拓展专题1.3 矩形7类综合题型（寒假预习讲义）八年级数学新教材沪教版五四制

拓展专题1.3 矩形7类综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、利用矩形的性质求角度 2 题型二、根据矩形的性质求线段长 4 题型三、根据矩形的性质求面积 9 题型四、利用矩形的性质证明 12 题型五、矩形与折叠问题 15 题型六、矩形构造问题 18 题型七、矩形的动点问题 25 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 如图23-3-2，在矩形中，由矩形的定义，可知 ． 所以， 所以，即矩形的两组对边平行． 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形．所以，矩形是一种特殊的平行四边形． （1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 1.定义判定法 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形. (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 题型一、利用矩形的性质求角度 1．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角求出的度数，对顶角结合角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，对角线相交于点O， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 2．如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据矩形的性质，证出，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； 故选：C． 3．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质，得到，等边对等角得到，三角形的内角和定理，求出的度数，角的和差关系求出的度数即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 题型二、根据矩形的性质求线段长 4．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据矩形的性质和勾股定理求出，证明，得到，然后得到，然后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴的面积为． 故选：D． 5．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，由矩形的性质可得，由折叠的性质可得，证明得到， 则可证明， 设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 6．如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接可知，的面积等于与的面积和，分别表示出和的面积，再列方程求解即可． 【详解】解：连接，如图 ∵四边形是矩形， ，， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 即， ， ∴． 故答案为：． 7．如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，则四边形是平行四边形，，然后通过矩形的判定方法即可求证； （）由四边形是矩形，，即，通过勾股定理得，因为为中点，所以，再根据即可求出的长； （）连接，证明，则，再证明，得到，，，设，则有，然后通过三角形内角和定理得出，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为； （3）解：， 证明：如图，连接， 由（）得， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴，，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型三、根据矩形的性质求面积 8．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 9．如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等转化阴影部分面积，结合矩形对角线分面积的性质求解． 利用矩形对角线互相平分及对边平行可证，则，于是将阴影部分面积转化为的面积；矩形对角线分矩形为四个等积三角形，面积为矩形的，而阴影面积等于面积，故得结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴（对角线互相平分且相等），． ∴． ∴ ∴． ∴阴影部分面积 ∵矩形对角线互相平分，将矩形分为四个面积相等的三角形，则， ∴阴影面积是矩形面积的． 故答案为：． 10．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 【答案】(1)无数 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． （2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点作交的延长线于点，连接．由和的公共边上的高也相等，可得，进而可得，面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 【详解】（1）解：过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分，从而得平行四边形有无数条面积等分线． 故答案为无数. （2）这个图形的一条面积等分线如图： （3）四边形的面积等分线如图所示： 理由如下： 过点作交的延长线于点，连接． ∵，∴和的公共边上的高也相等， ∴． ∴． ∵， ∴面积等分线必与相交，取中点，则直线即为要求作的四边形的面积等分线． 题型四、利用矩形的性质证明 11．如图所示，是矩形内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：  ；；若，则；  若， 则点在矩形的对角线上．其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 【答案】 【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形面积，过点分别作于点，于点， 根据矩形性质，三角形面积，逐一判断即可，掌握相关知识点的是解题的关键． 【详解】解：如图，过点分别作于点，于点， 当点在矩形的对角线上时，，但是矩形内的任意一点， ∴该等式不一定成立，故不一定正确； ∵以为底边，以为底边， ∴此时两三角形的高的和为，即可得出， ∴， ∴，故正确； 若，只能得出与高度之比，不一定等于， 故不一定正确； ∵，， ∴， ∴， ∴点在矩形的对角线上，故正确， 故答案为：． 12．如图，四边形是矩形，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．根据矩形的性质得到，进而得到，，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形． 13．如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等面积法，余角定理，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据矩形的性质得出直角和相等的边，然后利用勾股定理和等面积法求出线段的长度即可； （2）过F作于点M，过F作于点N，利用勾股定理和等面积法求出相关线段的长度，得出，，然后利用等角的余角相等得出，最后利用等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 由勾股定理得； ∵， ∴由等面积得，， ∴； （2）证明：过F作于点M，过F作于点N， 则四边形是矩形， ∴，， 在中，， 由等面积可得， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴（等角的余角相等）， 同理：， ∴， ∴． 