精品解析：湖南省张家界市桑植县2024-2025学年八年级上学期1月期末考试数学试题

2024年下学期八年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集为，则a满足的条件是（　　） A. B. C. D. 8. 若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 9. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 10. 已知一组均不为1的数；，，，…，．满足如下关系：，，，．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是 _________． 12. 化简：_______． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 14. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 15. 已知，，则的值为______． 16. 如图，中，垂直平分边；若，，则的周长为________． 17. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解方程或不等式组： （1）， （2）． 20. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 21. 如图，，，垂足分别、，、相交于点，且．求证：． 22. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元． （2）若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数． 24. 已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，．     （1）如图①，若，则与的数量关系为_______，，与的数量关系为_______． （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年下学期八年级期末教学质量检测 数学试卷 注意事项：本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，同底数幂的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 2. 在数，，，，，5中，无理数的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，即可求解． 【详解】解：， 所以无理数有：，，共2个． 故选：B 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数． 3. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组．先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集是， 在数轴上表示为： 故选：B． 5. 若关于x的分式方程有增根，则a的值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将方程的第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值． 【详解】解：方程变形得：， 去分母得：x+x-a=x-2， 解得：x=a-2， ∵方程有增根， ∴x=2，即a-2=2， 解得：a=4， 故选：B． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 6. 如图，用无刻度的直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，尺规作图——作一个角等于已知角，根据尺规作图——作一个角等于已知角，全等三角形的判定与性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可知，，的，， ∴， ∴， 故选：． 7. 不等式组的解集为，则a满足的条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求不等式组解集，先解不等式组，根据不等式组的解集为，以及“同小取较小”的原则，求得a取值范围即可． 【详解】解不等式组得， ． 故选：D． 8. 若与是同一个正数的两个平方根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．根据平方根的性质列方程求解即可； 【详解】∵与是同一个正数的两个平方根， ∴ 与互为相反数， ∴， ∴， 故选：C． 9. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上a点的位置，判断出（a−1）和（a−2）的符号，再根据非负数的性质进行化简． 【详解】解：由图知：1＜a＜2， ∴a−1＞0，a−2＜0， 原式＝a−1-＝a−1＋（a−2）＝2a−3． 故选D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a−1＞0，a−2＜0是解题关键． 10. 已知一组均不为1的数；，，，…，．满足如下关系：，，，．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据题意得出这列数按2，，，循环出现是解题的关键．分别求出，，，，根据发现的规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 则， ， ， ， ， 由此可见， 这一列数按2，，，循环出现， 且， 所以． 故选：B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 如果有意义，那么x的取值范围是 _________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，，， 解得，且， 故答案为：且． 12. 化简：_______． 【答案】 【解析】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 13. 已知等腰三角形的两边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，分腰长为3和腰长为8，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当腰长为3时，不能构成三角形，不符合题意； ②当腰长为8时，，符合题意，此时周长为； 故答案为：19． 14. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 15. 已知，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法逆用法则，幂的乘方逆用法则，根据，代入，，即可求解． 【详解】解：，，， ， 故答案为：． 16. 如图，中，垂直平分边；若，，则的周长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质．由线段垂直平分线的性质推出，得到的周长． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 17. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分数指数幂，零指数幂，二次根式化简及绝对值运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则并准确化简． （1）分别计算各项再合并； （2）化简二次根式后合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：原式 ． 19. 解方程或不等式组： （1）， （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和解一元一次不等式的方法和步骤是解题的关键． （1）本题考查解分式方程，去分母，解一元一次方程，检验即可得到答案； （2）本题考查解不等式组，分别解两个不等式，结合同大取大，同小取小，相交取中间，相背无解直接求解即可得到答案； 【小问1详解】 解：去分母得， ， 解得：， 当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 在数轴上表示为： ， 故不等式组的解集为． 20. 先化简，然后从，0，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值. 【答案】，当时，原式(或者选择当时，原式) 【解析】 【分析】先运用分式的通分化简括号内的式子，再运算分式的除法，熟练掌握分式化简求值以及注意分母不为0是解题的关键． 【详解】解： ， ∵或2时，分母为，分式无意义， ∴只能取或1， ∴当时，原式，（或者选择当时，原式）． 21. 如图，，，垂足分别、，、相交于点，且．求证：． 【答案】 ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴． 【解析】 【分析】由条件可求得∠A=∠C，利用ASA可证明△ABF≌△CBD． 【详解】略 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定. 22. 为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A，B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． （1）求A，B两种学习用品的单价各是多少元． （2）若购买A，B两种学习用品共100件，且总费用不超过2800元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】（1）A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 （2）80件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【小问1详解】 解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． 【小问2详解】 解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品80件． 23. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）当∠A＝45°时，求∠DEF的度数． 【答案】 （1）证明：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 在△DBE和△CEF中 ， ∴△DBE≌△CEF， ∴DE＝EF， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∠DEF＝67.5°. 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，∠ABC=∠ACB，BE=CF，BD=CE．利用边角边定理证明△DBE≌△CEF，然后即可求证△DEF是等腰三角形． （2）根据∠A=45°可求出∠ABC=∠ACB=67.5°根据△DBE≌△CEF，利用三角形内角和定理即可求出∠DEF的度数． 【详解】（1）略 （2）∵△DBE≌△CEF， ∴∠1＝∠3，∠2＝∠4， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B＝（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠1+∠2＝112.5° ∴∠3+∠2＝112.5° ∴∠DEF＝67.5° 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，此题主要应用了三角形内角和定理和平角是180°． 24. 已知，在中，，D，A，E三点都在直线m上，．     （1）如图①，若，则与的数量关系为_______，，与的数量关系为_______． （2）如图②，当不垂直于时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． （3）如图③，若只保持，，，点A在线段上以的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段上以的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为．是否存在x，使得与全等？若存在，求出相应的t与x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：成立，，，理由如下： 同（1）得：， ，， ， ， （3）存在，，或， 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型， （1）由平角的定义和三角形内角和定理得，再由证明，得，，即可解决问题； （2）同（1）得，得，，即可得出结论； （3）分或两种情形，分别根据全等三角形的性质求出t的值，即可解决问题． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 当时，，， ， ， ， ， 当时， ，， ， ， 综上所述，存在，使得与全等，，或，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $