1.4 线段的垂直平分线（第2课时 尺规作图）同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4线段的垂直平分线（第2课时 尺规作图）同步练习 一、单选题 1．三条公路将三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，使，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A．三条高线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．如图，在中，，，用圆规和直尺作图，画出把分成两个三角形，使其中一个为等腰三角形，不符合题意的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，以点C为圆心，以长为半径作弧，交于点D；分别以点B和点D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P；作射线交于点E．则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．在中，按如图方式作图得点D，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 5．下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 6．已知（），用尺规作图的方法在上确定一点，使．符合要求的作图痕迹是（    ） A． B． C． D． 7．尺规作图要求：已知，直线和点，作，使其与全等且一条边在直线上，一条边过点，右图是小红的作图痕迹，小林说：“小红的作图完全正确，作图依据是．”下列判断正确的是（    ） A．小林说的完全正确 B．小林只说对一半，作图依据应是 C．小林只说对一半，作图依据应是 D．小林说的完全不正确 8．如图，在中，，点为上一点，点为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过中点，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 二、填空题 9．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为 ． 10．如图，在中，，根据尺规作图痕迹，若周长为19，则的周长是 ． 11．如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 12．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点D，交于点E，连接．若，则的度数是 ． 13．如图，在中，，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点P，连接，则的度数是 ． 14．如图，在中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点；分别以A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点；且分别与相交于M，N两点，连接、，若，则 ． 三、解答题 15．如图，已知线段，，．求作，使，且分别满足下列条件； (1)上的中线为． (2)上的高为． 16．如图，在中，，在边上作一点，使得． (1)尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； (2)若，求证； (3)在（2）的条件下，若的周长为，的周长为，则的长为___________（用含的式子表示）． 17．如图，已知． (1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点，交于点（只保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)连接，若的周长为，，则的周长为_______ ． 18．如图，在中，，． (1)作线段的垂直平分线，交于点E，交于点D，连接；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则______． 19．如图，已知． (1)按要求尺规作图（仅用无刻度直尺和圆规），保留作图痕迹，不写作法． ①作出的高； ②在延长线上截取，连接，； (2)在（1）的条件下，线段和的数量关系是什么？请说明理由． 20．如图，在中，， (1)请用尺规作图的方法作出的垂直平分线，交于点，交于点．（不写作法，保留作图痕迹，先用铅笔画，再用黑色签字笔描） (2)若为的中点．求证：； (3)若，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，灵活运用“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”这一性质是解题的关键．根据该性质得出满足的点是三边垂直平分线的交点． 【详解】三条高线的交点（垂心）：主要与高线相关； 三条角平分线的交点（内心）：是三角形内切圆的圆心，到三边的距离相等； 三条中线的交点（重心）：是三角形的重心，将每条中线分为的两段； 三边垂直平分线的交点（外心）：是三角形外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等（即）， 要使，集贸市场应建在三边垂直平分线的交点处． 故选：． 2．D 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质．根据三角形内角和定理可得的度数，再根据尺规作图，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， A、由作法得：，则为等腰三角形，故本选项不符合题意； B、由作法得：平分，则，则，则为等腰三角形，故本选项不符合题意； C、由作法得：所作直线垂直平分，则，则为等腰三角形，故本选项不符合题意； D、由作法得：所作直线垂直平分，则，无法得到以及的形状，故本选项符合题意； 故选：D 3．C 【分析】本题主要考查了尺规作图和直角三角形的性质，解题的关键就是根据作图法则得出直角三角形． 根据辅助线作法得出，然后直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵根据作图法则可得：， ， ， 故选：C． 4．A 【分析】此题考查了尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等边对等角，根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：由作图得，垂直平分 ∴，， ∴，，故B，C，D正确； 根据题意无法得到，故A错误． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 6．D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和尺规作图，熟练掌握垂直平分线的内容是解题的关键； 先将转化为，再依据线段垂直平分线的性质分析各选项作图痕迹是否满足． 【详解】解：A、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； B、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； C、由作图痕迹得出：，无法推出，不符合题意； D、由作图痕迹得出：，可以推出，符合题意； 故选： D． 7．C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定以及尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图的方法以及三角形全等的判定定理． 由作法得：，，即可解答． 【详解】解：由作法得：，， 在和中， ∵， ∴， ∴小林只说对一半，作图依据应是． 故选：C 8．B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键；设的中点为，连接，由题意易得，为的垂直平分线，则有，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：在中，， ， ， 设的中点为，连接， ∴， 分别以点P，Q为圆心，以大于为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线， 为的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 9． 【分析】本题考查线段垂直平分线的实际应用：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．熟记相关结论是解题关键．由题意得：垂直平分线段，得，即可求解； 【详解】解：由题意得：垂直平分线段， ∴； ∴的周长， 故答案为： 10．11 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质．由作法得：垂直平分，从而得到，，再结合周长为19，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴，， ∵周长为19， ∴， ∴， ∴的周长是11． 故答案为：11． 11．①②③ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，轴对称图形的识别，根据题意可得，据此可判断①；可证明，得到四边形是轴对称图形，，据此可判断②③；根据现有条件无法证明是等边三角形，据此可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴直线垂直平分线段，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形是轴对称图形，，故①正确； ∴平分，故②正确； 根据现有条件无法证明是等边三角形，故④错误， 故答案为：①②③． 12． 【分析】本题考查了尺规作图（垂直平分线），线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用这些性质解决问题． 由题意可得，是的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意知，是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．或 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，由作图方法可知，垂直平分，则由三线合一定理可推出点A在直线上，再分点P在点A下方和点P在点A上方，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】解：由作图方法可知，垂直平分， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴点A在直线上， 如图所示，当点P在点A下方时， ∴， 由作图方法可知， ∴； 如图所示，当点P在点A上方时， 同理可得 由作图方法可知， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 14．/115度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握尺规作图和等腰三角形的性质是解题关键．先得出垂直平分，垂直平分，则，再根据等腰三角形的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】解：由题意得：垂直平分，垂直平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图； （1）作线段，以为圆心，为半径作弧，以为圆心，为半径作弧，两弧交于点，延长到点，使得，连接，即为所求； （2）作射线，并截取，过作的垂线，以点为圆心，为半径作弧，与的垂线交于点，以为圆心，在的垂线上截取，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图1，即为所求， （2）解：如图2，即为所求， 16．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）作线段的垂直平分线交于点D，连接，点D即为所求； （2）由作图知，再根据三角形的外角性质求得，推出，由等角对等边即可得到； （3）利用三角形的周长公式计算，可得结论． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求． （2）解：∵，， ∴， 由作图知， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线． 17．(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查尺规作线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质，正确作出线段垂直平分线是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图过程作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求： （2）解：连接， ∵是边的垂直平分线，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：14． 18．(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，30度角的直角三角形的性质． （1）作图：分别以为圆心，大于为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交于点E，交于点D，即可求解； （2）先求得，由作图知是的垂直平分线，得到，，在中，利用30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：所作图形如图所示； ； （2）解： ，且， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 在中，，， ， 故答案为：6． 19．(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了尺规作图，垂线的作法和垂直平分线的判定和性质，观察并利用图形的隐含几何性质是解题的关键； （1）①以点为圆心，长为半径画弧，与线段交于点，再分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于一点，将点与这点连接，交于点，高即为所求； ②以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线交于点，即，再连接，即可； （2）由作图可知，垂直平分线段，即可证明． 【详解】（1）①如图所示，高即为所求； ②如图所示，，，即为所求． （2）解：，理由如下： 由作图过程可得，，， ∴垂直平分线段， ． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作垂直平分线，垂直平分线性质，三线合一，三角形的内角和定理： （1）根据题意作出的垂直平分线，，交于点，交于点，即可求解； （2）连接，由题意可判定垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，即可证明结论； （3）由等腰三角形的性质可求，由直角三角形的性质可得的度数，即可求得的度数，进而可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：连接， ∵于点D，且D为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $