1.4 线段的垂直平分线 教案 共2课时 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦“线段的垂直平分线”核心内容，涵盖性质定理、判定定理的证明及尺规作图。课堂导入通过复习线段垂直平分线特征和等腰三角形三线合一性质，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知探究奠定基础。 此资料亮点在于以折纸实验引导学生直观感知性质（体现数学眼光的几何直观），通过逆向思考证明判定定理（发展数学思维的推理能力），例题一题多解及尺规作图原理应用（强化数学语言的应用意识）。助力学生提升推理与问题解决能力，为教师提供结构化教学流程，提升课堂效率。

第一章 三角形的证明 4 线段的垂直平分线 第1课时   一、教学目标 1.证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力. 2.能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题. 3.能用尺规做出已知线段的垂直平分线. 4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.   二、教学重难点 重点：证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力． 难点：能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题，能用尺规做出已知线段的垂直平分线.   三、教学过程 · 复习回顾 教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答. 问题1：线段的垂直平分线具有什么特征？ 预设答案：垂直且平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线. 如图，MN是线段AB的垂直平分线，交AB于点O，则MN⊥AB，且AO=OB. 问题2：等腰三角形顶角的平分线有哪些性质？ 预设答案：由等腰三角形三线合一的性质可得等腰三角形的顶角平分线垂直底边，并且平分底边． 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD所在的直线即线段BC的垂直平分线 ． 设计意图：通过复习前面学习过的线段的垂直平分线相关知识，为新课 的探究学习打下基础. · 探究新知 活动一：线段垂直平分线的性质定理 拿出准备好的纸，按照下图的样子进行对折，并比较对折之后的折痕EB和EB′，FB和FB′的关系.可以发现折痕EB=EB′，FB=FB′. 我们曾经用上面折纸的办法得到：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论吗？试一试. 设计意图：先让学生通过回忆折纸得出线段垂直平分线性质定理的过程，了解线段垂直平分线的特征，然后自主思考证明的思路和方法，并尝试写出证明过程. 教师活动：引导学生回忆之前学习的轴对称图形中关于线段平分线的知识内容.并带领学生梳理证明思路，注意强调“要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需在图形上任取一点作代表”.让学生写出已知、求证，并自主证明，最后再进行总结. 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的任意一点. 求证：PA = PB. 分析：要证明PA=PB，只需证明△PCA≌△PCB. 注意：如果点P与点C重合，那么结论显然成立，因此证明过程中的点P与点C不重合. 证明：∵MN⊥AB，∴ ∠PCA=∠PCB=90 °. ∵ AC=BC，PC=PC， ∴△PCA≌△PCB（SAS）. ∴ PA=PB(全等三角形的对应边相等). 总结：线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB. 应用：经常用来证明两条线段相等. 设计意图：让学生从定理内容、几何语言、应用几个方面进行归纳总结线段垂直平分线的性质定理. 活动二：线段垂直平分线的判定定理 尝试·思考 你能写出上面这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？请证明自己结论的正确性. 设计意图：引导学生对性质定理进行逆向思考，提出猜想，然后加以证明.这是获得新的几何结论的一种常用方法. 教师活动：引导学生运用转化的思想，先找到原命题的条件和结论，把命题写成“如果……那么……”的形式，然后再写出它的逆命题，最后再对命题的形式进行整理. 预设答案：逆命题：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题. 已知：如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. 证明：∵过点P作直线MN⊥AB，垂足为点C，则PC是△PAB的高. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. ∴ PC是△PAB的中线(三线合一). ∴ AC=BC. ∴直线MN是线段AB的垂直平分线. ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 总结：线段垂直平分线的判定定理： 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)． 应用：经常用来证明点在直线上或直线经过某一点. 设计意图：让学生从定理内容、几何语言、定理应用几个方面进行归纳总结线段垂直平分线的判定定理. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC. 求证：直线AO垂直平分线段BC. 分析：由已知AB=AC，OB=OC，结合线段垂直平分线的判定定理，可以分别证出点A和点O为线段BC垂直平分线上的点，从而证出结论. 证明：∵AB = AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). 同理，点O在线段BC的垂直平分线上. ∴直线AO是线段BC的垂直平分线(两点确定一条直线). 教师活动：进一步提出思考，你还有其他的证明方法吗？ 方法2： 分析：可以用全等三角形证明：设AO交BC于点D，先依据基本事实SSS证明△ABO≌△ACO得到∠BAO=∠CAO，再证明△ABD≌△ACD，从而使问题得证. 证明：延长AO交BC于点D， ∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO(SSS). ∴∠BAO=∠CAO， ∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SAS). ∴BD＝CD，∠ADB=∠ADC=90. 即直线AO垂直平分线段BC. 教师活动：引导学生对比两种证明方法，会发现使用垂直平分线的判定定理证明更加简便. 设计意图：通过解决例题让学生理解线段垂直平分线的性质定理及判定定理，注意引导学生阅读、理解题意，一题多解，培养学生的发散思维. · 课堂练习 【教材练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1. 还记得用尺规作线段垂直平分线的方法吗？试用本节所学的定理解释其中的道理. 解：用尺规做出线段AB的垂直平分线. 已知：线段AB，如图. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：(1)分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和点D. (2)作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 证明：∵AC=BC，∴点 C 在线段 AB 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上). 同理，点 D 在线段 AB 的垂直平分线上. ∴直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线(两点确定一条直线). 教师活动：进行总结说明，并提示CD与线段AB的交点就是AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点. 【自选练习】 2.如图，已知AB是线段CD的垂直平分线，E是AB上的一点，如果EC=7cm，那么ED=_____cm；如果∠ECD=60°，那么∠EDC= . 答案：7，60 3.如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确 答案：A 4.如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE分别交AB，AC于点E，D. (1)若△BCD的周长为8，求BC的长； (2)若BC＝4，求△BCD的周长． 解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD. ∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝4＋5＝9. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 4 线段的垂直平分线 第2课时   一、教学目标 1.能用尺规做出已知直线的垂线，培养尺规作图的技能. 2.掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形. 3.会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题. 4.经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力.   二、教学重难点 重点：能用尺规做出已知直线的垂线，培养尺规作图的技能；掌握三角形三条边的垂直平分线的性质，能利用尺规作出符合条件的三角形. 难点：会证明三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，并解决相关的问题．   三、教学过程 · 复习回顾 教师活动：教师提出问题，引导学生思考回答. 问题1：线段垂直平分线的性质定理是什么？它有哪些应用？ 预设答案：定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 几何语言：如图，直线MN⊥AB，垂足是点C，且AC=BC，P是MN上的点，则PA=PB. 应用：证明两条线段相等. 问题2：线段垂直平分线的判定定理是什么？它有哪些应用？ 预设答案：定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言：如图，线段AB，PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上(即PC⊥AB且AC=CB)． 应用：证明点在直线上或直线经过某一点. 问题3：如何作已知线段的垂直平分线？ 预设答案：已知：线段AB，如图. 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：1.分别以点A和B为圆心，以大于线段AB长度的一半为半径作弧，两弧交于点C和D. 2.作直线CD.则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 设计意图：通过复习前面学习过的线段垂直平分线的相关知识，为新课的探究学习打下基础. · 探究新知 尝试·思考：(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能画出满足条件的三角形吗？如果能，能作几个？所作出的三角形都全等吗？ 预设答案：能作出无数个，所作出的三角形不都全等. 设计意图：这里设置的三个问题，为学生进行尺规作图的探索提供了思考空间，同时也为下面的学习奠定基础. (2)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？与同伴进行交流. 分析：先作出底边的垂直平分线，再截取已知长度的高，即可作出满足条件的三角形. 预设答案： 已知：如图，线段a，h. 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD= h. 作法： (1)作线段BC=a. (2)作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D. (3)在l上截取DA= h. (4)连接AB，AC. △ABC就是所求作的等腰三角形.这样的三角形有两个. 设计意图：教学时让学生先回忆基本的作图方法，并引导学生体会每一步作图的作用和理论依据. 思考·交流：(1)已知直线l和l上一点P，用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P . 预设答案： 作法：(1)以点P为圆心，适当长为半径向点P两侧的直线l上作弧，交直线l于A，B两点. (2)分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径向直线l的两侧作弧，分别交于点M，N. (3)连接MN.MN就是要作的垂线. 教师活动：这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题. 设计意图：在前面探究的基础上，完成尺规作图.因为用尺规作线段的垂直平分线是七年级上册学习过的内容，因此教学时要让学生先回忆这些基本尺规作图的具体作法. (2)如果点P在直线l外呢？此时，还能运用这种转化方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流. 分析：应先依据题意写出已知、求作.可以在直线 l 的另一侧取点 Q，过 P 点以 PQ 长为半径作弧，与直线 l 相交于两点，即构造出等腰三角形，则问题就转化为等腰三角形作底边垂直平分线的问题，得以解决. 预设答案： 已知：直线l及l外一点P. 求作：直线m垂直于直线l，且经过点P. 作法：(1)任取一点Q，使点Q与点P在直线l两旁. (2)以点P为圆心，以PQ的长为半径作弧，交直线l于点A和点B. (3)作线段AB的垂直平分线m.直线m就是所要作的直线. 教师活动：进行总结说明，给出简要证明，因为PA=PB，根据线段垂直平分线的判定定理可证得. 设计意图：综合考察学生的作图能力和作图方法的掌握情况. · 应用新知 教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，教师巡视，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程. 【教材例题】 例1. 已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线PD与边BC的垂直平分线PE相交于点P. 求证：边AC的垂直平分线经过点P. 分析：要证明点P在边AC的垂直平分线上，需要什么条件？已知的两条垂直平分线相交于点P，由此你能得到哪些相关的结论？ 证明：如图，连接PA，PB，PC. ∵点P在边AB的垂直平分线上， ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).同理，PB=PC.∴PA=PB=PC. ∴点P在线段AC的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)，即边AC的垂直平分线经过点P. 设计意图：通过解决例题，让学生理解线段垂直平分线性质定理及判定定理，注意引导学生阅读、理解题意. 思考：分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说说你的发现. ① 锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点； ② 直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处. ③ 钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点. 设计意图：引导学生通过作图，发现不同形状的三角形的三条垂直平分线的交点位置的不同，为后续研究交点的位置作铺垫. 总结：三角形三边垂直平分线的特点： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 三角形三边垂直平分线交点的位置： (1)锐角三角形三边的垂直平分线交于三角形内部一点； (2)直角三角形三边的垂直平分线交于三角形斜边中点处； (3)钝角三角形三边的垂直平分线交于三角形外部一点. 设计意图：总结介绍三角形三条垂直平分线交点位置的特点，为后续学习三角形的外接圆作铺垫. · 课堂练习 【自选练习】 教师活动：教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解. 1.三角形三边的垂直平分线的交点(　　) A．到三角形三边的距离相等 B．到三角形三个顶点的距离相等 C．到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D．不能确定 答案：B 2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是(　　) A．10° B．20° C．30° D．40° 答案：A 3.如图，O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为5 cm，则AO+BO+CO=　　cm. 答案：15 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝52°，O为AB，AC的垂直平分线的交点，连接OB，OC，那么∠OCB＝______． 答案：38° 5.如图，在△ABC中，BC＝2，∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，请找出图中相等的线段，并求△AEF的周长. 解：如果设AB的中点为D，AC的中点为G， 那么图中相等的线段有：AD=BD(已知)，AG=CG(已知)， BE＝AE(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等)， 同理AF＝CF. ∴△AEF的周长为AE＋EF＋AF＝BE＋EF＋FC＝BC＝2. 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养学生独立完成练习的习惯． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 设计意图：通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识. 学科网（北京）股份有限公司 $