精品解析：湖南张家界市桑植县2025-2026学年上学期八年级期末教学质量检测数学试卷

2025年下学期八年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2. 同学们都知道，蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料．那你知道蜂房蜂巢的厚度吗？事实上，蜂房的蜂巢厚度仅仅约为．此数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 下列选项中，正确的是（ ） A. B. 是最简二次根式 C. D. 4. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，4，8 C. 5，6，12 D. 9，9，16 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知，，则的值为（ ） A. 20 B. C. 14 D. 9. 如图，，E为中点，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A. 64 B. 32 C. 16 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式无意义，则x的取值为______． 12. 如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么__________． 13. 已知，则___________． 14. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为___________． 15. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到距离下底面且与点相对的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为___________． 16. 给出以下命题：①一个角余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 18. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点在线段上，，，，与相等吗？什么？ 21. 某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜110元，餐桌零售价270元/张，餐椅零售价70元/张．已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？ 22. 已知：如图，相交于点．求证： （1）； （2）． 23. 党二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． （1）为了方便居民生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 24. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期八年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 如图，中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了含度角直角三角形，直角三角形的两锐角互余，先由直角三角形的两锐角互余得，然后通过含度角的直角三角形的性质求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2. 同学们都知道，蜜蜂建造的蜂房既坚固又省料．那你知道蜂房蜂巢的厚度吗？事实上，蜂房的蜂巢厚度仅仅约为．此数据用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，根据科学计算法的要求，正确确定出a和n的值是解答本题的关键． 对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 【详解】解： 故选B． 3. 下列选项中，正确的是（ ） A. B. 是最简二次根式 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质及运算，熟练运用二次根式的性质及运算是解题的关键，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】A、，故错误，不符合题意； B、，不是最简二次根式，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，平方与开平方互为逆运算，结果正确，故正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 5. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，4，8 C. 5，6，12 D. 9，9，16 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，分别计算各选项的两边之和与第三边比较即可判断． 【详解】解：对于选项A：∵，等于第三边5， ∴ 不能组成三角形； 对于选项B：∵，等于第三边8， ∴ 不能组成三角形； 对于选项C：∵， ∴ 不能组成三角形； 对于选项D：∵， ∴ 能组成三角形； 故选：D． 6. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式的运算，根据分式的运算法则逐项分析即可判断． 【详解】解：A：，故不符合题意； B：，故不符合题意； C：，故符合题意； D：，故不符合题意； 故选：C． 7. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的应用；利用指数运算的性质，将分解为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴． 故选：A． 8. 已知，，则的值为（ ） A. 20 B. C. 14 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，将所求表达式利用平方差公式因式分解后，利用已知条件直接代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：A． 9. 如图，，E为的中点，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边上中线的性质得，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A. 64 B. 32 C. 16 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到的边长为2，同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为2， 同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若分式无意义，则x的取值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零求解即可． 【详解】解：根据分式无意义的条件，分母，解得． 故答案为：1． 12. 如图，已知是平分线上一点，，，垂足分别是，，如果，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可． 【详解】解：∵点是平分线上一点，，，且， ∴． 故答案为：． 13. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是根据被开方数非负列出不等式组求解的值，再代入求及． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可得：，即， ∴． 将代入，得：， 则． 故答案为：． 14. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线，交于点，交于点，则的周长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的实际应用：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．熟记相关结论是解题关键．由题意得：垂直平分线段，得，即可求解； 【详解】解：由题意得：垂直平分线段， ∴； ∴的周长， 故答案为： 15. 如图，圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到距离下底面且与点相对的点处的食物，那么它沿圆柱侧面爬行的最短距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是勾股定理求最短路径、两点之间线段最短，解题关键是熟练掌握勾股定理． 把圆柱体展开，连接，可知、，再由勾股定理即可得解． 【详解】解：如图，圆柱体展开图为长方形， ，， ， 中，， 即它沿圆柱侧面爬行的最短距离为． 故答案为：． 16. 给出以下命题：①一个角的余角大于这个角；②如果，那么与是对顶角；③如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角．其中真命题有________．（填所有真命题的序号） 【答案】③##3 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及余角、对顶角和补角的定义；通过举反例和定义分析即可判断. 【详解】解：①一个角的余角不一定大于这个角， 反例：的余角是，，故①是假命题； ②如果，那么与是对顶角， 反例：等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故②是假命题； ③补角的定义：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角，故③是真命题. 故答案为③ 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 因式分解： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握用提取因式法进行因式分解是解题的关键． （1）提取公因式进行因式分解即可； （2）提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可； （3）提取公因式，再利用完全平方式进行因式分解即可； （4）提取公因式进行化因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. （1）计算：； （2）计算：； （3）解方程：． 【答案】（1）；（2）；（3）无解 【解析】 【分析】（1）结合零指数幂、负整数指数幂、绝对值、实数的混合运算法则即可得解； （2）先化简再根据二次根式的加法法则进行计算； （3）先去分母，再经过移项、合并同类项、将系数化为的步骤解分式方程，注意检验． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ； （3）， ， ， ， ， 经检验，时，故该方程无解． 【点睛】本题考查的知识点是零指数幂、负整数指数幂、绝对值、实数的混合运算法则、二次根式的性质与化简、二次根式的加减、解分式方程，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式化简求值，解题的关键在于对分解因式、配凑完全平方式等技巧灵活应用． 将括号里通分，能分解因式的先分解因式，再进行化简求值即可． 详解】解： ； 当时，原式． 20. 如图，点在线段上，，，，与相等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定定理，先由平行线的性质得出，再根据证明，即可得出结论． 【详解】解：，理由如下， ∵， ， 在和中， ， ． ∴ ∴，即． 21. 某家具商场计划购进某种餐桌和餐椅，已知每张餐椅的进价比每张餐桌的进价便宜110元，餐桌零售价270元/张，餐椅零售价70元/张．已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．求该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为多少元？ 【答案】该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每张餐桌的进价为a元，则每张餐椅的进价为元，根据用元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同可得等量关系列出方程解答即可． 【详解】解：设每张餐桌的进价为a元，则每张餐椅的进价为元， 由题意得， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， 则， 答：该家具商场计划购进的餐桌、餐椅的进价分别为150元和40元． 22. 已知：如图，相交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，熟记直角三角形全等的判定定理、三角形全等的判定定理是解决问题的关键． （1）由两个直角三角形全等的判定定理求证即可得到答案； （2）由两个三角形全等的判定定理得到，再由全等三角形性质即可得到答案． 【小问1详解】 证明：， 和是直角三角形， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：在和中， ， ， ． 23. 党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． （1）为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； （2）若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】（1）小路的长度为 （2）改造这片空地共需花费11400元 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 小问1详解】 解：∵，，， ∴， 答：小路的长度为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ∴（元）. 答：改造这片空地共需花费11400元． 24. “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．当模型中有一组对应边长相等时，模型中必定存在全等三角形． 【模型呈现】 （1）如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，请直接写出、与之间的数量关系； 【模型应用】 （2）如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，过点作于点，过点作于点，，． ①求的长； ②如图3，延长，交于点，求的长度． 【答案】（1），（2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了“一线三垂直”的全等模型，掌握模型的构成与结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）①证即可求解；②设，根据，即可求解； 【详解】解：（1）、与之间满足的数量关系为：； 理由如下： 由题意得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①在等腰直角中，，， ， 于点，于点， ， ， ， 在和中， ， ，， ； ②设， 在中， 在中， 在中， ，解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $