第九章 因式分解（知识清单）数学新教材冀教版七年级下册

第九章 因式分解 知识点01 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做 . 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点02 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫 ． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点03 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做 . 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点05 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—— .即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 一、因式分解 1.判断是否是因式分解 错误：混淆因式分解与整式乘法，公因式找错，公式用错，分解不彻底，符号处理失误。 注意：遵循互逆关系，找准公因式，灵活选方法，保证分解彻底，规范书写符号。 1．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①和②都是因式分解 B．①和②都是整式乘法 C．①是整式乘法，②是因式分解 D．①是因式分解，②是整式乘法 2.已知因式分解的结果求参数 错误：展开因式时漏项、符号出错，对应项系数不匹配，忽略因式分解彻底性致参数错。 注意：先逆用整式乘法展开，精准匹配各项系数，检验分解彻底性，核对符号与常数项。 2．（24-25 八年级上·河北张家口·期末）若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 二、提公因式法 1.公因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）因式分解多项式应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2.提公因式法分解因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 4．（2025·河北石家庄·一模）若，，则代数式的值是______． 三、公式法 1.平方差公式分解因式 错误：混淆公式结构，非平方差误用公式，符号出错，分解不彻底，漏提公因式。 注意：先提公因式再用公式，确认两项均为平方形式，符号相反，分解至不能再分。 5．（25-26七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____． 2.完全平方公式分解因式 错误：混淆公式结构，漏判中间项，符号出错，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，确认三项结构，验证中间项，规范符号，保证分解彻底。 6．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 3.综合提公因式和公式法分解因式 错误：漏提公因式、公式误用，符号出错，分解不彻底，未按先提后公的顺序操作。 注意：先提公因式再用公式，找准公因式、辨清公式结构，规范符号、分解彻底。 7．（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． (1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； (2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 四、十字相乘法与分组分解法 1.十字相乘法 错误：十字相乘凑错常数项、一次项，符号失误，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，精准凑常数项与一次项，规范符号，检验分解彻底性。 8．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 2.分组分解法 错误：分组不合理、分组后无法提公因式，符号出错，漏提公因式，分解不彻底。 注意：合理分组凑公因式，先提公因式再分组，规范符号，确保分解彻底并检验。 9．（25-26七年级下·河北·阶段检测）分解因式： (1)． (2)． (3)． 1．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）若，且，，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．12 D．10 5．（24-25八年级上·山东泰安·期中）无论x、y为任何值时，的值都是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知，，则______，______． 7．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若，，则=_________ 8．（25-26七年级上·上海黄浦·期中）分解因式：________ 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）因式分解：___． 10．（2025·四川广安·二模）若，则代数式的值等于______． 11．（25-26九年级上·河北保定·月考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位密码是：_______．（写出一个即可）． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：______． 13．（24-25九年级上·山东淄博·月考）若，则的值为________． 14．（25-26八年级上·河北唐山·月考）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_________． 15．（25-26八年级上·河北唐山·月考）分解因式 (1) (2) 16．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 18．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为． (1)用含m，n，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为___________； (2)设两个正方形能使用部分的面积差为：． ①求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； ②若，且，求m，n的值各是多少？ 19．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式． 甲 乙 丙 (1)若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值； (2)嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功． ①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功； ②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功，直接写出k的值． 20．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 21．（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 22．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 23．（25-26八年级上·重庆万州·期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是－8． (1)分解因式：______． (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数． (3)当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 24．（25-26八年级下·河北保定·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解： ． (1)如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ； (2)若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形； (3)若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为 ，将此多项式分解因式为 ． (4)有3张A类，4张B类，5张C类卡片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 因式分解 知识点01 公因式 多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式. （2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的. 知识点02 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法． 特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律， 即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点03 公式法分解因式 平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点04 十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在，则 特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号 （2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 　　按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 知识点05 分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 添、拆项法 把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. 添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法. 知识点06 因式分解的解题步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 特别说明：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 一、因式分解 1.判断是否是因式分解 错误：混淆因式分解与整式乘法，公因式找错，公式用错，分解不彻底，符号处理失误。 注意：遵循互逆关系，找准公因式，灵活选方法，保证分解彻底，规范书写符号。 1．（25-26七年级下·河北唐山·阶段检测）观察①和②从左到右的变形，下列说法正确的是（    ） A．①和②都是因式分解 B．①和②都是整式乘法 C．①是整式乘法，②是因式分解 D．①是因式分解，②是整式乘法 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的意义，整式，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：是因式分解，是乘法运算， 即①是因式分解，②是整式乘法， 故选：D． 2.已知因式分解的结果求参数 错误：展开因式时漏项、符号出错，对应项系数不匹配，忽略因式分解彻底性致参数错。 注意：先逆用整式乘法展开，精准匹配各项系数，检验分解彻底性，核对符号与常数项。 2．（24-25 八年级上·河北张家口·期末）若，则、的值分别为（    ） A．，2 B．4， C． ， D．4，2 【答案】B 【分析】把式子展开，根据对应项系数相等，列式求解即可得到、的值． 【详解】解：， ， ，， ， ， 、的值分别为：4，． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了因式分解的意义；根据多项式乘多项式的法则，再根据对应项系数相等求解是解本题的关键． 二、提公因式法 1.公因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 3．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）因式分解多项式应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：因式分解多项式应提取的公因式是， 故选：A． 2.提公因式法分解因式 错误：漏找系数最大公约数，字母漏选或指数取错，忽略符号公因式及多项式公因式。 注意：系数取最大公约数，字母取相同且最低次幂，兼顾符号与多项式形式公因式。 4．（2025·河北石家庄·一模）若，，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的运用，代数式求值，利用提公因式法可得，再代入已知条件计算即可求解，掌握因式分解的运用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 三、公式法 1.平方差公式分解因式 错误：混淆公式结构，非平方差误用公式，符号出错，分解不彻底，漏提公因式。 注意：先提公因式再用公式，确认两项均为平方形式，符号相反，分解至不能再分。 5．（25-26七年级下·河北秦皇岛·阶段检测）若，且m﹣n＝﹣3，则m+n＝_____． 【答案】2 【分析】根据平方差公式即可求出答案． 【详解】解：∵，m﹣n＝﹣3， ∴﹣3（m+n）＝﹣6， ∴m+n＝2， 故答案为：2 【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型． 2.完全平方公式分解因式 错误：混淆公式结构，漏判中间项，符号出错，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，确认三项结构，验证中间项，规范符号，保证分解彻底。 6．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是__________． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 3.综合提公因式和公式法分解因式 错误：漏提公因式、公式误用，符号出错，分解不彻底，未按先提后公的顺序操作。 注意：先提公因式再用公式，找准公因式、辨清公式结构，规范符号、分解彻底。 7．（24-25七年级下·河北沧州·期末）一次随堂练习，珍珍做了如下四道因式分解题： ①；     ②； ③；     ④． (1)珍珍做错的或不完整的题目是_________（填序号）； (2)请写出（1）题中标记做错或不完整题目的正确解题过程． 【答案】(1)②④ (2)②；④ 【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键． （1）根据提取公因式法和公式法分别判断即可； （2）②先提取公因式，再用平方差公式分解，④先提取公因式，再用完全平方公式公式分解． 【详解】（1）解：①，因式分解正确；     ②，因式分解不彻底，还可以使用平方差公式继续分解； ③，因式分解正确；       ④，因式分解错误，应先提取公因式，再用完全平方公式分解； 故答案为：②④； （2）解：②； ④． 四、十字相乘法与分组分解法 1.十字相乘法 错误：十字相乘凑错常数项、一次项，符号失误，未先提公因式，分解不彻底。 注意：先提公因式，精准凑常数项与一次项，规范符号，检验分解彻底性。 8．（25-26九年级上·全国·期中）阅读下列材料： 一、将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 步骤： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 二、根据乘法原理：若，则或． (1)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． (2)解方程： ①； ②； ③． 【答案】(1)①，；②， (2)①，；②，；③， 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）①根据题干方法解答即可；②根据题干方法解答即可； （2）①根据十字相乘法解方程即可； ②根据十字相乘法解方程即可； ③根据十字相乘法解方程即可． 【详解】（1）解：① 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； ② 竖分二次项与常数项：，． 交叉相乘，验中项：． 横向写出两因式：． ∴ ∴或 ∴，； （2）解：①原方程化为 ∴或 ∴，； ②原方程化为 ∴或 ∴，； ③原方程化为，即 ∴或 ∴，． 2.分组分解法 错误：分组不合理、分组后无法提公因式，符号出错，漏提公因式，分解不彻底。 注意：合理分组凑公因式，先提公因式再分组，规范符号，确保分解彻底并检验。 9．（25-26七年级下·河北·阶段检测）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解的常用方法，包括分组分解法、完全平方公式和平方差公式，掌握观察式子结构，选择合适的分解方法，先分组或用完全平方，再用平方差公式是解题的关键． （1）分组分解，将前两项和后两项分别分组，提取公因式后再整体提取公因式； （2）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）先对前三项用完全平方公式，再用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 1．（2026·河北张家口·一模）在括号内填一个单项式，使多项式（   ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 2．（25-26八年级上·河北廊坊·期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断是否是因式分解等知识点，解题关键是掌握因式分解的概念． 根据因式分解的定义，判断等式是否将多项式化为整式的积的形式． 【详解】解：中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故A不符合； 中，是将多项式化为积的形式， 所以从左到右的变形是因式分解， 故B符合； 中右边不是整式，不是整式的积， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故C不符合； 中从左到右是整式乘法， 所以从左到右的变形不是因式分解， 故D不符合． 故选：B． 3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）若，且，，则的值是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解，已知式子的值，求代数式的值． 由已知可得，移项，因式分解可得，由，可得，即可得的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，代数式求值，由 ，根据题意得出，整体代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故选：B． 5．（24-25八年级上·山东泰安·期中）无论x、y为任何值时，的值都是（    ） A．正数 B．负数 C．零 D．非负数 【答案】A 【分析】本题考查了利用完全平方公式分解因式，非负数的应用，将式子写成完全平方式，再判断式子的取值范围即可，解题的关键是将多项式分组，写成非负数的和的形式． 【详解】解： ， ∵，， ∴，即， ∴的值是正数， 故选：A． 6．（25-26九年级上·河北沧州·期末）已知，，则______，______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．利用平方差公式将 分解为 ，结合已知 求出 ，再解二元一次方程组． 【详解】解：∵ ， ∴， 又∵ ∴ ，即： ， ∴ 解得 ， 故答案为 ， 7．（2025八年级上·河北邯郸·专题练习）若，，则=_________ 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 将表达式因式分解后代入已知条件求解即可． 【详解】， 代入和，可得：， 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海黄浦·期中）分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解；根据平方差公式法分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）因式分解：___． 【答案】 【分析】此题考查了运用分组法和公式法进行因式分解的能力，先将该多项式分组，再运用公式法进行因式分解，关键是能准确确定分解方法． 【详解】解：， 故答案为：． 10．（2025·四川广安·二模）若，则代数式的值等于______． 【答案】49 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，根据平方差公式结合整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：49． 11．（25-26九年级上·河北保定·月考）在日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位密码是：_______．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的常用方法是解题的关键． 先利用提取公因式和平方差公式对进行因式分解，再进行代数式求值，即可写出密码． 【详解】解：， ∵，， ， ， ， ∴用上述方法产生的六位密码可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）阅读理解：用十字相乘法”分解因式：． 第一步：二次项系数2可以写成，常数项可以写成或； 第二步：如图，画“”号，将1、2写在“”号左边，将、3或1、写在“”号的右边，共有如图的四种情形： 第三步：验算交叉相乘两个积的和”是否等于一次项的系数； ①系数为； ②的系数为； ③的系数为； ④的系数为． 显然，第②个“交叉相乘两个积的和”等于一次项系数，因此：．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：______． 【答案】 【分析】根据提供的方法解答即可． 本题考查了十字相乘法分解因式，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 系数为， 故， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·山东淄博·月考）若，则的值为________． 【答案】2028 【分析】本题考查了因式分解及求代数式的求值，灵活运用因式分解变形代数式是求值的关键，由，，将代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 14．（25-26八年级上·河北唐山·月考）因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为_________． 【答案】# 【分析】本题考查了因式分解，先确定m，n的值，后分解因式即可． 【详解】∵甲看错了的值，分解的结果是， ∴． ∵乙看错了的值，分解的结果为， ∴． ∴， 故答案为：#． 15．（25-26八年级上·河北唐山·月考）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）提取公因式，再利用完全平方公式解答即可； （2）利用平方差公式解答即可． 【详解】（1）解： （2） 原式 16．（25-26八年级上·河北廊坊·阶段检测）因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法、公式法以及综合运用提取公因式和公式法因式分解是解题的关键． （1）直接运用提取公因式法求解即可； （2）直接运用平方差公式分解即可； （3）先提取公因式2，再运用完全平方公式分解即可； （4）先计算多项式乘多项式，然后合并同类项，最后运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4）解： ． 17．（24-25八年级下·广东深圳·期末）【阅读材料】 我们知道，多项式可以因式分解为．当一个二次三项式（如）不是完全平方式时，我们可以采用下面的方法进行因式分解： ． 【解决问题】请仿照上面的方法，完成下列试题： (1)填空： ① ② ＝ ． ③ ④． (2)将下列各式因式分解： ① ； ②． 【答案】(1)①1；②1；③9；④9 (2)①；② 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）仿照阅读材料，运用配方法（加上一次项系数一半的平方，再减去该值）将二次三项式转化为完全平方式与常数的差，再利用平方差公式因式分解． （2）①仿照阅读材料，运用配方法给加上4再减去4，将转化为与1的差，再利用平方差公式因式分解． ②仿照阅读材料，运用配方法将转化为与4的差，再利用平方差公式因式分解． 【详解】（1）解：：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以①，②， ：配方法，加再减， 即， 分解得， 所以③，④． 故答案为：①1；②1；③9；④9； （2）解：①原式=； ②原式． 18．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，骐骥中学劳动实践基地有两块边长分别为m，n的正方形地块，它们的公共部分（图中阴影所示部分）不能使用，其面积为，左边正方形能使用部分的面积为，右边正方形能使用部分的面积为． (1)用含m，n，S的代数式表示图中能使用部分的面积之和为___________； (2)设两个正方形能使用部分的面积差为：． ①求的值（用含m，n的代数式表示），并对分解因式； ②若，且，求m，n的值各是多少？ 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了因式分解的应用，列代数式，平方差公式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）因为左边能使用的面积为，右边能使用的面积为，所以图中能使用部分的面积之和为：； （2）①两个正方形能使用部分的面积差为 ，化简之后因式分解即可； ②因为，所以，因为，所以，联立求出、． 【详解】（1）（1）因为，， 所以图中能使用部分的面积之和为：； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ， ， ； ②∵ ， 且， ∴， 解方程组：， 解得：． 19．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，甲、乙、丙三张卡片分别写有关于x的整式． 甲 乙 丙 (1)若甲、乙两张卡片上的整式的和可以用完全平方公式进行因式分解，求符合条件的k的一个值； (2)嘉淇设计了一个数学闯关游戏，规则是：当选取的两张卡片上的整式相减等于第三张卡片上的整式时，闯关成功． ①求出卡片甲上的整式减去卡片丙上的整式的计算结果，并判断能否闯关成功； ②若卡片乙上的整式减去卡片甲上的整式能闯关成功，直接写出k的值． 【答案】(1)或 (2)①，不成功；② 【分析】本题考查的是整式的加减运算，利用完全平方公式分解因式； （1）计算，结合可以用完全平方公式进行因式分解，再进一步求解即可； （2）①计算可得结果，从而可得答案；②计算，结合结果为，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：； 结合题意可得：可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴或； （2）解：① ， ∵， ∴闯关不成功； ② ， 结合题意可得： ， ∴， 解得：. 20．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答，同学们经过小组活动交流，得到了如下答案： （1） （分成两组） （提公因式） （提公因式） （2） （分成两组） （运用公式） （运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，求的值； (3)若的三边，，满足，则是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分组分解法，是解题的关键： （1）利用分组分解法，进行因式分解即可； （2）利用分组分解法，进行因式分解，整体代入法求值即可； （3）利用分组分解法，进行因式分解，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 当时： 原式； （3）解： 、、为的三边 即； 为等腰三角形． 21．（2025·河南郑州·一模）如果某公元纪年年份数是一个正整数的平方数，那么我们将这个年份称为“平方年”．例如，2025年是本世纪的“平方年”（），上一个“平方年”是1936年（）． (1)2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是多少？ (2)数学兴趣小组由此展开对平方数的研究：如果一个正整数能够表示为两个连续自然数的平方差，那么称这个正整数为“平方幻数”．例如：，则3，5，7都是“平方幻数”． 设两个连续自然数为n和，则由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除吗？为什么？ 【答案】(1)91 (2)能够被2整除，理由见解析 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据2025年是本世纪的“平方年”（），得出下一个“平方年”是，求解即可； （2）算出，即可求解． 【详解】（1）解：∵2025年是本世纪的“平方年”（）， ∴2025年之后的下一个“平方年”，其年份数与2025的差是． （2）解：能够被2整除．                             理由如下： 由题意，得． 能被2整除， 由这两个连续自然数构成的“平方幻数”与1的差值能够被2整除． 22．（24-25八年级上·河北廊坊·月考）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 我们发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为（p，q为整数）．因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，故有即可将形如的多项式因式分解成（p，q为整数）． 例如：． 【初步应用】 （1）用上面的方法分解因式：______． 【类比应用】 （2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数m的所有可能值是______． 【拓展应用】 （3）分解因式：． 【答案】（1）（2）8或或4（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出m的值即可； （3）按照已知条件中的方法，把分解成，然后把多项式进行分解因式即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴整数的值可能为：或或或， ∴整数m的值可能是8或或4， 故答案为：8或或4； （3） ． 23．（25-26八年级上·重庆万州·期中）教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是－8． (1)分解因式：______． (2)试说明：x、y取任何实数时，多项式的值总为正数． (3)当m，n为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，最小值为5 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法，是解题的关键： （1）利用配方法，进行因式分解即可； （2）利用配方法结合完全平方的非负性，进行说明即可； （3）利用配方法结合完全平方的非负性，进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的值总为正数； （3）解： ， 当时代数式有最小值， 解得，最小值为5． 24．（25-26八年级下·河北保定·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的A类、C类正方形卡片和B类长方形卡片．用若干张A类、B类、C类卡片可以拼出如图2的长方形，通过计算面积可以解释因式分解： ． (1)如图3，用1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片，可以拼出以下长方形，根据它的面积来解释的因式分解为 ； (2)若解释因式分解，需取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，请画出相应的图形； (3)若取A类、B类、C类卡片若干张（三种卡片都要取到），拼成一个长方形，使其面积为，则m的值为 ，将此多项式分解因式为 ． (4)有3张A类，4张B类，5张C类卡片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6； (4) 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用： （1）1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积，据此可得答案； （2）仿照题意作图即可； （3）由于，则只能因式分解为，据此求解即可； （4）由于拼成的正方形的边长最长，则拼成的正方形的面积最大，故纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式，据此求解即可． 【详解】（1）解：1张A类正方形卡片、4张B类长方形卡片、3张C类正方形卡片的面积之和为，而这个面积之和又等于一个长为，宽为的长方形面积， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：∵， ∴只能因式分解为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6；； （4）解：∵拼成的正方形的边长最长， ∴拼成的正方形的面积最大， ∴纸片用的越多越好，且三种纸片的面积之和的式子恰好是一个完全平方式， ∴满足题意的式子有，， ∴边长最大时的情形，应该是面积为，即边长为， 故答案为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $