1.4 线段的垂直平分线（第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定）同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4 线段的垂直平分线 （第1课时 线段的垂直平分线的性质和判定）同步练习 一、单选题 1．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 2．如图，在中，的垂直平分线交于点，若，则的周长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则一定符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 5．用反证法证明命题“在中，的对边分别是a，b，若，则 ．”时，第一步应假设（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于画弧，两弧相交于点M、N，作直线，交于点D，连接，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，在中，为内一点，，过点的直线分别交、于点、．若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A．48° B．58° C．68° D．66° 8．如图，，，点在的垂直平分线上．若，，则的长为（   ） A．5 B．8 C．11 D．13 二、填空题 9．如图在中，，的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交于点F，则的周长为 ． 10．如图所示，垂直平分，，则 °， °． 11．如图，已知点在线段的垂直平分线上，且，则线段的长度是 ． 12．如图，在中，线段的垂直平分线与的交点分别为D，E．若的周长是15，，则 ，的度数是 ． 13．如图，已知在中，的垂直平分线交于于点E，的垂直平分线正好经过点B，与相交于点F，求的度数为 °． 14．如图，在中，，，面积是16，的垂直平分线分别交，边于E，F点，若D为边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为 ． 15．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 16．如图， 线段的垂直平分线相交于点 O， 若， 则的度数是 ． 三、解答题 17．如图所示，一辆汽车在笔直的公路上由A向B行驶，M，N分别是位于公路两侧的村庄，请利用尺规作图法，在上找一点C，使得汽车行驶到C处时，到村庄M，N的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）    18．如图，在中，，，分别是，上的点，且． (1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：（补全下面的证明过程，不写证明理由）． 证明：∵， ∴①____________， ∵是的垂直平分线， ∴②_____________， ∴， ∵， ∴， ∴③____________， ∵， ∴， ∴④___________． 19．如图，在和中，，，与交于点M．求证： (1)； (2)点M在的垂直平分线上． 20．如图，在中，是上一点，且，，平分，求证：垂直平分． 21．如图，在中，分别为边的垂直平分线，连接． (1)若，求的度数； (2)判断与之间的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 2．C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到．由线段垂直平分线的性质得到，因此的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长． 故选：C． 3．C 【分析】本题考查求线段长，涉及中垂线的性质，根据是的垂直平分线，由中垂线的性质得到，即可得到答案，熟记中垂线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 故选：C． 4．D 【分析】本题考查作图−复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．要使，则需使，即点P在线段的垂直平分线上．据此即可对各个选项进行判断． 【详解】解：∵在上确定一点P，使， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上， ∴作图正确的是D． 故选：D． 5．B 【分析】根据反证法的第一步“假设命题结论的反面成立”即可选择． 【详解】解：由反证法的步骤可知第一步应假设． 故选B． 【点睛】本题考查反证法．掌握反证法的第一步为“假设命题结论的反面成立”是解题关键． 6．A 【分析】利用基本作图得到垂直平分，利用线段垂直平分线的性质得，所以，则根据三角形外角性质计算出，然后利用三角形内角和计算的度数． 【详解】解：由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，． 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 7．A 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键． 根据线段的垂直平分线的性质得到，，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， 故选A． 8．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，可分别求得和的长，即可求得答案． 【详解】解：，，，， ，， 点在的垂直平分线上， ， ． 故选：B． 9．2 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，再计算即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E，的垂直平分线交， ∴， ∴的周长为：． 故答案为：2 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质并灵活运用计算周长是解题的关键． 10． 30 60 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质．根据线段垂直平分线的性质，等边对等角求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30，60． 11． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】解：点在线段的垂直平分线上，， ， 故答案为： ． 12． 15 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，再由等边对等角得到，由三角形周长公式得到，则，即；再由三角形内角和定理得到，则，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线与的交点分别为D，E， ∴， ∴， ∵的周长是15， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．36 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题意连接，利用等腰三角形的性质得出与的关系，根据是线段的中垂线的出，从而根据角平分线的性质得出的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：36． 14．10 【分析】本题考查的是垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，．由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出，再根据EF是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接，． ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：10． 15． 【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线的定义与垂直平分线的性质等等；连接，，证明推出，，证明，推出，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵点D在的垂直平分线上， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 16．/80度 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，多边形内角和定理，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．连接，并延长到P，根据线段的垂直平分线的性质得，，根据四边形的内角和为得，根据外角的性质得，相加可得结论． 【详解】解：连接，并延长到P， ∵线段、的垂直平分线、相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴； 故答案为：． 17．见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线l交于点C，点C即为所求． 【详解】解：如图，点C即为所求．    【点睛】本题考查作图，复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质解决问题． 18．(1)作图见解析 (2)①，②，③，④ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中的角度的关系，熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． （1）利用线段垂直平分线的作法作图即可； （2）利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形中的角度的关系推理即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴①， ∵是的垂直平分线， ∴②， ∴， ∵， ∴， ∴③， ∵， ∴， ∴④． 故答案为：①，②，③，④． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）运用判定定理证明； （2）由（1）知，则，证得，即得点M在的垂直平分线上． 【详解】（1）证明：在和中， ∵， ∴． （2）证明：∵由（1）知：， ∴， ∴， ∴点M在的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定，综合运用以上知识是解题的关键． 20．见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，由平行线的性质和角平分线的定义可证明，进而得到，再由，即可证明垂直平分． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 21．(1) (2)，见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质： （1）连接并延长，交于H，先由线段垂直平分线的性质得到，，则，，进而利用三角形外角的性质得到，再证明，则 （2）仿照（1）求解即可． 【详解】（1）解：连接并延长，交于H， ∵，分别为，边的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 同理可得，， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $