专题17二次根式的乘除（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题17二次根式的乘除 【题型01 二次根式的乘法】........................................2 【题型02 二次根式的除法】........................................3 【题型03 二次根式的乘除混合运算】................................3 【题型04 分母有理化】............................................4 【题型05 最简二次根式的判断】....................................5 【题型06 化为最简二次根式】......................................5 【题型07 已知最简二次根式求参数】................................6 【题型08 复合二次根式的化简】....................................6 【题型09 解答题5题】............................................7 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的乘法 1. 乘法法则 公式： (a≥0,b≥0) 解读：两个二次根式相乘，根指数不变，将被开方数相乘，结果仍为二次根式。推广：多个二次根式相乘，法则依然成立，即 = (a,b,c≥0)。 带系数乘法：mn=mn（a≥0，b≥0，m,n 为常数）。 2. 积的算术平方根（乘法法则逆用） 公式：=（a≥0，b≥0） 作用：用于化简二次根式，将被开方数中能开得尽方的因数 / 因式分离出来。 知识点02:二次根式的除法 1. 除法法则 公式： (a≥0,b>0) 解读：两个二次根式相除，根指数不变，将被开方数相除，结果仍为二次根式。注意：除数 b>0（分母不能为 0）。 带系数除法：（a≥0，b>0，m,n 为常数，n0）。 2. 商的算术平方根（除法法则逆用） 公式：(a≥0,b>0) 作用：用于化简被开方数含分母的二次根式。 知识点03:最简二次根式（运算结果要求） 定义：满足以下 3 个条件的二次根式，称为最简二次根式： 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（如不是最简,是最简）； 2.被开方数中不含分母（如不是最简）； 3.分母中不含根号（如 不是最简）。 知识点04:分母有理化（核心化简技巧） 定义：将分母中的根号化去的过程，称为分母有理化。 方法：分子、分母同乘分母的有理化因式（两个含二次根式的式子相乘，积不含二次根式，则互为有理化因式）。 知识点05:运算步骤与注意事项 1. 运算步骤 (1)先判断被开方数的取值范围，确保有意义； (2)运用乘除法法则计算； (3)化简结果为最简二次根式（含分母有理化）。 2. 易错点提醒 (1)忽略被开方数的非负性（a≥0，b≥0 或 b>0），如 无意义； (2)运算结果未化到最简二次根式； (3)分母有理化时漏乘分子，或有理化因式选择错误。 【题型1.二次根式的乘法】 【典例】 ． 【跟踪专练1】估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【跟踪专练】3已知、为有理数，并满足，则 ． 【跟踪专练3】下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型2.二次根式的除法】 【典例】 ． 【跟踪专练1】若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【跟踪专练2】化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【跟踪专练3】下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型3.二次根式的乘除混合运算】 【典例】若，则 ， ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【跟踪专练3】下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A．分 B．分 C．分 D．分 【题型4.分母有理化】 【典例】计算的结果是 ． 【跟踪专练1】在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【跟踪专练2】阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 【跟踪专练3】阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【题型5.最简二次根式的判断】 【典例】在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 【跟踪专练1】若是最简二次根式，则a的值可以是（　　） A． B．0.6 C． D．11 【跟踪专练2】在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【跟踪专练3】下列关于的表述错误的是（    ） A．它是最简二次根式 B．它是无理数 C．它就是 D．它大于8 【题型6.化为最简二次根式】 【典例】已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值 ． 【跟踪专练1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化各式为最简二次根式：① ；② ； 【跟踪专练3】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【题型7.已知最简二次根式求参数】 【典例】已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【跟踪专练1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【跟踪专练2】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【跟踪专练3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【题型8.复合二次根式的化简】 【典例】化简＝ ． 【跟踪专练1】下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【跟踪专练3】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 4．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 5．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17二次根式的乘除 【题型01 二次根式的乘法】........................................2 【题型02 二次根式的除法】........................................4 【题型03 二次根式的乘除混合运算】................................7 【题型04 分母有理化】............................................9 【题型05 最简二次根式的判断】...................................12 【题型06 化为最简二次根式】.....................................13 【题型07 已知最简二次根式求参数】...............................15 【题型08 复合二次根式的化简】...................................17 【题型09 解答题5题】...........................................19 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的乘法 1. 乘法法则 公式： (a≥0,b≥0) 解读：两个二次根式相乘，根指数不变，将被开方数相乘，结果仍为二次根式。推广：多个二次根式相乘，法则依然成立，即 = (a,b,c≥0)。 带系数乘法：mn=mn（a≥0，b≥0，m,n 为常数）。 2. 积的算术平方根（乘法法则逆用） 公式：=（a≥0，b≥0） 作用：用于化简二次根式，将被开方数中能开得尽方的因数 / 因式分离出来。 知识点02:二次根式的除法 1. 除法法则 公式： (a≥0,b>0) 解读：两个二次根式相除，根指数不变，将被开方数相除，结果仍为二次根式。注意：除数 b>0（分母不能为 0）。 带系数除法：（a≥0，b>0，m,n 为常数，n0）。 2. 商的算术平方根（除法法则逆用） 公式：(a≥0,b>0) 作用：用于化简被开方数含分母的二次根式。 知识点03:最简二次根式（运算结果要求） 定义：满足以下 3 个条件的二次根式，称为最简二次根式： 1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（如不是最简,是最简）； 2.被开方数中不含分母（如不是最简）； 3.分母中不含根号（如 不是最简）。 知识点04:分母有理化（核心化简技巧） 定义：将分母中的根号化去的过程，称为分母有理化。 方法：分子、分母同乘分母的有理化因式（两个含二次根式的式子相乘，积不含二次根式，则互为有理化因式）。 知识点05:运算步骤与注意事项 1. 运算步骤 (1)先判断被开方数的取值范围，确保有意义； (2)运用乘除法法则计算； (3)化简结果为最简二次根式（含分母有理化）。 2. 易错点提醒 (1)忽略被开方数的非负性（a≥0，b≥0 或 b>0），如 无意义； (2)运算结果未化到最简二次根式； (3)分母有理化时漏乘分子，或有理化因式选择错误。 【题型1.二次根式的乘法】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，核心知识点为二次根式的乘法法则：．先利用法则将两个二次根式合并为一个二次根式，计算根号内的乘积后，再化简二次根式得到最终结果． 【详解】解：； 故答案为：． 【跟踪专练1】估计的值在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算及无理数的估算，先计算二次根式的乘法，再找到所求的无理数在哪两个和它接近的数之间，然后判断出所求的无理数的范围，由此即可求解． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴在1和2之间， 故选：B． 【跟踪专练】3已知、为有理数，并满足，则 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．先利用完全平方公式计算，从而可得的值，再代入计算即可得． 【详解】解：， ∵、为有理数，并满足， ∴， ∴， 故答案为：7． 【跟踪专练3】下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 【题型2.二次根式的除法】 【典例】 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，掌握知识点是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【跟踪专练1】若成立，则的值可以是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式除法法则的成立条件，二次根式有意义的条件，需根据被开方数的非负性及分母不为0确定x的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵等式成立 ∴根据二次根式除法法则的成立条件，需满足， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴x的取值范围是， 结合选项，只有1在此范围内， 故选：C． 【跟踪专练2】化简： （1） ． （2） ． （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．正确化简二次根式是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （2）先将被开方数化为正分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简； （3）先将带分数化为假分数，然后根据二次根式的性质，将其转化为分数形式的二次根式，即可化简． 【详解】解：（1）∵ = ，而 ，， ∴原式 = . 故答案为： . （2）， . 故答案为：． （3）， . 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各式从左到右的变形正确的有（　　） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质，逐一分析各式的成立条件解答即可． 本题考查了二次根式的公式计算的使用条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：① ：当且时成立， 故①错误； ② ：当且时成立， 故②错误； ③ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立；故③正确； ④ ：当左边有意义时（即，），右边必然有意义且等式成立， 故④正确． 综上，正确的有③和④，共2个． 故选：B． 【题型3.二次根式的乘除混合运算】 【典例】若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】利用二次根式的乘除运算法则计算，可得结果． 【详解】解：∵ 即， ∴ ∴， 故答案为：，2． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握相应的运算法则． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】从、，中任意选择两个数，分别填在算式里面的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 【答案】（或或，写出一种结果即可） 【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解：①选择和， 则 ． ②选择和， 则 ． ③选择和， 则 ． 故答案为：（或或，写出一种结果即可）． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 【跟踪专练3】下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空（每小题分，共分） ①的倒数是；②的绝对值是；③； ④；⑤体积为的立方体的棱长为 A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了； ②的绝对值是，该题做对了； ③，该题做错了； ④，该题做对了； ⑤体积为的立方体的棱长为，该题做对了； ∴得分应是分， 故选：． 【题型4.分母有理化】 【典例】计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式分母有理数，分子分母同时乘以有理化因子，即可求解；掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【跟踪专练1】在化简时，甲、乙两位同学化简的方法分别是（   ） 甲：原式； 乙：原式 下列说法正确的是（   ） A．甲、乙两种方法均正确 B．甲方法正确，乙方法错误 C．甲方法错误，乙方法正确 D．甲、乙两种方法均错误 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的性质． 利用分母有理化的方法以及二次根式的性质判断即可． 【详解】解：∵ 甲的方法：原式，使用了分母有理化，正确； ∵ 乙的方法：原式，通过分子分母同乘使分母化为完全平方数，再开方，正确； ∴ 甲、乙两种方法均正确， 故选：A． 【跟踪专练2】阅读下列材料：我们知道，因此将的分子分母同时乘以“”，分母就变成了4，即，从而可以达到对根式化简的目的．根据上述阅读材料解决问题：若，则代数式的值是 ． 【答案】2026 【分析】本题考查二次根式化简、代数式求值；先对进行分母有理化，得到，进而得到，平方后得到，然后利用这个关系简化代数式． 【详解】解：， ∴， 两边平方得，即， ∴． ∴． 故答案为：2026． 【跟踪专练3】阅读下列解题过程： ； ； 观察上面解题过程，的值为（     ） A． B． C． D．10+ 【答案】B 【分析】本题考查阅读理解，掌握材料中分母有理化的方法是解决问题的关键． 根据材料中的分母有理化方法计算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【题型5.最简二次根式的判断】 【典例】在二次根式，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2/两 【分析】根据最简二次根式的定义求解即可． 【详解】解：在二次根式，，，中，最简二次根式为，，共2个， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解答的关键是熟知最简二次根式应满足下列两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【跟踪专练1】若是最简二次根式，则a的值可以是（　　） A． B．0.6 C． D．11 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式，二次根式有意义的条件，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、当时，被开方数为负数，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】在二次根式，，，，，，中，最简二次根式有 个． 【答案】2 【分析】将各二次根式能化简的依次化简后即可得到答案. 【详解】解： =，=，=，=，=，=，=， ∴，是最简二次根式， 故答案为：2. 【点睛】此题考查最简二次根式：①被开方数不含分母，②被开方数中不含开得尽方的因数或因式，以及化简二次根式. 【跟踪专练3】下列关于的表述错误的是（    ） A．它是最简二次根式 B．它是无理数 C．它就是 D．它大于8 【答案】D 【分析】根据题意逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：是最简二次根式，是无理数，，故A，B，C，正确， ∵，故D选项错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，无理数，实数的计算，无理数的估算，掌握以上知识是解题的关键． 【题型6.化为最简二次根式】 【典例】已知，若是最简二次根式，请写出一个符合条件的n的正整数值 ． 【答案】1 【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案． 【详解】解：∵n＞0且是最简二次根式， ∴n=1， 故答案为：1(答案不唯一)． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是解题关键． 【跟踪专练1】下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知相关计算法则是解题的关键．根据二次根式的性质以及二次根式有意义的条件逐一判断即可求解． 【详解】解：因为二次根式的被开方数必须为非负数，选项A中与的被开方数为负数，无意义，所以A错误不符合题意； 因为，所以B错误不符合题意； 因为，所以C错误不符合题意； 因为有意义时，即，所以，所以D正确符合题意； 故选：D． 【跟踪专练2】化各式为最简二次根式：① ；② ； 【答案】 【分析】本题考查化简二次根式，根据化简即可． 【详解】解：① ②． 故答案为：，． 【跟踪专练3】如图是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是（用含n的代数式表示）（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察数阵排列，可发现各数的被开方数是从1开始的连续自然数，行数中的数字个数是行数的2倍，求出n-1行的数字个数，再加上从左向右的第n-3个数，就得到所求数的被开方数，再写成算术平方根的形式即可． 【详解】由图中规律知，前（n-1）行的数据个数为2+4+6+…+2（n-1）＝n（n-1）， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数的被开方数是：n（n-1）+n-3＝n2-3， ∴第n（n是整数，且n≥4）行从左向右数第（n-3）个数是： 故选：C． 【点睛】本题考查了数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律、二次根式的性质，从而完成求解． 【题型7.已知最简二次根式求参数】 【典例】已知是最简二次根式，请你写出一个符合条件的正整数a的值 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念解答即可． 【详解】解：当时，，是最简二次根式， 故答案为：2（答案不唯一）． 【跟踪专练1】若最简二次根式与可以合并，则的值是（   ） A．7 B．21 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的概念及可合并二次根式的条件，解题的关键是明确可合并的二次根式需满足被开方数相同，且均为最简二次根式，需先将非最简二次根式化为最简形式再分析． 先将化为最简二次根式，得到其被开方数；因是最简二次根式且能与合并，故两者被开方数相同，由此确定m的值． 【详解】解：，其被开方数为2． ∵最简二次根式与可以合并， ∴，则 故选：C． 【跟踪专练2】已知二次根式与化成最简二次根式后，被开方数相同，若是正整数，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质；由，被开方数为，故化简后被开方数也应为，即是的倍数且为完全平方数的倍，列出可能值求． 【详解】解：，被开方数为2．二次根式与化成最简二次根式后被开方数相同，故化简后被开方数也为2． 设（k为正整数），则． 由，得，，为正整数， 故，，． 当时，； 时， 时，． 综上所述：的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（　　） A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1 【答案】D 【分析】由二次根式的定义可知，由最简二次根式和能合并，可得，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式和能合并， ∴， ∴， 解得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 【题型8.复合二次根式的化简】 【典例】化简＝ ． 【答案】 【分析】根据平方的性质，二次根式的性质化简即可； 【详解】解： ＝ ＝5， 故答案为：5； 【点睛】本题考查了平方的非负性，二次根式因数的外移；掌握是解题关键． 【跟踪专练1】下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 【跟踪专练2】仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 ． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 ． 【答案】 （n为正整数） 【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 【跟踪专练3】设，且x、y、z为有理数．则xyz＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知式子两侧平方后，根据x、y、z的对称性，列出对应等式，进而求出x、y、z的值即可求解． 【详解】解：两侧同时平方，得到 ∴ ∴, ， ∴xyz＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查二次根式的加减法，x、y、z对称性，掌握二次根式加减法法则，利用两边平方比较无理数构造方程是解题关键． 解答题 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【详解】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 4．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．设（其中、、、均为正整数），则有，∴，．这样可以把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题： (1)当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ， ______； (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键． （1）根据，比较对应项系数即可． （2）根据，得；根据得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 5．阅读材料，解答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，这样的式子，我们可以将其进一步化简： ；； ． 以上这种化简的步骤叫作分母有理化． 还可以用另一种方法化简： ． (1)化简：． (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可采用分母有理化的方法，利用平方差公式，消去分母中的根号；也可以将分子变形为平方差的形式，再约分； （2）先对两个式子分别进行有理化变形，转化为分子为的分数形式，再通过比较分母的大小来判断分数的大小． 【详解】（1）解：方法一：分母有理化 ． 方法二：平方差变形 ． （2）解：，． ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的分母有理化和实数的大小比较，解题关键是掌握分母有理化的两种常用方法（平方差公式变形、分子分母同乘有理化因式），以及利用倒数法比较两个根式差的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $