精品解析：湖南省长沙市立信中学2025-2026学年第一学期期末考试八年级数学试卷

长沙市立信中学2025-2026学年第一学期期末考试（2026年1月） 初二数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：（本题共10小题，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 5. 已知，则的值为（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 6. 如图，在中，，若，则的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 7. 在中，，点为斜边中点，，则的长为（    ） A. B. C. D. 8. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 9. 在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S＝ah，当a为定长时，在此函数关系式中( ) A. S，h是变量，，a是常量 B. S，h，a是变量，是常量 C. a，h是变量，，S是常量 D. S是变量，，a，h是常量 10. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 二、填空题：（本题共6小题，共18分．） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 12. 分解因式：______． 13. 已知，，则的值是______． 14. 校园里栽下一棵1.8米高的小树，以后每年生长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式是________________． 15. 如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为_____． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 三、计算题：（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形． 20. 为了解七年级学生的计算能力，学校随机抽取了m位学生进行数学计算题测试．王老师将成绩进行统计后分为“优秀”“良好”“一般”“较差”“很差”五个等级，并将收集整理后的数据绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）此次调查方式属于________；（填“普查”或“抽样调查”） （2）m=_______，扇形统计图中表示“较差”的扇形的圆心角度数为_______． （3）补全条形统计图； （4）若该校七年级有2400人，估计七年级得“优秀”的学生人数． 21. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 22. “买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用． （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长； （3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值． 24. 阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点，，，，则这两点间的距离可用下列公式计算：，例如：已知，，则这两点间的距离为． 材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下：，，．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如：，，．根据上述材料，完成下列题目： （1）已知，，则________； （2）如图①，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，． ①________； ②连接，．求证：． （3）如图②，是的中线，若，，求周长的最大值． 25. 【问题背景】在几何学习中，我们常研究共顶点的两个正方形构成的图形．如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点C，点E在正方形外部，连接，取的中点P，连接，． 【特殊位置探究】 （1）如图①，将正方形绕点C旋转，使得点G落在边的延长线上，延长交于点Q，证．则是________三角形，和的数量关系是________，和的位置关系是________． 【一般情形拓展】 （2）如图②，将正方形绕点C旋转任意角度（点E、F不与正方形的边重合），点P仍为的中点．问：线段和是否仍然保持（1）中的数量关系与位置关系？请证明你的结论． 【迁移运用】 （3）若将正方形绕点C顺时针旋转时，边恰好平分线段，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市立信中学2025-2026学年第一学期期末考试（2026年1月） 初二数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题：（本题共10小题，共30分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面，下列体育图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握这一知识点是解题的关键． 【详解】解：A：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； B：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； C：可以找到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故是轴对称图形； D：找不到一条直线，沿着该直线对折，使得直线两旁的部分能够完全重合，故不是轴对称图形； 故选：C． 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：数字0.00000156用科学记数法表示为． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查立方根 ，平方根及平方根的加法运算；根据求立方根 ，平方根及平方根的加法运算法则逐一计算即可． 【详解】解：A． ，计算正确； B． ，计算错误； C． ，计算错误； D． ，计算错误； 故选：A． 4. 如果下列各组数是三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 2，3，4 B. ，3，5 C. 5，12，13 D. 6，8，9 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形的三条边满足，则这个三角形为直角三角形”，由此选出答案． 【详解】解：A、，故不能组成直角三角形，不符合题意； B、，故不能组成直角三角形，不符合题意； C、，故能组成直角三角形，符合题意； D、，故不能组成直角三角形，不符合题意． 5. 已知，则的值为（ ） A. 19 B. 22 C. 25 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，正确对完全平方公式进行变形是解题的关键． 先利用完全平方公式的变形，再将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选A． 6. 如图，在中，，若，则的周长为（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】可证明是菱形，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴是菱形， ∴， ∴的周长． 7. 在中，，点为斜边中点，，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解． 【详解】解：在中，，点为斜边中点，， 则， 故选：C． 8. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 9. 在△ABC中，它的底边是a，底边上的高是h，则三角形面积S＝ah，当a为定长时，在此函数关系式中( ) A. S，h是变量，，a是常量 B. S，h，a是变量，是常量 C. a，h是变量，，S是常量 D. S是变量，，a，h是常量 【答案】A 【解析】 【详解】∵三角形面积S＝ah中， a为定长， ∴S，h是变量，，a是常量. 故选A. 10. 已知关于x的方程的解是，则a的值为（　　） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，即可求a的值． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得， 经检验是方程的解． 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解与分式方程的关系是解题的关键． 二、填空题：（本题共6小题，共18分．） 11. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，根据分式的分母不为0得，然后进行计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式m分解因式即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 已知，，则的值是______． 【答案】 12 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则的应用，逆用同底数幂的乘法法则进行计算可得解. 【详解】解：，， 故答案为：. 14. 校园里栽下一棵1.8米高的小树，以后每年生长0.3米，则n年后的树高L与年数n之间的函数关系式是________________． 【答案】L＝1.8＋0.3n 【解析】 【详解】解：由题意可得：n年后的树高L与年数n之间的函数关系式为 L=0.3n+1.8． 15. 如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线的性质解答即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 16. 如图，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及三角形面积，解题的关键是根据勾股定理得到． 由勾股定理得，再由正方形面积公式得，求出，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：是以为斜边的直角三角形， ， ， ， ， 如图所示， ∴， ∵阴影部分的面积为，与正方形等底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 三、计算题：（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先将二次根式，0次幂，负整数幂，绝对值化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式，0次幂，负整数幂，绝对值化简的方法，以及实数混合运算的运算顺序和运算法则． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先化简括号内，在进行乘法运算，最后再代入求值． 【详解】解：原式 ， 当，原式． 19. 如图，△ABC中，∠C＝90°． （1）尺规作图：作边BC的垂直平分线，与边BC，AB分别交于点D和点E；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）若点E是边AB的中点，AC＝BE，求证：△ACE是等边三角形． 【答案】（1） 解：如图所示，直线DE即为所求； ， （2） 证明：∵∠ACB=90°，点E是边AB的中点， ∴AE=BE=CE=AB， ∵AC=BE， ∴AC=AE=CE， ∴△ACE是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据题意作出线段BC的垂直平分线即可； （2）根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 20. 为了解七年级学生的计算能力，学校随机抽取了m位学生进行数学计算题测试．王老师将成绩进行统计后分为“优秀”“良好”“一般”“较差”“很差”五个等级，并将收集整理后的数据绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）此次调查方式属于________；（填“普查”或“抽样调查”） （2）m=_______，扇形统计图中表示“较差”的扇形的圆心角度数为_______． （3）补全条形统计图； （4）若该校七年级有2400人，估计七年级得“优秀”的学生人数． 【答案】（1）抽样调查 （2）80， （3） 条形统计图为： （4）450 【解析】 【分析】（1）根据抽样调查和普查的意义进行判断； （2）用“一般”等级的人数除以它所占的百分比得到m的值，再利用360度乘以“较差”等级的人数所占的百分比得到扇形统计图中表示“较差”的圆心角的度数； （3）计算出“良好”等级人数后补全条形统计图； （4）用2400乘以样本中“优秀”等级人数所占的百分比即可． 【小问1详解】 此次调查方式属于抽样调查； 【小问2详解】 ， 扇形统计图中表示“较差”的圆心角； 【小问3详解】 “良好”等级的人数为(人) 【小问4详解】 ， 所以估算七年级得“优秀”的同学大约有450人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21. 已知：如图，在中，E，F分别是和的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）连接，当与满足怎样关系时，四边形为矩形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ，F分别是和的中点， ，， ， 又， 四边形为平行四边形． （2） 解：当时，四边形为矩形，理由如下： 如图， ，点E为的中点， ， ， 由（1）得，四边形为平行四边形， 四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的判定即可得证； （2）补充条件为，结合点E为的中点，利用三线合一性质可得，由（1）得四边形为平行四边形，利用矩形的判定即可得证． 本题考查了平行四边形的性质与判定、矩形的判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定，矩形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. “买新能源车到底省不省钱？”是消费者最为关心的话题之一．某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查，所得信息如表所示： 燃油车 新能源车 油箱容积：50L 电池容量： 油价：8元 电价：元 续航里程：a千米 续航里程：a千米 每千米行驶费用：元 每千米行驶费用：________元 根据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元． （1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用________元． （2）分别求出这两款车的每千米行驶费用． （3）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用） 【答案】（1） （2）燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元 （3）每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低 【解析】 【分析】（1）根据表格进行求解即可； （2）根据“燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元”列分式方程求解即可； （3）设每年行驶的里程为m千米，根据“新能源车的年费用更低”建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：由表格可得，新能源车的每千米行驶费用为（元）； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意； ，， ∴燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元； 【小问3详解】 解：设每年行驶的里程为m千米， 由题意得，， 解得， 答：每年行驶里程大于6000千米时，新能源车的年费用更低． 23. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED． （1）求证：四边形OCED是菱形； （2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，求OC的长； （3）若BD＝3，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，求PE+PQ的最小值． 【答案】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC与BD相等且互相平分， ∴OC＝OD， ∵△COD关于CD的对称图形为△CED， ∴OD＝ED，EC＝OC， ∴OD＝ED＝EC＝OC， ∴四边形OCED是菱形． （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形即可判断． （2）矩形的性质和勾股定理求解． （3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2． ∵四边形OCED是正方形， ∴∠COD＝90°． 在直角△COD中，由勾股定理得： OC²+OD²＝2²， ∵OD＝OC， ∴OC＝； （3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示： 此时PE+PQ的值最小为；理由如下： ∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED， ∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO， ∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ， ∵AC＝BD＝3， ∴OC＝OD＝， ∴∠DCO＝∠ACD＝30°， ∴∠DCE＝30°， ∴∠OCQ＝60°， ∴∠COQ＝30°， ∴CQ＝， 即PE+PQ的最小值为． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，菱形的性质与判定，正方形的判定，勾股定理以及垂线最短等知识，熟练掌握翻折的性质和菱形的性质与判定是解题的关键. 24. 阅读下列材料： 材料一：已知平面直角坐标系内两点，，，，则这两点间的距离可用下列公式计算：，例如：已知，，则这两点间的距离为． 材料二：我们把叫做“均值不等式”．该不等式的推导过程如下：，，．该不等式还可以根据不等式的性质进行变形，如：，，．根据上述材料，完成下列题目： （1）已知，，则________； （2）如图①，在平面直角坐标系中，点O是原点，四边形是平行四边形，且，． ①________； ②连接，．求证：． （3）如图②，是的中线，若，，求周长的最大值． 【答案】（1） （2）①； ②连接，过点作，垂足分别为， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， ，，  ， ， ， ，即， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式列式计算即可； （2）①利用平行四边形的性质求出点B的坐标，再根据两点间距离公式进行求解即可； ②连接，过点作，垂足分别为，则四边形是矩形，得到，由平行四边形的性质可得，推出，根据，即可证明结论； （3）分别过点作的平行线交于点E，连接，则四边形是平行四边形，求出，由（2）②可得：，求出，根据材料二即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意：； 【小问2详解】 解：①∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； ② 略 【小问3详解】 解：分别过点作的平行线交于点E，连接， 则四边形是平行四边形， ，与互相平分， 是的中线， 三点共线， ∴， ， 由（2）②可得：， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ，即， ， ， 周长：， 周长的最大值为． 25. 【问题背景】在几何学习中，我们常研究共顶点的两个正方形构成的图形．如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点C，点E在正方形外部，连接，取的中点P，连接，． 【特殊位置探究】 （1）如图①，将正方形绕点C旋转，使得点G落在边的延长线上，延长交于点Q，证．则是________三角形，和的数量关系是________，和的位置关系是________． 【一般情形拓展】 （2）如图②，将正方形绕点C旋转任意角度（点E、F不与正方形的边重合），点P仍为的中点．问：线段和是否仍然保持（1）中的数量关系与位置关系？请证明你的结论． 【迁移运用】 （3）若将正方形绕点C顺时针旋转时，边恰好平分线段，请求出的值． 【答案】（1）等腰直角；； （2） 线段和仍然保持（1）中的数量关系与位置关系，证明如下： 延长至点，使，连接并延长交的延长线于点，如图： 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在正方形中，，，， ，， 在正方形中，，， 在四边形中，，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， 又， ； （3）的值为 【解析】 【分析】（1）由正方形性质得，为中点，证，得、；结合正方形边长相等推得，又，故是等腰直角三角形，即可得解； （2）延长至使，连接，先证得；再证，结合证，得、，进而即可得解； （3）设，，旋转得，平分即为中点，证得，进而根据正方形的性质可得其对角线，进而即可求解． 【小问1详解】 解：四边形，为正方形， ，，，，， 顶点落在正方形的边的延长线上， ， ，， 为线段的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ， ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设正方形的边长，正方形的边长， ∵正方形绕点顺时针旋转， ∴， ∵边平分线段， ∴与的交点是的中点， ∴， 连接，如图， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴ ， 又∵，，且， ∴， ∴， 在正方形中，其边长为a， ∴对角线， ∴， ∴． 【点睛】本题以共顶点正方形的旋转为核心载体，融合全等三角形判定、等腰直角三角形性质与正方形性质，体现了几何变换、转化化归与逻辑推理的核心数学思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $