6.3　特殊的平行四边形 第2课时　矩形的判定 课件 2024-2025学年 青岛版数学八年级下册

第2课时　矩形的判定 栏目导航 知识梳理 考点梳理 矩形的判定方法 (1)定义:有一个角是　　　　的　　　　四边形是矩形.  (2)判定定理1:有三个角是　　　　的四边形是矩形.  (3)判定定理2:对角线　　　　的平行四边形是矩形.  知识梳理 直角 平行 直角 相等 矩形的判定 考点梳理 [典例]如图所示,在平行四边形ABCD中,AE平分∠BAC,CF平分∠ACD. (1)求证:△ABE≌△CDF. (2)当△ABC满足什么条件时,四边形AECF是矩形?请写出证明过程. (2)解:当△ABC满足AB=AC时,四边形AECF是矩形. 证明如下:由(1),知∠CAE=∠ACF,∴AE∥CF. ∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF, ∴四边形AECF是平行四边形. ∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC, ∴∠AEC=90°,∴平行四边形AECF是矩形. [变式1]在下列条件中,能够判定▱ABCD为矩形的是(　　) A.AB=AD B.AC⊥BD C.AB=AC D.AC=BD [变式2]如图所示,已知点D是△ABC中BC边上的一点,DE∥AC,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F,连接EF,AD.请添加一个适当的条件:　　　　　. ,使四边形AEDF是矩形.  D ∠BAC=90° (答案不唯一) [变式3]如图所示,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E, F在对角线AC上,且AE=CF,OE=OD,求证:四边形EBFD是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,OA=OC. ∵AE=CF,∴OE=OF,∴四边形EBFD是平行四边形. ∵OE=OD,∴OE=OD=OF=OB, 即EF=BD,∴平行四边形EBFD是矩形. [变式4]如图所示,过△ABC的顶点A分别作∠ACB及∠ACD的平分线的垂线,垂足分别为E,F,求证:四边形AECF是矩形. 矩形的判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形; (2)有三个角是直角的四边形是矩形; (3)对角线相等的平行四边形是矩形; (4)对角线互相平分且相等的四边形是矩形. 栏目导航 基础巩固练 能力提升练 素养培优练 有一个角是直角的平行四边形是矩形 基础巩固练 1.下列说法正确的是( ) A.两组对角分别相等的四边形是矩形 B.有两个角是直角的四边形是矩形 C.有一个角是直角的平行四边形是矩形 D.有一个角是直角,有一组对边相等的四边形是矩形 C 2.如图所示,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P和点Q分别从点B和点D同时出发,按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动,点P和点Q的速度分别为 3 cm/s 和1 cm/s,则最快　 　s时,四边形ABPQ成为矩形.  5 有三个角是直角的四边形是矩形 3.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形,那么这个四边形一定是( ) A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 4.如图所示,∠AOB内的任意一点P到这个角的两边的距离之和为6,已知∠AOB=90°,则图中四边形的周长为　 　.  B 12 对角线相等的平行四边形是矩形 5.要检验一个四边形的桌面是否为矩形,可行的测量方案是( ) A.测量两条对角线是否相等 B.度量两个角是否为90° C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D.测量两组对边是否分别相等 C 6.如图所示,在▱ABCD中,点E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC, ∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE. ∵点E为BC的中点,∴EB=EC, ∴△ABE≌△FCE(AAS),∴AB=CF. 又∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形. ∵AD=BC,AD=AF, ∴BC=AF,∴平行四边形ABFC是矩形. 能力提升练 7.如图所示,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,顺次连接OA,OB,OC,OD的中点E,F,G,H,得到一个新的四边形,如果添加下列条件①AC⊥BD;②AC =BD;③∠ADC=90°中的一个,可以使这个新的四边形成为矩形,那么符合的条件有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 C 8.(2024南京模拟)如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA= 90°,BE⊥AD,垂足为点E.若DE=13,则BE=　 　. 13 9.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=∠ABC=90°,对角线AC, BD相交于点O,AE⊥BD,∠ACB=30°,则∠CAE的度数为　 　. 30° 10.如图所示,AC,BD相交于点O,且点O是AC,BD的中点,点E在四边形ABCD外,且∠AEC=∠BED=90°.求证:四边形ABCD是矩形. 素养培优练 11.如图所示,BE,BF分别是∠ABC与它的邻补角∠ABD的平分线,AE⊥ BE,垂足为点E,AF⊥BF,垂足为点F,EF分别交边AB,AC于点M,N. 求证:(1)四边形AFBE为矩形; 证明:(1)如图所示. ∵BE,BF分别是∠ABC,∠ABD的平分线,∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴∠2+∠3=90°,即∠FBE=90°. ∵AE⊥BE,AF⊥BF,∴∠AFB=∠AEB=90°,∴∠AFB=∠FBE=∠AEB=90°, ∴四边形AEBF为矩形. (2)MN∥BC. 谢谢观赏！ 21 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,∠B=∠D,AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD. ∵AE平分∠BAC,CF平分∠ACD, ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC,∠DCF=∠ACF=∠ACD,∴∠BAE=∠DCF. 在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA). 证明:∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD, ∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD. ∵∠ACB+∠ACD=180°, ∴∠ACE+∠ACF=90°,即∠ECF=90°. ∵AE⊥CE,AF⊥CF,∴∠AEC=∠AFC=90°, ∴四边形AECF是矩形. 证明:如图所示,连接EO. ∵O是AC,BD的中点,∴AO=CO,BO=DO, ∴四边形ABCD是平行四边形. 在△EBD中,∵∠BED=90°,点O为BD中点,∴EO=BD. 在△AEC中,∵∠AEC=90°,点O为AC中点, ∴EO=AC,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形. 证明:(2)∵四边形AEBF为矩形,对角线AB,EF相交于点M, ∴EF=AB,MB=AB,ME=EF, ∴MB=ME,∴∠2=∠5. ∵∠2=∠1, ∴∠1=∠5, ∴MN∥BC. $$