第九章 因式分解 单元测试卷（一） 2025-2026学年冀教版七年级数学下册

七年级数学下册 第九章 因式分解 单元测试卷（一）冀教版 一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1．把多项式分解因式等于（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式中能用平方差公式进行分解因式的是（　　） A． B． C． D． 3．下列等式中，哪些从左到右的变形是因式分解（　　） A． B． C． D． 4．给出下面四个多项式：①x2-xy； 其中含因式(x-y)的有 (　　) A．①② B．①③ C．①②③ D．②③④ 5．将 因式分解， 应提取的公因式是（　　） A． B． C． D． 6． 若多项式因式分解后的结果是，则的值是（　　） A．10 B． C． D．13 7．已知（2x-8）（3x-4）-（3x-4）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），则a+2b的值是（　　） A．1 B．6 C．7 D．8 8．如图，有型、型、型三种不同的纸板．其中型是边长为的正方形，共有1块；型为边长为2的正方形，共有2块；型是长为，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠、不留空隙），则下列操作可行的是（　　） A．用全部7块纸板 B．加上3块型纸板 C．拿掉2块型纸板 D．加上1块型纸板 9．n为自然数，计算代数式n3-n的值时，四位同学算出了下列四个结果，其中不可能的是（　　） A．720 B．1320 C．2729 D．9240 10．已知关于 的二次三项式 分解因式的结果为 ， 则 和 的值分别是（　　） A． B． C． D． 11．对于等式 有下列两种说法： ① 从左向右是因式分解； ②从右向左是整式乘法．关于这两种说法正确的是（　　） A．①、②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①、②均错误 12．将几个图形拼成一个新图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式．将若干张图2所示的卡片进行拼图，可以将二次三项式分解因式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分) 13．因式分解： =　 　. 14．若代数式的值是5，则代数式的值是　 　 。 15．现有下列多项式：①；②；③；④．在因式分解的过程中用到“平方差公式”来分解的多项式有　 　．（只需填上题序号即可） 16．已知长方形的周长为180厘米，两邻边长分别为x厘米、y厘米，且x2+x2y-4xy2-4y2=0，则长方形的面积为　 　. 三、解答题(本大题共8小题，共72分) 17． 分解因式： （1）． （2）． （3）． 18．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗?说说你的理由。 19．如图，在一块边长为a(cm)的正方形纸板的四角，各剪去一个边长为的正方形，利用因式分解计算当a=13.2，b=3.4时的剩余部分的面积. 20．将 再加上一项，使得到的多项式能化为( 的形式。你有几种方法? 21． 生活中我们经常用到密码，如到银行取款．有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式因式分解，如多项式，因式分解的结果为，当，时，各个因式的值是，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码． （1）对于多项式，当，时，试写出用上述方法产生的一个六位数密码． （2）对于多项式，当时，用上述方法产生的其中一个六位数密码为242527，问能否求出p，q，若能，请求出p，q的值；若不能，请说明理由． 22．已知a＝4+n，b＝2+n，n为正整数． （1）求5a÷5b的值． （2）利用因式分解说明：2a﹣2b能被24整除． 23．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且m>n.(以上长度单位：cm) （1）用含m，n的代数式表示所有裁剪线(图中虚线部分）的长度之和； （2）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为　 　. （3）若每块小矩形的面积为10cm2四个正方形的面积和为58cm2，试求m-n 的值. 24．对于多项式x2+2x-3，如果我们把x=1代入此多项式，发现x2+2x-3=0，这是可以确定多项式中有因式（x-1）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x-a），于是我们可以把多项式写成：x2+2x-3=（x-1）（mx+n）. （1） 求式子中m， n的值： （2）以上这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式，请你尝试用试根法分解多项式2x2+5x+3： （3）小东猜想：如果将x=a代入多项式x3-8能使x3-8=0，那么x3-8就一定能分解成如下形式（x-a）（bx+cx+d）.你认为小东的猜想是否正确？若正确，请直接写出a、b、c、d的值：若不正确，请说明理由， 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：=， 故选：B． 【分析】提公因式进行因式分解即可求出答案. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； B、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； C、，不能用平方差公式进行分解因式，不符合题意； D、，符合题意. 故答案为：D． 【分析】一个二项式满足符号相反，且每一项都能写成一个整式的完全平方，这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断得出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：A、， 等式右边不是乘积的形式， ∴等式表示的不是因式分解， ∴此选项不符合题意； B、，等式右边不是几个整式的乘积形式， ∴等式表示的不是因式分解， ∴此选项不符合题意； C、，是因式分解， ∴此选项符合题意； D、， 等式右边不是乘积形式， ∴等式表示的不是因式分解， ∴此选项不符合题意. 故选：C． 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，根据分解因式的概念并结合各选项即可判断求解． 4．【答案】C 【解析】【解答】解：① x2-xy=x(x-y)； ②x2-y2=(x+y)(x-y)； ③x2-2xy+y2=(x-y)2； ④x2+y2不能因式分解； 其中含因式(x-y)的有①②③， 故选：C. 【分析】把各多项式因式分解，然后逐项判断解答即可. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：，系数可以提取3，字母可提取ab(x-y)2， 应提取的公因式是. 故答案为：A． 【分析】系数取最大公因数，都含有的字母或式子取最低次，将所得的因数、字母（或式子）相乘就是公因式. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：∵是多项式因式分解后的结果 ∴ 因此，a=2，3-8a=k，解得k=-13，C正确. 故答案为：C. 【分析】将多项式因式分解是将其分解成几个整式相乘的形式，因此只需将分解后的结果相乘展开便能得到原多项式。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：(2x-8)(3x-4)-(3x-4)(x-13)=(3x-4)[(2x-8)-(x-13)]=(3x-4)(2x-8-x+13)=(3x-4)(x+5)= (3x+a)(x+b) 对照得a=-4，b=5，故a+2b=-4+25=6 故答案为：6. 【分析】用提公因式法可将原式化为，再对照即可得a、b的值，代入即可得结果. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：，A不符合题意； ，B不符合题意； ，C不符合题意； ，D符合题意. 故答案为：D. 【分析】由题意可得A型正方形的面积为，B型正方形的面积为4，C型长方形的面积为2x，故原有7张纸板的面积为，利用因式分解法对各选项的面积代数式进行分解，即可判定加上1块型纸板可拼出大长方形. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：，即必为偶数，因此只有C选项不符合题意. 故答案为：C. 【分析】将进行因式分解，可发现其为三个连续自然数的乘积，其结果也必为偶数，据此可判断. 10．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ ∴m=-6，-n=8 ∴m=-6，n=-8 故答案为：B. 【分析】根据题意，先把进行展开，得到：，故=，得出：. 11．【答案】A 【解析】【解答】解：因式分解是将一个多项式化为若干个多项式的乘积的形式，而整式乘法则是将若干个多项式相乘得到一个新多项式的过程，观察等式，左边是多项式形式，右边是乘积形式，因此从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法，即①与②说法均正确. 故答案为：A. 【分析】根据因式分解与整式乘法的定义判断即可. 12．【答案】C 【解析】【解答】解：如图： ∴， 故选：C． 【分析】利用面积相等，得出因式分解式子． 13．【答案】 【解析】【解答】解： = 。 故答案为： 。 【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。 14．【答案】1 【解析】【解答】∵， ∴． 【分析】此题可以直接把作为一个整体代入即可求得代数式的值． 15．【答案】①③④ 【解析】【解答】解： ① 1-a2=(1-a)(1+a)，用到平方差公式； ② a2-2ab+b2=（a-b）2，未用到平方差公式； ③4a2-9b2=（2a+b）（2a-3b），用到平方差公式； ④ 3a3-12a=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2），用到平方差公式. 故答案为：①③④. 【分析】能用平方差公式分解的二项式一般是二项式，二项式满足两项能写成一个整式的完全平方，且两项的符号相反，据此一一判断得出答案. 16．【答案】1800 【解析】【解答】解：∵x3+x2y-4xy2-4y3=0， ∴x2(x+y)-4y2(x+y)=0， ∴(x+y)(x+2y)(x-2y)=0， ∵x+y>0，x+2y>0， ∴x=2y. 又由题意可得x+y= 90， 解方程组 解得 ∴长方形的面积=60×30=1800(平方厘米)， 故答案为：1800. 【分析】把x3+x2y-4xy2-4y3=0化简成(x+y)(x+2y)(x-2y)，可得x=2y，由题意可得x+y=90，解方程组即可. 17．【答案】（1）解： （2）解： （3）解： 【解析】【分析】(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； (2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； (3)先变形，再提公因式即可. 18．【答案】解：（1）（3）（6）不能用平方差公式分解因式，因为它们不是两数的平方差的形式； （2）（4）（5）能用平方差公式分解因式，（2）可以看成2x与（或）的平方差，（4）可以看成与2x的平方差，（5）可以看成与2的平方差。 【解析】【分析】根据平方差公式的特点逐一分析每个多项式是否符合其形式。平方差公式为，需满足两项符号相反且均为完全平方项，进而分析即可. 19．【答案】解：阴影部分面积为：a2-4b2=(a-2b)(a+2b) ∵ a=13.2，b=3.4 ， ∴阴影部分面积为：(13.2-6.8)(13.2+6.8)=20×6.4=128cm2. 【解析】【分析】分别用含a和b的式子表示出大正方形和4个小正方形的面积，最后根据题意结合平方差公式计算即可. 20．【答案】解：有3种方法。；。 【解析】【分析】根据完全平方公式的结构分析可能的项。完全平方展开式为，因此需要确定原式中的项如何对应公式中的、 或，并找出缺失的项。 21．【答案】（1）解： =x(3x-y)(3x+y)， 当x=10， y=10时， 3x-y=3×10-10=20， 3x+y=3×10+10=40， 这个个六位数密码是102040.（答案不唯一） （2）解：能，理由为： 因为x = 25， 这个六位数密码为242527， 24=25-1， 所以其中一个因式是(x-1)， 27=25+2， 所以另外一个因式是(x+2)， 所以 -2x， 所以p=1， q=-2. 【解析】【分析】(1)先提取公因式x，然后利用平方差公式将式子进行因式分解，将x=10，y=10代入求出三个因式的值，表示出密码即可； (2)当x = 25时， 六位数密码为242527， 即另外两个因式的结果分别是24、27，所以另外两个因式表示为x﹣1、x+2， 所以这个因式表示为x(x﹣1)(x+2)， 据此求出p、q. 22．【答案】（1）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数， ∴a﹣b＝2， ∴5a÷5b＝5a﹣b＝52＝25 （2）解：∵a＝4+n，b＝2+n，n为正整数， ∴2a﹣2b ＝24+n﹣22+n ＝24•2n﹣22•2n ＝16×2n﹣4×2n ＝（16﹣4）×2n ＝12×2n， ∵n为正整数， ∴12×2n一定能被24整除， ∴2a﹣2b能被24整除 【解析】【分析】(1)根据a=4+n，b=2-n，可以得到a-b=2，然后计算5a÷5b，再将a-b=2整体代入计算即可； (2)将a、b的值代入2a-2b，然后计算，观察结果，即可说明结论成立. 23．【答案】（1）解：图中所有裁剪线 (虚线部分)长度之和为： （2） （3）解：依题意得： ∴， ∵m>n， ∴ 【解析】【解答】 可以因式分解为 故答案为： 【分析】(1)结合图像，求得所有裁剪线(虚线部分)的长度之和； (2)根据最大长方形的面积可知，代数式可因式分解为 (3)根据每块小长方形的面积和四个正方形的面积和列式得到，mn=10，然后根据完全平方公式的变形解答即可. 24．【答案】（1）解：∵(x-1)(mx+n)=mx2+(n-m)x-n=x2+2x-3， ∴m=1， n=3； （2）解：把x=-1代入多项式2x2+5x+3=0， 则(x+1)(ax+b)=ax2+(a+b)x+b=2x2+5x+3， a=2，b=3， 因此 2x2+5x+3=(x+1)(2x+3) （3）解：∵将x=2代入多项式x3-8能使x3-8=0， ∴(x-2)(bx2+cx+d)=bx3+(c-2b)x2+(d-2c)x-2d= x3-8， ∴b=1， c=2， d=4， ∴a=2， b=1，c=2， d=4. 【解析】【分析】(1)把多项式的乘法展开、合并，根据对应系数相等得出答案即可； (2) 把 1代入多项式 得出 进一步展开对应的出a、b的数值即可； (3) 将 代入多项式 能使 得出 进一步整理 得出答案即可. 学科网（北京）股份有限公司 $