专题01 幂的乘除（计算题专项训练）2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（新教材北师大版）

专题01 幂的乘除（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；内容预览：4类训练共40题】 训练1 同底数幂的乘法 1. 核心公式： 2. 运算条件：两个幂的底数相同，运算类型为乘法（注意：底数可以是具体数字、字母，也可以是多项式，如，底数均为）。 3. 记忆口诀：底数不变，指数相加。 4. 逆用方法（重点）公式逆用： 用途：已知、的值，求指数为两者和的幂的值。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．计算：(1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，有理数的乘方，掌握其运算法则是解题的关键．直接根据同底数幂相乘，底数不变指数相加即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 2．计算：(1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘方运算法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 3．计算：(1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 【详解】（1）解：∵ （2） （3） （4） 4．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法、乘方运算等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． 先根据同底数幂乘法法则计算，然后再运用乘方化简即可． 【详解】解：． 5．计算．(1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了同底数幂相乘，有理数乘方，掌握运算法则是解题的关键． （）直接根据同底数幂乘法法则即可求解； （）先通过有理数乘方法则转化为同底数，然后根据同底数幂乘法法则即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算．先将变形为，使两个幂的底数相同，再根据同底数幂的乘法法则进行计算． 【详解】解：， ， ； 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，先把底数都化为，再根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 8．计算：； 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：． 9．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算．先变形，再根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 10．计算：(1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的乘法运算，掌握运算法则是解题关键． （1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）先化简，再利用乘法分配律计算即可； （3）当底数互为相反数时，可先提出负号，再进行运算． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 训练2 幂的乘方与积的乘方 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 （一）幂的乘方 1. 核心公式：（即） 2. 运算条件：对一个幂进行再次乘方运算（底数是幂的形式）。 3. 记忆口诀：底数不变，指数相乘。 4. 逆用方法： （二）积的乘方 1. 核心公式： 2. 运算条件：对两个（或多个）数的乘积进行整体乘方运算。 3. 记忆口诀：分别乘方，再相乘（即把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘）。 4. 逆用方法： 方法指导 1．计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了积的乘方，根据逐一运算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 3．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的乘方运算，根据幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘，逐个计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 4．计算： (1)； (2) 【答案】(1)0 (2)1 【分析】本题考查了整式的运算． （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法，最后合并同类项即可； （2）逆用积的乘方计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂乘法、合并同类项等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可； （2）先根据幂的乘方计算，然后再按照同底数幂乘法法则计算，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 6．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先用幂的乘方，再计算同底数幂相乘，然后合并同类项； （2）先计算积的乘方、幂的乘方，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2） 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．计算：． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘计算即可． 本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： 8．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方计算解答即可； （2）根据积的乘方，整式的加减计算即可； 本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，幂的乘方，整式的加减，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法化简，然后合并即可； （2）根据幂的乘方、同底数幂的乘法化简，然后合并即可． 本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握各个运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以单项式，幂的乘方，合并同类项解答即可． （2）根据积的乘方，同底数幂的乘法解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 训练3 同底数幂的除法 1. 核心公式：（） 2. 运算条件：两个幂的底数相同，运算类型为除法；注意底数不能为0（0的0次幂、0的负指数幂无意义）。 3. 记忆口诀：底数不变，指数相减。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法及合并同类项，先分别计算各项，再进行合并同类项． 【详解】解：原式 ． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，涉及同底数幂的乘除法、幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （2）先根据同底数幂的乘法运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； （3）先根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行括号内运算，再根据同底数幂的除法运算法则求解即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂相乘，同底数幂相除，合并同类项，先运算积的乘方，然后运算同底数幂相乘，再运算同底数幂相除，最后合并同类项，即可作答． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方运算，同底数幂的除法运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）直接用同底数的除法法则计算； （2）先用同底数的除法法则计算，再确定符号； （3）先用同底数的除法法则计算，再用积的乘方法则计算； （4）直接用同底数的除法法则计算． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 5．计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的除法运算法则是解题的关键； （1）（2）可直接运用同底数幂的除法法则进行运算； （3）先将底数化为相同，然后运用同底数幂的除法法则进行运算. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 6．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方，整式的加减法运算，掌握相关运算法则并正确计算是解题关键． （1）先用同底数幂乘除法，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （2）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解； （3）先用同底数幂乘除法，积的乘方，幂的乘方化简，再合并同类项，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 7．计算： (1)（是正整数）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、同底数幂的除法． (1)根据同底数幂相除，底数不为0，指数相减，进行计算； (2)根据同底数幂的乘法法则和同底数幂的除法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 8．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的乘法运算和幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）运用幂的乘方和同底数幂相乘的运算法则，先分别计算各项，再进行除法运算； （2）根据多项式的运算法则进行计算． 【详解】（1）原式； （2）原式． 9．计算： 【答案】 【分析】先计算同底数幂相乘，同底数幂的除法，积的乘方，幂的乘方，再合并同类项． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，幂的乘方运算，合并同类项，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 10．计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方以及同底数幂的乘除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 训练4 幂的运算的逆用 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 第一步：观察所求幂的指数结构，判断对应逆运算类型； - 指数是“和”→ 逆用“同底数幂乘法”（拆成两个同底数幂相乘）； - 指数是“积”→ 逆用“幂的乘方”（拆成幂的乘方形式）； - 指数是“差”→ 逆用“同底数幂除法”（拆成两个同底数幂相除）。 第二步：将所求幂转化为已知条件的形式，代入已知值； 第三步：计算得出结果（注意符号、零指数、负指数的运算规范）。 方法指导 1．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 【答案】（1） （2）32 （3） 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的乘法逆运算、幂的乘方以及幂的乘方逆运算法则是解题的关键． （1）利用同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算求解即可； （2）通过幂的乘方运算以及幂的乘方逆运算将原式变形为，即可代入求解； （3）通过同底数幂的乘法逆运算以及幂的乘方逆运算将变形为，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 即． 2．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则和幂的乘方法则． （1）利用幂的乘方的逆运算，整理得，然后计算即可； （2）利用同底数幂相乘的逆运算，整理得，然后计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）∵由（1）、（2）得，， ∴， ∴． 3．若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘，同底数幂乘法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）根据幂的乘方的逆用、同底数幂相乘法则，列出关于x的方程求解； （2）利用同底数幂乘法的逆用和分配律的逆用，列出关于x的方程求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方的运算法则以及同底数或同指数幂的大小比较方法． （1）根据幂的乘方，可化成指数相同的幂的形式，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案； （2）根据幂的乘方的运算法则，将各幂化为同底数幂的形式进行比较． 【详解】（1）解：，， ∵， ∴， ∴． （2）解：，，， ∵， ∴， ∴． 5．阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)＜ (2) 【分析】本题考查了有理数大小比较，有理数的乘方运算，幂的乘方的逆用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）化为相同指数，再比较底数的大小，来确定原数的大小关系； （2）先化为相同指数，再比较底数的大小，从而可确定原数的大小关系 【详解】（1）解：∵，， ， ， ∴， 故答案为：＜； （2）解：，，，， ， ． 6．（1）若，，求的值； （2）若，满足，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了幂的运算和完全平方公式的应用，熟练掌握幂的运算法则和完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变形为，整体代入即可； （2）根据进行解答即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴．     （2）∵，， ∴， ∴． 7．已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值，同底数幂的乘法运算，幂的乘方的逆用；根据同底数幂的乘法运算，幂的乘方的逆用将原式化为，即可求解． 【详解】解：原式 ． 8．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)200 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）逆用幂的乘方公式，将幂变为指数相同的幂，然后比较大小即可； （2）逆用同底数幂和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ∴； （2）解：， ∵， ∴原式． 9．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 10．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、及相应的逆运算，解题的关键是将底化相同； （1）将等式左边化成以为底，得出，求解即可； （2）将方程左边提取公因式，得出，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． 解得． （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 解得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的乘除（计算题专项训练） 【适用版本：北师大版新教材；内容预览：4类训练共40题】 训练1 同底数幂的乘法 1. 核心公式： 2. 运算条件：两个幂的底数相同，运算类型为乘法（注意：底数可以是具体数字、字母，也可以是多项式，如，底数均为）。 3. 记忆口诀：底数不变，指数相加。 4. 逆用方法（重点）公式逆用： 用途：已知、的值，求指数为两者和的幂的值。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．计算：(1)． (2)． (3)． 2．计算：(1)； (2)． 3．计算：(1)； (2)； (3)； (4)（是正整数）． 4．计算：． 5．计算．(1)； (2)． 6．计算 7．计算：． 8．计算：； 9．计算：． 10．计算：(1)； (2)； (3)． 训练2 幂的乘方与积的乘方 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 （一）幂的乘方 1. 核心公式：（即） 2. 运算条件：对一个幂进行再次乘方运算（底数是幂的形式）。 3. 记忆口诀：底数不变，指数相乘。 4. 逆用方法： （二）积的乘方 1. 核心公式： 2. 运算条件：对两个（或多个）数的乘积进行整体乘方运算。 3. 记忆口诀：分别乘方，再相乘（即把积的每个因式分别乘方，再将所得的幂相乘）。 4. 逆用方法： 方法指导 1．计算：(1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1)； (2)； (3) 3．计算下列各式，并用幂的形式表示结果． (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 4．计算： (1)； (2) 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： (1)； (2)． 7．计算：． 8．计算： (1)； (2)； 9．计算： (1) (2) 10．计算： (1)； (2) 训练3 同底数幂的除法 1. 核心公式：（） 2. 运算条件：两个幂的底数相同，运算类型为除法；注意底数不能为0（0的0次幂、0的负指数幂无意义）。 3. 记忆口诀：底数不变，指数相减。 方法指导 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．计算：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算：． 4．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．计算： (1)． (2)． (3)． 6．计算： (1)； (2)； (3)． 7．计算： (1)（是正整数）； (2)． 8．计算： (1) (2) 9．计算： 10．计算：． 训练4 幂的运算的逆用 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 第一步：观察所求幂的指数结构，判断对应逆运算类型； - 指数是“和”→ 逆用“同底数幂乘法”（拆成两个同底数幂相乘）； - 指数是“积”→ 逆用“幂的乘方”（拆成幂的乘方形式）； - 指数是“差”→ 逆用“同底数幂除法”（拆成两个同底数幂相除）。 第二步：将所求幂转化为已知条件的形式，代入已知值； 第三步：计算得出结果（注意符号、零指数、负指数的运算规范）。 方法指导 1．（1）已知，m，n为正整数，用含a，b的代数式表示； （2）已知n为正整数，且，求 的值； （3）若 用含x的代数式表示y． 2．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)直接写出，，之间的数量关系． 3．若（且），则． (1)如果，求x的值； (2)已知x满足，求x的值． 4．在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．试选择合适的方法解决以下问题： (1)比较与的大小； (2)比较、、的大小． 5．阅读下列材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法．①比较，的大小．当时，，当底数相同时，指数越大值越大．②比较和的大小．，，，．可以将其先化为同指数，再比较大小，指数相同时，底数越大值越大．根据上述材料，回答下列问题． (1)比较大小：________（填写“＞”“＜”或“＝”）． (2)已知，，，试比较，，的大小． 6．（1）若，，求的值； （2）若，满足，，求的值． 7．已知：，求的值． 8．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题． (1)已知，请直接把a，b，c用“”连接起来 ； (2)若，求的值． 9．已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 10．若（且，m，n是正有理数），则．利用该结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $