第四章三角形单元测试卷（能力提升）-2025-2026学年北师大版七年级下学期数学

第四章 三角形单元测试卷（能力提升） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 2． 以下长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形中任意两边之和大于第三边，据此逐项验证即可． 【详解】解：A、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； B、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； C、∵， ∴长为的三条线段能构成三角形，符合题意； D、∵， ∴长为的三条线段不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 3．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 【答案】B 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：A、C、D选项都含有三角形，故利用了三角形的稳定性；选项B伸缩门是用到了四边形的不稳定性， 故选：B． 5．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握三角形的角平分线，中线和高的意义是解题的关键． 根据三角形的角平分线，中线和高的定义逐一判断即可解答． 【详解】是的中线， 是的高， ， 是的角平分线， ， 故、、都正确，不正确， 故选：． 6．如图，在正方形中，点E，F分别是边上一点，且，点P为中点且平分，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质证明，得出，再结合点P为中点，证明，因为平分，得出，根据直角三角形两个锐角互余，则，即可作答． 【详解】解：如图：延长，交于一点G，过点P作， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵点P为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴， 则， ∴． 故选：D． 7．如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，求出，证明，可得，则，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 8．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线，得出，再根据是的高线，以及三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：是的中线，且， ． 是的高线，， ， 即， 解得． 故选：B． 9．如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定及性质；延长至，使，由判定，由三角形的三边关系得，即可求解． 【详解】解：延长至，使， 是边上的中线， ， ， （）， ， ， ， ， 故选：A． 10．如图，是锐角，点在上，，点是边上一动点，点到直线的距离为，当时，的形状、大小唯一确定，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，点到直线的距离，分三种情况讨论即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：当时，，由“”判定的形状、大小唯一确定； 当时，点的位置有两个，有两个； 当时，的形状、大小唯一确定； ∴的取值范围是或， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图所示，图中共有 个三角形，其中以为边的三角形有 ，是 的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 12．现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论第三根木棒的长度：①长度为；②长度为．再根据三角形三边关系定理，检验两种情况能否构成三角形，从而确定符合条件的长度． 【详解】解：情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、， 又∵， ∴不满足三角形三边关系，不能构成三角形． 情况：第三根木棒长为， ∵三边为、、 又∵，，，， ∴满足三角形三边关系，能构成等腰三角形． 故答案为：． 13．若一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角是 °，它是 三角形． 【答案】 直角 【分析】本题考查三角形内角和等于180度，以及三角形的分类． 由三角形的内角和定理，结合已知可得第三个内角，即可判断三角形的类型． 【详解】解：∵一个三角形的两个内角分别是和， ∴第三个内角是， ∴它是直角三角形． 故答案为：，直角． 14．若三角形三边长分别为5，12，，且为整数，则的最大可能值是 ． 【答案】16 【分析】本题考查三角形三边的关系，即任意两边之和大于第三边． 根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，列出不等式求解的取值范围，再取整数最大值即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得：，即； ，即； ，即（恒成立）， ，为整数， 故的最大值为． 故答案为：． 15．如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 【答案】/44度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，所以，从而得到，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块 ． 【答案】③ 【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法． 【详解】解：由图可知，块③的两个角及其夹边即为三角形玻璃的两个角及其夹边，能满足“角边角”，可以配一块与原玻璃一样形状和大小的玻璃， ∴小明应该带玻璃块③． 故答案为：③． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b满足，求a，b的值； (2)若c为偶数，求周长． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，三角形三边关系． （1）根据完全平方公式将原式化为，进而根据非负数的性质即可求出a，b的值； （2）利用三角形三边关系确定c的范围，结合c为偶数求周长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ∵， ∴， 解得； （2）解：由（1）知， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∵c为偶数， ∴， ∴周长． 18．如图，已知， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，可得，进而可得，结合即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， ， ， 即， ． 19．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 【答案】(1)73° (2)3 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的中线，熟练运用三角形内角和定理和中线的性质是解题的关键． （1）先求出的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）根据中线的性质：平分三角形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，， ； （2）解：是的中线， ， 点是的中点， ， ， ， ． 20．如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴． 21．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正方形的性质及旋转的性质． （1）作中线，证明，可得结论； （2）证明点B，，共线，结合，即可得到结论； （3）绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到，证明是直角三角形，利用即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作中线， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ， ， 点B，，共线， 又∵， 是等腰三角形； （3）解：如图，把绕点E顺时针旋转，则点D与点F重合，得到， 由旋转得，， ，， 四边形是正方形， ， ， ， ． 22．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 【答案】(1)见解析 (2) (3)图见解析，或，理由见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，需要学生掌握三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． （1）利用判定； （2）根据全等三角形的对应边相等可以求得，进而即可得到结论； （3）与（1）证明过程同理，并结合图形，进行线段的等量代换以及线段的和差运算，则或，即可作答． 【详解】（1）证明：于点，于点，， ，，， ． 在和中 ， ． （2）解：．理由如下： 由（1）知，，则 ∴ ∴ （3）解：结论：或． 理由：设与的交点为， 当离点近时，结论为； 当离点近时，结论为（注：当为中点时，，两点重合，线段不存在）． 当离点近时，如图：    同（1）可证明， ，． ， ． 当离点近时，如图：        同理，得． 23．如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据割补法求三角形的面积即可求解； （2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线m，即可求解； （3）根据轴对称的性质作出，即可． 【详解】（1）解：（1）的面积为， 故答案为：5； （2）解：如图1，直线m即为所求． （3）解：如图2，即为所求． 24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据垂直的定义和余角的性质得到，根据全等三角形的性质推出； （2）根据余角的性质得到根据全等三角形的性质得到，，等量代换得到结论； （3）由（2）得且，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 又，， ， ， ， 在和中， ， ∴， （2）解：，理由如下： ，， ， 又， ∴， ，， ， 即； （3）解：由（2）得且，， ∴， ∴ ， ∴，则， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形单元测试卷（能力提升） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 2． 以下长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ） A．太阳能热水器 B．伸缩门 C．自行车三脚架 D．三角形支架 5．如图，、、分别是的高、角平分线、中线，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点E，F分别是边上一点，且，点P为中点且平分，若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若点F是的中点时，则图中阴影部分的面积为（　　） A．10 B．20 C．40 D．80 8．如图，，分别是的高线和中线，已知，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．2.5 D．6 9．如图，在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，是锐角，点在上，，点是边上一动点，点到直线的距离为，当时，的形状、大小唯一确定，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图所示，图中共有 个三角形，其中以为边的三角形有 ，是 的内角． 12．现有两根长度分别为和的木棒，若第三根木棒能与它们围成等腰三角形，则第三根木棒的长为 ． 13．若一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角是 °，它是 三角形． 14．若三角形三边长分别为5，12，，且为整数，则的最大可能值是 ． 15．如图，，点在线段上，，则的度数为 ． 16．如图，小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块 ． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．已知的三边长分别为a，b，c． (1)若a，b满足，求a，b的值； (2)若c为偶数，求周长． 18．如图，已知， 的对应角为， 的对应角为，若，求的长． 19．如图，在中，是上的中线，点是的中点，连接，． (1)若，，求的度数； (2)若的面积为，，求线段的长度． 20．如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．阅读理解：“分割、拼凑法”是几何证明中常用的方法．苏科版八上数学第一章《全等三角形》中，有以下两道题，其中将问题1中的图1分割成两个全等三角形，而问题2是“HL定理”的证明，却将图2两个直角三角形拼成了一个等腰三角形图3． 请按照上面的思路，补全问题1、2的解答： (1)问题1： 已知：如图1，在中，．求证：． (2)问题2： 如图2，在和中，，；把两个直角三角形如图3所示拼在一起．求证：是等腰三角形； (3)问题3：如图4，中，，四边形是正方形，．求阴影部分的面积和． 22．如图①，在△中，，90°，直线是过点的任意一条直线，于点，于点．    (1)求证：△△． (2)猜想，，三条线段之间的数量关系．（不写证明） (3)在图②中，将图①中的直线绕点逆时针旋转一任意角度，经过三角形的内部（不与，重合）时，上述三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出结论，并画出图形． 23．如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 24．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“K字”模型． 【问题发现】（1）如图2，已知中，，，一直线过顶点C，过A，B分别作其垂线，垂足分别为E，F，求证：； （2）如图3，若改变直线的位置，其余条件与（1）相同，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题提出】 （3）在（2）的条件下，若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $