拓展专题1.6 平行四边形中的7类重难综合题型（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题1.6 平行四边形中的7类重难综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、中点四边形 1 题型二、动点四边形 6 题型三、垂美四边形 17 题型四、坐标系中的四边形 24 题型五、四边形中的剪切与拼接问题 31 题型六、四边形的尺规作图问题 38 题型七、四边形与网格无刻度直尺作图 42 1.中点四边形 类型 模型 特点 结论 一般四边形 分别是各边的中点 四边形 是平行四边形 ； 矩形 分别是各边的中点 四边形 是菱形 菱形 分别是各边的中点 四边形 是矩形 正方形 分别是各边的中点 四边形 是正方形 对于任意凸四边形，若对角线相等，则中点四边形为菱形；若对角线垂直，则中点四边形为矩形；若对角线垂直且相等，则中点四边形为正方形。 2.垂美四边形 名称 定义 图形 性质 垂美四边形 对角线互相垂直的四边形，如图，在四边形 中， ① ； ② 题型一、中点四边形 1．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，则下列结论一定正确的是（   ） 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（　　） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 2．如图，将个全等的阴影小正方形摆放得到边长为的正方形，中间小正方形的各边中点恰好为另外个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为，(为正整数)，则的值为 3．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为 ． 4．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 题型二、动点四边形 5．在平行四边形中，对角线、相交于点，是边上的一个动点（不与、重合），连接并延长，交于点，连接，，下列四个结论中： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②若，则至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，，则至少存在一个点，使得四边形是正方形． 以上所有正确说法的序号是 ． 6．如图1，在平面直角坐标系中，矩形中，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动．过点作，交于点，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，两点同时停止运动． (1)求、的长（用的代数式表示）； (2)如图2，当在的左侧时，若动点的运动速度是每秒个单位长度，无论为何值时反比例函数的图像始终同时经过点和点，求的值； (3)若动点的运动速度是每秒1个单位长度，在运动过程中，平面内是否存在这样一点，使为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 8．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 题型三、垂美四边形 9．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是___________；（填序号） ①平行四边形     ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图2，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，判断四边形的形状，并说明理由． 10．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） ①平行四边形       ②矩形  ③  菱形           (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，证明四边形是矩形； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，求的长． 11．学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．通过探究，我们得出垂美四边形的面积S等于两对角线乘积的一半．      (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②四边形的面积是_______． 题型四、坐标系中的四边形 12．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 13．如图，以矩形的邻边，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，已知，，过对角线中点的直线交，于点，． (1)求证：； (2)当时，直接判断四边形的形状，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段的长． 14．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在x轴正半轴上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形； (3)在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由； (4)在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．（提示：四条边都相等的四边形是菱形） 题型五、四边形中的剪切与拼接问题 15．情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 16．综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 题型六、四边形的尺规作图问题 17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    已知：， 求作：，使得在边上，且它到、两边的距离相等． 18．如图，直线，线段分别与直线，交于点B，C，且．请用使用尺规作图的方法，在，上分别作出点M，N，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）    19．如图，在方格纸中按要求画一个以，，，为顶点的平行四边形．（图中每个小方格的边长为，点，，，都必须在格点上）    (1)在图中画一个，使，． (2)在图中画一个，使各边长均为无理数，且该平行四边形的面积为． 20．如图，5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是．已知格点P，请按以下要求画格点四边形（四边形的顶点都在格点上）．      (1)在图和图中分别画，使，的面积为，且这两个平行四边形不全等． (2)在图和图中分别画矩形，使矩形的面积为，且这两个矩形互不全等． 题型七、四边形与网格无刻度直尺作图 21．图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形．    (1)在图中画出以为边的矩形，且点，均在格点上； (2)在图中画出以为边的菱形，且点，均在格点上． 22．图1，图2，图3是由边长为1且有一个内角为的菱形构成的网格，，是格点．只用不含刻度的直尺按以下要求画图，并保留画图痕迹． 　　 (1)在图1中画出线段关于点的中心对称图形； (2)在图2中画一个以为一边的矩形（，为格点），并写出矩形的面积； (3)在图3中以为一边的作一个矩形（，不一定为格点），使其面积为． 23．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点时做格点．图中A、B，C都是格点，点D在网格线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)填空：与的数量关系是___，位置关系是___； (2)在图（1）中作矩形，并过点D作直线l，使直线l平分矩形的面积； (3)在图（2）中取的中点M，在上找一点N，使． 24．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．    (1)画出以为边的菱形； (2)在上画点E，使； (3)点F为与格线交点，取中点G； (4)连，在上找点H，使． 1．小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　　 (2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： 　　． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②求出四边形的面积． 2．如图所示，线段的两端点 E，F分别是正方形的边，的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹， 不写作法)    (1)在图（1）中，以为较长对角线画菱形； (2)在图（2）中，以为较长对角线画菱形． 3．阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．       (1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点O； ②如图2，点A、B、C为格点，画出的平分线； (2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题： 如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图3，点E、F分别在、上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点； ②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使； ③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为______． 4．如图是由单位长度为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、C两点在格点，B点在网线上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在线段上取点D，使； (2)过（1）中的点D画线段，使； (3)画点M，使以点A、B、C、M为顶点的四边形为平行四边形． 5．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题1.6 平行四边形中的7类重难综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、中点四边形 1 题型二、动点四边形 6 题型三、垂美四边形 17 题型四、坐标系中的四边形 24 题型五、四边形中的剪切与拼接问题 31 题型六、四边形的尺规作图问题 38 题型七、四边形与网格无刻度直尺作图 42 1.中点四边形 类型 模型 特点 结论 一般四边形 分别是各边的中点 四边形 是平行四边形 ； 矩形 分别是各边的中点 四边形 是菱形 菱形 分别是各边的中点 四边形 是矩形 正方形 分别是各边的中点 四边形 是正方形 对于任意凸四边形，若对角线相等，则中点四边形为菱形；若对角线垂直，则中点四边形为矩形；若对角线垂直且相等，则中点四边形为正方形。 2.垂美四边形 名称 定义 图形 性质 垂美四边形 对角线互相垂直的四边形，如图，在四边形 中， ① ； ② 题型一、中点四边形 1．如图，在四边形中，E，F，G，H分别是的中点，则下列结论一定正确的是（   ） 如图，在四边形中，点，，，分别是，，，边上的中点，则下列结论一定正确的是（　　） A．四边形是矩形 B．四边形的内角和小于四边形的内角和 C．四边形的周长等于四边形的对角线长度之和 D．四边形的面积等于四边形的面积的 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理可得四边形是平行四边形，进而逐一判断即可． 本题考查了中点四边形，矩形的判定，解决本题的关键是掌握三角形中位线定理． 【详解】解：A．如图，连接，， 在四边形中， 点，，，分别是，，，边上的中点， ，，，， ，， 四边形是平行四边形，但无法证明它是矩形，故A选项错误； B．四边形的内角和等于，四边形的内角和等于，故B选项错误； C．点，，，分别是，，，边上的中点， ，， ， 同理：， 四边形的周长等于四边形的对角线长度之和，故C选项正确； D．四边形的面积不等于四边形的面积的，故D选项错误． 故选：C． 2．如图，将个全等的阴影小正方形摆放得到边长为的正方形，中间小正方形的各边中点恰好为另外个小正方形的一个顶点，小正方形的边长为，(为正整数)，则的值为 【答案】11 【分析】连接MN，FH，由勾股定理可求FH的长，由三角形中位线定理可求MN的长，由题意列出等式可求a，b的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接MN，FH， ∵正方形EFGH的边长为， ∴FH＝×=， ∵M，N是EF，EH的中点， ∴MN＝， ∵AD＝1， ∴2×＋＝1， ∴4a−2−2b＋a−4＝0，且a、b为正整数， ∴ ∴a＝4，b＝7， ∴a＋b＝11， 故答案为：11． 【点睛】本题考查了中点四边形，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，求出MN的长是本题的关键． 3．如图，E、F、G、H分别为矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、HE、EC，GA，GF．已知AG⊥GF，AC=，则AB的长为 ． 【答案】2 【详解】分析：连接BD．由△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b，可得，推出，可得b=a，在Rt△GCF中，利用勾股定理求出b，即可解决问题； 详解：如图，连接BD． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=∠DCB=90°，AC=BD=， ∵CG=DG，CF=FB， ∴GF=BD=， ∵AG⊥FG， ∴∠AGF=90°， ∴∠DAG+∠AGD=90°，∠AGD+∠CGF=90°， ∴∠DAG=∠CGF， ∴△ADG∽△GCF，设CF=BF=a，CG=DG=b， ∴， ∴， ∴b2=2a2， ∵a＞0．b＞0， ∴b=a， 在Rt△GCF中，3a2=， ∴a=， ∴AB=2b=2． 故答案为2． 点睛：本题考查中点四边形、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 4．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形EFGH是菱形，证明见解析；（3）四边形EFGH是正方形 【分析】（1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图1中，连接BD． ∵点E，H分别为边AB，DA的中点， ∴EH∥BD，EH=BD， ∵点F，G分别为边BC，CD的中点， ∴FG∥BD，FG=BD， ∴EH∥FG，EH=GF， ∴中点四边形EFGH是平行四边形． （2）四边形EFGH是菱形． 证明：如图2中，连接AC，BD． ∵∠APB=∠CPD， ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD， 即∠APC=∠BPD， 在△APC和△BPD中， ∵AP=PB，∠APC=∠BPD，PC=PD， ∴△APC≌△BPD（SAS）， ∴AC=BD． ∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点， ∴EF=AC，FG=BD， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴四边形EFGH是菱形． （3）四边形EFGH是正方形． 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N． ∵△APC≌△BPD， ∴∠ACP=∠BDP， ∵∠DMO=∠CMP， ∴∠COD=∠CPD=90°， ∵EH∥BD，AC∥HG， ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°， ∵四边形EFGH是菱形， ∴四边形EFGH是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质和中点四边形，综合性较强，作出适当辅助线是本题的关键． 题型二、动点四边形 5．在平行四边形中，对角线、相交于点，是边上的一个动点（不与、重合），连接并延长，交于点，连接，，下列四个结论中： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②若，则至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，，则至少存在一个点，使得四边形是正方形． 以上所有正确说法的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查平行四边形以及几种特殊平行四边形的判定．熟悉平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法是解答此题的关键． 由于经过平行四边形的中心，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：如图1， ∵四边形为平行四边形，对角线与交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又：∵， ∴四边形为平行四边形， 即在上任意位置(不与、重合)时，四边形形为平行四边形，故①正确； 如图2， 当时，点不在边上，故②错误． 如图3， 当时，四边形为菱形，故③正确． 由丙知，若，则至少存在一个点，使得四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴若，则至少存在一个点，使得四边形是正方形，故④正确． 故答案为：①③④． 6．如图1，在平面直角坐标系中，矩形中，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动．过点作，交于点，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，两点同时停止运动． (1)求、的长（用的代数式表示）； (2)如图2，当在的左侧时，若动点的运动速度是每秒个单位长度，无论为何值时反比例函数的图像始终同时经过点和点，求的值； (3)若动点的运动速度是每秒1个单位长度，在运动过程中，平面内是否存在这样一点，使为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】（1）首先结合矩形的性质确定的长度，根据题意可知，，证明，结合相似三角形的性质即可获得答案； （2）过点作于点，易知，再证明，结合相似三角形的性质可得，进一步确定，根据点和点均在反比例函数的图像上，可得，整理可得，结合无论为何值时，反比例函数的图像始终同时经过点和点，可确定的值； （3）分点在线段上和当点在线段上两种情况讨论，结合菱形的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）如下图，过点作于点， ∵动点的运动速度是每秒个单位长度， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵点和点均在反比例函数的图像上， ∴， 整理可得， ∵无论为何值时，反比例函数的图像始终同时经过点和点， ∴对于任意，均有成立， ∴，解得， 此时等号两边二次项系数，符合题意， ∴的值为； （3）根据题意，，由（1）（2）可知，，，，， ∴， 分情况讨论， 当点在线段上时， ①如下图，若， 此时， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴； ②若，如下图，连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； ③若，如下图，连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 当点在线段上时，如下图，只能是钝角三角形， 若使为顶点的四边形为菱形， 只能有， 此时， ∵， ∴，解得， ∴，，， 设， 则有，， 解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 7．如图，在四边形ABCD中，，，，，，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t． (1)_______．______（用含t的代数式表示）； (2)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是矩形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形是菱形？如果存在，求出时间t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，当时，四边形是矩形，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）可求，，从而得到答案； （2）四边形是矩形，从而可得，可求解； （3）可求，，从而可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∵， ∴ 故答案为：， （2）解：存在， 在四边形中：，， 当时，四边形是矩形， 解得：， 当时，四边形是矩形； （3）解：不存在， 如图，过点D作，垂足为E， 则四边形为矩形， ，， 由题意得： ，， ，，， ， 当时，，， ， ， ∴当时，四边形为平行四边形， ， ， 四边形不可能为菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定方法及性质、勾股定理等知识，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 8．如图①，在四边形中，，，动点P在边上以每秒1个单位长度的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位长度的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示的长． (2)求当t为何值时，分别满足下面的条件： ①； ②． (3)如图②，若H是线段上一点，且，那么在线段上是否存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)存在，t的值为6或 【分析】（1）根据时间、速度、路程之间的关系即可求解； （2）①证明四边形为平行四边形，则，设动点的运动时间为秒，则，，列方程并解方程即可求出答案；②证明四边形是矩形，则，据此列方程并解方程即可求出答案； （3）假设在线段上存在一点，使得使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形，分两种情况，画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴； （2）连接，如图所示， 若， ∵ ∴四边形为平行四边形， ， 设动点的运动时间为秒，则，， ， 解得：，符合题意， 当，满足； ②∵， ∴与之间的距离为， 当时，则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴ 解得 （3）解：t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 理由如下：假设在线段上存在一点，使得四边形是菱形，连接，，如图， 设动点的运动时间为秒，则， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， 此时，， 当时，在线段上存在一点，使得四边形是菱形． 第二中情况如图， ，要使得四边形是菱形，则需要， ，， ， 在中，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， 综上可知，t的值为6或时，在线段上是存在一点R，使得以点B、H、R、P为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了动点问题，涉及到了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，矩形的判定和性质、勾股定理，解一元二次方程等知识，解题关键是能正确建立方程． 题型三、垂美四边形 9．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是___________；（填序号） ①平行四边形     ②菱形    ③矩形    ④正方形 (2)如图2，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了正方形、矩形、菱形的性质，三角形的中位线定理，矩形的判定，正确理解垂美四边形的定义以及灵活运用特殊四边形的判定与性质是解题的关键． （）根据平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质逐一排除即可； （2）由中位线定理可得，，，，，证明四边形是平行四边形，然后由，故有，所以，从而证明四边形是矩形． 【详解】（1）解：平行四边形的对角线互相平分但不垂直，不符合垂美四边形定义， 菱形的对角线互相垂直平分，符合垂美四边形定义， 矩形的对角线互相平分且相等，不符合垂美四边形定义， 正方形对角线互相垂直平分且相等，符合垂美四边形定义， 故答案为：； （2）解：四边形是矩形，理由， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形． 10．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．例如：在四边形中，对角线与相交于点，若，则四边形为垂美四边形． (1)下面是垂美四边形的是_____；（填序号） ①平行四边形       ②矩形  ③  菱形           (2)如图，已知四边形是垂美四边形，则边，，，存在怎样的数量关系?并说明理由； (3)如图，已知四边形是垂美四边形，若，，，分别是边，，，的中点，顺次连接，，，，证明四边形是矩形； (4)如图，分别以的边，为边向外作正方形和正方形，连接，，，若是直角三角形，，，求的长． 【答案】(1)③ (2)，见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】（1）根据垂美四边形的定义，结合平行四边形，矩形，菱形对角线的性质判断解答即可； （2）根据垂美四边形的定义，勾股定理，等式的性质解答即可； （3）根据三角形中位线定理，矩形的判定证明即可； （4）设与交于点M，与交于点N，连接，先证明四边形是垂美四边形，再根据正方形的性质，勾股定理，结合垂美四边形的四边关系，分类解答即可． 本题考查了新定义，菱形的性质，正方形的性质，矩形的判定，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握新定义，中位线定理，勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，且对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． ∴菱形是垂美四边形， 故选：③， 故答案为：③． （2）解：边，，，的数量关系为，理由如下： ∵在四边形中，对角线与相交于点，， ∴， ∴． （3）证明：∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （4）解：如图，设与交于点M，与交于点N，连接， ∵四边形和四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， ∵是直角三角形，，，， ∴或，， 如图，当时， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∵四边形和四边形是正方形，，， ∴，， ∴，，， 由得， ∴（负的舍去）； 如图， 当时， ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∵四边形和四边形是正方形，，， ∴，， ∴，，， 由得， ∴（负的舍去）； 综上所述：的长为或． 11．学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．通过探究，我们得出垂美四边形的面积S等于两对角线乘积的一半．      (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______． (2)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②四边形的面积是_______． 【答案】(1)菱形、正方形 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题干信息进行解答即可； （2）①证明，得出，，根据，，得出，即可得出，证明四边形为垂美四边形； ②根据勾股定理求出，得出，根据勾股定理求出，得出，根据求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线互相垂直，平行四边形的对角线和矩形的对角线不一定互相垂直， ∴在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是菱形、正方形； 故答案为：菱形、正方形． （2）①证明：连接、，交于，交于，如图2所示：     四边形和四边形是正方形， ，，， ，即， 在和中， ， ，， 又，， ， ， 四边形为垂美四边形； ②，，， ， ， 在中，， ， 四边形为垂美四边形， 四边形的面积． 故答案为：130． 【点睛】本题主要考查了勾股勾股定理，正方形、矩形、菱形和平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定，证明． 题型四、坐标系中的四边形 12．已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，点是的中点，动点在线段上以每秒个单位长的速度由点向运动．设动点的运动时间为秒． (1)当为何值时，四边形是平行四边形； (2)在直线上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在线段上有一点且，直接写出四边形的周长的最小值 ． 【答案】(1) (2)时，；时，；时， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，再由运动知，进而由平行四边形的性质建立方程即可得出结论； （2）根据题意，分三种情况讨论，利用菱形的性质和勾股定理即可得出结论； （3）先判断出四边形周长最小，得出最小，即可确定出点的位置，进而勾股定理，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，， ， ∵点是的中点， ∴， 由运动知，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：①当点在的右边时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ，解得， ， ； ②当点在的左边且在线段上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； ③当点在的左边且在的延长线上时，如图所示： ∵四边形为菱形， ， ∴在中，由勾股定理得：， ， ，解得， ， ； 综上所述，时，；时，；时，； （3）解：如图，取，作点关于的对称点，连接， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∵四边形的周长为 ， 最小时，四边形的周长最小， 当在上时，最小，即最小， ， ∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质、菱形性质、平行四边形的性质、勾股定理、轴对称的性质，坐标与图形，解（1）的关键是求出的值，解（2）的关键时分类讨论的思想，解（3）的关键是找出点的位置． 13．如图，以矩形的邻边，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，已知，，过对角线中点的直线交，于点，． (1)求证：； (2)当时，直接判断四边形的形状，并求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形， (3) 【分析】（1）根据矩形的性质及、两点坐标得出，，，可得，利用可证明，即可得出； （2）根据，可证明四边形是平行四边形，根据即可证明四边形是菱形；设，则，利用勾股定理求出的值即可得点坐标； （3）利用勾股定理求出，根据菱形面积得出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵以矩形的邻边，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，，， ∴，，， ∴， ∵点为中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵四边形是菱形，，， ∴设，则， ∵， ∴， 解得：，即， ∴． （3）解：∵，，， ∴， ∴，即， 解得：． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、坐标与图形及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 14．如图，平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，A点在x轴正半轴上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，点P从C点出发沿CB方向，以1cm/s的速度向点B运动；点Q从A点同时出发沿AO方向，以3cm/s的速度向原点运动，其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动． (1)求点C，B的坐标（结果用根号表示） (2)从运动开始，经过多少时间，四边形OCPQ是平行四边形； (3)在点P，Q运动的过程中，四边形OCPQ有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由； (4)在点P、Q运动过程中，四边形OCPQ有可能成为菱形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．（提示：四条边都相等的四边形是菱形） 【答案】(1)C点坐标是（2，2），B点坐标是（12，2）； (2)经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形； (3)经过2秒钟，四边形OCPQ是直角梯形； (4)不能成为菱形 【分析】（1）过C作CE⊥OA于E，过B作BF⊥OA于F，根据直角三角形的性质算出OE的长，再利用勾股定理即可求出CE的长，从而得到C点坐标；根据平行线间的距离相等可知CE=BF=2，再证明Rt△COE≌Rt△BAF，从而得到AF的长，即可得到B点坐标； （2）根据平行四边形的性质可知CP=OQ，设时间为x秒，表示出OQ、CP的长，可得到方程10-3x=x，解方程即可； （3）设经过t秒钟，四边形OCPQ是直角梯形，根据四边形CEQP是矩形则有CP=EQ=t，EQ=OA-AQ-OE=10-2-3t，则t=10-2-3t，解方程即可； （4）如果四边形OCPQ菱形，则CO=QO=CP=4cm，根据运动速度，算出运动时间，计算可发现不能成为菱形． 【详解】（1）过C作CE⊥OA于E， ∵∠COA=60°， ∴∠1=30°， ∴OE=CO=2cm， 在Rt△COE中，CE=， ∴C点坐标是（2，2）， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴CB=OA=10，CB∥OA， ∴B点坐标是（12，2）； （2）设从运动开始，经过x秒，四边形OCPQ是平行四边形， 10-3x=x， 解得：x=2.5， 故运动开始，经过2.5秒，四边形OCPQ是平行四边形； （3）四边形OCPQ能成为直角梯形． 设经过t秒钟，四边形OCPQ是直角梯形，PQ⊥OA， 过点C作CE⊥OA于E，则∠CEQ=∠CPQ=∠OQP=90°， ∴四边形CEQP是矩形， ∴CP=EQ， ∴t=10-2-3t， 解得：t=2， 故经过2秒钟，四边形OCPQ是直角梯形； （4）不能成为菱形， 如果四边形OCPQ菱形，则CO=QO=CP=4cm， ∵OA=10cm， ∴AQ=10-4=6（cm）， 则Q的运动时间是：6÷3=2（秒）， 这时CP=2×1=2（cm） ∵CP≠4cm， ∴四边形OCPQ不能成为菱形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，直角梯形的性质，菱形的性质，是一道综合题，关键是需要同学们熟练掌握各种特殊四边形的性质，并能熟练应用． 题型五、四边形中的剪切与拼接问题 15．情境  图1是由正方形纸片去掉一个以中心O为顶点的等腰直角三角形后得到的． 该纸片通过裁剪，可拼接为图2所示的钻石型五边形，数据如图所示． （说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余） 操作  嘉嘉将图1所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形． 如图3，嘉嘉沿虚线，裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图4所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）直接写出线段的长； （2）直接写出图3中所有与线段相等的线段，并计算的长． 探究淇淇说：将图1所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形． 请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图5所示纸片的边上找一点P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段）的位置，并直接写出的长． 【答案】（1）；（2），；的长为或． 【分析】本题考查的是正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，本题要求学生的操作能力要好，想象能力强，有一定的难度． （1）如图，过作于，结合题意可得：四边形为矩形，可得，由拼接可得：，可得，，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，设，则，再进一步解答即可； （2）由为等腰直角三角形，；求解，再分别求解；可得答案，如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线，或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线，再进一步求解的长即可． 【详解】解：如图，过作于， 结合题意可得：四边形为矩形， ∴， 由拼接可得：， 由正方形的性质可得：， ∴，，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 设， ∴， ∴，， ∵正方形的边长为， ∴对角线的长， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）∵为等腰直角三角形，； ∴， ∴， ∵， ， ∴； 如图，以为圆心，为半径画弧交于，交于，则直线为分割线， 此时，，符合要求， 或以圆心，为半径画弧，交于，交于，则直线为分割线， 此时，， ∴， 综上：的长为或． 16．综合与实践 (1)操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2．在图2中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． (2)探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、图5．在图5中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． (3)实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成4块，按图5的方式补全图6，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)①1；②见详解 (3)见详解 【分析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点E旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， 由题意得为中点，‘ ∴’， ∵， ∴ 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点E为中点，将四边形绕点E旋转得到四边形， ∴， ∴， 故答案为：1； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点E旋转得到四边形，将四边形绕点H旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ∵，，， ∴， ∵ ∴， ∴三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （3）解：如图，     如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点C与点A重合，与重合，与重合，点N的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ∴， ∴， 由操作得，， ∵， ∴， ∴三点共线， 同理三点共线， ∵， ∴四边形为矩形， 如图，连接， ∵为中点， ∴， 同理， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由操作得，，而， ∴， 同理，， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴四边形能放置左上方空出， ∴按照以上操作可以拼成一个矩形． 【点睛】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，三角形的中位线，正确理解题意是解题的关键． 题型六、四边形的尺规作图问题 17．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．    已知：， 求作：，使得在边上，且它到、两边的距离相等． 【答案】见解析 【分析】过点作的角平分线，根据角平分线的性质可知，于交点为点，过点作直线的平行线，再上作，连接，即可得到． 【详解】解：如图，即为所求作．    【点睛】本题考查了基本作图——角平分线、过直线外一点作平行线，作线段，以及平行四边形的判定和角平分线的性质定理，熟练掌握基本作图方法是解题关键． 18．如图，直线，线段分别与直线，交于点B，C，且．请用使用尺规作图的方法，在，上分别作出点M，N，使得四边形为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】作的垂直平分线分别交，于M、N，然后顺次相连得到四边形即为所求． 【详解】解：如图：四边形即为所求．    【点睛】本题主要考查了菱形的判定、垂直平分线的性质等知识点，掌握垂直平分线的做法是解答本题的关键． 19．如图，在方格纸中按要求画一个以，，，为顶点的平行四边形．（图中每个小方格的边长为，点，，，都必须在格点上）    (1)在图中画一个，使，． (2)在图中画一个，使各边长均为无理数，且该平行四边形的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可答案不唯一； （2）作一个长宽分别为，的长方形即可． 【详解】（1）如图，    由题意得：， ，， 故四边形即为所求； （2）如图，    ， , 四边形是平行四边形， ， 所以四边形即为所求． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．如图，5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是．已知格点P，请按以下要求画格点四边形（四边形的顶点都在格点上）．      (1)在图和图中分别画，使，的面积为，且这两个平行四边形不全等． (2)在图和图中分别画矩形，使矩形的面积为，且这两个矩形互不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由该5×5网格是由边长为1个单位的小菱形组成，每个菱形较小的角都是，求出该小菱形的高为，从而得出每个小菱形的面积为，即包含四个小菱形即可，进而可画出图形； （2）由题意可求出上下相邻的两个小菱形的较短对角线与其上底或下的夹角为，且长度为，即可做矩形的宽，再取其长为3即可画出一种；又可求出小菱形较短的对角线长度为1，较长的对角线长度为，且互相垂直，即取较短的对角线一条，较长的对角线3条即可又画出一种． 【详解】（1）解：如图中和图中即为所作；      （2）解：如图中和图中即为所作；      【点睛】本题考查格点作图，菱形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 题型七、四边形与网格无刻度直尺作图 21．图，图都是由边长为的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形．    (1)在图中画出以为边的矩形，且点，均在格点上； (2)在图中画出以为边的菱形，且点，均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质找到点，的位置，再连线即可； （2）根据菱形的性质找到点，的位置，再连线即可． 【详解】（1）解：如图中，矩形即为所求答案不唯一；    （2）如图中，菱形即为所求．    【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用矩形和菱形的性质解决问题． 22．图1，图2，图3是由边长为1且有一个内角为的菱形构成的网格，，是格点．只用不含刻度的直尺按以下要求画图，并保留画图痕迹． 　　 (1)在图1中画出线段关于点的中心对称图形； (2)在图2中画一个以为一边的矩形（，为格点），并写出矩形的面积； (3)在图3中以为一边的作一个矩形（，不一定为格点），使其面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， (3)见解析 【分析】（1）根据作一个点关于某个点的对称点的方法分别找出点和点关于点的对称点、，连接，则线段就是线段关于点的中心对称图形； （2）用菱形较短的对角线作矩形的另一边，使、均为格点，顺次连接得到符合要求的矩形，再根据求矩形面积的方法求出面积即可； （3）根据已知矩形的面积和边的长求出邻边的长，然后找出两个菱形对角线的交点就是符合要求的点和，再连接、和就是符合要求的矩形． 【详解】（1） 解：   （2）解：面积（答案不唯一）    （3） 解：   【点睛】本题考查了几何变换综合题，主要考查中心对称，菱形的性质，矩形的判断和性质以及尺规作图，深入理解题意是解决问题的关键． 23．如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点时做格点．图中A、B，C都是格点，点D在网格线上，仅用无刻度直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示．    (1)填空：与的数量关系是___，位置关系是___； (2)在图（1）中作矩形，并过点D作直线l，使直线l平分矩形的面积； (3)在图（2）中取的中点M，在上找一点N，使． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）运用勾股定理求得即可确定其数量关系；如图：连接，然后运用勾股定理求得,根据勾股定理逆定理即可判定其位置关系； （2）根据矩形的定义作出矩形，再过的中点作直线即可； （3）如图：连接,取的中点E，连接的延长线交于点N，即 【详解】（1）解：∵ ∴； 如图：连接， ∵， ∴，即． （2）解：如图：即为所求． （3）解：如图：即为所求． 【点睛】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理、矩形的性质、中线的性质、中位线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 24．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上．    (1)画出以为边的菱形； (2)在上画点E，使； (3)点F为与格线交点，取中点G； (4)连，在上找点H，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】（1）依题意得，因此只需将向右平移5格，找到对应点连线即可； （2）只需将线段绕着点A顺时针旋转，连接点A旋转后对应点与点A得等到等腰直角三角形得斜边，利用平行四边形的性质找到它的中点，连接点A与这个中点，其延长线交与点E，根据等腰三角形的定义可知点E即为所求作的点； （3）点A与点F之间的竖线与的交点即为的中点G； （4）点G是的中点，只需过点F作的垂线即可即可，这条垂线与的交点即为所求作的点H． 【详解】（1）解：如下图，所示四边形即为所求作的菱形；    （2）如下图所示，点E即为所求作的点；    （3）如下图所示，点G即为所求作的中点；    （4）如下图所示点H即为所求作的点．    【点睛】本题考查无刻度直尺绘图，涉及等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，菱形的判定等知识，掌握相关定理是解题的关键． 1．小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 　　 (2)性质探究：通过探究，直接写出垂直四边形的面积与两对角线，之间的数量关系： 　　． (3)问题解决：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，． ①求证：四边形为垂美四边形； ②求出四边形的面积． 【答案】(1)菱形、正方形 (2) (3)①证明见解析；② 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； （2）根据列式求解即可； （3）①连接，，证出，由SAS证明，得出，，再由角的互余关系和三角形内角和定理求出，得出即可； ②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可． 【详解】（1）解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、和正方形， ∴菱形和正方形一定是垂美四边形； （2）解：； （3）①证明：连接和，设与相交于点，与相交于点，如图2所示： ∵四边形和四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； ②解：∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵四边形为垂美四边形， ∴四边形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 2．如图所示，线段的两端点 E，F分别是正方形的边，的中点，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图(保留作图痕迹， 不写作法)    (1)在图（1）中，以为较长对角线画菱形； (2)在图（2）中，以为较长对角线画菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于H，由矩形的性质可得，连接，交于G，可得，再由左右两个矩形是全等的矩形，可得，从而可得答案； （2）连接，交于点N，连接交于M，由正方形的对称性可得，，再通过证明全等三角形的性质可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：菱形即为所求．    （2）解：菱形即为所求．   ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，矩形的判定与性质，菱形的判定，熟练的利用特殊四边形的性质进行作图是解本题的关键． 3．阅读材料，无刻度直尺作图不同于传统的尺规作图，它只能用来画直线、射线或线段．在作图时，关键在于根据几何图形的特征确定与题意相符的两个点或一个点（另一点已知），再利用“两点确定一条直线”这一基本事实即可．       (1)图1、图2均为正方形网格，请仅用无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图1，点A、B为格点，画出线段的中点O； ②如图2，点A、B、C为格点，画出的平分线； (2)借助（1）中画图的经验解决下面的问题： 如图，已知平行四边形中，请仅用一把无刻度直尺完成下列画图，保留作图痕迹． ①如图3，点E、F分别在、上，，连接，请在上画点O，使点O为的中点； ②如图4，若，点E为上一点，请在上画点G，使； ③如图5，在②的条件下，若，连接，点P为上一点，请以为边画一个菱形，你所画的菱形为______． 【答案】(1)①图见解析②图见解析 (2)①图见解析②图见解析③图见解析， 【分析】（1）①取格点，连接，与的交点即为点；②连接，取的中点，连接，即为所求； （2）①连接，与的交点即为点；②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求；③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求． 【详解】（1）①如图所示，取格点，连接，与的交点即为点；    由图可知：四边形为矩形， ∴， ∴点即为所求； ②连接，取的中点，连接，如图所示，即为所求；    由图可知：， ∵点为的中点， ∴平分； （2）①连接，与的交点即为点；    ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴为的中点； ②连接，，和交于点，连接并延长，交于点，即为所求；    ∵平行四边形，， ∴平行四边形为菱形， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ③连接交于点，连接并延长交于点，连接并延长交与点，连接交于点，连接，则：菱形即为所求；      ∵， ∴菱形为正方形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同法可得：四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．本题的综合性强，难度大，对学生的思维量要求高． 4．如图是由单位长度为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．A、C两点在格点，B点在网线上．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在线段上取点D，使； (2)过（1）中的点D画线段，使； (3)画点M，使以点A、B、C、M为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）取格点E、F，连接并交格线与点G，连接交于点D，点D即为所求作的点； （2）取格点E，连接并延长交格线于点F，线段即为所求作的线段； （3）由（1）及作法，即可作得． 【详解】（1）解：如图：取格点E、F，连接并延长交格线于点G，连接交于点D，点D即为所求作的点， 证明：由作法可知：且， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是平行四边形， 点D是的中点， ； （2）解：如图：取格点E，连接并延长交格线于点F，线段即为所求作的线段， 证明：由作法可知：四边形是矩形， ； （3）解：如图： 点、即为所求作的点， 由（1）四边形是平行四边形， 同理，可作得点， 故点、即为所求作的点． 【点睛】本题考查了作图-特殊四边形，平行四边形及矩形的判定与性质，理解题意，作出图形是解决本题的关键． 5．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到点返回，动点从点A出发，在线段上以每秒的速度向点运动，点，分别从点同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为（秒）． (1)当时，是否存在点，使四边形是平行四边形，若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． (2)当为何值时，以，，，为顶点的四边形面积等于； (3)当时，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)或15秒 (3)秒或秒 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、动点问题等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）由题意已知，要使四边形是平行四边形，则只需要让即可，然后利用时间、路程、速度的关系求解即可； （2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于，可以分为两种情况，点P、Q分别沿运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即，因为Q、P点的速度已知，的长度已知，用t可分别表示的长，即可求得时间t； （3）当时，点P向点C运动，使是等腰三角形，可分三种情况，即；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴ ∴P从B运动到C，即：，， ∴，解得：， ∴当秒时，四边形是平行四边形； （2）解：若点P、Q分别沿运动时，，，， ∴，解得：（秒）； 若点P返回时，，， ∴，解得：（秒）． 故当或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等； （3）解：如图：当时，作于H，则，， ∵， ∵， ∴，解得： 秒； 当时，， ∵， ∴，解得（秒）； 当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴方程无实根， 综上可知，当秒或秒时，是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $