专题15分式方程（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题15分式方程 【题型01 分式方程的定义】........................................3 【题型02 解分式方程】............................................4 【题型03 根据分式方程解的情况求解】..............................4 【题型04 分式方程无解问题】......................................4 【题型05 列分式方程】............................................5 【题型06 分式方程的行程问题】....................................6 【题型07 分式方程的工程问题】....................................6 【题型08 分式方程的经济问题】....................................7 【题型09 分式方程的和差倍分问题】................................8 【题型10 分式方程的其他实际问题】................................9 【题型11 解答题5题】...........................................10 ★知识梳理★ 知识点01:分式方程的概念（判定核心） 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.三大特征： ① 是等式； ② 含分母； ③ 分母中存在未知数（区别于分母仅含字母系数的整式方程）。 3.判定要点：直接观察原方程分母，不可先化简 知识点02:解法（核心步骤：转化→求解→验根） 1. 基本思想 化分式为整式：通过去分母，将分式方程转化为已学的整式方程（如一元一次方程）求解。 2. 标准步骤（四步走） 步骤 具体操作 强调要点 1.找公分母 分母为多项式时，先因式分解，再确定最简公分母 如：=，公分母为(x+2)(x−2) 2.去分母 方程两边同乘最简公分母，约去分母化为整式方程 ❌ 严禁漏乘整式项（无分母的项） 3 解整式 按整式方程解法求出根 注意移项变号、系数化为 1 的准确性 4.验根（必做） 将根代入最简公分母检验 1 公分母≠0 → 原方程的根； 2 公分母 = 0 → 增根，舍去 3. 验根的两种场景 常规检验：所有分式方程的解必须验根，这是步骤的一部分，不可省略。 简便检验：仅需代入最简公分母，无需代入原方程 知识点03:增根与无解（难点辨析） 1. 增根的本质 (1)定义：去分母后整式方程的根，恰好使原方程分母为 0，不适合原方程，称为增根。 (2)产生原因：去分母时，方程两边同乘了含未知数的公分母，扩大了未知数的取值范围。 (3)关键结论：增根是整式方程的根，但不是分式方程的根。 2. 无解的两种情况（易混点） 分式方程无解包含两类情形，需分类讨论：. (1) 解为增根：去分母后的整式方程有解，但所有解都是增根 (2)整式无解：去分母后的整式方程本身无解（如：0⋅x=5）。 知识点04:分式方程的应用（必考考点） 1. 核心等量关系模型（高频） 应用类型 核心公式 常见情境 行程问题 时间 = 路程 ÷ 速度 相遇、追及、不同速度同时到达 工程问题 时间 = 工作量 ÷ 工作效率 两人合作、不同效率完成同一工作 销售 / 比例 单价 = 总价 ÷ 数量 商品定价、数量比、浓度问题 2. 解题步骤（审→设→列→解→验→答） (1)审：找出题目中的等量关系（如：时间相等、效率倍数、总价相同）。 (2)设：设未知数（直接设或间接设，带单位）。 (3)列：根据等量关系列出分式方程。 (4)解：按分式方程解法求解。 (5)验：分两步：① 检验是否为增根；② 检验是否符合实际意义（如：速度、数量不能为负）。 (6)答：写出完整答案（带单位）。 知识点05:易错点清单（教学重点） 1.去分母漏乘：方程两边同乘公分母时，未乘没有分母的项 2.验根缺失：忘记检验，直接将整式方程的解作为分式方程的解。 3.增根与无解混淆：认为 “有增根” 就是 “无解”，忽略 “整式方程本身无解” 的情况。 4.因式分解错误：分母为多项式时，因式分解出错导致公分母找错 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列关于的方程：；；；；；中， 是整式方程， 是分式方程．（填序号） 【跟踪专练2】我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【跟踪专练3】阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【题型2.解分式方程】 【典例】分式方程的解是 ． 【跟踪专练1】当 时，分式的值为1． 【跟踪专练2】对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练3】.现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【跟踪专练1】若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为 ． 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【跟踪专练3】小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是 ． 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若关于x的方程会产生增根，则m的值为 ． 【跟踪专练2】若关于x的方程无解，则a的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程，若方程的解为，则 ；若方程有增根，则增根为 ， ；若方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【题型5.列分式方程】 【典例】“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ． 【跟踪专练1】芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ． 【跟踪专练3】山西省右玉县位于毛乌素沙漠边缘，右玉县每年以10万亩以上的规模推进造林绿化．某林业队原计划在规定时间内造林250亩，实际工作时，采用了先进治沙技术，每天可多造林1亩，这样在规定时间内多造林50亩，求原计划每天造林多少亩．若设原计划每天造林亩，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】某校组织七年级和八年级的学生到距离学校3千米的党史纪念馆参观学习，七年级学生步行从学校出发，10分钟后，八年级学生也步行从学校出发，八年级学生的步行速度是七年级学生的倍，两个年级学生恰好同时到达该纪念馆．设七年级学生步行的速度为x米/分，则可列方程为 ． 【跟踪专练1】甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【跟踪专练3】固原地处陕甘宁三角中心，旅游资源丰富，开通了围绕红色文化、丝路历史、自然风光和乡村民俗等特色资源的旅游专线，包括须弥山石窟(北魏至隋唐石窟群)、火石寨国家地质公园（丹霞地貌）和泾河源旅游区（清凉避暑胜地）、单趟全程大约90千米．出租车的行驶速度是旅游大巴车速度的1.5倍，如果乘坐出租车，单趟时间会缩短半小时，求出租车的速度． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 万元． 【跟踪专练1】学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（   ） A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量 C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间 【跟踪专练2】教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求，在大中小学设立劳动教育必修课程，并将劳动素养纳入学生综合素质评价体系．某校积极开展劳动教育，在植树节当天组织学生进行植树活动．已知第一组植树12棵，第二组植树36棵，第二组比第一组多6人，结果两组平均每人植树的棵数相等，求第一组的学生人数． 【跟踪专练3】下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 18.5分式方程甲，乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 冰冰：    庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的x表示______________，庆庆同学所列方程中的y表示______________； (2)从冰冰和庆庆所设方法中任选一种，并写出完整过程． 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为 ． 【跟踪专练1】“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物纪念品“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍，设购买一个A型号纪念品的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】随着技术的不断发展和进步，人工智能已经成为现代社会中的一个重要组成部分，越来越多的领域和场景开始应用人工智能技术．星光中学为了积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，已知B型号的机器人模型的单价比A型号的机器人模型单价贵，用2500元购买A型号机器人模型的数量比用5000元购买B型号机器人模型的数量少3台．请你求出A，B两种型号机器人模型的单价．（列分式方程解） 【跟踪专练3】下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元，用600元购进甲种商品和用1000元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量乙商品数量 ______ 解法二 设…… 等量关系：乙种商品进价甲种商品进价      (1)解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件， (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是 ． 【跟踪专练1】某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列出方程为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【跟踪专练3】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6元，第2次花费54.56元．已知两次收费标准相差0.16元，则李明的新能源汽车电池容量为 ． 【跟踪专练1】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是 A． B． C． D． 【跟踪专练2】2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求乙种机器人每小时运送多少物品？ 【跟踪专练3】年月日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池电量：千瓦时 油价：元升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用） 解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 3．某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 4．甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 5．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． 两种型号车的进货和销售价格如表： 型车 型车 进货价格/元 1000 1300 销售价格/元 今年的销售价格 1800 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15分式方程 【题型01 分式方程的定义】........................................3 【题型02 解分式方程】............................................5 【题型03 根据分式方程解的情况求解】..............................7 【题型04 分式方程无解问题】......................................9 【题型05 列分式方程】...........................................11 【题型06 分式方程的行程问题】...................................13 【题型07 分式方程的工程问题】...................................15 【题型08 分式方程的经济问题】...................................18 【题型09 分式方程的和差倍分问题】...............................21 【题型10 分式方程的其他实际问题】...............................23 【题型11 解答题5题】...........................................26 ★知识梳理★ 知识点01:分式方程的概念（判定核心） 1.定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 2.三大特征： ① 是等式； ② 含分母； ③ 分母中存在未知数（区别于分母仅含字母系数的整式方程）。 3.判定要点：直接观察原方程分母，不可先化简 知识点02:解法（核心步骤：转化→求解→验根） 1. 基本思想 化分式为整式：通过去分母，将分式方程转化为已学的整式方程（如一元一次方程）求解。 2. 标准步骤（四步走） 步骤 具体操作 强调要点 1.找公分母 分母为多项式时，先因式分解，再确定最简公分母 如：=，公分母为(x+2)(x−2) 2.去分母 方程两边同乘最简公分母，约去分母化为整式方程 ❌ 严禁漏乘整式项（无分母的项） 3 解整式 按整式方程解法求出根 注意移项变号、系数化为 1 的准确性 4.验根（必做） 将根代入最简公分母检验 1 公分母≠0 → 原方程的根； 2 公分母 = 0 → 增根，舍去 3. 验根的两种场景 常规检验：所有分式方程的解必须验根，这是步骤的一部分，不可省略。 简便检验：仅需代入最简公分母，无需代入原方程 知识点03:增根与无解（难点辨析） 1. 增根的本质 (1)定义：去分母后整式方程的根，恰好使原方程分母为 0，不适合原方程，称为增根。 (2)产生原因：去分母时，方程两边同乘了含未知数的公分母，扩大了未知数的取值范围。 (3)关键结论：增根是整式方程的根，但不是分式方程的根。 2. 无解的两种情况（易混点） 分式方程无解包含两类情形，需分类讨论：. (1) 解为增根：去分母后的整式方程有解，但所有解都是增根 (2)整式无解：去分母后的整式方程本身无解（如：0⋅x=5）。 知识点04:分式方程的应用（必考考点） 1. 核心等量关系模型（高频） 应用类型 核心公式 常见情境 行程问题 时间 = 路程 ÷ 速度 相遇、追及、不同速度同时到达 工程问题 时间 = 工作量 ÷ 工作效率 两人合作、不同效率完成同一工作 销售 / 比例 单价 = 总价 ÷ 数量 商品定价、数量比、浓度问题 2. 解题步骤（审→设→列→解→验→答） (1)审：找出题目中的等量关系（如：时间相等、效率倍数、总价相同）。 (2)设：设未知数（直接设或间接设，带单位）。 (3)列：根据等量关系列出分式方程。 (4)解：按分式方程解法求解。 (5)验：分两步：① 检验是否为增根；② 检验是否符合实际意义（如：速度、数量不能为负）。 (6)答：写出完整答案（带单位）。 知识点05:易错点清单（教学重点） 1.去分母漏乘：方程两边同乘公分母时，未乘没有分母的项 2.验根缺失：忘记检验，直接将整式方程的解作为分式方程的解。 3.增根与无解混淆：认为 “有增根” 就是 “无解”，忽略 “整式方程本身无解” 的情况。 4.因式分解错误：分母为多项式时，因式分解出错导致公分母找错 【题型1.分式方程的定义】 【典例】下列方程中是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案． 【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程， 故选：D． 【跟踪专练1】下列关于的方程：；；；；；中， 是整式方程， 是分式方程．（填序号） 【答案】 ②③④⑥ ①⑤ 【分析】本题考查的是整式方程，分式方程的含义，根据整式方程和分式方程的定义，整式方程是方程两边均为整式，分母中不含有未知数的方程；分式方程是分母中含有未知数的方程．通过检查每个方程分母是否含有未知数进行判断． 【详解】解：对于方程①：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程②：分母为常数2和5，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程③：分母中的b为常数，不是未知数，因此是整式方程； 对于方程④：分母为常数2和3，不含有未知数，因此是整式方程； 对于方程⑤：分母中含有未知数x，因此是分式方程； 对于方程⑥：分母为常数2、5和3，不含有未知数，因此是整式方程． 故答案为：②③④⑥；①⑤ 【跟踪专练2】我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“完美分式方程”． 例如为完美分式方程，可化为， ，． 再如为分式方程，可化为， ，． 应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程的两个解分别为，；若，．则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分式化简求值等知识点，读懂题意，理解“完美分式方程”的定义是解题的关键． 由“完美分式方程”的定义可得，，将变形为，然后将，代入求值即可． 【详解】解：由“完美分式方程”的定义可得： ，， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】阅读下列材料：①的解为x＝1，②的解为x＝2，③的解为x＝3．请你观察上述方程与解得特征，写出能反映上述方程一般规律的方程 ，这个方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据观察发现规律：方程的解是方程的最简公分母为零时x值的平均数，可得答案． 【详解】解：方程为：，解为， 故填：，． 【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键． 【题型2.解分式方程】 【典例】分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．去分母、解整式方程、再验根即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 故答案为：． 【跟踪专练1】当 时，分式的值为1． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据分式的值为1，得到方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵分式的值为1， ∴， ∴， ∴， ∴或， 检验，当时，，故是原方程的增根， 当时，，故是原方程的根； 综上所述，． 故答案为：． 【跟踪专练2】对于非零实数、，规定．若，则的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算与解分式方程，先根据新定义将等式转化为分式方程，再按照解分式方程的步骤求解并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵规定，且， ∴， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 经检验，是原分式方程的解， ∴的值为， 故选：． 【跟踪专练3】.现有一列数：，，，，，，（为正整数），规定，，，，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先观察数列的规律，根据已知的关系，通过错项相加的方法，求出的通项公式：，再根据此公式，对分式方程的左边进行裂项，化简分式方程，最后可求出的值，通过错项相加法得到是解题的关键． 【详解】解：∵，，，，， ∴以上各式左右两边分别相加得， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 故答案为：． 【题型3.根据分式方程解的情况求值】 【典例】若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了已知分式方程的解求参数，将代入分式方程，求解的值即可． 【详解】解：由题意得 , 解得， 故选：D． 【跟踪专练1】若关于的分式方程的解是正整数，则所有符合条件的整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程式解题的关键． 先解分式方程，根据分式方程解的情况得到不等式，解不等式确定字母的取值范围即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， 分式方程的解是正整数， 的值为或或或， 的值为或或或， ， ， ， 的值为或或， 所有符合条件的整数的和为， 故答案为： ． 【跟踪专练2】若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法和增根的定义即可确定的取值范围． 【详解】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 解得， 综上所述，且． 故选：C． 【跟踪专练3】小强在解分式方程时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．请你帮小强猜测一下△处的数应是 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．设△表示的数为a，则方程为，通过解分式方程，得到用a表示的x的值，由方程无解得到当时，，即，求解即可． 【详解】解：设△表示的数为a，则方程为， 两边同乘，得， 解得． ∵方程无解， ∴其增根， 故， ∴， ∴△处的数应是2． 故答案为：2． 【题型4.分式方程无解问题】 【典例】若关于的方程无解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解、分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母为，根据分式方程无解的条件求解即可． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 当时，原方程分母为，此时方程无解， 即：，解得：； 故选：B． 【跟踪专练1】若关于x的方程会产生增根，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值． 【详解】解：方程两边都乘（x-1），得 m+2（x-1）=3， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x-1=0，即增根是x=1， 把x=1代入整式方程，得m=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得未知字母的值． 【跟踪专练2】若关于x的方程无解，则a的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要查了分式方程无解的问题．先去分母得到关于x的整式方程，然后分两种情况：当，即时，当，即时，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 当，即时，有，此时方程无解； 当，即时， 解得：， ∵原方程无解， ∴或， 即或， 解得：或； 综上所述，a的值为或或． 故选：C 【跟踪专练3】已知关于x的分式方程，若方程的解为，则 ；若方程有增根，则增根为 ， ；若方程的解是正数，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式解的情况求参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键．先将分式方程化为整式方程，求出，再根据根式方程解的情况分别求解即可． 【详解】解：将分式方程化为整式方程， 解得： 若方程的解为，则 解得：； 若方程有增根，则， 即增根为， 此时， 解得：； 若方程的解是正数，则，且， ，且， 即m的取值范围是且， 故答案为：；；；且． 【题型5.列分式方程】 【典例】“端午食粽”是节日习俗之一甲、乙两人每小时共包个粽子，甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等，若设甲每小时包个粽子，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查分式方程的应用，根据“甲包个粽子所用的时间与乙包个粽子所用的时间相等”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲每小时包个粽子，乙每小时包个粽子， 根据题意可得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】芦笙，为西南地区苗、瑶、侗等民族的簧管乐器．发源于中原，后传入少数民族地区，其前身为汉族的竽．在贵州各地少数民族居住的村寨，素有“芦笙之乡”“歌舞之乡”的称誉，是少数民族特别喜爱的一种乐器之一．已知A型芦笙比B型芦笙的单价低20元，用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，设B型芦笙的单价为x元，根据题意列出正确的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题，抽象出分式方程．设设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元，根据用2700元购买A型芦笙与用4500元购买B型芦笙的数量相同，列方程即可． 【详解】解：设B型芦笙的单价为x元，则A型芦笙的单价为元， 根据题意可得． 故选：A． 【跟踪专练2】某校根据实际需要购置一批光学显微镜，已知在实体店购买这种显微镜比网上购买每台价格多81元，用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台．设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式方程的应用，由解题的关键读懂题意列出分式方程，设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元，根据用21900元在网上购买的数量比在实体店购买的数量多27台列出方程即可． 【详解】解：设在网上购买这种显微镜的价格为每台x元，则在实体店购买这种显微镜的价格为元， 由题意得：， 故答案为：． 【跟踪专练3】山西省右玉县位于毛乌素沙漠边缘，右玉县每年以10万亩以上的规模推进造林绿化．某林业队原计划在规定时间内造林250亩，实际工作时，采用了先进治沙技术，每天可多造林1亩，这样在规定时间内多造林50亩，求原计划每天造林多少亩．若设原计划每天造林亩，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象分式方程，设原计划每天造林x亩，根据每天多造林1亩，这样在规定时间内多造林50亩，可列出方程． 【详解】解：根据题意得，． 故选：B． 【题型6.分式方程的行程问题】 【典例】某校组织七年级和八年级的学生到距离学校3千米的党史纪念馆参观学习，七年级学生步行从学校出发，10分钟后，八年级学生也步行从学校出发，八年级学生的步行速度是七年级学生的倍，两个年级学生恰好同时到达该纪念馆．设七年级学生步行的速度为x米/分，则可列方程为 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程． 表示出八年级学生步行的速度，然后根据两个年级学生恰好同时到达该纪念馆列方程即可． 【详解】解： 七年级学生步行的速度为x米/分，则八年级学生步行的速度为米/分， 根据题意列方程为． 故答案为：． 【跟踪专练1】甲、乙两人沿着阿克苏湿地公园总长度为的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设乙的速度为，则甲的速度为，根据时间路程速度结合甲比乙提前12分钟走完全程，即可得出关于x的分式方程，此题得解，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：12分钟， 设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意，得：． 故选：D． 【跟踪专练2】高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【答案】高铁的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：高铁的平均速度为． 【跟踪专练3】固原地处陕甘宁三角中心，旅游资源丰富，开通了围绕红色文化、丝路历史、自然风光和乡村民俗等特色资源的旅游专线，包括须弥山石窟(北魏至隋唐石窟群)、火石寨国家地质公园（丹霞地貌）和泾河源旅游区（清凉避暑胜地）、单趟全程大约90千米．出租车的行驶速度是旅游大巴车速度的1.5倍，如果乘坐出租车，单趟时间会缩短半小时，求出租车的速度． 【答案】出租车的速度为． 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意并根据等量关系列方程是解题关键． 设大巴车速度为 ，则出租车速度为，根据两者的时间差构建方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设旅游大巴车速度为，则出租车速度为， ， 解得，， 经检验，是原方程的解， ∴出租车速度为． 答：出租车的速度为． 【题型7.分式方程的工程问题】 【典例】为改善办学条件，提升教学质量，某校计划投资万元对教室进行升级改造．为了保证质量，实际每间教室的改造费用比原计划增加了，并比原计划多改造了间教室，总投资追加了万元．根据题意，实际每间教室的改造费用为 万元． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元，根据“实际每间建设费用增加了，并比原计划多建设了5间教室，总投资追加了40万元”列出方程求解即可． 【详解】解：设原计划每间教室的建设费用是x万元，则实际每间建设费用为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解， （万元）； 答：实际每间教室的建设费用是万元； 故答案为：． 【跟踪专练1】学校图书馆有600册图书需整理．由于图书管理员当天还需完成其他任务，实际每小时整理的图书比原计划增加了，结果提前完成整理这600册图书的任务．小禾根据这一情景中的数量关系列出方程，则该方程中的未知数表示的意义为（   ） A．实际每小时整理图书的数量 B．原计划每小时整理图书的数量 C．实际完成整理图书所需的时间 D．原计划完成整理图书所需的时间 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 通过对比实际情境与方程结构，可知方程中的表示原计划每小时整理图书的数量． 【详解】解：设原计划每小时整理图书的数量为，则原计划所需时间为， ∵实际每小时整理数量增加， ∴实际每小时整理数量为，实际所需时间为， ∵提前完成， ∴， 该方程与小禾所列方程一致， ∴表示原计划每小时整理图书的数量， 故选：B． 【跟踪专练2】教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》要求，在大中小学设立劳动教育必修课程，并将劳动素养纳入学生综合素质评价体系．某校积极开展劳动教育，在植树节当天组织学生进行植树活动．已知第一组植树12棵，第二组植树36棵，第二组比第一组多6人，结果两组平均每人植树的棵数相等，求第一组的学生人数． 【答案】第一组学生人数是3人 【分析】设第一组学生人数为未知数，根据两组平均每人植树棵数相等这一关系列方程求解．本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握根据等量关系列分式方程是解题的关键． 【详解】解：设第一组的学生人数为人，则第二组的学生人数为人．由题意得 解整式方程得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第一组的学生人数为3人． 【跟踪专练3】下面是学习分式方程的应用时，老师板书的问题和两名同学所列的方程． 18.5分式方程甲，乙两个工程队，甲队修路与乙队修路所用的时间相等，且乙队每天比甲队多修．求甲队每天修路的长度． 冰冰：    庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的x表示______________，庆庆同学所列方程中的y表示______________； (2)从冰冰和庆庆所设方法中任选一种，并写出完整过程． 【答案】(1)甲队每天修路的长度；甲队修路与乙队修路所用的时间 (2)甲队每天修路的长度为，过程见解析 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系． （1）根据甲、乙两同学所列的分式方程，找出，表示的意义； （2）选择甲或乙同学的方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得冰冰同学所列方程中的x表示甲队每天修路的长度， 庆庆同学所列方程中的y表示甲队修路与乙队修路所用的时间， 故答案为：甲队每天修路的长度；甲队修路与乙队修路所用的时间； （2）解：选冰冰同学所列的方程：， 去分母，得， 解得． 经检验是所列分式方程的解，且符合题意． 甲队每天修路的长度为； 选庆庆同学所列的方程：， 去分母，得， 解得． 经检验是所列方程的解，且符合题意． ． 甲队每天修路的长度为． 【题型8.分式方程的经济问题】 【典例】为了加强生物实验教学，提高学生动手操作能力，培养学生的学科素养，新学期开始，某学校购进了单目显微镜和双目显微镜共30台，已知购买单目显微镜用了7560元，购买双目显微镜用了4860元，且这批双目显微镜的单价是单目显微镜单价的1.5倍，求这批单目、双目显微镜各购进多少台？若设购进单目显微镜台，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台，根据总费用和台数可得单价，再根据双目显微镜单价是单目显微镜单价的 倍列方程． 【详解】解：设购进单目显微镜 台，则双目显微镜购进 台． 单目显微镜的单价为 元，双目显微镜的单价为 元． 根据题意，双目显微镜的单价是单目显微镜单价的 倍， 即． 故答案为：． 【跟踪专练1】“激情全运会，活力大湾区．”第十五届全国运动会于2025年11月9日在广州开幕．本届运动会的吉祥物纪念品“喜洋洋”和“乐融融”深受大家喜爱，其中A型号纪念品比B型号纪念品的单价多30元，用880元购买A型号纪念品的数量是用290元购买B型号纪念品数量的2倍，设购买一个A型号纪念品的单价为x元，根据题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意，正确列出分式方程即可． 【详解】解：设购买一个A型号纪念品的单价为x元，则购买一个B型号纪念品的单价为元， 根据题意，得， 故选：A． 【跟踪专练2】随着技术的不断发展和进步，人工智能已经成为现代社会中的一个重要组成部分，越来越多的领域和场景开始应用人工智能技术．星光中学为了积极响应国家“科教兴国”战略，开设智能机器人编程的校本课程，学校计划购买A，B两种型号的机器人模型，已知B型号的机器人模型的单价比A型号的机器人模型单价贵，用2500元购买A型号机器人模型的数量比用5000元购买B型号机器人模型的数量少3台．请你求出A，B两种型号机器人模型的单价．（列分式方程解） 【答案】种型号机器人模型的单价是500元，种型号机器人模型的单价是625元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据用2500元购买A种型号机器人模型的数量比用5000元购买B种型号机器人模型的数量少3台．建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设种型号机器人模型的单价是元，则种型号机器人模型的单价是元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：种型号机器人模型的单价是500元，种型号机器人模型的单价是625元 【跟踪专练3】下面是嘉淇学习“分式方程的应用”时的课堂笔记，请认真阅读并解决相应的问题．题目：某商店准备购进甲、乙两种商品；甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价少20元，用600元购进甲种商品和用1000元购进乙种商品的数量相同，求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设甲种商品每件进价元 等量关系：甲商品数量乙商品数量 ______ 解法二 设…… 等量关系：乙种商品进价甲种商品进价      (1)解法二所列方程中的表示______（填序号）； ①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③购进甲种商品和乙种商品各件， (2)请根据解法一列出方程，并求出甲、乙两种商品每件的进价； 【答案】(1)③ (2)；甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法．理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）设甲种商品每件进价为元，根据用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据表格中解法二的等量关系：乙种商品进价甲种商品进价及可知表示：购进甲种商品和乙种商品各件． 故选：③； （2）解：设甲种商品每件进价元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意． ． 甲种商品每件进价为30元，乙种商品每件进价为50元． 【题型9.分式方程的和差倍分问题】 【典例】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时多搬运千克，型机器人搬运千克所用的时间与型机器人搬运千克所用的时间相等．设型机器人每小时搬运千克化工原料，则符合题意的方程是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查分式方程的应用，准确理解题意并找出等量关系是解题的关键． 设型机器人每小时搬运千克，则型机器人每小时搬运千克，根据时间相等列出方程即可． 【详解】解：型机器人搬运千克所用时间为， 型机器人搬运千克所用时间为， 因为时间相等，所以， 故答案为：． 【跟踪专练1】某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A、B两种不同的包装箱进行包装，单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个；已知每个B型包装箱比每个A型包装箱可多装15本课外书．若设每个A型包装箱可以装书x本，则根据题意列出方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的应用，审题找到等量关系是解题的关键． 设每个A型包装箱装书x本，则每个B型包装箱装书本，根据“单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个”列出方程即可． 【详解】解：设每个A型包装箱装书x本，则每个B型包装箱装书本， 根据题意可得，． 故选：C． 【跟踪专练2】伴随着“双碳”政策的实施，新能源汽车应运而生，新能源汽车主要有纯电动汽车和油电混合动力汽车两种．已知某型号油电混合动力汽车每次换电池的时间比加油的时间多分钟，且花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等．求该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是多少？ 【答案】该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意正确列方程是解题关键．设该车每次换电池服务的时间是分钟，根据“花5小时完成换电池服务的次数与花3小时完成加油服务的次数相等”列分式方程求解即可． 【详解】解：设该车每次换电池服务的时间是分钟，则完成加油服务的时间是分钟， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， （分钟）， 答：该车每次换电池服务和完成加油服务的时间分别是分钟和分钟． 【跟踪专练3】，两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人比型机器人每小时少搬运，型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，两种机器人每小时分别搬运多少的化工原料？ 【答案】型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． 【分析】本题考查分式方程的应用，正确找出等量关系是解题关键．设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料，根据型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等，列分式方程求解即可． 【详解】解：设型机器人每小时搬运原料，则型机器人每小时搬运原料， ∵型机器人搬运所用时间与型机器人搬运所用时间相等， ∴， 解得：． 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ， 答：型机器人每小时搬运，型机器人每小时搬运． 【题型10.分式方程的其他实际问题】 【典例】新能源汽车主要是用充电桩充电，李明前后两次在不同充电站充满电，第1次花费49.6元，第2次花费54.56元．已知两次收费标准相差0.16元，则李明的新能源汽车电池容量为 ． 【答案】31 【分析】根据两次充电花费的差额和收费标准的差，利用电池容量不变列方程求解. 【详解】解：设电池容量为 ，第一次收费标准为 元，第二次为 元，由题意可得： 解得： 经检验，是原方程的解. 答：李明的新能源汽车电池容量为. 故答案为. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意，列出分式方程并求解. 【跟踪专练1】古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作个榫需要的木材为千克，下列符合题意的方程是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，根据题意列出方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克， 根据题意得，， 故选：． 【跟踪专练2】2024年8月，以“共育新质生产力，共享智能新未来”为主题的世界机器人大会在北京召开，某公司为促进智能化发展，引进了甲，乙两种型号的机器人运送物品，已知每个甲型机器人比每个乙型机器人每小时多运送物品，每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等．求乙种机器人每小时运送多少物品？ 【答案】甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品 【分析】本题考查了分式方程的应用，设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品，根据每个甲型机器人运送物品所用的时间与每个乙型机器人运送物品所用的时间相等列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种机器人每小时运送物品，则乙种机器人每小时运送物品， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲种机器人每小时运送物品，乙种机器人每小时运送物品． 【跟踪专练3】年月日，国务院印发“关于消费品以旧换新”的行动方案，要求在全国范围内开展“推动汽车换能，家电换智，家装厨卫焕新”的活动． 燃油车 新能源车 油箱容积：升 电池电量：千瓦时 油价：元升 电价：元千瓦时 续航里程：千米 续航里程：千米 刘老师近期准备换车，若燃油车每千米行驶费用比新能源车多元，请根据以上信息解决下列问题： (1)分别求出这两款车平均每千米的行驶费用． (2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】(1)燃油车平均每千米的行驶费用为元，新能源车平均每千米的行驶费用为元 (2)每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）由“燃油车每千米行驶费用比新能源车多元”可得，解方程即可求出的值，进而可求出燃油车和新能源车的每千米行驶费用； （2）设每年行驶里程为千米时买新能源车的年费用更低，由题意得，解不等式即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以（元），（元）， 所以燃油车平均每千米的行驶费用为元，新能源车平均每千米的行驶费用为元． （2）解：设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意，得． 解得． 所以每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低． 解答题 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原分式方程的解为 (2)原分式方程无解 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键，注意计算结果一定要检验． （1）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果检验可得答案； （2）先去分母化为整式方程，然后解整式方程，最后对计算结果检验可得答案． 【详解】（1）解：方程两边乘，得， 即， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为； （2）解：方程两边乘，得， 解得：， 检验：当时，，因此是原分式方程的增根， 所以，原分式方程无解． 2．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． （2）解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． （3）解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 3．某中学组织八年级学生乘车前往科技场馆参加研学活动．现有两条路线可供选择：路线A的全程是，但交通比较拥堵；路线B比路线A的全程多，但平均速度比走路线A能提高，走路线B能比走路线A少用．求走路线A和路线B的平均速度分别是多少． 【答案】走路线的平均速度是，走路线的平均速度是 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设走路线A的平均速度是x千米/小时，则走路线B的平均速度是千米/小时，利用时间路程速度，结合走路线B能比走路线A少用分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即走路线A的平均速度），再将其代入中，即可求出走路线B的平均速度． 【详解】解：设走路线A的平均速度是，则走路线B的平均速度是． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． 答：走路线的平均速度是，走路线的平均速度是． 4．甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 5．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为50000元，今年每辆销售价比去年降低300元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． 两种型号车的进货和销售价格如表： 型车 型车 进货价格/元 1000 1300 销售价格/元 今年的销售价格 1800 (1)今年型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答） (2)该车行计划新进一批型车和款型车共80辆，且型车的进货数量不超过型车数量的3倍，应如何进货才能使这批车获利最多？ 【答案】(1)1200元 (2)购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多 【分析】（1）设今年型车每辆售价元，则去年型车每辆售价元，今年与去年的销售数量均为辆，根据今年型车每辆售价今年型车的销量今年型车的销售额列关于的分式方程并求解即可； （2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据题意列关于的一元一次不等式并求其解集，设这批车获利元，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取值时值最大，再求出此时的值即可． 【详解】（1）解：设今年型车每辆售价元，则去年型车每辆售价元，今年与去年的销售数量均为辆， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的根， 答：今年型车每辆售价1200元； （2）解：设购进型车辆，则购进型车辆， 根据题意，得， 解得， 设这批车获利元， 则， ， 随的减小而增大， ， 当时值最大，则购进型车辆， 答：购进型车20辆、型车60辆能使这批车获利最多． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $