拓展专题4.2 k的几何意义、反比例函数实际问题与几何综合（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题4.2 k的几何意义、反比例函数实际问题与几何综合 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、已知比例系数求特殊图形的面积 2 题型二、根据图形面积求比例系数（解析式） 6 题型三、一次函数与反比例函数图象综合判断 12 题型四、一次函数与反比例函数的交点问题 17 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 21 题型六、一次函数与反比例函数的其他综合应用 28 题型七、实际问题与反比例函数 35 题型八、反比例函数与几何综合 43 知识点1：比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一、已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数与一次函数图象交点问题．过点A作轴，过点B作轴，得到矩形，将一次函数与反比例函数解析式联立，求出点A，B坐标，根据求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，得到矩形， 联立，得：， 联立，得：， ，， ，， ， ， 点，在函数图象上， ， ， 故选：B． 2．下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解： A、如图所示，分别过点M和N作轴，轴，则； B、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； C、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以； D、M、N两点均在反比例函数的图象上，所以． ∵， ∴A中阴影部分的面积最小． 故选：A． 3．如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义求解即可，即过反比例函数图象上任意一点向坐标轴引垂线，所得垂线与坐标轴围成矩形的面积为是解题的关键． 【详解】解：∵轴，轴，垂足分别为， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 4．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图形和性质、反比例函数中k的几何意义等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 连接，根据反比例函数中的几何意义，求出，再利用和共底，且它们的高相等，所以面积相等，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 由反比例函数系数的几何意义， ， ∵轴， ∴， ∴与等底等高，面积相等， ， 故答案为：． 题型二、根据图形面积求比例系数（解析式） 5．如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上的点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积．根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【详解】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， ∴， ∵图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8， ∴， ∴． 故选：C． 6．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键． 利用反比例函数系数的几何意义即可得，故①正确；设点P的坐标为，则，，可得，故②错误；，故③正确；连接，利用反比例函数系数的几何意义可得，从而得到，故④正确． 【详解】解：∵是反比例函数上的点，轴，轴， ∴，故①正确； 设点P的坐标为，则，， ∴， ∴无法确定和的大小关系，故②错误； 根据题意得：长方形的面积是k， ∴，故③正确； 如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握相关知识是解决问题的关键．连接、，因为轴，可以得出，结合反比例函数的几何意义即，可求出的值． 【详解】解：如图所示：连接、， 轴， ， ， 又的面积是6， ， ， 又图像在第二象限， ． 故选：B． 8．如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及等腰三角形的判定与性质，过点A作于点E，设点，则点，再分别表示出点C、点D的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴， ∵轴， ∴点， ∵轴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B． 9．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，掌握系数的几何意义是解题关键． 连接和，由平行线间的距离处处相等，可知和的面积相等．根据反比例函数的几何意义，可以用表示出的面积，构建等式求出即可． 【详解】解：如图，连接和， ∵轴， ∴和的边上的高相等， ∴， 由反比例函数的几何意义可得，，， ∴，解得，， ∵反比例函数的图像在第二象限， ∴， ∴． 故选：B． 10．如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数值的几何意义，由题意可得，又，则，从而求出的值，熟练掌握反比例函数系数值的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数与正比例函数的交点，轴于点，轴于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故答案为：． 题型三、一次函数与反比例函数图象综合判断 11．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 12．在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质．分和两种情况分类讨论即可确定正确的选项． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项D符合． 故选：D． 13．关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象的综合判断，分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，直线过一，三，四象限，双曲线过一，三象限；当时，直线过一，二，四象限，双曲线过二，四象限， A.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故符合题意； B.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； C.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； D.由一次函数得，由反比例函数的图象得，故不符合题意； 故符号题意的只有选项A； 故选A． 14．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1) ， (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解不等式，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． （1）运用反比例函数解析式求出点、的坐标即可； （2）使用待定系数法求出一次函数的解析式； （3）根据图象判断不等式的解集即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点坐标为， 将代入，得， ∴点坐标为； （2）解：将 ，代入，得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （3）解：不等式，意味着反比例函数图象低于一次函数的图象，且两个函数的图象都在轴下方， 将代入，得， 解得：， 由图象可知，不等式的解集为． 15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点，求一次函数关系式，求反比例函数关系式，根据交点求不等式的解集， 对于（1），将点代入反比例函数关系式求出m，再将点代入反比例函数关系式求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），根据反比例函数图像在直线上方时反比例函数值大于一次函数值，结合交点坐标可得解集； 对于（3），设交点，求出直线与y轴交点的坐标，再根据求出答案即可. 【详解】（1）解：将点代入反比例函数关系式，得， ∴反比例函数. ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴点. ∵点在直线的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数关系式为； （2）解：或. 观察图象，当时，； 当时，. 所以答案为：或； （3）解：如图所示， 当时，， ∴点. 设点，则， ∴， 解得或， ∴点或. 题型四、一次函数与反比例函数的交点问题 16．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 17．如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，根据题意求得点P坐标，再利用待定系数法求解k值即可． 【详解】解：∵轴于点，且， ∴点P的纵坐标为4， ∵直线与双曲线交于点， ∴将代入中，得，解得， ∴点P坐标为， 将代入中，得， 故选：D． 18．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．根据一次函数图象在反比例函数图象下方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象下方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或 故选：B． 19．如图，与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定交点的横坐标分别为，2，再根据函数的增减性解答即可． 本题考查了反比例函数和直线交点的问题，函数的增减性，数形结合的思想，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 【详解】解：与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2， 故， 解得， 故交点的横坐标分别为，2， 当时， 解得， 由，得， 故答案为：． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，包括利用待定系数法求函数解析式以及坐标系中三角形面积的求解；解题的关键是利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质，通过已知交点坐标求出未知参数． （1）先将点代入反比例函数解析式求出系数，得到反比例函数；再将点的横坐标代入反比例函数求出其纵坐标；最后将两点坐标代入一次函数解析式，解方程组求出和． （2）根据求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象相交于两点， ， 将坐标代入一次函数得： ， 解得：， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）设直线与轴的交点为，如图， ， ， ， ， ． 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 21．定义：若x，y满足(m为常数)，则称点为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①是“和谐点”； ②直线上有且只有一个“和谐点”； ③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，反比例函数的性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依据题意，由“和谐点的定义”以及联立方程组进行求解即可． 【详解】解：①由题意得，， ， 故①成立． ②由题意可得，， ， 将代入上式， ， 或， 故②错误． ③由反比例函数最多有两个和谐点，得 ， 将③代入①，得 ， 即④ 将③代入由②，得 ， 即⑤， 将⑤代入④，得 ， 化简，得， 即 ， 或， ， 解得， 解， ， 当时，， 此时有两个不相等的实数根，且与不相同， 此时方程共有4个实数根， 故③错误． 综上，正确的有①． 故选A． 22．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 23．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 【答案】(1)， (2)本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟 (3)从消毒开始，至少需要学生才能回到教室 【分析】（1）由“药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为”可得，； （2）分别设y与x的正比例函数、反比例函数关系式，把点代入后求出关系式，再把代入关系式分别解出x的值相减即可； （3）空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室，把代入中，解出x的值即可； 本题主要考查了一次函数与反比例的图象和性质，待定系数法求解函数关系式，已知函数值求自变量的值等，熟练掌握一次函数与反比例的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知，． （2）∵消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量与时间x成正比例函数关系， ∴设， 把点代入中，得，解得， ∴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为， ∵当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效， 药物燃烧时，当时，， ∴药物燃烧时，才开始对杀灭病毒起效； ∵药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系， ∴设反比例函数式为， 把点代入中，得， ∴反比例函数式为， 药物燃烧完成后，当时，， ∴（）， ∴本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间为12分钟． （3）∵空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室， 把代入中，解得， 即从消毒开始，至少需要学生才能回到教室． 24．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ (1)在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． (2)借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． (3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)可以喝到不超过50C°的水，理由见解析 【分析】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键． （1）根据表格描点、连线即可； （2）根据图象可得：在加热过程中，y是x的一次函数，经过点的坐标为，；降温过程中，y是x的反比例函数，经过点；然后利用待定系数法求出两个函数解析式； （3）先求出上午之间有85分钟，是3个周期多15分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）在加热过程中，y是x的一次函数； 设一次函数关系式为：， 将（代入，得 解得． ∴， 降温过程中，y是x的反比例函数；设关系为，将点代入得， ． ∴ （3）上午之间有85分钟，， 15位于时间段内， 把代入，可得． 所以8：25分时同学们可以喝到不超过50C°的水． 题型六、一次函数与反比例函数的其他综合应用 25．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)的面积为_____________； (3)请直接写出不等式的解集为_____________． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，求一次函数的解析式，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）把代入中求解，即可得到反比例函数解析式，进而求出点，再利用待定系数法求出一次函数的解析式，即可解题； （2）根据一次函数解析式求出点坐标，再根据，结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据、坐标，结合图象直接写出不等式的解集，即可解题． 【详解】（1）解：把代入得， 所以反比例函数解析式为， 把代入得， 解得， 则点坐标为， 把、代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：把代入得， 解得， 则点坐标为， 所以； 故答案为：； （3）解：、， 由图知，当或时，不等式， 即不等式的解集是或． 故答案为：或． 26．定义：在平面直角坐标系中，若点在图形L上，且，则称点P为图形L的“一致点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，则矩形的“一致点”是 ； (2)若点P是反比例函数（k是常数，）图象上的“一致点”，且，求k的值； (3)将反比例函数（k是常数，）的图象先向右平移m个单位，再向下平移n个单位后得到新的图形R，若图形R的“一致点”是和，则的值为 ． 【答案】(1)和； (2)9； (3)4． 【分析】（1）先判断出点P在直线上，再结合图象求解即可； （2）先根据题意画出图象，然后得到是等腰直角三角形，求出点P坐标，代入即可； （3）由平移得图形R 对应表达式，，根据图形R的“一致点”是和，列方程求解即可． 【详解】（1）解：若点在图形L上，且，则称点P为图形L的“一致点”， ， 点， 点P在直线上， 如图： 矩形的顶点坐标分别是， 当时，， 点是矩形的“一致点”； 当时，得：， 点是矩形的“一致点”； 综上所述，矩形ABCD的“一致点”是和， 故答案为：和； （2）如图，设点P在第一象限，过点P作轴， 点P为反比例函数图象上的“一致点”， 点P在直线上， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 将代入得：， 解得， 故答案为：9； （3）将反比例函数（k是常数，）的图象先向右平移m个单位，再向下平移n个单位后得到新的图形R， 新的图形R对应的表达式为， 图形R的“一致点”是和， ， 由得：， 由得：， ， ， 故答案为：4． 【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，一次函数性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是判断出点P在直线上． 27．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 【答案】(1)①或；②； (2) 【分析】（1）①根据题意先求出，然后分两种情况，并结合待定系数法解答，即可求解；②设，则点，点，从而得到点，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出s的值，即可求解； （2）先求出正比例函数解析式为，可设点，则，，从而得到，再由折叠的性质可得，延长交y轴于点F，结合矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出m的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，， ∴点， 当直线过点B，D时， 把，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 当直线过点A，C时， 把点，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或 故答案为：或 ②∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵反比例函数是矩形的“对角函数”， ∴点B，D在反比例函数的图象上， 设点，则点， ∵轴，且， ∴点， ∵轴， ， ∴点， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点； （2）解：点的坐标为，正比例函数经过点， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∵正比例函数是矩形的“对角函数”， 可设点，则，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为， ∴， 如图，延长交y轴于点F， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或2， ∵， ∴，即， ∴， ∴点， 把点代入得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“对角函数”，利用数形结合思想求解是解题的关键． 题型七、实际问题与反比例函数 28．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 【答案】(1)画图见解析； ①3，2，； ②B； ③ (2)右平移2个单位；向上平移1个单位； 【分析】（1）先用描点法画出图像，①②根据函数图像的平移规律即可解答；③先求出时的取值，然后结合函数图像即可解答． （2）根据发现的规律填空即可 【详解】（1）解：列表： 描点、连线画出的图像如图所示：    ①将函数向左平移3个单位，再向下平移2个单位可得， 的对称中心为，向左平移3个单位，再向下平移2个单位，可得对称中心为． 故答案为：3，2， ②上述研究方法用到的数学思想是类比思想， 故答案为B． ③解：当时，有，即； 由图像可得：当时，． 故答案为． （2）函数是由向右平移2个单位，再向上平移1个单位，其对称中心是， 故答案为：右平移2个单位；向上平移1个单位；． 【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数的性质、对称中心、运用函数图像求不等式解集等知识点，正确画出函数的图像是解答本题的关键． 29．问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应不少于22.5分钟 （4）则该品牌头盔每个应涨价5元 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式； （2）50分钟，将代入，即可求解； （3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解． （4）设头盔每个涨价m元，根据题意列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】解：（1）根据题意，测速区间的路程是定值， 因为平均速度， 所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数， 根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为， 所以，与之间的函数关系式为； （2）根据题意，得50分钟， 将代入， 得， 答：它的平均速度是； （3）根据题意，得，解得， 小时分钟分钟， 答：行驶时间应不少于22.5分钟． （4）设头盔每个涨价m元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 则该品牌头盔每个应涨价5元． 30．【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②减小；（3）①见解析；②． 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，涉及根据函数关系式求值、绘制函数图象以及根据图象求解不等式的解集，用到的知识点有反比例函数的图象与性质、函数值的计算等． （1）根据已知串联电路中电流与电阻关系为，对于，将，，代入电流公式，通过解方程可求出的值；对于将，，代入电流公式可求出的值． （2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描点，然后用平滑的曲线连接这些点，得到的图像；观察所绘制的函数图象，可得出随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势． （3）根据函数的表达式，通过确定两个点的坐标，然后连线画出函数的图象；根据所绘制的两个函数的图象，找出当时，函数的图象在函数的图象下方(包括相交)部分对应的的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】（1）根据题意，电流公式为：， 将，，代入，可得， 解得：（经检验，符合题意） 将，，代入，可得， 故答案为：；． （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数的图象,如图： ②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是减小． 故答案为：减小． （3）①对于函数，当，；当，；由此描出点的坐标，再用直线将两点相连即可得到的函数图象，如图： ②由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象的下方（包括相交部分），即有， 当时，的解集为， 故答案为：． 31．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 【答案】(1)小时 (2) (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用，求出一次函数和反比例函数的解析式是解题的关键． （1）段满足温度为； （2）把代入，即可求解； （3）先用待定系数法求出的解析式，再根据解析式计算出，段时对应的x的值，即可求解． 【详解】（1）解：恒温系统在这天保持大棚内温度的时间为：（小时）； （2）解：把代入中得： ； （3）解：记0时对应的点为点D，设的解析式为： 把，代入中得： ， 解得， 的解析式为：， 当时，， （小时）． 答：恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有15小时． 题型八、反比例函数与几何综合 32．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合、矩形的性质、三角形的面积公式； （1）根据轴以及点的坐标为，求出点的坐标，再结合，求出，再代入到，求出的值即可； （2）根据矩形的性质可得，，进而得出轴，轴，利用反比例函数的性质求出，进而得到，设点的坐标为，再利用矩形和三角形的面积公式列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：∵轴，点的坐标为，点是边与轴的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由（1）得，，，， ∴， ∵矩形， ∴，，即， ∵轴， ∴轴，轴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点是边与轴的交点， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为或． 33．如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． ()将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； ()利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； ()根据与的面积关系，可求出点E的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，， ， ，， ∴反比例函数表达式为， ∵一次函数图象过， ， 解得， ∴一次函数表达式为． （2）根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即 ∴不等式的解集为：或． （3）在一次函数中， 当时，； 当时，， ，， ， ， 设点的纵坐标为， ，解得， 点． 34．已知菱形对角线，，以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线恰好经过边的中点，过直线上的点P作直线轴，交双曲线于点Q． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)双曲线与直线交于M、N两点，试求线段的长； (3)是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，，，， 【分析】（1）根据菱形的性质得到，于是得到B，C，D的坐标，求得的中点，于是求得，由待定系数法即可求出直线的解析式为； （2）列方程得到，于是得到，，如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E，根据勾股定理即可得到结论； （3）由直线轴可得轴，，当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形，设，，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形为菱形 ，， ，，， 中点为，在反比例函数上， ， ， 设直线的解析式为，B、C两点坐标代入， ， 解得：，， ； （2）令，解得， 当时，； 当时，， ∴，， 如图1，过点N、M分别作x轴、y轴的垂线交于点E， 可得，， 由勾股定理可得 （3）由直线轴可得：轴， ， 当时，以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形， 设，， ①当点Q在点P上方时：，解得， 可得：，； ②当点Q在点P下方时：，解得， 可得， 综上所述：以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形时，，， 【点睛】本题考查了菱形的性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 1．如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义．根据反比例函数的图象和性质，求得点，，，求得，，，，根据，代入数据计算，即可得出正确答案． 【详解】解：∵点在的图象上， ∴， ∴点， ∵轴，轴，C，D两点在的图象上， ∴四边形是矩形， ∴点，， ∴，，，， ， ∴，， ∴ ， 故选：B． 2．如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，先理解反比例函数k的几何意义，再分析四边形的面积构成，利用线段比例建立m与n的关系，最后代入面积条件求解m和n即可求得． 【详解】解：由题意知，，， ∵轴，轴，点A在的图象上，点E在的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：6． 3．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题要结合一次函数和反比例函数图象的性质，通过分析比例系数的符号对两个函数图象的影响，逐一排查选项． 【详解】解：．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第一、三象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、二、四象限，与选项图象矛盾，不符合题意； ．由的图象位于第二、四象限，得； 则，所以一次函数图象应该位于第一、三、四象限，与选项图象一致，符合题意； 故选． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图象性质，解题关键是根据的符号，分别分析两个函数的图象特征：反比例函数的象限分布、一次函数的增减性和与 轴的交点位置，通过逻辑推理逐一排除不符合的选项． 4．如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，两点，与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，，若的面积为，求t的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)2 【分析】（1）先利用点在反比例函数上，代入求出，得到的解析式；再将点代入求出，得到点坐标；最后将、两点坐标代入一次函数，解方程组求出、，得到的解析式． （2）观察图象，找到一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的的取值范围． （）利用直线平移的性质得到；将的面积拆分为和的面积之和；根据三角形面积公式，结合水平距离总和为点的横坐标，建立关于的方程求解． 【详解】（1）解：在上， ， ， ， 在上， ， ， 在上， 解得，， ； （2）解：由（）得， ∵， ∴观察图象得时的取值范围为； （3）解：过点作轴交于， 直线向上平移个单位得到，轴， 轴，且， ，两个三角形的高分别为点和点的水平距离，水平距离总和为点的横坐标：， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、函数图象的平移规律、三角形面积公式以及二元一次方程组的解法．熟练掌握函数图象上点的坐标与函数解析式的对应关系，以及利用辅助线构造面积关系的方法是解题的关键． 5．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 【答案】(1)该材料加热过程中对应的函数解析式为，停止加热过程中对应的函数解析式为 (2)对该材料进行特殊处理的时间为12分钟 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据可以先求出反比例函数的解析式，再求出时对应的的值，即可得到一次函数对应的解析式，注意要写出自变量的取值范围； （2）将代入（1）中的两个函数解析式，即可得到相应的的值，然后作差即可． 【详解】（1）解：设停止加热过程中对应的函数解析式为， 点在该函数的图象上， ， 解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 当时，，解得， 当时，，解得， 停止加热过程中对应的函数解析式为， 设该材料加热过程中对应的函数解析式为， 点、在该函数的图象上， ，得， 该材料加热过程中对应的函数解析式为； （2）解：将代入中，，得， 将代入中，，得， （分钟）， 答：对该材料进行特殊处理的时间为12分钟． 6．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)①不存在，理由见解析；②当时，以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形；当时，点Q在线段的延长线上，平行四边形只是矩形． 【分析】(1)根据条件可以得到点A、B、C的坐标，然后用待定系数法就可解决问题； (2)①可用t的代数式表示，然后根据求出t的值，得到与重合，因而不存在t，使得四边形为平行四边形； ②可分两种情况(点Q在线段和在线段的延长线上)讨论，由于，要使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形，只需，只需将分别用t的式子表示，求出t，就可解决问题． 【详解】（1）解∶(1)由题意可得∶点C的坐标为，点A的坐标为，点B的坐标为． 设过点C的反比例函数的表达式为，则有， ∴过点C的反比例函数的表达式为． 设过A、B两点的一次函数的表达式为， 则有， 解得． ∴过A、B两点的一次函数的表达式为； （2）①不存在． 轴，轴， ． 当四边形是平行四边形，则：． 设，则， ， ．此时与重合， 不存在t的值，使四边形为平行四边形． ②存在．当时，点Q在线段上， 此时，，． 当时，， 整理可得：， ∵， ∴方程无解， ∴当时，不存在t，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形． 当时，点在线段的延长线上， 由，，得． 由，．得． 当时，四边形为平行四边形． ． ，（舍） 当时，四边形为平行四边形． 又且， 为矩形． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式以及平行四边形的判定、解方程、根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题4.2 k的几何意义、反比例函数实际问题与几何综合 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、已知比例系数求特殊图形的面积 2 题型二、根据图形面积求比例系数（解析式） 6 题型三、一次函数与反比例函数图象综合判断 12 题型四、一次函数与反比例函数的交点问题 17 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 21 题型六、一次函数与反比例函数的其他综合应用 28 题型七、实际问题与反比例函数 35 题型八、反比例函数与几何综合 43 知识点1：比例系数k的几何意义 1.与两坐标轴围成的矩形的面积 如图，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线PM，PN，分别交轴、轴于点M，N，所得矩形PMON的面积 因为，所以所以，即过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为. 2.与坐标轴围成的三角形的面积 如图，过双曲线上任意一点E作EF垂直于轴，交轴于点F，联结EO，则＝，即过双曲线上任意一点坐标轴的垂线，则以这一点、原点和垂足为顶点的三角形的面积为. 题型一、已知比例系数求特殊图形的面积 1．如图，直线与直线分别交函数图象于点，，则以点，，为顶点的三角形面积是（    ） A． B．3 C． D．4 2．下列与反比例函数图象有关的图形中，阴影部分面积最小的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，点为反比例函数的图像上的一点，轴，轴，垂足分别为，则四边形的面积为 ． 4．如图，点是反比例函数图象上一点，轴于点，点是轴上的一动点，则的面积为 ． 题型二、根据图形面积求比例系数（解析式） 5．如图，点，是双曲线上的点，分别过点，作轴和轴的垂线段，已知图中阴影部分面积为2，两个空白矩形的面积之和为8，那么值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，当点P在反比例函数的图象上运动时，轴于点C，交反比例函数的图象于点A，轴于点D，交反比例函数的图象于点B．下列结论：①；②与始终相等；③；④若，则．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，轴，分别交，的图像于C，B两点，若的面积是6，则k的值是（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 9．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为（   ）． A． B． C．6 D． 10．如图，反比例函数与正比例函数的图像交于点，点，轴于点，轴于点，，则 ． 题型三、一次函数与反比例函数图象综合判断 11．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 12．在同一平面直角坐标系中，函数（为常数，且）和的图象大致是（    ） A． B． C． D． 13．关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（   ） A． B． C． D． 14．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． (1)直接写出点、的坐标； (2)求一次函数的解析式； (3)根据图象，直接写出不等式的解集． 15．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请你根据图象直接写出不等式的解集； (3)点E为y轴上一个动点，若，试求点E的坐标． 题型四、一次函数与反比例函数的交点问题 16．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 17．如图，直线与轴交于点，与双曲线交于点，过点作轴于点，且，则的值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 18．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 19．如图，与双曲线的两个交点的纵坐标分别为，2，则使得成立的自变量的取值范围是 ． 20．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求面积． 题型五、一次函数与反比例函数的实际应用 21．定义：若x，y满足(m为常数)，则称点为“和谐点”．下列说法正确的是（　　） ①是“和谐点”； ②直线上有且只有一个“和谐点”； ③当时，反比例函数的图象上最多只有两个“和谐点”； A．① B．①② C．①③ D．②③ 22．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 23．为了做好校园“甲流”防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物熏蒸消毒．已知消毒药物燃烧时，室内空气中的含药量y（单位：）与时间x（单位：）成正比例函数关系，药物燃烧完成后，y与x成反比例函数关系，函数图像如图所示． 信息窗 1．药物8分钟燃烧完毕，此时室内空气中的含药量为． 2．空气中的含药量不高于时，学生方可回到教室． 3．当室内空气中的含药量不低于时，对杀灭病毒有效． (1)直接写出m，n的值； (2)求本次消毒过程中有效杀灭病毒的时间： (3)从消毒开始，至少需要多长时间学生才能回到教室？ 24．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时水温上升，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，直至水温降至30℃，饮水机自动开始加热，重复上述程序．值日生小明7点钟到校后接通饮水机电源，在水温下降的过程中进行了水温检测，记录如下表： 时间 7：00 7：02 7：05 7：07 7：10 7：14 7：20 水温 30℃ 50℃ 80℃ 100℃ 70℃ 50℃ 35℃ (1)在下图的平面直角坐标系，画出水温y关于饮水机接通电源时间x的函数图象． (2)借助（1）所画的图象，判断从7：00开始加温到水温第一次降到30C°为止，水温y和时间x之间存在怎样的函数关系？试求出函数关系并写出自变量x取值范围． (3)上午第一节下课时间为8：25，同学们能不能喝到不超过50℃的水？请通过计算说明． 题型六、一次函数与反比例函数的其他综合应用 25．如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)的面积为_____________； (3)请直接写出不等式的解集为_____________． 26．定义：在平面直角坐标系中，若点在图形L上，且，则称点P为图形L的“一致点”． (1)如图，矩形的顶点坐标分别是，则矩形的“一致点”是 ； (2)若点P是反比例函数（k是常数，）图象上的“一致点”，且，求k的值； (3)将反比例函数（k是常数，）的图象先向右平移m个单位，再向下平移n个单位后得到新的图形R，若图形R的“一致点”是和，则的值为 ． 27．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 题型七、实际问题与反比例函数 28．盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： (1)图2是反比例函数的图象，请在同一个平面直角坐标系中，用描点法画出的图象，并完成如下问题： ①函数的图象可由函数的图象向左平移_________个单位，再向下平移_________个单位得到，其对称中心坐标为_________； ②上述探究方法应用的数学思想是（   ） A．整体思想        B．类比思想        C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当在什么范围内变化时，？ (2)将反比例函数的图象先___________，再_________得到函数的图象．函数图象的对称中心坐标为_________． 29．问题情境：近年来交管部门特别关注交通安全，特别是近些年比较突出的超速和头盔问题，请你结合下列条件，解决对应的问题． 区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度v与行驶时间t的数据如表． 小型车辆 行驶时间t 平均速度v/ A 0.5 60 B 0.3 100 C 0.6 50 D 0.4 75 建立模型：（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度v是行驶时间t的函数． 直接写出v与t之间的函数关系式：______； 问题解决：（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，则它的平均速度为：______； （3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？ （4）为保障电动车骑行人员的安全、降低受伤风险，全国各地正积极推广佩戴头盔．据市场调研，某品牌头盔若按每个盈利10元销售，每月可售出500个．在此基础上，售价每上涨1元，月销售量相应减少20个．现希望月销售利润达到6000元，并尽可能让顾客受益，则该品牌头盔每个应涨价多少元？ 30．【研究背景】 在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻、之间关系为，通过实验得出如下数据： … … … … （1）______，______； 【问题探究】 （2）根据以上实验，构建出函数，结合表格信息．探究函数的图象与性质； ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是______；（填“增大”或“减小”） 【拓展应用】 （3）结合（2）中函数图象 ①在同一坐标系中直接画出的图象； ②当时，的解集为______． 31．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在温度为的条件下生长最快的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度随时间变化的函数图象，其中段是恒温阶段，段是双曲线的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)恒温系统在这天保持大棚内温度的时间有多少小时？ (2)求的值； (3)恒温系统在一天24小时内大棚温度在的时间有多少小时？ 题型八、反比例函数与几何综合 32．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形的顶点和，点、分别是矩形的边、与轴的交点，轴，若，点的坐标为． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点是该反比例函数图象上的点，连接、得到，满足，请求出点的坐标． 33．如图，一次函数（为常数）的图象与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，，且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)求该反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集； (3)连接，在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 34．已知菱形对角线，，以所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，双曲线恰好经过边的中点，过直线上的点P作直线轴，交双曲线于点Q． (1)求的值及直线的函数解析式； (2)双曲线与直线交于M、N两点，试求线段的长； (3)是否存在点P，使以点B、P、Q、D四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图是函数 与 在第二象限内的图象，点在的图象上，轴于点A，轴于点B，分别交的图象于C，D两点，连接，则（    ） A． B． C．2 D．3 2．如图，点A在的图象上，过点A作轴，垂足为B，过点A作轴，垂足为，交的图象于点E，连接，若，四边形的面积为7，则 ． 3．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于，两点，与轴交于点．将直线沿轴向上平移个单位长度得到直线，与轴交于点． (1)求与的解析式； (2)观察图象，直接写出时的取值范围； (3)连接，，若的面积为，求t的值． 5．如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为，从加热开始计算的时间为分钟．据了解，该材料在加热过程中温度与时间成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为，加热一段时间使材料温度达到时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度与时间成反比例函数关系，已知第12分钟时，材料温度是． (1)分别求出该材料加热和停止加热过程中与的函数关系式（写出的取值范围）； (2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？ 6．如图，在直角坐标系中，点C在第一象限，轴于B，轴于A， ，有一反比例函数图象刚好过点C． (1)分别求出过点C的反比例函数和过A、B两点的一次函数的函数表达式． (2)直线轴，并从y轴出发，以每秒1个单位的速度向x轴正方向运动，交反比例函数图象于点D，交于点E，交直线于点F，当直线l运动到经过点B时，停止运动，设运动时间t(秒)． ①问是否存在t的值，使四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． ②若直线l从y轴出发的同时，有一动点Q从点B出发，沿射线方向，以每秒3个单位的速度运动，是否存在t的值，使以点D、E、Q、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形？若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $