第1章 三角形的证明及其应用 复习题---- 线段的垂直平分线和角平分线 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第1章《三角形的证明及其应用》复习题-一线段的垂直平分线和角平分线 一、单选题 1.如图，在△ABC中，∠C=90°，LB=I5°，AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E.若 DB=12cm,则AC=() E D B A.4cm B.5cm C.6cm D.7cm 2.如图，射线OC是∠AOB的平分线，DP⊥OA,DP=4,若点Q是射线OB上一动点，则线段 DQ的长度不可能是() A.3 B.4 C.5 D.6 3.在联合会上，有A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游 戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当 的位置是在△ABC的() A.三边中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三边中垂线的交点 D.三边上高的交点 4.如图，在△ABC中，LACB=90°，∠B=32°，直线DE垂直平分AB,分别交AB于点D,交BC于 点E,连接CD,则∠CDE等于() B /E A.16 B.26 C.32 D.58 5.如图，△ABC中，LBAC=60°，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线MD相交于D, DE⊥AB交AB的延长线于E,DF⊥AC于F,下列结论：①DE=DF;②DE+DF=AD;③DM 平分LEDF;④AB+AC=V3AD;正确的是() F B A.①② B.①③ C.①②③ D.①②④ 二、填空题 6.如图，BC的垂直平分线分别交AB、BC于点D和点E,连接CD,AC=DC,∠B=25°，则∠ACD 的度数是· E O B 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB,BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 B D 8.如图，在△MBC中，分别以点A和点B为圆心，大于)AB的为半径画弧，两孤交于点M,N, 作直线MN,交BC于点D,连接AD,若△ADC的周长为12，AB=8,则△ABC的周长为 B M米 9.从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相等的角，则这两条射线就叫 这个角的三等分线.如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点，若 LA=60°，则LBMW的度数是 B4 10.如图，已知在△ACE中，LAEC=90°，点D,B分别在边CE,AE上，DF⊥AC于F, BD=CD,BE=CF. (1)若∠C=60°，则∠BAD=; (2)已知AC=10,BE=2,则AB的长是 E B D 三、解答题 11.如图，在△ABC中，AC边的垂直平分线分别交BC、AC于点E、F,连接AE,作AD⊥BC于 点D,且D为BE的中点. B D (1)试说明：AB=CE: (2)若LC=32°，求∠BAC的度数. 12.如图，已知△ABC中，∠C=90°，按下列要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）. A B C (1)作AB边的垂直平分线，交AC于点E,交AB于点F; (2)连接CF; (3)作∠BFC的平分线，交BC于点G. I3.如图，在△ABC中，D是BC上一点，DF⊥AC于点F,连接EF,AD垂直平分EF. E B D (1)求证：AD是∠BAC的平分线； (2)若△ABC的周长为18，△ABC的面积为24，BC=6,求DE的长. 14.如图，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于E,EF⊥AB,交AB于F, EG⊥AC,交AC的延长线于G. F D E G (1)试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论. (2)若AB=10,AC=4,试求AF的长. 15.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于N,交BC的延长线于M,∠A=40度. M (1)求∠M的度数； (2)若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小； (3)你发现了怎样的规律？试证明： (4)将(1)中的∠A改为钝角，(3)中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改. 16.如图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M,N两点，DM与EN相交 于点F. D M (1)若∠ACB=120°，则∠MCN的度数为一； (2)若LMCN=,则LMFN的度数为_；（用含a的代数式表示） (3)连接FA、FB、FC,aCMN的周长为6cm,△FAB的周长为14cm,求FC的长. 17.如图，LBAC=90°，CD平分∠ACB交AB于D,CM⊥CD,点M在AB的垂直平分线上， AM交BC于O,MG⊥AC于点G,MF⊥BC于点F. D G (1)求证：LBCM=∠GCM; (2)若CG=2,求BC-AG的长； (③)若点D在BC的垂直平分线上，试判断△ABM的形状，并说明理由. 18.数学活动：如图1，角的平分线的性质的几何模型，已知OP平分∠A0B,PA1OA于点A, PB⊥OB于点B. A A M Q 7 B B 图1 图2 图3 (I)探究：如图2，点M是OP上任意一点（不与O、P重合），连接MA、MB,问题：请判断 M4与MB的数量关系，并证明你的结论. (2)如图3，连接AB.问题： ①OP垂直平分AB吗？请说明理由 ②若∠A0P=30°，AB=6,求△AOB的周长 参考答案 一、单选题 1.C 连接AD, E B D :DE是AB的垂直平分线， :AD DB=12cm, LDAE=∠B=15°， 又：∠C=90°， ∠CAD=180°-∠C-∠B-∠DAE=60°， ∠ADC=30°， 则在直角三角形ACD中，AC=】AD=6m. 故选：C. 2.A 解：如图，过点D作DE⊥OB于E, A D E B :OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA, ..DP=DE, 由垂线段最短可得DQ≥DE, DP=4, .DQ24. 故选：A. 3.C 解：由题可得：要使游戏公平，凳子就需要放在到A、B、C三名选手距离相等的位置， 则凳子所在的位置是△ABC的外接圆圆心， ,三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点， ∴.凳子的位置应该放在△ABC三边中垂线的交点. 故选：C. 4.B 解：，LACB=90°，直线DE垂直平分AB,垂足为D, ∴.CD=BD,LBDE=90°， ∠B=32°， ∴∠B=∠DCB=32°， .ZB+ZDCB+ZBDC=180 ∴.∠BDC=116°， ∴.LCDE=LBDC-∠BDE=II6 故选B. 5.D 解：.AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ED=DF, ∴①正确； ∠EAC=60°，AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=LFAD=30°， .DE1AB,∠EAD=30g, D号0， 同理：DFD, ∴DE+DF=AD, ∴.②正确； .ED =DF, ∴.若DM平分∠EDF,则DM⊥EF,与MD⊥BC矛盾， ∴.③错误； 如图所示：连接BD、DC, B D ,DM是BC的垂直平分线， .DB=DC, 在Rt△BED和RtACFD中， (DE=DF BD=DC' ∴.Rt△BED≌RtACFD(HL), ∴.BE=FC, .AB+AC=AE-BE+AF+FC AE+AF :R16AED中，ED=AD,R△APD中，DF=AD, 2 、2 ∴.AB+AC=AE+AF=√5AD, ∴④正确： 综上可知，正确的有①②④， 故选D. 二、填空题 6.80 解：DE垂直平分BC, ∴.CD=BD, ∴.LBCD=LB=25°， ∴.∠ADC=∠B+∠BCD=50°， AC=DC, .LA=LADC=50°， ∴.∠ACD=180°-（∠A+∠ADC)=80°， 故答案为：80° 7.3 解：过点D作DH⊥AB于点H, H B D BC=8,BD=5, ∴.CD=BC-BD=3, .∠C=90°， ∴.DC1AC, AD平分∠CAB, .'DH =DC=3, .点D到AB的距离是3， 故答案为：3. 8.20 解：：分别以底A和点B为圆心，大于B的为半径画孤，两烈交于点M,N,作直线MN, 交BC于点D,连接AD, MN是直线AB的垂直平分线， .AD BD .若△ADC的周长为12， .∴.AD+CD+AC=I2, .AC+CB=12, AB=8, .△ABC的周长为：AC+CB+AB=12+8=20, 故答案为：20. 9.50 设∠ABC=3x,∠ACB=3y, ,点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点， ∠CBN=∠NBM=∠MBA=;∠ABC=x,∠BCN=∠NCM=∠MCA=!∠ACB=y, 3 ∠A=60°，∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴3x+3y=180°-∠A=120°， .∴.x+y=40°， .∴.∠BMC=180°-2x+y)=100°， 如图，过点N作NG⊥BC于G,NE⊥BM于E,NF⊥CM于F, M E 个F W B G :点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点， ∴.BN平分∠MBC,CN平分∠MCB, .'NE=NG,NF =NG, ∴.NE=NF, ∴.MN平分∠BMC, ·∠BMN=)ZBMC=50 故答案为：50. 10. 15° 6 解：(1)：∠AEC=90°，DF⊥AC, ∠BED=LDFC=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF BD=CD' Rt△BDE≌Rt△CDF(HL, :DE =DF :AD平分∠EAF, ∠BaD-B1C, ∠AEC=90°，∠C=60°， :∠EAC=90°-∠ACE=30°， ·∠BAD=∠EAC=15°， 故答案为：15°； (2)BE=2, .CF BE =2, AF=AC-CF=10-2=8, 在Rt△ADE和RtAADF中， DE=DF AD=AD' Rt△ADE≌Rt△ADF(HL), .AE AF=8, AB=AE-BE=8-2=6, 故答案为：6. 三、解答题 11.(1):D为BE的中点， ∴BD=DE, AD⊥BC, .AB AE, EF是AC的垂直平分线， ∴AE=CE, ∴.AB=CE; (2),LC=32°，AE=CE, .∠C=∠EAC=32°， ∴.LAEB=LC+LEAC=64°， AB=AE, ∴.∠B=LAEB=64°， .∠BAE=180°-∠B-∠AEB=180°-64°-64°=52°， ..∠BAC=LBAE+LEAC=52°+32°=84°. 12.(1)解：如图， (2)解：如图， (3)解：如图， 13.(1)证明：，AD垂直平分EF, ∴.DE=DF, 又，DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.AD是∠BAC的平分线； (2)解：.△ABC的周长为18，BC=6, .AB+AC=12, 又DF=DE, DECDFC)2 2 ÷0Ex12-24 ∴DE=4. 14.(1)解：BF=CG,证明如下： 如图，连接BE、CE, 人 D B C E G :AE平分∠BAC,EF⊥AB,EG⊥AC, ·EF=EG, :D为BC的中点，DE⊥BC, :DE垂直平分BC, :EB=EC, 在Rt△BFE和Rt△CGE中， EF=EG EB=EC' :Rt△BFE≌Rt△CGE(HL), :BF=CG (2)解：在RtAAFE和RtaAGE中， AE=AE EF=EG' ·Rt AFE≌RtAAGE(HL), ·AF=AG, :AB-BF AC +CG 由(1)知BF=CG, :AB-BF AC BF Br=B-40=x10-4到=3， :AF=AB-BF=10-3=7. 15.(1)解：AB=AC,∠A=40度， .∠B=180°-∠A)=70°， 2 ,MN为AB的垂直平分线， ∴.∠BNM=90°， ∴.∠M=90°-∠B=20°； (2),AB=AC,LA=80度， ∠B=180-∠周=50， ,MN为AB的垂直平分线， ∴.∠BNM=90°， ∴.∠M=90°-∠B=40°； (3)等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半，理由如下： .AB AC, B-8o-2A=0A, MN为AB的垂直平分线， .∠BNM=90°， M=90-∠B=90-90+5A=A: (4)成立，当∠A为钝角时，如图： B M、 AB=AC, “Bs0-∠A=90-a, ,MN为AB的垂直平分线， .∴.∠BNM=90°， ∠M=90r-∠B=90-90+54=5A: 故成立 16.(1)解：：在△ABC中，∠ACB=120°， LA+∠B=180°-LABC=60°， :DM,EN分别垂直平分AC和BC, :MA=MC,NB=NC .∠ACM=∠A,∠NCB=∠B, .∠ACM+∠NCB=60°， :∠MCN=∠ACB-∠ACM+∠NCB）=120°-60°=60°， 故答案为：60°； (2)解：：DM,EN分别垂直平分AC和BC, ·MA=MC,NB=NC, .∠ACM=∠A,∠NCB=∠B, :∠A+∠B+∠ACM+∠NCB+∠MCN=180°， 2∠A+∠B+∠MCN=180°，即2∠A+∠B)+a=180°， ∠A+∠B=90°-7a, :∠MFN+∠FMN+∠FNM=180°，∠FMN=∠AMD=90°-∠A,∠FNM=∠BNE=90°-∠B, .∠MFN=180°-∠FMN-∠FNM =180°-(90°-∠A-(90°-∠B) =180°-90°+∠A-90°+∠B =∠A+∠B 9001 , 故答案为：900： (3)解：如图，连接AF、BF、CF, D B M :DM,EN分别垂直平分AC和BC, :MA=MC,NB=NC, :aCMN的周长为6cm, :MC+NC MN =6cm .MA+NB+MN 6cm AB =6cm :△FAB的周长为14cm, :FA+FB+AB =14cm :FA+FB 8cm :DF,EF分别垂直平分AC和BC, :.FA=FC,FB=FC, :2FC =8cm .FC=4cm. 17.(1)证明：，CD平分∠ACB, ∴.LACD=LBCD, .CM⊥CD, ∴.∠DCM=90°， ∴.LACD+LMCG=90°，LDCB+LBCM=90°， .∴.∠BCM=LGCM; (2).∠BCM=∠GCM,∠MFC=∠MGC=90°，CM=CM, ∴.△FCM≌aGCM(AAS), ∴.MF=MG,CF=CG=2, ,点M在AB的垂直平分线上， ∴.AM=BM,且FM=MG, .∴.Rt△BFM≌Rt△AGM(HL), ∴.BF=AG,∠CBM=∠MAG, ∴.BC-AG=BC-BF=CF=2; (3),点D在BC的垂直平分线上， ∴BD=CD, .∴.∠DBC=∠DCB,且∠ACD=∠DCB,∠DBC+∠DCB+∠ACD=90°， ∴.LDBC=∠DCB=∠ACD=30°， .AM BM, .∴.∠MAB=∠MBA=∠ABC+∠CBM=30°+∠CBM, .ZCBM =ZMAG ∴.∠MAB=30°+∠MAG, ,∠MAB+∠MAG=∠BAC=90°， ∴.∠MAG=30°， .∠MAB=LMBA=60°， .∴.∠AMB=60, ∴.△ABM是等边三角形. 18.(1)解：MA=MB,证明如下： ,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥0B, LA0P=LB0P,L0AP=∠0BP=90°， 又0P=0P, ∴.△OAP≌△OBP(AAS), .0A=0B, .OM=OM,∠AOM=∠B0M,0A=0B, ∴.△AOM≌△BOM(SAS, ∴.MA=MB. (2)①解：OP垂直平分AB,理由如下： 如图3，记AB与OP的交点为C, A B 图3 由(1)可知a0AP≌△OBP(AAS, 0A=0B, ,0A=0B,∠A0P=∠B0P,0C=0C, ∴.△OAP≌aOBP(AAS), .∴.AC=BC,∠AC0=∠BC0=90°， OP垂直平分AB. ②解：，OP平分∠A0B,∠A0P=30°， .∠A0B=60°， 又.0A=0B, ∴△A0B是等边三角形， ∴.0A=0B=AB=6, △A0B的周长为0A+0B+AB=18, .求△A0B的周长为18.