第13讲 反比例函数的应用（2知识点+7考点+过关检测）（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

寒假预习第13讲 反比例函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：反比例函数解析式的确定 1.方法 待定系数法. 2.确定反比例函数解析式的一般步骤 (1)设：设反比例函数解析式为. (2)代：将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. (3)解：解关于的方程得到的值. (4)写：写出反比例函数解析式. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． (1)求m与n之间的关系式； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)， (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）将点，分别代入，得，，即可得出答案； （2）利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）结合函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：将点，分别代入，得： ∴，， ∴； （2）解：∵点在上， ∴． 将点，分别代入 ∴， ∵． ∴， ∴， ∴一次函数的表达式为； ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （3）解：由图象可知不等式的解集为或． 知识点2：利用反比例函数解决实际问题的步骤 (1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系。 (2)设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。 (3)列：由题目的已知条件列出方程，求出待定系数。 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 【答案】(1)， (2)大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． (3)1 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）设线段所在直线的解析式为．将和代入，则，求解即可得出线段的函数解析式为．设段的函数解析式为，将代入，，求解即可得出结果； （2）令，解得，则段温度为的时刻为15时． 令，解得，则段温度为的时刻为3时，由此即可得出结果； （3）由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求，由（2）得到15时后，大棚气温低于，因此符合要求的时间只有小时，由此即可得出结果． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为． 将和代入，则， 解得， 线段的函数解析式为． 设段的函数解析式为， 将代入，， ． 当时，， ， 段的函数解析式为． （2）解：令， 解得， 段温度为的时刻为15时． 令，解得， ∴段温度为的时刻为3时， ， 大棚在时内，温度不低于的时长为12小时． （3）解：由题意得，日出时间为，此时大棚气温是，符合要求， 由（2）得到15时后，大棚气温低于， 因此符合要求的时间只有（小时）， 故至少需要推迟（小时）． 故答案为：1． 题型一 求反比例函数解析式 例1．点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，将点A的坐标代入反比例函数解析式，建立方程求解m即可． 【详解】解：点是反比例函数的图象上一点， ∴ 解得， 故选：C． 【变式1】在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查反比例函数的解析式． 将点代入即可得到答案． 【详解】解：设电流与电阻的函数解析式为， 将代入得，， ． 故选：D． 【变式2】已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，根据反比例函数的定义，设函数关系式为，再代入已知点求常数k即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为， ∵函数图象经过点， ∴，解得， ∴y与x的函数关系式为． 故答案为：． 【变式3】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在 象限． 【答案】二、四 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图象在一、三象限，当时，图象在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键．用待定系数法求出k的值，根据反比例函数的性质判断其图象所在的象限即可． 【详解】解：将点代入得，解得：， 因为，所以的图象在二、四象限． 故答案为：二、四． 题型二 一次函数与反比例函数图象综合判断 例2．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象综合判断，先根据一次函数中的，得一次函数交于轴的负半轴，再结合，则经过第一、三象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数中的， ∴一次函数交于轴的负半轴， 故B和D选项不符合题意； ∵， ∴经过第一、三、四象限，经过第一、三象限， 故选：A． 【变式2】如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【答案】或． 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数交点问题，利用数形结合思想是解决本题的关键．结合图象，找到一次函数在反比例函数上方时对应自变量x的取值范围即可． 【详解】解：由图象可以看出当或时，一次函数图象在反比例函数上方，所以当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【变式3】如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合运用，掌握待定系数法求解析式，图形法解不等式，几何图形面积的计算是关键． （1）运用待定系数法求出一次函数，反比例函数的解析，结合点的横坐标得到，则，由三角形面积的计算方法即可求解； （2）根据一次函数，反比例函数图形的交点，求不等式解集即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过两点， ∴， 解得， ∴， ∵反比例函数的图象过，     ∴， ∴， 当时，， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，即，且， ∴当或时，， ∴的取值范围为：或． 题型三 一次函数与反比例函数的交点问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象交点及不等式解集的结合，利用函数图象的位置关系确定不等式的解集，即一次函数图象在反比例函数图象上方(包括交点)时对应的的取值范围． 【详解】解：不等式的解集是一次函数的图象在反比例函数图象上方(包括交点)时的取值范围． 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足； 当时，观察图象，当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方(包括交点)，满足． 综上，不等式的解集为或． 故答案为：B． 【变式1】反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握正比例函数图象和性质，反比例函数的图象和性质，是解题的关键．由交点求出正比例函数的比例系数k，再联立两个函数方程求解另一个交点． 【详解】解：∵点在正比例函数上， ∴， 解得， ∴正比例函数为． 联立得：， ∴， 两边乘以x（），得， ∴， ∴或． 当时，， ∴另一个交点为． 故选：A． 【变式2】正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了双曲线的对称性和反比例函数与不等式的关系，理解函数与不等式的关系，根据双曲线的对称性求出点B的横坐标是解题关键．根据双曲线的对称性得到点B的横坐标为1，根据图象即可求出当时，x的取值范围为或． 【详解】解：∵正比例函数的图像与反比例函数的图像都关于原点对称，则两函数的交点也关于原点对称， ∵点的横坐标为， ∴点B的横坐标为1， 根据函数图象可得：当时，或． 故答案为：或． 【变式3】正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则 ． 【答案】2 【知识点】正比例函数的性质、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，正比例函数的性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据交点的纵坐标，利用正比例函数求出交点的横坐标，再代入反比例函数求k． 【详解】解：∵交点的纵坐标为2，且点在正比例函数上， ∴，解得：． ∴交点坐标为． 代入反比例函数，得， 即， 故答案为：2． 题型四 一次函数与反比例函数的实际应用 例4．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【知识点】从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 【变式1】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】先分别利用正比例函数以及反比例函数解析式，再利用y＝6分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y＝， 将（4，8）代入得：8＝， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y＝； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y＝（4≤x≤10）． 当y＝6，则6＝2x，解得：x＝3， 当y＝6，则6＝，解得：x＝， ∵−3＝（小时）， ∴血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间小时 故选A． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键． 【变式2】某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出一次函数和反比例函数解析式．先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出点，然后求出反比例函数解析式，再求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∵点坐标为，，轴， ∴， 设双曲线的解析式为：，把代入得： ， ∴双曲线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴点， ∴． 故答案为：． 【变式3】点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、坐标与图形变化——轴对称、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数和反比例函数的交点问题， 先求出点关于y轴对称的点的坐标，再将坐标代入一次函数关系式求出a，然后将点P的坐标代入关系式求出答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是． ∵点在一次函数的图像上， ∴， 解得， ∴点． 将点代入反比例函数关系式，得， 解得， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 题型五 一次函数与反比例函数的其他综合应用 例5．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】此题考查的是反比例函数和一次函数的交点问题，掌握将交点坐标代入并联立方程是解决此题的关键． 根据题意联立两个函数得出，求解即可． 【详解】解：由题意知，反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是， ∴， 消去x得：， 解得：． 故选：B． 【变式1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象、一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，关键是由的取值确定函数所在的象限．因为的符号不确定，所以应根据的符号及一次函数与反比例函数的特点解答． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项符合； 当时，， ∴反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无选项符合． 故选：． 【变式2】如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【答案】5 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数系数的几何意义，设点坐标为，用表示的坐标，再根据两点距离公式与已知，便可得的方程． 【详解】解：直线分别交轴、轴于点、， 则， 设点坐标为， ∵点分别是直线与的交点， 当时，， ， 当时，， ， ， ， ， 则， 解得，， ， ， 故答案为：5． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据两函数相交可得：，代入代数式，根据完全平方公式变形，即可求解； 【详解】函数与的图象交于点 故答案为：． 题型六 实际问题与反比例函数 例6. 学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 利用已知条件时，，从而得到 w 与 n 的反比例关系式． 【详解】解：设， 由题意可得时，，代入可得， ， 解得， 故函数关系式为， 故选：A． 【变式1】随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了待定系数法，反比例函数的应用，设，求出，当时，代入计算，即可求解；理解实际意义，并能用待定系数法求出解析式是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意得：， 解得：， 当时，． 故选：A 【变式2】在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a = 只/平方千米． 【答案】100 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题关键在于熟练掌握其相关知识点，设函数表达式为，当时， ，即可求解． 【详解】解：设函数表达式为，当时， ， ∴， ∴当时， ∴ 故答案为：100． 【变式1】在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为 ． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据待定系数法求出k的值，再代入计算即可． 【详解】解：设，当f为240赫兹，长度为米， ∴，即， 当时，． 故答案为：． 题型七 反比例函数与几何综合 例7．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，表示出点B的坐标是解题的关键．设A的横坐标为a，则纵坐标为，根据题意得出点B的坐标为，代入即可求得k的值． 【详解】解：设A的横坐标为a，则纵坐标为， ∵，轴， ∴B的横坐标为，轴， ∴， ∵点B在函数的图象上， ∴， 故选：C． 【变式1】如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了菱形的性质，求反比例函数解析式，解直角三角形的相关计算，过点C作轴于D，根据题意求得菱形的边长为6，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，然后根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式， 【详解】解：过点C作轴于D， ∵点， ∴菱形的边长为6， ∵在菱形中，， ∴， 在中，，， 则， ∵顶点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数为， 故选：D． 【变式2】如图，矩形的面积为16，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，设，则可得到，根据矩形面积公式可得，根据矩形对角线互相平分可得点P的坐标为，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵矩形的面积为16， ∴，即， ∵反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P， ∴点P为的中点， ∴点P的坐标为， ∴， ∴该反比例函数的解析式是， 故答案为：． 【变式3】如图，中，点C在x轴上，，轴，，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了求反比例函数解析式． 根据，轴，可设，根据三角形面积公式求出，即，即可求出k的值． 【详解】解：∵，轴， ∴可设， ∵， ∴， 解得：， 即， ∴． 故答案为：． 反比例函数的应用课后习题 1．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，根据反比例函数的图象与性质分析判断即可． 【详解】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第一、三象限，选项中没有符合条件的图象； 当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，A选项的图象符合要求． 故选：A． 2．反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的交点问题，根据两个交点关于原点对称解答即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的一个交点为， ∴另一个交点与点关于原点对称， ∴另一个交点是． 故选：A． 3．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【答案】C 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、从函数的图象获取信息、一次函数与反比例函数的实际应用 【分析】根据图象中的数据逐项分析求解即可． 【详解】解：∵， ∴玻璃加热速度为， 故A选项不合题意； 由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是， 故B选项不合题意； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为， 由题可得，在正比例函数图象上， 代入点可得，， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是， ∴将代入，得， ∴将代入，得， ∴， ∴能够对玻璃进行加工时长为， 故C选项符合题意； 将代入得，， ∴， ∴玻璃从降至室温需要的时间为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论不正确的是（    ） A．反比例函数的表达式为 B．一次函数的表达式为 C．当时，自变量的取值范围为 D．线段与线段的长度比为 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的其他综合应用、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数与一次函数解析式，利用图象法比较两个函数的大小，以及一次函数与坐标轴交点，勾股定理求两点间距离，体现了数形结合思想．根据相关知识求解，并判断，即可解题． 【详解】解：反比例函数过点， ， 反比例函数的表达式为， 故A项正确，不符合题意； 反比例函数过点， ，解得， 即， 一次函数过点，， ，解得， 一次函数的表达式为； 故B项正确，不符合题意； 由图知，当时，自变量的取值范围为， 故C项正确，不符合题意； 当时，，解得， ， ，， 线段与线段的长度比为， 故D项错误，符合题意； 故选：D． 5．已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数、函数图象识别 【分析】本题考查了求函数解析式和函数图象的判断，熟练掌握梯形的面积公式是解本题的关键． 根据梯形面积公式即可得出关于的函数解析式，再判断图象即可． 【详解】解：根据题意可得：， 整理得：，其中， 则关于的函数图象是C． 故选：C． 6．如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，解题的关键是学会利用设元法将图中点的坐标利用几何性质表示出来解决问题．设，，利用的面积为6，求出，根据与的面积之比为，列式即可解决问题． 【详解】解：设，， ∵，的面积为6，轴， ∴， ∴， ∵与的面积之比为， ∴， 解得：， 故选：A． 7．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第 象限．    【答案】一、三 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a的符号，进而结合反比例函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三象限， ∴， ∴反比例函数的图象经过第经过一、三象限， 故答案为：一、三． 8．在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 ． 【答案】4 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，理解待定系数法是解题的关键．先根据待定系数法求出m、k的值，再代入求解即可． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数都经过点， ∴，， ∴， 故答案为：4． 9．如图，点，分别在反比例函数，的图象上，且轴，点在轴的正半轴上，连接，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据点坐标求出点坐标是解题的关键．设点坐标为，由轴可得点的纵坐标为，则，于是可得，即点坐标为，则，进而可得，由此即可求出的面积． 【详解】解：设点坐标为， 轴， 点的纵坐标为，则： ， ， 点坐标为， ， ， 故答案为：． 10．如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、反比例函数与几何综合 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，勾股定理，设，则，据此表示出，根据建立关于m的方程，求出m的值，进而得到的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故答案为：． 11．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 【答案】(1)100， (2)打6折促销，优惠100元 (3)当时，甲商场更优惠；当时，乙商场更优惠． 【知识点】实际问题与反比例函数、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了反比例函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意、从题目中得出反比例函数的模型． （1）把代入中即可求得，然后根据始终为0.4可得与m的关系； （2）根据（1）的结论和图象即可得出结果； （3）先根据（2）题的促销方案求出在两家商场购买花钱一样多时的的值，再结合图象分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入中，得， 由于始终为0.4，即， ； 故答案为：100，； （2）解：由（1）及优惠率的含义可知：当购买总金额都为元，且在的条件下时 甲家商场采取的促销方案是：打6折促销， 乙家商场采取的促销方案是：优惠100元， 故答案为：打6折促销，优惠100元； （3）解：由（2）题可知， 当时，甲家商场需花元，乙家商场需花元， 当时，解得，即当时，在两家商场购买花钱一样多， 再由图象易知，当时，乙商场更优惠；当时，甲商场更优惠． 12．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题、利用平行四边形的性质求解、因式分解法解一元二次方程、反比例函数与几何综合 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质，平行四边形的性质，学会构建方程组确定交点坐标，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）分别将点B和点A的坐标代入中可得，，即可得反比例函数的解析式； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，设点D的坐标为，利用面积和与差即可解答； （3）先根据平移可得函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：，分三种情况：①如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等，②如图3，四边形是平行四边形，③如图4，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）如图1，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， 设点D的坐标为， ∵， ∴， ， ， ，， 经检验均是方程的解， ∴点D的坐标为； （3）由题意得：函数的图象沿y轴向下平移4个单位得：， 当时，， ∴， 分三种情况： 如图2，四边形是平行四边形，则P，Q的纵坐标相等， ∴设，， ∵， ∴， 解得：（舍），， 经检验：是原方程的解， ∴； 如图3，四边形是平行四边形， 由①知，， ∴， ∴，（舍）， 经检验：是原方程的解， ∴点P的坐标为； ③如图4，四边形是平行四边形， ∵B，C关于原点对称， ∴P，Q关于原点对称， 设点Q的坐标为，则点P的坐标为， ∵点P在直线上， ∴， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 寒假预习第13讲 反比例函数的应用 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：反比例函数解析式的确定 1.方法 待定系数法. 2.确定反比例函数解析式的一般步骤 (1)设：设反比例函数解析式为. (2)代：将已知条件代入函数解析式，建立关于的方程. (3)解：解关于的方程得到的值. (4)写：写出反比例函数解析式. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点． (1)求m与n之间的关系式； (2)求一次函数与反比例函数的表达式； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 知识点2：利用反比例函数解决实际问题的步骤 (1)审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系。 (2)设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示。 (3)列：由题目的已知条件列出方程，求出待定系数。 生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)求线段及双曲线段的函数解析式（写出自变量取值范围）； (2)求该大棚在时内，温度不低于的时长， (3)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟___________小时，能满足上述要求． 题型一 求反比例函数解析式 例1．点是反比例函数的图象上一点，则m的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式1】在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关后，移动滑动变阻器的滑片，电流与电阻成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点的坐标为，则电源电压为（　　） A． B． C． D． 【变式2】已知y与x成反比例，并且经过，则y与x的函数关系式是 ． 【变式3】已知反比例函数的图象经过点，则其图象在 象限． 题型二 一次函数与反比例函数图象综合判断 例2．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，当时，一次函数与反比例函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点，则当时，的取值范围是___________． 【变式3】如图，一次函数（为常数，）与反比例函数的图象相交于两点，点在线段上，过点作轴的垂线，垂足为，交反比例函数的图象于点，点的横坐标为． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围． 题型三 一次函数与反比例函数的交点问题 例3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于两点．根据图象信息，可得关于的不等式的解集为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式1】反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，则另一个交点是（    ） A． B． C． D． 【变式2】正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是 ． 【变式3】正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2，则 ． 题型四 一次函数与反比例函数的实际应用 例4．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 【变式1】某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药时间小时之间函数关系如图所示（当时，与成反比例）．血液中药物浓度不低于微克毫升的持续时间为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某乐园计划建造一个水上滑梯项目，这个项目的主视图由传送带、平台和滑梯三部分组成，设计师为了便于研究相关数据，将这个主视图放在平面直角坐标系中，如图，轴，滑梯为双曲线的一部分，点坐标为，，、为两根竖直的支撑柱，，则两支撑柱之间的距离为 ． 【变式3】点在反比例函数的图象上，它关于轴的对称点在一次函数的图象上，则此反比例函数的解析式为 题型五 一次函数与反比例函数的其他综合应用 例5．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的纵坐标是，则k的值为（　　） A．8 B． C．4 D． 【变式1】函数与在同一平面直角坐标系内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，是函数的图象上一点，直线分别交轴、轴于点、，过点作轴于点，交于点，作轴于点，交于点，当时，的值为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式的值为 ． 题型六 实际问题与反比例函数 例6. 学生在某次化学实验中，要配制一定溶质质量分数的溶液，当溶质质量m（单位：克）固定时，溶液质量n（单位：克）与溶质质量分数w之间成反比例函数关系．已知当溶液质量为200克时，溶质质量分数为，则n与w之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】随着科技的迅猛发展，智能机器人逐步融入人们的日常生活中．如图，这是某酒店的智能送餐机器人，其最快移动速度是总质量的反比例函数．已知此款智能送餐机器人载重前的总质量，此时它的最快移动速度．当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在生态学中，某种濒危鸟类的有效栖息地面积S(平方千米)与其种群密度a(只/平方千米)近似满足反比例关系．研究发现，当有效栖息地为20平方千米时，密度为25 只/平方千米．若该区域内的鸟类总数保持稳定(无迁入迁出)，当因森林砍伐导致有效栖息地缩减至5平方千米时，种群密度a = 只/平方千米． 【变式1】在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率f（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长l为时，测得振动频率f为，则当振动弦长为时，振动频率为 ． 题型七 反比例函数与几何综合 例7．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【变式1】如图，在菱形中，，它的一个顶点C在反比例函数的图象上，若点，则反比例函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式2】如图，矩形的面积为16，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则该反比例函数的解析式是 ． 【变式3】如图，中，点C在x轴上，，轴，，若反比例函数的图象经过点B，则k的值为 ． 1．函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图像与正比例函数的图像的一个交点为，则另一个交点是（   ） A． B． C． D． 3．某种玻璃原材料需在环境保存，取出后匀速加热至高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温（），加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于．玻璃温度与时间的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，以下判断正确的是（    ） A．玻璃加热速度为 B．玻璃温度下降时，y与x的函数关系式为 C．能够对玻璃进行加工时长为 D．玻璃从降至室温需要的时间为 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，一次函数的图象与轴交于点．则下列结论不正确的是（    ） A．反比例函数的表达式为 B．一次函数的表达式为 C．当时，自变量的取值范围为 D．线段与线段的长度比为 5．已知一个梯形面积为6，下底长是上底长的3倍，设上底长，高为，那么关于的函数图象是（   ） A．   B．   C．   D．   6．如图，在四边形中，于点，轴，点在轴上，点，在函数的图象上，则与的面积之比为，若的面积为，那么的值（    ）    A． B． C． D． 7．已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数的图象经过第 象限．    8．在直角坐标平面内，正比例函数和反比例函数都经过点，则 ． 9．如图，点，分别在反比例函数，的图象上，且轴，点在轴的正半轴上，连接，，则的面积为 ． 10．如图，点A，B在双曲线上，点C在双曲线上，若轴，轴，且，则的长为 ． 11．双十一促销活动开始，甲乙两家商场采用了不同的促销方案．如果用优惠率（其中代表优惠金额，代表顾客购买商品的总金额）衡量消费者受益程度，则甲乙两商场的优惠率与顾客购买总金额（元）之间的函数关系分别如图所示，其中成反比例函数关系，且总金额m（元）的取值范围满足． (1)___________；用含m的代数式表示：___________． (2)当购买总金额m（元）在的条件下时，指出甲、乙两家商场正在采取的促销方案分别是什么？ 甲：___________；乙：___________ (3)完全相同的商品，在甲、乙两家商场的标价都是m元（），选择哪家商场购买该商品花钱少？请说明理由． 12．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与反比例函数的图象交于点． (1)求k和m的值； (2)若点D是反比例函数上一点，在点A的下方，且的面积是8，求出点D的坐标． (3)将函数的图象沿y轴向下平移4个单位后交x轴于点C．点P是直线上一点，点Q是反比例函数图象上一点．如果以点B、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点P的坐标． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $