8.3 特殊的平行四边形第2课时 矩形的判定 课件2025-2026学年青岛版八年级数学下册

青岛版八年级数学下册 第8章 平行四边形 8.3 特殊的平行四边形 第2课时 矩形的判定 情 境 导 入 1.矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 2.矩形有哪些性质？ 矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角. 矩形的性质定理2：矩形的对角线相等. 如何判定一个四边形是矩形呢？ 第2课时 矩形的判定 新 课 探 究 我们知道平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法.同样的，矩形的定义也是判定矩形的一种方法. 问题1 除定义外，还有没有其他的方法能判定四边形是矩形呢？ 矩形是特殊的平行四边形. 类似地，那我们研究矩形的性质的逆命题是否成立. 探究1 第2课时 矩形的判定 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 问题2 我们已经研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题是什么？是真命题吗？ 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形. 是真命题 问题3 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ A B D C (有一个角是直角) A B D C (有两个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜测：有三个角是直角的四边形是矩形. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC, AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠A=90°, ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. 理论验证 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形. A B C D ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 符号语言： 结论 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 分析： 要证明四边形EFGH是矩形，由于已知ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，因此可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明． 例 如图， ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形EFGH是矩形. 典例 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°. ∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD， ∴∠GBC+∠GCB=∠ABC+∠BCD=×180°=90°， ∴∠BGC=90°. 同理可得，∠GFE=∠FEH=90°. ∴四边形EFGH是矩形． 例 如图, ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形. 典例 我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 新课探究 情境导入 课堂小结 思考：你能证明壮壮的这一猜想吗？ 不对，等腰梯形的对角线也相等. 不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线相等且平分. 小兰 我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想“对角线相等的四边形是矩形”，你觉得对吗？ 探究2 小芳 壮壮 新课探究 情境导入 课堂小结 已知:如图，在 ABCD中，AC=BD. 求证： ABCD是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AD=BC. 在△ABD和△BAC中， 又∵AD∥BC，∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAB=∠CBA=90°. 证一证 ∴ ABCD是矩形. 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. ∴△ABD≌△BAC.∴∠DAB=∠CBA. 新课探究 情境导入 课堂小结 矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD（或OA=OC=OB=OD）， ∴四边形ABCD是矩形. 符号语言： A B C D O 结论 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例 已知:如图,在矩形ABCD中,E,F,G,H分别为AO,OB,OC,OD的中点.求证：四边形EFGH是矩形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD,且OA=OC,OB=OD.∴OA=OC=OB=OD. 又∵E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点, ∴OE=OG=OF=OH. ∴四边形EFGH是平行四边形. 又∵EG=OE+OG=OF+OH=HF, ∴四边形EFGH是矩形. 典例 新课探究 情境导入 课堂小结 1.已知：如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，△AOB是等边三角形，求∠ACB的度数. 解：∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD.∴AC=BD. A B C D O 在Rt△ABC中，∵∠BAC=60°， ∴∠ACB=30°. ∴ ABCD是矩形. 课堂检测 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 2.如图,在平行四边形ABCD中,延长AD到点E,使DE=AD,连接B,EC,DB.请你添加一个条件为 　　　 ,使四边形DBCE是矩形.  解析：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,且AD=BC, ∴DE∥BC. 又∵DE=AD, ∴DE=BC, ∴四边形DBCE为平行四边形. 又∵EB=DC（或∠EDB=90°等）, ∴四边形DBCE是矩形. 故答案为EB=DC（答案不唯一）. EB=DC（答案不唯一） 课堂检测 新课探究 情境导入 课堂小结 3.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD∠OAD=50°． 求∠OAB的度数． 　 A　 B　 C　 D　 O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. ∵OA=OD，∴AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形. ∴∠DAB=90°. ∵∠OAD=50°，∴∠OAB=40°. 课堂检测 新课探究 情境导入 课堂小结 A B C D O 解：四边形ABCD是矩形. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，DO=BO. 又∵∠1=∠2， ∴AO=BO， ∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形. 4.如图, ABCD中, ∠1=∠2.四边形ABCD是矩形吗？为什么？ 1 2 课堂检测 5．(2024长春)如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°， O是边AB的中点，∠AOD=∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 证明：∵O是边AB的中点，∴OA=OB， 在△AOD和△BOC中，， ∴△AOD≌△BOC(ASA)，∴DA=CB， ∵∠A+∠B=180°，∴DA∥CB， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形. 6．(人教8下P67、北师9上P15)如图，你能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直吗?为什么? 解：能用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直. 理由：用一根绳子比较两对角线的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下底都垂直，因为对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角. 7．(北师9上P28)如图，在▱ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC=180°. ∵AF，BH分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠FAB+∠HBA=(∠DAB+∠ABC)=×180°=90°，∴∠HEF=∠AEB=90°， 同理：∠H=90°，∠EFG=90°，∴四边形EFGH是矩形. 8． (2024泸州)已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定▱ABCD为矩形的是(　　) A．∠A=90° B．∠B=∠C C．AC=BD D．AC⊥BD 小结:掌握矩形的判定方法. D 9．在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．在下列所给的条件中：①AB∥CD，AD∥BC，AC=BD;②AO=CO，BO=DO，∠ABC=90°;③AB=CD，AD=BC，AC⊥BC; ④OA=OB=OC=OD．能判定四边形ABCD是矩形的条件是 (　　) A．①②④　 B．①②③ C．②③④　 D．①③④ A 10．如图，在▱ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，BF∥CE，CF∥BE．求证：四边形BFCE是矩形． 小结:平行四边形+有一个角是直角 矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∴∠ABC+∠DCB=180°， 又∵∠EBC=∠ABC，∠ECB=∠DCB， ∴∠EBC+∠ECB=90°，∴∠E=90°. 又∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BFCE是矩形. 11．(北师9上P19)(2024襄阳模拟)如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．求证：四边形BECD是矩形． 证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC， ∴BD⊥AC，AD=CD. ∵四边形ABED是平行四边形， ∴BE∥AD，BE=AD，∴BE∥CD，BE=CD. ∴四边形BECD是平行四边形. ∵BD⊥AC，∴∠BDC=90°，∴四边形BECD是矩形. ★12． (北师9上P16改编)如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F，连接AD，CF． (1)求证：四边形ADCF是平行四边形; (2)若AB=3，BC=5，当AC=　　　　时， 四边形ADCF是矩形，并说明理由．  0.45 3 (1)证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BD=DC，∴DE∥AB. ∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF=BD，∴AF=DC. ∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形. (2) 解：∵AB=3，AC=3，∴AB=AC， 由(1)知四边形ABDF是平行四边形，∴AB=DF， ∴AC=DF，∴平行四边形ADCF是矩形. 课 堂 小 结 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形 . （对角线相等且互相平分的四边形是矩形.） 有三个角是直角的四边形是矩形 . 方法1： 方法2： 方法3： 矩形的判定方法 第2课时 矩形的判定 THANK YOU $