题型五、矩形与折叠问题 14．如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，平行线的性质，折叠加平行，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵在长方形纸片中，将它沿对角线折叠 ∴ ∴ ∴ ∵ 设 在中，，即 解得： 故选：A. 15．如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形与折叠问题，勾股定理，根据题意知，可证明四边形是矩形，可得，由勾股定理得，从而可求出阴影部分周长进而解决问题． 【详解】解：根据题意知，，且均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， ∴ 又 ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∴阴影部分的周长， ∵是定值， ∴阴影部分的周长不变， 故选：D． 16．矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长． 【详解】解：四边形是矩形，，， ，，，， 在中，， ， 由折叠的性质可知，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， 在中，． 故选：B． 17．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 设，则，再根据翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理列出方程求解即可解答． 【详解】解：设，则， ∵此长方形沿折叠，使点D与点B重合， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即，解得：． ∴的长为6． 故答案为：6． 18．如图，把一张矩形纸片，折叠后使顶点和顶点重合，折痕为，若，，求重叠部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质及勾股定理的应用，熟练掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，并利用勾股定理建立方程求解线段长度是解题的关键． 利用矩形和折叠的性质，设为未知数，结合勾股定理列方程求出的长度，再根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：设， ∵矩形中，，， ∴． ∵折叠后与重合， ∴，，． 在中，由勾股定理得，即， 解得， ∵的高为， ∴． 题型六、矩形构造问题 19．【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 【答案】（1）①；②；（2）成立，见解析；（3） 【分析】此题重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． （1）①由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得，，，，于是得到问题的答案； ②由，，得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以②中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：（1）①如图1，四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：5，，，． ②，， ， 故答案为：． （2）成立， 理由：如图2，四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． （3）如图3，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 20．(1)【问题发现】 如图，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ______，______，______，______； ______填“”“”或“； (2)【类比探究】 如图，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 【答案】(1)①，，，；② (2)成立，见解析 (3) 【分析】（1）由矩形的性质得，，则得，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，则，因为，，即可根据勾股定理求得问题的答案； 由，，得，于是得到问题的答案； （2）先证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，求得；再由，，求得，所以，则，所以中结论成立； （3）作交的延长线于点，则，所以，，作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、，可证明四边形和四边形都是矩形，则，，所以，，则，求得，则，所以，求得的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】（1）解：如图，四边形是矩形，，， ，， 过点作，分别交，于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，，， ， ， ，， ， ，， 故答案为：，，，． ，， ， 故答案为：． （2）成立， 理由：如图， 四边形是矩形， ， ， 过点作，分别交，反向延长线于点，， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ； ，， ， ， ． （3）如图，作交的延长线于点，则， ，， 作交的延长线于点，作交的延长线于点，连接、， ， ， ， 四边形和四边形都是矩形， ，， ，， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 的最小值为． 【点睛】此题是四边形的综合题，重点考查矩形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短、类比及数形结合数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． 21．（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 【答案】探究规律：，理由见详解；解决问题：； 【分析】本题考查平行四边形性质，矩形的性质： （1）过作并延长交于F，根据平行四边形得到，，结合平行线间距离处处相等得到即可得到答案； （2）过作并延长交于T，过作并延长交于N， 结合矩形的性质及三角形面积加减关系求解即可得到答案； 【详解】解：探究规律：过作并延长交于F， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ， ∴； 解决问题：过作并延长交于T，过作并延长交于N，连接：，，，， ∵四边形是矩形，，，，， ∴，，，，， ， ∵，， ∴，， ∴ ． 题型七、矩形的动点问题 22．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形与折叠、勾股定理、线段最值问题，由题意得，点A、点P关于对称，可得当点B、P、F三点共线时，的最小，此时，点P在对角线上，利用勾股定理求得，由折叠的性质得，，再利用求解即可． 【详解】解：由折叠的性质得，， 则当，即点B、P、F三点共线时，的最小， 此时，点P在对角线上， ∵，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， 故答案为：． 23．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，根据题意找到使所求线段的和最小时点的位置是解题的关键． 作点的对称点，作点关于的对称点，连接，，，过点作的垂线，交的延长线于点，推得当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长，根据矩形的性质可得，求得，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，， 则， ∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长． 过点作的垂线，交的延长线于点， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∴． ∴的最小值是． 故答案为：． 24．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 【答案】(1)平行四边形，理由见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）利用三角形全等可得 则即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解； （3）根据菱形对角线平分且垂直可证明四边形为菱形，再利用勾股定理即可求解. 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ， ∵分别是中点， ， ， ， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图1，连接， 由（1）得，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ①如图1，当四边形是矩形时， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图2，当四边形是矩形时， ∵，， ∴， ∴； 综上，四边形为矩形时或； （3）解：如图3，M和N分别是和的中点，连接，，，与交于O， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴，， ∴四边形为菱形， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， 即：， 解得：， ∴，即， ∴当时，四边形为菱形． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟记特殊四边形的判定与性质，在解题中灵活运用. 1．如图，在矩形纸片中，，点E 在上，若点 B 关于直线的对称点落在上时，，则 ,的值为 ． 【答案】 2 【分析】本题考查的是矩形的性质、轴对称的性质，根据矩形的性质可得，由翻折可知：，可得，设，则，然后根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：在矩形中，， 由翻折可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：，2． 2．如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 3．在长方形纸片中，，． (1)如图①，将长方形纸片折叠，点B落在对角线上的点E处，则CE的长为______； (2)如图②，点M为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．①证明：．②求的长． 【答案】(1)2 (2)①见解析② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，矩形的性质，等知识；熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由勾股定理求出，求出即可得出答案； （2）①由证明；②由全等三角形的性质得出，，，因此，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：矩形纸片中，，， ， 将矩形纸片折叠，点落在对角线上的点处， ， ； 故答案为：2； （2）①证明：如图： 由折叠的性质得：， 在和中， ， ； ②设，则， 由折叠的性质得：， ， ， ，即， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 4．如图，将的边延长至点E，使，连接，，交于点O． (1)求证：； (2)连接，若四边形是矩形，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的性质、等边对等角、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，，，再证明四边形为平行四边形，得出，最后利用即可证明； （2）由平行四边形的性质可得，由矩形的性质可得，由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在矩形中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点重合时，连接，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)当时，_____，时，_____．（用含的代数式表示） (2)当点不与点重合，_____，四边形是菱形：_____，四边形是矩形． (3)当点在线段上运动时，设与矩形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (4)作点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)10；7 (3) (4)或 【分析】（1）当时，根据路程=速度×时间求解即可；当时，根据路程求解即可； （2）当四边形是菱形时，分点P在和上讨论，根据矩形的判定与性质，菱形的性质和勾股定理求解即可；当四边形是矩形时，根据矩形的判定与性质求解即可； （3）分点F在上和延长线上两种情况解答即可． （4）作点A关于直线的对称点，连接，当时，分两种情况：点P在上时；当点P在上时；利用相关知识可求出t的值． 【详解】（1）解∶根据题意，得： 当时，，；时，， 故答案为∶，； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 当四边形是菱形时，， 当P在上时， ∴， 解得（负值舍去）， 此时， 这与点不与点重合矛盾，故不合题意； 当P在上时，如图，过E作于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴当时，四边形是菱形； 当四边形是矩形时，， 又，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 解得， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：10；7； （3）解：根据题意，得当时，，此时点P与点D重合， 故要使点P在上，得满足， 由（2）知：当点P沿着运动6个单位时，四边形是矩形，此时运动总时间为， 当时，， 故； 点P运动总时间为， 当点F在延长线上时，此时， 此时， ∴； （4）解：当点P在上时，如图，当时，此时四边形是正方形，满足，此时； 当点P在上时，如图，，延长交于点Q，得， 由对称得：，此时， 此时； 综上所述，当或时，． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质，平行四边形的性质，菱形的性质，正方形的判定和性质等知识，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展专题1.3 矩形7类综合题型 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：核心题型举一反三精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 目录 题型一、利用矩形的性质求角度 2 题型二、根据矩形的性质求线段长 4 题型三、根据矩形的性质求面积 9 题型四、利用矩形的性质证明 12 题型五、矩形与折叠问题 15 题型六、矩形构造问题 18 题型七、矩形的动点问题 25 定义 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 如图23-3-2，在矩形中，由矩形的定义，可知 ． 所以， 所以，即矩形的两组对边平行． 根据平行四边形的定义，可知矩形必然是平行四边形．所以，矩形是一种特殊的平行四边形． （1）有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形. （2）矩形是平行四边形,但平行四边形不一定是矩形. 矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，矩形的性质也可以从边、角、对角线、对称性等几方面来研究，如下表所示: 图形 性质 符号表示 边 对边平行 对边相等 角 四个内角都是直角 对角线 两条对角线相 等且互相平分 对称性 是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 是轴对称图形，对边中点所在的直线是它的对称轴 1.定义判定法 四个内角都是直角的四边形叫作矩形. 2.判定定理1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的四边形不一定是矩形. 3.判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形. 两条对角线相等的四边形不一定是矩形. (1)判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定还是在四边形基础上判定，然后根据已知条件选择方法. (2)用定理1判定一个四边形是矩形必须同时满足2个条件:一是有一个角是直角，二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形. (3)用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等，二是平行四边形，也就是说两条对角线相等的四边形不一定是矩形. 题型一、利用矩形的性质求角度 1．如图，四边形是矩形，对角线相交于点O，过点O作的垂线交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，矩形的对角线与相交于点O．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知在矩形中，于点，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 题型二、根据矩形的性质求线段长 4．将两个完全相同的矩形和矩形按如图所示的位置摆放，使点B，C，G在同一条直线上，点E在边上，连接，，．若，，则的面积为（   ） A．13 B．26 C． D． 5．如图，在矩形中，，点是边上一动点，连接，将沿着翻折后得到，若与边分别交于点，且，则的长为 ． 6．如图所示是一个矩形，在上取一点，过作于，于，其中，，求 ． 7．如图，四边形的对角线与相交于点，，交于点，交于点，是上的一点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，为中点，求的长； (3)若，现有以下个结论：，，．请你看一看，想一想，证一证以上个结论中正确的一个． 题型三、根据矩形的性质求面积 8．如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 9．如图，过矩形对角线的交点O，且分别交、于E、F，那么阴影部分的面积是矩形的面积的 ．    10．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线． (1)平行四边形有 条面积等分线； (2)如图所示，在长方形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； (3)如图，四边形中，与不平行，，且，过点A画出四边形的面积等分线，并写出理由． 题型四、利用矩形的性质证明 11．如图所示，是矩形内的任意一点，连接，得到，设它们的面积分别是，给出如下结论：  ；；若，则；  若， 则点在矩形的对角线上．其中正确结论的序号是 （把所有正确结论的序号都填在横线上）． 12．如图，四边形是矩形，．求证：四边形是平行四边形． 13．如图，矩形中，，，点E是的中点，于点F，连接并延长与交于点G． (1)求的长； (2)求证：． 题型五、矩形与折叠问题 14．如图，长方形纸片中，，将它沿对角线折叠，使点D落在点E处，则为（   ） A． B．2 C．1 D．3 15．如图，将正方形纸片的和进行折叠，使两个直角的顶点重合于对角线上的点O处、分别是折痕，若点O沿从点B向点D移动过程中，下列有关阴影部分周长的说法正确的是（    ） A．先变大，后变小 B．先变小，后变大 C．当点O在中点处时，周长最大 D．保持不变 16．矩形中，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段长为（   ） A． B． C．3 D．3.5 17．如图，在长方形中，，将此长方形沿折叠，使点D与点B重合，则的长度为 ． 18．如图，把一张矩形纸片，折叠后使顶点和顶点重合，折痕为，若，，求重叠部分的面积． 题型六、矩形构造问题 19．【问题发现】（1）如图1，矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，，．则： ①　　，　　，　　，　　； ②与的关系是 　　； 【类比探究】（2）如图2，点是矩形外一点，过点作，分别交，反向延长线于点，，②中结论还成立吗？若成立，请说明理由； 【拓展延伸】（3）如图3，在中，，是外一点，，，，则的最小值为 　　． 20．(1)【问题发现】 如图，在矩形中，，，点是矩形内一点，过点作，分别交，于点，，则： ______，______，______，______； ______填“”“”或“； (2)【类比探究】 如图，点是矩形外一点，过点作，分别交，的反向延长线于点，，②中的结论还成立吗？若成立，请说明理由； (3)【拓展延伸】 如图，在中，，是外一点，，，，请求出的最小值． 21．（1）探究规律： 如图1，点P为平行四边形内一点，，的面积分别记为，，平行四边形的面积记为S，试探究与S之间的关系． （2）解决问题： 如图2 矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，，点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为，，求． 题型七、矩形的动点问题 22．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的小值为 ． 23．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ． 24．在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为秒，其中． (1)若，分别是，中点，则四边形一定是怎样的四边形（点E、F相遇时除外）？请说明理由． (2)在（1）条件下，若四边形为矩形，求t的值； (3)在（1）条件下，若向点运动，向点运动，且与点，以相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值． 1．如图，在矩形纸片中，，点E 在上，若点 B 关于直线的对称点落在上时，，则 ,的值为 ． 2．如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 3．在长方形纸片中，，． (1)如图①，将长方形纸片折叠，点B落在对角线上的点E处，则CE的长为______； (2)如图②，点M为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且．①证明：．②求的长． 4．如图，将的边延长至点E，使，连接，，交于点O． (1)求证：； (2)连接，若四边形是矩形，求证：． 5．如图，在矩形中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点重合时，连接，以为边构造平行四边形，设点的运动时间为秒． (1)当时，_____，时，_____．（用含的代数式表示） (2)当点不与点重合，_____，四边形是菱形：_____，四边形是矩形． (3)当点在线段上运动时，设与矩形重叠部分的面积为，求与之间的函数关系式，并写出的取值范围． (4)作点关于直线的对称点，连结，当时，直接写出的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $