1.5 角平分线 同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.5 角平分线 同步练习 一、单选题 1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，P点到OA的距离PE＝2，点F是OB上任意一点，则线段PF的长的取值范围是（　　） A．PF＜2 B．PF＞2 C．PF≥2 D．PF≤2 2．如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点上 B．三条角平分线的交点上 C．三条高线的交点上 D．三边中线的交点上 3．在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(   ) A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的高，平分交于点，，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 6．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的面积是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 二、填空题 7．如图，在中，是的平分线，延长至点，使，连接，若，的面积为1，则的面积是 ． 8．如图，，的平分线与的平分线相交于点，过点作于点．若，则两平行线与间的距离为 ． 9．如图，在中，，，，是边上的高，将沿方向平移至，若与交于点，且，则的长为 ． 10．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为 ．    11．如图，中，，，为的角平分线， ． 12．如图，点O到的三边距离相等，，则 ． 13．如图，A、B、C在同一条直线上，和均为等边三角形，、分别交、于点M、N，下列结论中：①，②，③，④，⑤平分，其中正确的有 ．（填序号）    三、解答题 14．尺规作图（保留做图痕迹） 如下图，在内求做一点P，使P到两边的距离相等，且． 15．如图，已知点D是BC上一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，连接AD，若AD垂直平分EF，求证：AD是△ABC的角平分线． 16．如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．（在图中不能再另外补充网格） (1)________；（直接写出结果） (2)请只用无刻度的直尺，利用格点在图①中作出的平分线，并标注字母，进行证明； (3)请只用无刻度的直尺，在图②中利用格点，用不同于（2）的方法作出的平分线，并简单说明理由．（作出必要线段、标注字母辅助说理，保留作图痕迹，不要求证明） 17．在中，，为的角平分线，，垂足为E，．求的值． 18．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．对角线、相交于点，，，垂足分别是、．求证：． 19．如图，已知，平分，延长，过点作，垂足为点，连接． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】首先根据角平分线的性质，求出点P到OB的距离为2，再根据“垂线段最短”可知PF的取值范围． 【详解】解：∵P点到OA的距离PE=2， ∴P点到OB的距离2， ∵垂线段最短，且点F在OB上， ∴PF≥2． 故选：C． 【点睛】此题考查了角平分线的性质和垂线段最短，解题的关键是知道点到直线的距离垂线段最短． 2．B 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质即可得出结论． 【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等， ∴度假村应该在△ABC三条角平分线的交点处． 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线性质的实际应用，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 4．D 【分析】先利用“HL”证明△AED≌△AFD得到AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF，从而可以利用“SAS”证明△AEG≌△AFG，△DEG≌△DFG，由此求解即可. 【详解】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE=DF，∠DEA=∠DFA=90° ∵AD=AD， ∴△AED≌△AFD（HL），故B不符合题意； ∴AE=AF，∠EDA=∠FDG，∠DAE=∠DAF， ∵AG=AG，DG=DG ∴△AEG≌△AFG（SAS），△DEG≌△DFG（SAS），故A和C不符合题意； 根据现有条件无法证明△BDE≌△CDF，故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 5．C 【分析】本题考查角平分线的性质．作，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：作， ∵是边上的高，平分，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、角平分线的作法，熟练掌握相应知识是解题的关键． 根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7．6 【分析】由角平分线的性质可得DG＝DH，由三角形的面积关系可求解． 【详解】解：如图，过点D作DG⊥AC于G，DH⊥CB于H， ∵DECD，△BDE的面积为1， ∴S△BCD＝2S△BDE＝2， ∵CD是∠ACB的平分线，DH⊥CB，DG⊥AC， ∴DG＝DH， ∵AC＝2BC，，， ∴S△ACD＝2S△BCD， ∴S△ACD＝4， ∴S△ABC＝S△ACD+S△BCD＝4+2＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键． 8． 【分析】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，角平分线的性质，求平行线间的距离等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 过点作，交于点，交于点，根据平行线的性质可证得，由角平分线的性质可得，，进而可求得两平行线与间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于点，交于点， ， ， ， ， ，即， 由此可知，即为两平行线与间的距离， 是的平分线， 且，， ， 是的平分线， 且，， ， ， 两平行线与间的距离是， 故答案为：． 9．3 【分析】本题考查平移的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定．连接，由平移的性质得到，，由角平分线性质定理的逆定理推出平分，由平行线的性质和角平分线定义推出，得到，因此． 【详解】解：连接， 由平移的性质得到，， ∴，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 10． 【分析】本题主要考查作图—基本作图及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线上的点到角两边的距离相等的性质． 作，由作图知平分，据此得，再根据勾股定理得出，然后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点D作于点Q．   ， 由作图可知：平分， ∴， 在中，，，， ， ∴， ∵ ， 即， ∴， ∴． 故答案为：15． 11．3 【分析】过点D作，根据题意可得，再根据角平分线的性质可得，利用三角形的面积可得，从而进行求解即可． 【详解】解：过点D作， ∵，，，即， ∴， ∵为的角平分线，，， ∴， ∵， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质证明是解题的关键． 12．/60度 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可推出是三条角平分线的交点，即是的角平分线，是的角平分线，再利用三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：到三边的距离相等， 是三条角平分线的交点， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 13．①③④⑤ 【分析】根据等边三角形的性质以及三角形内角和定理，三角形的外角的性质得出，进而证明，即可判断①，继而证明，即可判断③，证明可判断②，由，得出，可得，即可判断④，作，，垂足分别为，由全等三角形的对应高相等可得，根据角平分线的判定即可判断⑤． 【详解】解：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，故①正确； ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②错误， ∵， ∴， ∴，故④正确； 作，，垂足分别为，    ∴， ∵， ∴由全等三角形的对应高相等可得：， 而，， ∴是的角平分线，故⑤正确； 故答案为：①③④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，角平分线的判定定理,三角形的外角性质，综合运用以上知识是解题的关键． 14．作图见解析 【分析】连接，作出线段的垂直平分线和的平分线，线段的垂直平分线和的平分线的交点即为点P． 【详解】解：如图，点P即为所求． 【点睛】本题考查了作图−基本作图，角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的作法是解题的关键． 15．见解析 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可证得AD是△ABC的角平分线． 【详解】证明：∵AD垂直平分EF， ∴DE=DF， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD是△ABC的角平分线． 【点睛】本题考查了角平分线判定定理，线段垂直平分线性质；熟记“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”和“到角两边距离相等的点都在角的平分线上”是解决问题的关键． 16．(1)4； (2)见详解； (3)见详解； 【分析】本题考查在网格中只用无刻度的直尺作角平分线，角平分线的性质； （1）观察图形即可解答； （2）过点B连接小正方形对角线即可解答； （3）根据角平分线的性质即可解答． 【详解】（1）解：由图可知小正方形的边长均为1，占4个边长则； （2）解：如图即为所求， 由图可知，且点在格点上， ∵正方形对角线平分两个对角， ∴连接小正方形的对角线，即为的平分线； （3）解：如图， 过点作于点，且，再过点作于点，且， ∵，且, ∴是的平分线． 17．6 【分析】由角平分线的性质可得，由勾股定理可得，进而可求出的值． 【详解】解： 又为的角平分线， ∴ 在中，， 由勾股定理得    【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 18．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，证明是解答的关键．先证明，根据全等三角形的对应角相等得到，再根据角平分线的性质可证得结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴． 19．(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定； （1）由，平分，得出，在与由三角形内角和定理可得，即可求解； （2）过点作，垂足为，先证明得出，再由等腰三角形的性质得出，即可证明； （3）过点作，先证明得出，再由等腰三角形的性质得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ∴， ∵平分， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． （2）证明：过点作，垂足为， 平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ， ∴． （3）证明：过点作， ， ∴， 又， ∴， ∴， ， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $