现要在该矩形绿地中修建一个矩形花坛（涂色部分），矩形花坛的长为，宽为． (1)该矩形绿地的周长是多少（结果化为最简二次根式）？ (2)若除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺造价为每平方米元的地砖，则铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $