重难点03 全等三角形中的十三类重要模型（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦全等三角形十三类核心模型，覆盖倍长中线、截长补短、一线三等角等中考高频考点，以“模型条件-结论推导-典例解析-变式训练”构建知识体系，通过考点深挖、方法指导和真题演练，帮助学生系统突破几何证明难点。 特色在于以模型为载体培养几何直观与推理意识，如“倍长中线法”通过延长中线构造全等，结合2024-2025年中考真题解析，强化抽象能力与模型应用。分层设计“固根基”“拓能力”练习，配合限时测试与即时反馈，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

第四章 三角形 重难点03 全等三角形中的十三类重要模型 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 58 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 三角形中的十三类全等模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 题型01 倍长中线模型 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE，∵是中线，∴， 又，∴，故答案为：； （2）∵，，∴，， 又，∴，即，∴，∴，故答案为：； （3）延长至点F，使，同（1）可证， ∴，，， 又，∴，∴，∴，∴， ∴“燕尾”四边形的面积为，故答案为：8． 【变式】1.（2025·重庆·模拟预测）[问题情境]（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，E是的中点，，D、A、E三点共线．求证：． 小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点F，使得，连结．请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是 ．由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 初步运用（2）如图2，在中，平分，E为的中点，过点E作，分别交的延长线和于点D、点A．求证：． 拓展运用（3）如图3，在（1）的基础上（即E是的中点，，D、A、E三点共线），连结，若，当，时，求的长． 【答案】（1），（2）见解析，（3） 【详解】（1）证明：如图1，延长至点F，使得，连结， ∵点E是的中点，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴；故答案为：； （2）证明：如图2，延长至H，使，连结， 同理可得：，∴，， ∵，∴，， ∵平分，∴，∴， ∵，∴，∴，∴； （3）解：如图3，延长至点F，使得，连结，过点C作于G， 设，同理可得：，∴，， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∵，E是的中点，∴， 由勾股定理得：，∵，， ∴，∴，∴， 由勾股定理得： ，∴． 【变式】2.（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 【答案】（1）（2）详见解析（3），证明见解析 【详解】解：（1）延长到E，使得；连接，∵点为的中点，∴， 又，∴，∴，∴， ∵，∴，即，故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图2：则， 由题意得：，∵，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴∵，∴，∴，∴； （3）结论：．理由：延长到G使，连接． 在和中，，∴， ∴，∴，∴，又∵，∴， ∵，∴垂直平分，∴， 在中，，∴． 【变式】3.（2025·北京·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在复习三角形中线的相关知识时，李老师提出了以下问题： 如图①，在中，为中线，已知，求中线长的取值范围．小颖和小组交流后，通过倍长中线，将分散的条件迁移到同一个三角形中，利用三角形的边角关系顺利的解决了问题，下面是小颖的解题思路：延长至点，使，连接，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是． 任务：(1)如图②，在四边形中，，点为边的中点，且平分，则、、的数量关系是________； (2)如图③，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图④，是的中点，点在线段上，，若，直接写出的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：延长与的延长线交于点P， ，，为的中点，， 在和中，，，， 平分，，，， ；故答案为：； （2）解：延长交的延长线于点P， ，，为的中点，， 在和中，，，， 平分，，，， ，即； （3）解：延长交的延长线于点， ∵是的中点，，，， 在和中，，，， ，，，， ，，过点作于点，在中，， ，． 题型02 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 【典例】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中，∵，，， ∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论：如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴，在和中， ∵，，，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴； 【变式】1.（2025·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）证明见解析． 【详解】（1）证明：方法一：∵平分，∴， 在和中，，，， ∴∴，， ∵，∴，∴，∴，∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，，， ∴，∴，∵，∴； （2）在上取，连接，∵于，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴； （3）如图所示，∵，为等边三角形，∴，， ∴∴， ∴，∴，∴， 过作，交于点，∴， ∵是的中点，∴，又，∴， ∴ ，，，而， ，∴， 又∵，∴，∴ ， 即． 【变式】2.（2025·江苏宿迁·二模）综合与实践： 【回归教材】在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下：如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】（1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】（2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】（3）如图5，在中，为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），见解析 【详解】（1）解：在三角形中，在边上截取，连接，平分， 在和中，，， ，，； （2）证明：延长至，使得，连接，如图所示， 分别为的角平分线， ，． 在和中，， ，，故， ．，即． （3）证明：，理由如下：，， ，设，则，． ， ． ，，， ，即，故． 题型03 一线三等角（K字型）模型 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 【典例】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【答案】(1)①，②(2)见解析(3) 【详解】（1）解： 中，，， 直线经过点，且于，于， ，， 在和中，，， ，，，故答案为：；； （2）证明：中，，直线经过点，且于，于， ，，， 在和中，，， ，，； （3）解：，理由如下： 中，，直线经过点，且于，于， ，，， 在和中，，， ，，；、、之间的关系为． 【变式】1．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，；(2)，；(3)的函数表达式为． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为，∴，，故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图，则， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴点的坐标为，设解析式为， ∴，解得：，∴解析式为，故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图，∵，，∴，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 设，则，，∴，∴，解得， ∴，∴设直线解析式为 ，解得，∴的函数表达式为． 【变式】2．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 【答案】(1)见解析(2)①等腰直角三角形，见解析；②； 【详解】（1）解：如图所示（方法不唯一） （2）①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于． 由折叠得，， ，，四边形为正方形 又， ，而， 是等腰直角三角形． ②过点作于，交的延长线于，则． ，，由是等腰直角三角形知：， ，，，而，， 在中，，，， ，，由，， ∴四边形为正方形，，由，得：，∴， ，而，即，解得：， 由①知：，． 题型04 手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 【典例】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【答案】(1)见解析(2)①；②见解析 【详解】（1）证明：在和中，，，， ，，．是斜边的中点， ，，，．， ，．； （2）解：①；理由如下：延长到点，使，连接，延长到，使，连接并延长交于点．，，， ，，，，， ，，． ，．在和中，，，， ，．是中点，是中点，是中位线， ．，，． ，．故答案为：； ②证明： ∵，，，． 【变式】 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，即， 在和中，，∴，∴； 如图所示，设交于O，∵， ，，∴， ∵，，∴，选：C． 【变式】2．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图1     图2 【答案】(1)见解析(2)； 【详解】（1）证明：∵和是顶角相等的等腰三角形， ∴，，，∴，∴． 在和中，，∴，∴． （2）解：，，理由如下：由（1）的方法得，， ∴，，∵是等腰直角三角形，∴， ∴，∴，∴． ∵，，∴． ∵，∴，∴．∴． 【变式】 3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    【答案】①②④ 【详解】解：①当时，是等边三角形，∴∴ ∵等腰直角、，∴∴ ∴；故①正确； ②∵等腰直角、，∴， ∴∴∴；故②正确； ④如图所示，作直线于点， 过点作于点，过点作于点，    ∵，∴，又，∴ 又∵，∴同理得，， ∴，，， ∵，，，∴， ∴，即是的中点，故④正确，∴， 设，则在中， 在中，∴ ∴解得：∴，∴， ∴∴ 在中，∴,故③错误 故答案为：①②④． 题型05 半角模型 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【典例】（2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形，， ，E、B、N三点共线， ，，，，， ，，，， ；故答案为：； （2）解：；理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，，E在上， 四边形是正方形，，， ，，，， ，，； （3）解：．理由如下：将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ，， E、B、N三点共线， ，，，，． 【变式】1．（2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】图②的结论是：；图③的结论是：；证明见解析 【详解】解：图②的结论是： 证明：∵∴是等边三角形，∴， 以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H，  ，，， 又即 又，，；∵∴，∴，∴， 在中,可得：即 整理得 图③的结论是： 证明：以点B为顶点在外作，在上截取，连接，过点Q作，垂足为H   ，， ， 又即 又，， 在中，， ，；， 在中,可得：即 整理得 【变式】2．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 【答案】DE＝3﹣3． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接，如图所示： 过点作于点，如图，∵，，∴， 在中， ，∴， ∴，∴，∴，∴． ∵，∴，∴为等边三角形， ∴，∴，∴为直角三角形， ∵，∴，∴． 在和中，，∴，∴． 设，则，在中，， ＝x，∴，∴，∴，答：的长为． 题型06 对角互补模型 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 【典例】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下：过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，．，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【答案】（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，；（2）不发生变化，依旧是，理由见解析； 【详解】（1）解：①的依据是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；②中所填的关系表达式为； （2）解：不发生变化，依旧是，理由如下：过点作于点，作于， ∵为两条互相垂直的射线，∴， ∴四边形是矩形，∴ ∵平分，，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴； 【变式】1．（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【答案】（1），见解析；（2）结论仍然成立，见解析；（3） 【详解】解：（1）是的角平分线 在中，，同理： （2）（1）中结论仍然成立，理由：过点作于，于 由（1）知， ，且点是的平分线上一点 （3）结论为：.理由：过点C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°， ∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC， ∵CF⊥OA，CG⊥OB，且点C是∠AOB的平分线OM上一点， ∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG， ∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF−OD＝EG−OD，OG＝OE−EG， ∴OF＋OG＝EG−OD＋OE−EG＝OE−OD，∴OE−OD＝OC． 【变式】3．（2024·河南郑州·三模）【问题背景】如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】（2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 【答案】（1）；（2）；，证明见解析；（3）旅游景区的最大面积是 【详解】（1）解：∵，∴设，，， ∵四边形ABCD是“对补四边形”，∴或，∴，解得：， ∴，，，∴，故答案为：． 【观察猜想】解：猜想1：四边形是“对补四边形”，若对角线平分，则， 故答案为：； 猜想2：四边形ABCD是“对补四边形”，若，连接，则平分，故答案为：； 【推理验证】（2）选择猜想1：； 证明：如图，过点C分别作于E，于F， ∵对角线AC平分∠DAB，CE⊥AD，CF⊥AB，∴，， ∵四边形是“对补四边形”，∴， ∵，∴， 在和中，，∴，∴； 选择猜想2：；证明：如图，过点A作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，，∴， 又∵，，∴，∴，， ∵，，，∴平分； 题型07 角平分线的全等模型（三类） 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 【典例】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：法:1：延长、交于点，如图，∵，∴． ∵，，∴， ∵中，，∴，∴，∴， ∴，即；故选：A． 法2：∵，，∴， 设，则：，∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴，∴，∴，∴，∵，，∴， ∴，即：，∴，∴；故选：A． 【变式】1.（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题：问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分．求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题：问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴，故①正确； ∵平分，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴故②正确； 若，则，∴， ∵，，，∴∴， ∵，∴ 故③正确．故答案为：①②③． （2）．理由如下：∵平分，． 过点D作于点E，于点F．． ，． ． ∵平分，，．．． 在中，，． 同理可得，．．． （3）过点D作于点E，于点F． ，．． ，平分，．． 在中，，， ，． ． 【变式】2.（2025·青海西宁·二模）角是常见的轴对称图形，当几何图形中出现角平分线时，我们常通过轴对称变换来解决问题．例如，点为的角平分线上一点，则通常有以下方法构造轴对称图形． 方法一：如图1，过点作于，于，可得； 方法二：如图2，过点作，交于点，交于点，可得； 智慧学习小组通过上述方法解决了下面几个问题 如图3，点为的角平分线上一点，点分别在边，上，连接，， (1)若，求证：； (2)连接，如图4，若，，则_____； (3)当点在线段上时，如图5，在射线上取点，连接，使， ①若，，，求的长； ②若，，，则_____． 请你参照智慧学习小组的思路或者按照自己的想法依次解答上面三个问题． 【答案】(1)见解析(2)(3)①；② 【详解】（1）证明：过点C作于点S，于点E， ∵点为的角平分线上一点，，，∴，， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∴在四边形中，； （2）解：如图，过点作于于于， 平分，．， ，， ．平分，． ，， 故答案为：． （3）解：①过点C作于点E，∵，，，∴， ，根据勾股定理可得：， ∵，，∴，由（1）同理可得：， ∴，∴，∴； ②过点C作于点E，∵，，，∴， ∵，根据勾股定理可得：， 由（1）同理可得：，∴，∴， ∵，∴， ∴，即，解得：．故答案为：． 【变式】3.（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）在和中， ∵，，，∴，∴； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴，， ∵，∴， ∴，∴，∴，∵，∴； （3）如图，连接，取的中点F，连接， ∵的平分线，∴，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴． 题型08 奔驰模型 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 图1 图2 【典例】（2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【详解】解：（1）绕点B逆时针旋转得到，∴，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，，∴． （2）将绕点B逆时针旋转得到，如图，则，，，， ∴为等边三角形，∴，， 又∵，，，∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． （3）将绕点B逆时针旋转得到，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，∴，， ∵∴又∵∴，， ∵，∴为直角三角形，， ∴． 【变式】1.（2025·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：①∵是等边三角形，∴，， ∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴，即， ∵，∴，故①正确，符合题意； ②∵绕点B逆时针旋转得到，∴， ∴是等边三角形，故②正确，符合题意； ③∵是等边三角形，∴ ∵，，∴，∴， ∴，故③正确，符合题意；综上：正确的有①②③，故选：D． 【变式】2.（2025·湖北随州·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题，如图1，是等边三角形，是外部一点，连接、、，且，求证： ①如图2，小亮同学从线段出发，给出如下解题思路：将线段绕点顺时针旋转60°到，连接、，将线段、、转化到中证明结论． ②如图3，小明同学从线段出发，给出如下解题思路，将线段逆时针旋转到，连接、，构造全等三角形和直角三角形，从而证明结论．请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现前面的两名同学都利用“旋转”这一图形变换，将三条分散的线段转化到同一个三角形中，为帮助学生更好地体会“旋转”变换的妙用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，△ABC是等腰直角三角形，，，点、是斜边所在的直线上的两点，连接、，满足，求证： 【学以致用】（3）如图5，在中，，将线段绕点顺时针旋转到，连接、，若， ，求线段的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）证明：①根据题意，，， ∴是等边三角形，∴，， ∵是等边三角形，∴，， ∴，即，∴∴． ∵，，∴， ∴ ， ∴                                                                ②根据题意，，，  ∴是等边三角形，∴．   ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，∴，    ∴，． ∵且  ∴ ， ∵ ，∴ ∴，∴，∴．                                                                              （2）证明：如图1，将线段绕点A逆时针旋转到，连接，． ∵是等腰直角三角形， ，，∴ ∴，∴．∵，∴， ∴，，∴ ，                                            ∵，且，，∴ ∴．   ∵，，  ∴，∴， ∴在中，，∴ （3）解：如图2，过点作，截取，连接，，∴是等腰直角三角形． ∵， ∴，． 由（2）同理可证．，过点E作，交的延长线于点，∴ ∵，  ∴，  ∴． 在中，根据勾股定理得 ， ∵ ，  ∴．        在中，根据勾股定理得，∴． 题型09 帽子模型（长短手模型） 帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 【典例】（2025·山西校考二模）如图，中，，，，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接交于点，连接．如果，则线段的长为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示，作交于点，过点分别作和交于点，则，∵，∴，    ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵∴∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴，∴，   ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，∴ 【变式】1.（2025·陕西·校考一模）【问题提出】（1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）的长为 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ， ∵点F是的中点，∴，，，， ∴， ∴，∴． （2）解：．理由：分别延长与的延长线交于点G． ∵，∴，， ∵E为边的中点，∴，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴． （3）解：过C作交的延长线于点M，延长交于点N，连接， ∵点E是的中点，，∴， ∵，，∴，，， ，，，∴，∴， ∵平分，∴，∴， 又，∴平分，∴， ∵，，∴， ，，， ∴，∴． 【变式】2.（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题初探】(1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】(2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】(3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 【答案】(1)选择解题思路，证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）证明：选择解题思路，，，，， ，，，即， ，，，，，； 或选择解题思路，，，又，， ，，，， 又，，，，； （2）证明：如答图，延长至点，使得，连接， 是的中点，，又，， ，，， ，，， 又，即，，，，； （3）解：如答图4，延长至点，使得，连接， ，，，， ，，，， ，，平分，， ，，， ，，，，， ，，，， ，． 题型10 等边截等长模型（定角模型） 等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 【典例】（2025·新疆吐鲁番·三模）如图，在等边三角形中，点P，Q  分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵，∴，∵，∴，如图，过P作交于D， ∴，，∴，， ∴，∴，∴；故①正确； 过B作于E，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴，或，故②错误；在等边中，，， 在与中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴，∴．故③正确； 以为边作等边三角形，连接，交于点，如图所示， ∴，，∵， ∴， ∴点N，A，O，B四点共圆，且圆心即为等边三角形的中心M， 设于圆M交点，即为的最小值，∵，， ∴垂直平分，∴，∴， 在中，，∴，， ∴，  ∴，  即的最小值为，故④正确． 综上：正确的有①③④．故答案为：①③④． 【变式】1.（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明∶∵是等边三角形，∴，， 又，∴，∴． 【变式】2.（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不与端点重合），且，，相交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】解：为等边，，， 在与中，，，， ， ，因此结论A正确；，即：， 又，，， ，因此结论B正确；过作于点， 为等边，，，，， 在中，，，由勾股定理得：， 在中，，，由勾股定理得：， ，因此结论C正确；设，，则，， ，， ，，过点作于点， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：，即：， ， 将代入上式得：， 整理得：，因此结论D不正确．故选D． 题型11 等边内接等边模型 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；结论：三角形DEF也是等边三角形。 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 图1 图2 【典例】（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：（1）的度数是 ；（2）的长是 ． 【答案】 【详解】解：(已知)，，， ，，为等边三角形， ，，， ，， 如图，过点作的延长线于点， ，，， ，，， ，．故答案为：，． 【变式】1.（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是等边三角形，∴， ∵，即， ，∴，过点A作于G点，则， ∴∴，∴， ∴，过点D作于点H，则， ∴，∴，∴， ∴， ∴'， ∴y关于x的函数图象开口向上，当时，当时，当时y的最小值为， ∴选项A，C，D均不符合题意，选项B符合题意，故选：B 【变式】2.（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    【答案】1 【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，    ∵，∴，∵和是等边三角形， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，解得．故答案为：1． 题型12 等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 【典例】（2025·重庆·校考二模）如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：（1）AD=CE；（2）；（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（4）．其中正确的结论有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解： ， ，O是斜边AB的中点， ，， ， ， ， ， ， 在和 中 ， ， ，AD=CE，故（1）正确； ， ， ， ，故（2）正确； ，S四边形CDOE= ， ∴△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍，故（3）正确． ， ， ， ， ， ，故（4）正确；四个答案都正确，故选：A． 【变式】1.（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】C 【详解】解：连接，如图：∵，，点D是中点， ∴∴， ∴ 又∵ ∴故选：C 【变式】2．（24-25山东威海九年级上期中）已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【详解】解：①∵是等腰直角三角形，∴，； 在和中，∴；∴，； ∵，∴，∴是等腰直角三角形．故此选项正确； ③由于是等腰直角三角形，因此当最小时，也最小； 即当时，最小，此时．∴．故此选项错误； ②∵，∴，∴， 当面积最大时，此时的面积最小， ∵，，∴，∴， 此时，故此选项正确； 故正确的有①②，故选：B 题型13 等直+高分模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 【典例】（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长，交于点H，连接， ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴；∵平分，∴， 又∵，D为中点，∴，∴， ∴，∴，∴，故A选项正确，不符合题意； ∵，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵平分，∴，∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵，，∴， ∴，故C选项错误，符合题意； ∵为等腰直角三角形，D为中点，∴垂直平分，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C． 【变式】1.（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 【答案】D 【详解】解：∵，平分，∴， ∵，即，∴，故A选项正确，不符合题意；∵，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， ∵，平分，∴， ∵，∴，∴，∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是等腰直角三角形，H是边的中点，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴是等腰三角形，故C选项正确，不符合题意； ∵，∴，如图，过点G作于点M， ∵平分，，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，故D错误，符合题意；故选：D 【变式】2.（2025·黑龙江·校考二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （   ） A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤ 【答案】D 【详解】解：，，， ，，，， 平分，，， ，，故①正确；③错误， 为的中点，，∴， ∵，∴，∴，∴，故②正确； ∵为的中点，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵为的中点，∴四边形为平行四边形， ∵，∴四边形为菱形，故⑤正确； ∴平分，∴， ∵，∴，∴，故④正确， ∴正确结论的序号为①②④⑤，故选：D． 1.（2025·安徽合肥·校考一模）如图等腰直角△ABC中∠C=90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE=90°，DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE=FA；④AD+BE=DE，其中错误结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】不作辅助线，观察图中几个三角形，没有全等三角形，∴①错误；连接CF， ∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB； ∵∠C=90°，∠DFE=90°，∴∠AFD+∠DFC=∠DFC+∠CFE=90°，∴∠AFD=∠CFE，∴△ADF≌△CEF； ∴CE=AD，S△CEF=S△ADF，∴S四边形CEFD=S△AFC=S△ACB， 即△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍，∴②正确． ∵AC=BC，∠ACB=90°，F为AB中点，∴CF⊥AB，AF=CF=BF，∠A=45°，∠ACF=45°， ∴AF=CF，由勾股定理得：AC=CF=AF，由（2）知△ADF≌△CEF， ∴AC=AD+DC=CE+CD，∴CD+CE=AF，∴③正确； 易证△BEF≌△CDF，∴CD=BE，在Rt△CDE中， ∵CD=BE，AD=CE，∴，∴④正确；综上所述②③④正确，故选：C． 2.（2024·广东东莞·一模）如图，正方形中，点E、F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G、H，连接，则下列结论：①的周长不变；②是等腰直角三角形；③当时，．其中正确的有（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：将绕点A顺时针旋转得到，此时与重合，    由旋转可得， ∴，因此，点M，B，E在同一条直线上． ∵，∴ ． ∵，∴．即． 在与中，∴．∴， 故，∴，故①正确，∵ ，∴A，B，E，H四点共圆， ∵ ，∴是等腰直角三角形，故②正确； ∵∴，而，∴ 又∵∴，故③正确；故选：D． 3.（2025·广东广州·二模）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为 ． 【答案】9 【详解】解：作，交的延长线于点，则：， ∵，∴，∴，∴， ∵是边上的中线，∴， ∵，∴，∴；故答案为：9． 4.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 【答案】/度 【详解】解：如图，在上截取，平分，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴， ∵，四边形内角和为， ∴．故答案为： 5.（2025·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形，，，， ，，， ，，，， ，，，， ，，， 是等边三角形，，故答案为：4． 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，∴，设， 如图所示，过点作于点， ∴在中，， ∴，，∴， ∵点分别是的黄金分割点，∴， ∴，∴， ∴，则， 如图所示，过点作于点，∴在中，， ∴，∴， ∴， ∴， ∴，故答案为：． 7.（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点．(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：证明：是等边三角形， ，，，， 在与中，，； （2）∵∴∴ 又∵∴∴，即 （3）过点作交于， ，设∵∴，， ，，， ，， ∴解得：，或（舍去）即． 8．（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 【答案】(1)(2)（1）中的结论成立；证明见解析(3) 【详解】（1）解：当绕D点旋转到时，∴， ∴四边形是矩形．∴，， ∵为边的中点，∴，，∴，， ∵，∴，∴四边形是正方形． 设的边长， ∴正方形的边长为． ∴，，即； （2）解：（1）中的结论成立；过点D作，，则， 又∵，∴，，∵D为边的中点， 同理可得：四边形为正方形，∴，， ∵，∴，，∴， 在与中，，∴，∴， ∴，由（1）可得：，∴． （3）解：如图，连接，∵，，D为边的中点，∴，， ∴，∴，同理可得：， ∴， ∴，∴． 故、、的关系是：． 9．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；②(2)平分，理由见解析(3) 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补，菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等，矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等，正方形一定是等补四边形，故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中，，，． ，，， ，， 又，四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下：如图，过点A分别作于E，于F， 则，四边形是等补四边形，， 又，， ，，，是的角平分线． （3）解：连接，在等补四边形中，，同（2）可知平分， 四边形是等补四边形，， 又，， 平分，平分，， 又，，，即，解得． 10．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知是等边三角形．(1)如图1，点D在内，且，，，把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，求线段的长为；(2)如图2，点D在外，且，，，求的度数．    【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，连接，       ∵是等边三角形，∴，∵， ∴，，易得∴是等边三角形，则， ∵，∴，则， ∵，，∴，， 在中，由勾股定理得：，所以； （2）解：如图，将绕点A顺时针旋转使点C与点B重合，得到，连接， ∴，依题意，得（旋转角相等），且， 同理：为等边三角形，∴，， ∵，∴，∴为直角三角形，， ∴，∵，∴． 11．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)图②结论：，证明见解析 (3)图③结论： 【解析】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC， ∵点P与点A重合，∴PB=AB，PC=AC，PA=0，∴或； (2)解：图②结论： 证明：在BP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴（SAS），∴， ∵AC=AB，CP=BF，   ∴（SAS）， ∴，，∴， ∴，∴是等边三角形，∴，∴； (3)解：图③结论：，理由：在CP上截取，连接AF， ∵和都是等边三角形，∴，， ∴，∴，∴（SAS），∴， ∵AB=AC，BP=CF，∴（SAS），   ∴，， ∴，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，即． 1.（2026·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】解：∵，，， ∴，，，， ∵平分，∴， ∴，∴，∴， ∵M为中点，∴，∴， ∴，∴ 在和中， ∴，∴，∴①正确； ∵，∴A、B、D、M四点共圆，∴， ∴，∵，∴平分∴③正确； ∵，∴，∴， ∵，∴，∴ 过点D作于点H，则，∴， 设，则，∴ ∵ ∴，即，∴；故②正确； ∵，∴ ∴， 过点D作于点P，则，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵∴， ∴∴，故④错误； ∵，，∴，∴， ∵∴，∵，∴，∴，故⑤正确； 综上可知，正确结论是①②③⑤，故选：C 2.（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①③ 【详解】由旋转可知，，， 四边形是正方形，，， ，，，， 可以由绕点A逆时针旋转得到，故结论①正确； 由勾股定理得，故结论②错误； ，，，由得， ，，， 为直角三角形，且，，故结论③正确； 如图，过点D作交延长线于点E，则， ，，，， 由勾股定理得，，即，解得， ，，由勾股定理得， 正方形的面积等于，故结论④错误；综上可知，正确的结论是①③．故答案为：①③． 3．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； ②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________； （2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）或10． 【详解】（1）①∵是的角平分线，∴， ∵，，∴，∴；故答案为：； ②在上取点D，使，连接，， ∵的角平分线、相交于点P．∴平分，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴；故答案为：； （2），理由：在上取点E，使，连接，则， ∵，∴，∵的平分线与的平分线恰好交于边上的点P， ∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴；     （3）设，则，当时，， ∴，∴，∴， 过点E作于点G，则，∴，∴， ∵，，， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∴，，∴，∴，∴，； 当时，，过点P作于点H，则， ∴，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∵，∴，， ∴，∴，∴，； 当时，，∵，∴， ∴，∴不成立．综上，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形 重难点03 全等三角形中的十三类重要模型 目 录 01 深挖重难·固根基 2 02 分层锤炼·验成效 58 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 三角形中的十三类全等模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 题型01 倍长中线模型 2-1.倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 2-2.倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 2-3.倍长类中线模型拓展（中点+平行线型） 条件：AB∥CD，E为AC的中点，F为AB边上一点（不同于端点）。结论：△AFE≌△CGE。 【典例】（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答：（1）小红证明的判定定理是： ．（2）的取值范围是 【模型应用】（3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【变式】1.（2025·重庆·模拟预测）[问题情境]（1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，E是的中点，，D、A、E三点共线．求证：． 小玉在组内经过合作交流，得到解决方法：延长至点F，使得，连结．请根据小玉的方法思考：由已知和作图能得到，依据是 ．由全等三角形、等腰三角形的性质可得． 初步运用（2）如图2，在中，平分，E为的中点，过点E作，分别交的延长线和于点D、点A．求证：． 拓展运用（3）如图3，在（1）的基础上（即E是的中点，，D、A、E三点共线），连结，若，当，时，求的长． 【变式】2.（2025·山东聊城·二模）【发现问题】数学活动课上，刘老师提出了如下问题：如图1，在中，，求边上的中线的取值范围． 【探究方法】“智慧”小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】（1）如图1，直接写出边上的中线的取值范围． （2）如图2，在等腰三角形和等腰三角形中，，连接和，E是的中点，求证：． 【问题拓展】（3）如图3，在中，于点D，是边上的中线，过点E作，交于点M，连接，判断之间的关系并证明． 【变式】3.（2025·北京·模拟预测）请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在复习三角形中线的相关知识时，李老师提出了以下问题： 如图①，在中，为中线，已知，求中线长的取值范围．小颖和小组交流后，通过倍长中线，将分散的条件迁移到同一个三角形中，利用三角形的边角关系顺利的解决了问题，下面是小颖的解题思路：延长至点，使，连接，则易证，得到，则可得，从而可得中线长的取值范围是． 任务：(1)如图②，在四边形中，，点为边的中点，且平分，则、、的数量关系是________； (2)如图③，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图④，是的中点，点在线段上，，若，直接写出的面积． 题型02 截长补短模型 截长：指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条； 补短：指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 【典例】（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【变式】1.（2025·辽宁大连·模拟预测）【方法探究】如图1，在中，平分，，探究，，之间的数量关系； 嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而解决此问题． 方法2：如图3，延长到点，使得 ，连接，可以得到等腰三角形，进而解决此问题． （1）根据探究，直接写出，，之间的数量关系； 【迁移应用】（2）如图4，在中，D是上一点，，，于，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】（3）如图5，为等边三角形，点为延长线上一动点，连接．以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：． 【变式】2.（2025·江苏宿迁·二模）综合与实践： 【回归教材】在八年级我们探究了三角形中边与角之间的不等关系，发现：在三角形中，大边对大角，大角对大边． 小明的探究方法如下：如图1，在中，如果，作的角平分线交于点，在边上截取，连接，进而证明，则．这说明“在三角形中，大边对大角”． 如图2，在中，如果，作垂直平分交于点，则，．这说明“在三角形中，大角对大边”． 【尝试探究】（1）如图3，在中，为的角平分线交于点，试证明：； 【进阶思考】（2）如图4，在中，分别为的角平分线，求证：； 【拓展运用】（3）如图5，在中，为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 题型03 一线三等角（K字型）模型 1.一线三等角（K型图）模型（同侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：ΔABE≅ΔECD，AB+CD=BC. 2.一线三等角（K型图）模型（异侧型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE；结论：，AB-CD=BC。 【典例】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到的位置时，①直接写出图1中全等的一角形__________；②__________（填＞、＜或＝） (2)当直线绕点旋转到图2的位置时，求证：；(3)当直线绕点旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 【变式】1．（2025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【变式】2．（2023·湖北荆州·中考真题）如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线． (1)如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．①确定的形状，并说明理由； ②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）． 题型04 手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 【典例】（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰中，，，点，分别在，上，，连接，，取中点，连接． (1)求证：，；(2)将绕点顺时针旋转到图2的位置． ①请直接写出与的位置关系：___________________；②求证：． 【变式】 1．（2025·四川凉山·中考真题）如图，，点E在上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形. (1)问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：； (2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.     图1     图2 【变式】 3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，以的边、为腰分别向外作等腰直角、，连结、、，过点的直线分别交线段、于点、，以下说法：①当时，；②；③若，，，则；④当直线时，点为线段的中点．正确的有 ．(填序号)    题型05 半角模型 1）半角模型 条件：如图1，四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；（正方形型） 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 图1 图2 条件：如图2，ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°；（等腰直角型） 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 条件：如图3，ABC是等边三角形，BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；（等边型120-60） 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 图3 图4 图5 条件：如图4，ABC是等边三角形，∠EAD=30°；（等边型60-30） 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 条件：如图5，∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；（任意型） 结论：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。 【典例】（2025·山东东营·中考真题） 【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【变式】1．（2024·黑龙江·中考真题）已知是等腰三角形，，，在的内部，点M、N在上，点M在点N的左侧，探究线段之间的数量关系．    （1）如图①，当时，探究如下：由，可知，将绕点A顺时针旋转，得到，则且，连接，易证，可得，在中，，则有．（2）当时，如图②：当时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【变式】2．（24-25·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2．∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，求DE的长． 题型06 对角互补模型 1.全等模型-对角互补模型（90°+90°） 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 2.全等模型-对角互补模型（60°+120°） 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 3）“120°等腰三角形对60°模型” 条件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°，PA平分∠BPC。 结论：PB+PC=PA； 3.全等模型-对角互补模型（α+180°-α） 1）“α对180°-α模型”：条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 【典例】（2025·河南焦作·一模）【操作判断】如图1，为两条互相垂直的射线，为的平分线上任意一点，过点作，分别交射线于点．此时在的两侧，试探究之间的数量关系．以下是小明简略的解题过程，请根据要求作答． 解：，理由如下：过点作于点于点，则四边形为矩形． 平分，．① ，．，② ．… （1）①的依据是______，②中所填的关系表达式为______； 【迁移探究】（2）如图2，若过点作的两条垂线在的同侧．题中的结论是否发生变化？如果结论不变，请说明理由；如果变化，请写出新结论并给出证明； 【变式】1．（2024广东中考一模）如图，已知，在的角平分线上有一点，将一个角的顶点与点重合，它的两条边分别与射线相交于点. （1）如图1，当绕点旋转到与垂直时，请猜想与的数量关系，并说明理由； （2）当绕点旋转到与不垂直时，到达图2的位置，（1）中的结论是否成立？并说明理由； （3）如图3，当绕点旋转到点位于的反向延长线上时，求线段与之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明. 【变式】3．（2024·河南郑州·三模）【问题背景】如图1，在四边形中，若或，我们把这种四边形称为“对补四边形”．某学习小组根据研究矩形、菱形、正方形的经验，又进行了如下探究． 【初步认识】该学习小组先对“对补四边形”的角进行探究． （1）如图1，四边形是“对补四边形”，若，则 ． 【观察猜想】（2）该学习小组在探究“对补四边形”的边和对角线时，发现“对补四边形”的边和对角线都有着特殊的性质，并提出了下列两个猜想． 猜想1：如图2，四边形是“对补四边形”，若对角线平分，和的数量关系是： ； 猜想2：如图3，四边形是“对补四边形”，若，连接，则平分∠ ． 请补全猜想1和猜想2，并从猜想1或猜想2中任选一个给出证明； 题型07 角平分线的全等模型（三类） 1)角平分线垂两边（角平分线+外垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 2）角平分线垂中间（角平分线+内垂直）模型 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 3）角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）模型 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 【典例】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式】1.（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题：问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分．求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题：问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【变式】2.（2025·青海西宁·二模）角是常见的轴对称图形，当几何图形中出现角平分线时，我们常通过轴对称变换来解决问题．例如，点为的角平分线上一点，则通常有以下方法构造轴对称图形． 方法一：如图1，过点作于，于，可得； 方法二：如图2，过点作，交于点，交于点，可得； 智慧学习小组通过上述方法解决了下面几个问题 如图3，点为的角平分线上一点，点分别在边，上，连接，， (1)若，求证：； (2)连接，如图4，若，，则_____； (3)当点在线段上时，如图5，在射线上取点，连接，使， ①若，，，求的长； ②若，，，则_____． 请你参照智慧学习小组的思路或者按照自己的想法依次解答上面三个问题． 【变式】3.（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【拓展提升】（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：． 题型08 奔驰模型 1）奔驰模型1（动点在等边三角形内） 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足（常考数据：BP=3，AP=4，CP=5）， 结论：∠APB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 2）奔驰模型2（动点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形ABC内有一点P，满足， 结论：∠CPB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 3）奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P在等边三角形ABC外，若，结论：∠CPA=30°。 模型2）条件：如图2，点P在等腰直角三角形ABC外，若 ，结论：∠APC=45°。 图1 图2 【典例】（2024·四川广元·二模） 【问题提出】小明、小强、小东三人兴趣小组在研究等边三角形时，小明提出了一个猜想：等边三角形内一点到三角形三个顶点的长度确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也就随之确定． 【问题解决】（1）如图1，点 P 是等边 内的一点， 小强将绕点B逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数．请你写出小强的求解过程． 【问题延伸】（2）在研究中，小东又提出一个猜想：当点在等边三角形外与三顶点距离确定时，这点与三顶点连线构成的角的度数也会随之确定．如图2， 求 的度数． 【拓展应用】（3）如图 3，在正方形 内有一点P， 求 的度数． 【变式】1.（2025·北京门头沟·一模）如图，在等边三角形中，有一点P，连接、、，将绕点B逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式】2.（2025·湖北随州·二模）【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题，如图1，是等边三角形，是外部一点，连接、、，且，求证： ①如图2，小亮同学从线段出发，给出如下解题思路：将线段绕点顺时针旋转60°到，连接、，将线段、、转化到中证明结论． ②如图3，小明同学从线段出发，给出如下解题思路，将线段逆时针旋转到，连接、，构造全等三角形和直角三角形，从而证明结论．请你选择一名同学的思路，写出证明过程． 【类比分析】（2）李老师发现前面的两名同学都利用“旋转”这一图形变换，将三条分散的线段转化到同一个三角形中，为帮助学生更好地体会“旋转”变换的妙用，李老师将图1进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，△ABC是等腰直角三角形，，，点、是斜边所在的直线上的两点，连接、，满足，求证： 【学以致用】（3）如图5，在中，，将线段绕点顺时针旋转到，连接、，若， ，求线段的长． 题型09 帽子模型（长短手模型） 帽子模型（长短手模型） 条件：如图，已知AB=AC，BD=CE，DG⊥BC于G，结论：①DF=FE；②。 【典例】（2025·山西校考二模）如图，中，，，，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接交于点，连接．如果，则线段的长为 ．    【变式】1.（2025·陕西·校考一模）【问题提出】（1）如图1，在中，，点是上一点，交于点，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，求证：； 【问题探究】（2）如图2，在四边形中，，点是的中点，连接，，与的延长线交于点．探究线段与、之间的数量关系，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，某校有一块四边形空地，现将这块空地规划为实践活动区域，在的中点处修建入口，沿修建一条小路（小路的宽度忽略不计），将这块空地分成两部分，在内种植蔬菜，在四边形内种花卉，已知，恰好平分，，，求的长． 【变式】2.（2025·河南·模拟预测）综合与实践 【问题初探】(1)数学课上，李老师展示了这样一个问题：“如图，在中，，点是边上一点，点是延长线上的一点，连接交于点，若，求证：．” 如图，小乐同学从中点的角度，给出了一种解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明； 如图，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点作，交的延长线于点，利用两个三角形全等和已知条件，可完成证明． 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程． 【类比分析】(2)李老师发现以上两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好地理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答． 如图，在中，点在边上，是的中点，连接，，与相交于点，若，求证：． 【学以致用】(3)如图，在中，，，平分，点在的延长线上，过点作，交于点，交于点，且，若，请直接写出的长度． 题型10 等边截等长模型（定角模型） 等边截等长模型（定角模型） 条件：如图，在等边中，点，分别在边，上，且，与相交于点，于点．结论：①；②AD=BE；③；④BQ=2PQ。 【典例】（2025·新疆吐鲁番·三模）如图，在等边三角形中，点P，Q  分别是，边上的动点（都不与线段端点重合），且，、相交于点．下列四个结论：①若，则 ；②若，，则；③；④若，则 的最小值为，其中正确的是 ． 【变式】1.（2024·四川宜宾·中考真题）如图，点D、E分别是等边三角形边、上的点，且，与交于点F．求证：． 【变式】2.（2025·浙江·模拟预测）如图，在等边三角形的，边上各取一点，（均不与端点重合），且，，相交于点，下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，，则 D．若，，则 题型11 等边内接等边模型 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上运动，且满足AD=BE=CF；结论：三角形DEF也是等边三角形。 2）等边内接等边（垂线型） 条件：如图，点、、分别在等边的各边上，且于点，于点，于点，结论：三角形DEF也是等边三角形。 图1 图2 【典例】（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(，，)与中间的小等边三角形拼成一个大等边三角形．连接并延长交于点G，若，则：（1）的度数是 ；（2）的长是 ． 【变式】1.（2025·江苏南通·中考真题）如图，在等边三角形的三边上，分别取点，使．若，的面积为，则关于的函数图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式】2.（2023·内蒙古通辽·中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动 s．    题型12 等直内接等直模型 条件：已知如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P为底边BC的中点，且∠EPF=90°。 结论：①PE=PF；②PEF为等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④； ⑤；⑥。 （注意题干中的条件：∠EPF=90°，可以和结论③调换，其他结果依然可以证明的哦！） 【典例】（2025·重庆·校考二模）如图，在等腰直角△ABC中，，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且，DE交OC于点P．给出下列结论：（1）AD=CE；（2）；（3）△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；（4）．其中正确的结论有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【变式】1.（2024·广东广州·中考真题）如图，在中，，，为边的中点，点，分别在边，上，，则四边形的面积为（    ） A．18 B． C．9 D． 【变式】2．（24-25山东威海九年级上期中）已知中，，，D是边的中点，点E、F分别在、边上运动，且保持．连接、、得到下列结论：①是等腰直角三角形；②面积的最大值是2；③的最小值是2．其中正确的结论是（　　） A．②③ B．①② C．①③ D．①②③ 题型13 等直+高分模型 条件：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点． 结论：①；②；③是等腰三角形；④；⑤． 【典例】（2025·安徽六安·一模）如图，在等腰直角中，，平分，交于，且于点，边上的中线交于，连接．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1.（24-25九年级下·湖南岳阳·期中）如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．是等腰三角形 D． 【变式】2.（2025·黑龙江·校考二模）如图，等腰直角三角形中，，于，的平分线分别交、于、两点，为的中点，延长交于点，连接，．下列结论：①；②；③是等边三角形；④；⑤四边形是菱形，正确结论的序号是 （   ） A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤ 1.（2025·安徽合肥·校考一模）如图等腰直角△ABC中∠C=90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且∠DFE=90°，DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：①图中全等的三角形只有两对；②△ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；③CD+CE=FA；④AD+BE=DE，其中错误结论的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.（2024·广东东莞·一模）如图，正方形中，点E、F分别是上的动点（不与点B，C，D重合），且，与对角线分别相交于点G、H，连接，则下列结论：①的周长不变；②是等腰直角三角形；③当时，．其中正确的有（　　）    A．0 B．1 C．2 D．3 3.（2025·广东广州·二模）如图，在中，，是边上的中线，若，，则的值为 ． 4.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在凸四边形中，，，平分，，则 ． 5.（2025·河南新乡·模拟预测）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 6．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，已知等边三角形，点，，分别为边上的黄金分割点（，，），连接，，，我们称为的“内含黄金三角形”，若在中任意取点，则该点落在“内含黄金三角形”中的概率是 ． 7.（24-25九年级上·四川内江·期中）如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点．(1)求证：；(2)求证：； (3)若，，求的长度． 8．（24-25九年级上·河南许昌·期中）已知为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于． (1)如图1，当绕点旋转到于时，与的和与之间数量关系为______； (2)如图2，当点在线段上时，绕点旋转到和不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由； (3)如图3，这种情况下，的数量关系是______． 9．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 10．（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）已知是等边三角形．(1)如图1，点D在内，且，，，把绕着点C顺时针旋转，使点B旋转到点A，得到，求线段的长为；(2)如图2，点D在外，且，，，求的度数．    11．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形． (1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明． 1.（2026·山东泰安·模拟预测）如图，等腰直角中，，于点D，的平分线分别交于点E，F，M为中点，延长线交于点N，连接，下列结论：①；②；③平分；④；⑤，其中正确结论的个数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2.（2025·贵州黔东南·二模）如图，P是正方形内一点，，，，将线段以点A为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，下列结论：①可以由绕点A逆时针旋转得到；②点P与的距离为4；③；④；其中正确的结论是 ．（填序号） 3．（2024·河南南阳·一模）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯，下面是李老师在“利用角的对称性构造全等模型”主题下设计的问题，请你解答． （1）【观察发现】①如图1，是的角平分线，，在上截取，连接，则与的数量关系是__________； ②如图2，的角平分线、相交于点P．当时，线段与的数量关系是__________； （2）【探究迁移】如图3，在四边形中，，的平分线与的平分线恰好交于边上的点P，试判断与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若，当有一个内角是时，直接写出边的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $