第2章 一元二次方程 章节复习讲义（10知识详解+25典例分析）2025-2026学年浙教版八年级数学下册同步讲义与测试

第2章 一元二次方程 章节（10知识详解+25典例分析） 【知识点01】一元二次方程的概念 1.一元二次方程：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。我们把这样的方程叫作一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）原方程是整式方程；识别关键：分母或根号内不含有未知数 （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2次。 【知识点02】一元二次方程的解（或根） 1.一元二次方程的解（或根）：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根）。 2.检验一个未知数的值是不是一元二次方程的解（或根）的步骤： 【知识点03】一元二次方程的一般形式 1. 一元二次方程的一般形式 一般形式 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎,𝑏,𝑐为已知数，𝑎≠0) 。 项及项的 系数 二次项为𝑎𝑥²；二次项系数为𝑎 。 一次项为𝑏𝑥;一次项系数为𝑏 。 常数项为𝑐 。 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0。 注意：（1）一般地，任何一个一元二次方程经过整理，都能化成一般形式； （2）在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列。 示例 项的系数程的项与各元 二次方 2.一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 𝑎𝑥²+𝑏𝑥=0(𝑎≠0,𝑏≠0)  𝑎  𝑏  0 𝑎𝑥²+𝑐=0(𝑎≠0,𝑐≠0)  𝑎  0 𝑐  𝑎𝑥²=0(𝑎≠0)  𝑎  0 0 【知识点04】因式分解法 1.因式分解法：先对方程(a≠0) 的左边因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 依据：若，则或 2.因式分解法解一元二次方程的基本步骤： （1）移项：将方程的右边化为0。 （2）分解：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积。 （3）转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程。 （4）求解：解两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解 方程的解 𝑥²+𝑏𝑥=0  𝑥(𝑥+𝑏)=0  =0,=−𝑏  𝑥²−𝑎²=0  (𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)=0  =𝑎,=−𝑎  𝑥²±2𝑎𝑥+𝑎²=0  (𝑥±𝑎)²=0  ==±𝑎   𝑥²+(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=0(𝑎,𝑏为常数)  (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=0  =−𝑎,=−𝑏  【知识点05】开平方法 1.开平方法：一般地，对于形如x²=a(a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可得=,=− 。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。 2.适用类型 适用类型 方程的解 (𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎,𝑏,𝑛是常数，𝑎≠0,𝑛≥0)  𝑥= (𝑎𝑥+𝑏)²=(𝑚𝑥+𝑛)²(𝑎,𝑏,𝑚,𝑛 是常数，|𝑎|≠|𝑚|≠0)  𝑥1=,= 【知识点06】配方法 1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为(x+a)²=b(b≥0) 的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法的依据是完全平方公式 和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解 2.用配方法解一元二次方程的步骤： 一般步骤 方法 示例(2𝑥²−7𝑥+3=0)  一化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数。 𝑥²−𝑥+=0 。 二移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 𝑥²−𝑥=− 。 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方。 𝑥²−𝑥+(−)²=−+(−)²,即(𝑥−)²= 。 四开 开平方求根 直接开平方。 𝑥−=±,所以=3 ,=。 【知识点07】公式法 1.求根公式： 问题提出 在学习了配方法之后，如何解用一般形式表示的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)? 【问题分析】 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的二次项系数a不一定为1，但只要在方程的两边同除以二次项系数a，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型。 【推导过程】 方程 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0) 。 求解 过程 一化 𝑥²+𝑥+=0 。 二移 𝑥²+𝑥=− 。 三配 𝑥²+2⋅𝑥+()²=−+()² ,即(𝑥+)²=。 四开 𝑥+=±，𝑥=−(𝑏²−4𝑎𝑐≥0) 。 【结论归纳】 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²−4ac≥0时，它的两个根为。这个公式叫作一元二次方程的求根公式。 2.公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 3.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）化：把方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。 （2）定：确定a，b，c的值。 （3）算：求出b²−4ac的值。 （4）判：判断b²−4ac的值的符号。 （5）求根：当b²−4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²−4ac<0时，方程没有实数根。 辨析：一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 因式分解法 若𝑎𝑏=0 ，则𝑎=0 或𝑏=0 。 右边化为0后，左边易分解为两个一次因式的积的形式的方程。 分解因式。 求解迅速，但适用范围较小。 开平方法 平方根的定义。 𝑥²=𝑛(𝑛≥0)或(𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎≠0,𝑛≥0) 等类型的方程。 开平方。 求解迅速，但只适用于一些特殊结构的方程。 配方法 完全平方公式。 所有一元二次方程。 配方。 解法烦琐，当二次项系数为1时用此法较简单。 公式法 配方。 所有一元二次方程。 代入求根公式。 计算量大，易出现符号错误。 【知识点08】一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程的根的判别式：从一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的求根公式的推导过程中不难看出，方程的 根的情况由代数式b²−4ac的值决定。因此b²−4ac 叫作一元二次方程的根的判别式。 2.利用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况： b²−4ac>0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的实数根; b²−4ac=0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根;（不能说“方程只有一个根”）方程在实数范围内无根，不能说“方程无根” b²−4ac<0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 没有实数根。 【知识点09】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系# 数学语言 如果,是一元二次方程 的两个根，那么+=，⋅= 。 文字语言 一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 使用条件 （1）方程是一元二次方程，且要化为一般形式；（2）方程有实数根，即𝑏²−4𝑎𝑐≥0 。 示例 一元二次方程根与系数 的关系的推导 【知识点10】列一元二次方程解应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的数量关系。 等量关系往往体现在关键词句中。 ②设 设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法。 有单位的要带单位。 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据数量关系列出方程。 方程两边单位要统一。 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值。 一般不必写出解方程的过程。 ⑤验 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。 一般两个根中只有一个符合实际意义。 ⑥答 写出实际问题的答案。 注意语句完整。 2.常见实际问题中的数量关系及表示方法 常见问题 数量关系及表示方法 平均增长率（降低率）问题 𝑎为起始量，𝑏为终止量，𝑛 为增长（或降低）的次数。 平均增长率公式：𝑎(1+𝑥)=𝑏(𝑥为平均增长率) 。 平均降低率公式：𝑎(1−𝑥)=𝑏(𝑥为平均降低率) 。 传播问题 𝑎为传染源数，𝑥为每个传染源传播的个数，则传播𝑛 轮后感染的总个数为𝑎(1+𝑥) 。 几何图形的面积问题 涉及的知识点有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形（三角形、长方形、正方形、梯形、圆等）的面积或周长公式等。 当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形 数字问题 若一个两位数十位上的数字是𝑎,个位上的数字是𝑏 ，则这个数可以表示为10𝑎+𝑏 ；若一个三位数百位上的数字是𝑎,十位上的数字是𝑏，个位上的数字是𝑐 ，则这个数可以表示为100𝑎+10𝑏+𝑐 。 商品销售 利润问题 毛利润=售价-进价；毛利率=×100% ； 总毛利润=总销售额-总成本=单件毛利润× 总销量。 【题型一】一元二次方程的定义 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】由一元二次方程的定义求参数 3．把方程化成一般式，则正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）写出一个一元二次方程，使其一个根为2： ． 【题型四】由一元二次方程的解求参数 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．14 6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为 ． 【题型五】一元二次方程的解的估算 7．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【题型六】化成一元二次方程的一般式 8．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 9．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【题型七】因式分解法解一元二次方程 10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 11．（24-25八年级下·浙江·月考）一元二次方程的解是 12．（23-24八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型八】解一元二次方程——直接开平方法 13．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）用下列哪种方法解方程最合适（   ） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 14．（23-24八年级下·浙江绍兴·月考）对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，若，则 ． 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)． (2)． 【题型九】解一元二次方程——配方法 16．（23-24八年级下·浙江金华·月考）把方程化成的形式，则的值是（   ） A．3 B．9 C． D． 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）将配方成的形式，则 ． 18．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 【题型十】配方法的应用 19．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 20．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 21．（24-25八年级下·浙江杭州）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最值． 【题型十一】公式法解一元二次方程 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用公式法解方程： (1)． (2) 【题型十二】根据判别式判断一元二次方程根的情况 24．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 25．（22-23八年级下·浙江杭州·月考）关于的一元二次方程：①若，则方程必有两个不相等的实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是 ． 26．（22-23八年级下·浙江·期中）已知关于x的方程， (1)证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程； (2)当时，解这个方程． 【题型十三】根据一元二次方程根的情况求参数 27．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 28．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如果方程只有一个实数解，则p的值为 ． 29．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 【题型十四】换元法解一元二次方程 30．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 31．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 【题型十五】一元二次方程的根与系数的关系 32．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 33．（24-25八年级下·浙江金华·期末）写一个二次项系数为，两根分别为和的一元二次方程： ． 34．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【题型十六】传播问题(一元二次方程的应用) 35．（22-23八年级下·浙江衢州·月考）一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 36．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为 ． 【题型十七】增长率问题(一元二次方程的应用) 37．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（   ） A． B． C． D． 38．（24-25八年级下·浙江温州·期末）AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为，则可列方程为 ． 39．（24-25八年级下·浙江金华·期末）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率． (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务．若该公司现有20名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工． 【题型十八】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 40．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 41．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于 ． 42．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【题型十九】数字问题(一元二次方程的应用) 43．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 44．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【题型二十】营销问题(一元二次方程的应用) 45．（22-23八年级下·浙江温州·月考）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（   ） A． B． C． D． 46．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【题型二十一】动态几何问题(一元二次方程的应用) 47．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 48．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【题型二十二】工程问题(一元二次方程的应用) 49．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 50．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【题型二十三】行程问题(一元二次方程的应用) 51．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 52．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【题型二十四】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 53．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 【题型二十五】其他问题(一元二次方程的应用) 55．（23-24八年级下·浙江·期中）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 56．（22-23八年级下·浙江·单元测试）毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有人，根据题意，可列方程为 ． 57．（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计，某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元（）． 包装规格 含量（千克／袋） 2 1 成本（元／袋） 10 5 售价（元／袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 一元二次方程 章节（10知识详解+25典例分析） 【知识点01】一元二次方程的概念 1.一元二次方程：方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次。我们把这样的方程叫作一元二次方程。 2.一元二次方程必须同时满足三个条件： （1）原方程是整式方程；识别关键：分母或根号内不含有未知数 （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2次。 【知识点02】一元二次方程的解（或根） 1.一元二次方程的解（或根）：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫作一元二次方程的解（或根）。 2.检验一个未知数的值是不是一元二次方程的解（或根）的步骤： 【知识点03】一元二次方程的一般形式 1. 一元二次方程的一般形式 一般形式 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎,𝑏,𝑐为已知数，𝑎≠0) 。 项及项的 系数 二次项为𝑎𝑥²；二次项系数为𝑎 。 一次项为𝑏𝑥;一次项系数为𝑏 。 常数项为𝑐 。 特点 方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0。 注意：（1）一般地，任何一个一元二次方程经过整理，都能化成一般形式； （2）在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列。 示例 项的系数程的项与各元 二次方 2.一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 𝑎𝑥²+𝑏𝑥=0(𝑎≠0,𝑏≠0)  𝑎  𝑏  0 𝑎𝑥²+𝑐=0(𝑎≠0,𝑐≠0)  𝑎  0 𝑐  𝑎𝑥²=0(𝑎≠0)  𝑎  0 0 【知识点04】因式分解法 1.因式分解法：先对方程(a≠0) 的左边因式分解，使方程化为两个一次因式的乘积等于0的形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次。像这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 依据：若，则或 2.因式分解法解一元二次方程的基本步骤： （1）移项：将方程的右边化为0。 （2）分解：将方程的左边因式分解为两个一次因式的乘积。 （3）转化：令每个一次因式分别等于0，得到两个一元一次方程。 （4）求解：解两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解 3.常见的可以用因式分解法求解的方程的类型 常见类型 因式分解 方程的解 𝑥²+𝑏𝑥=0  𝑥(𝑥+𝑏)=0  =0,=−𝑏  𝑥²−𝑎²=0  (𝑥−𝑎)(𝑥+𝑎)=0  =𝑎,=−𝑎  𝑥²±2𝑎𝑥+𝑎²=0  (𝑥±𝑎)²=0  ==±𝑎   𝑥²+(𝑎+𝑏)𝑥+𝑎𝑏=0(𝑎,𝑏为常数)  (𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)=0  =−𝑎,=−𝑏  【知识点05】开平方法 1.开平方法：一般地，对于形如x²=a(a≥0) 的方程，根据平方根的定义，可得=,=− 。这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。 2.适用类型 适用类型 方程的解 (𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎,𝑏,𝑛是常数，𝑎≠0,𝑛≥0)  𝑥= (𝑎𝑥+𝑏)²=(𝑚𝑥+𝑛)²(𝑎,𝑏,𝑚,𝑛 是常数，|𝑎|≠|𝑚|≠0)  𝑥1=,= 【知识点06】配方法 1.配方法：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，即将方程转化为(x+a)²=b(b≥0) 的形式，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法。配方法的依据是完全平方公式 和直接开平方法，其实质是对一元二次方程进行变形，使其转化为能够直接开平方的形式，从而把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解 2.用配方法解一元二次方程的步骤： 一般步骤 方法 示例(2𝑥²−7𝑥+3=0)  一化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数。 𝑥²−𝑥+=0 。 二移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边。 𝑥²−𝑥=− 。 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方。 𝑥²−𝑥+(−)²=−+(−)²,即(𝑥−)²= 。 四开 开平方求根 直接开平方。 𝑥−=±,所以=3 ,=。 【知识点07】公式法 1.求根公式： 问题提出 在学习了配方法之后，如何解用一般形式表示的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)? 【问题分析】 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的二次项系数a不一定为1，但只要在方程的两边同除以二次项系数a，就化归为我们已能求解的一元二次方程类型。 【推导过程】 方程 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0) 。 求解 过程 一化 𝑥²+𝑥+=0 。 二移 𝑥²+𝑥=− 。 三配 𝑥²+2⋅𝑥+()²=−+()² ,即(𝑥+)²=。 四开 𝑥+=±，𝑥=−(𝑏²−4𝑎𝑐≥0) 。 【结论归纳】 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)，当b²−4ac≥0时，它的两个根为。这个公式叫作一元二次方程的求根公式。 2.公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a,b,c的值，直接求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫作公式法。 3.用公式法解一元二次方程的步骤： （1）化：把方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0)。 （2）定：确定a，b，c的值。 （3）算：求出b²−4ac的值。 （4）判：判断b²−4ac的值的符号。 （5）求根：当b²−4ac≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；当b²−4ac<0时，方程没有实数根。 辨析：一元二次方程解法的比较 方法 理论依据 适用方程 关键步骤 主要特点 因式分解法 若𝑎𝑏=0 ，则𝑎=0 或𝑏=0 。 右边化为0后，左边易分解为两个一次因式的积的形式的方程。 分解因式。 求解迅速，但适用范围较小。 开平方法 平方根的定义。 𝑥²=𝑛(𝑛≥0)或(𝑎𝑥+𝑏)²=𝑛(𝑎≠0,𝑛≥0) 等类型的方程。 开平方。 求解迅速，但只适用于一些特殊结构的方程。 配方法 完全平方公式。 所有一元二次方程。 配方。 解法烦琐，当二次项系数为1时用此法较简单。 公式法 配方。 所有一元二次方程。 代入求根公式。 计算量大，易出现符号错误。 【知识点08】一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程的根的判别式：从一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的求根公式的推导过程中不难看出，方程的 根的情况由代数式b²−4ac的值决定。因此b²−4ac 叫作一元二次方程的根的判别式。 2.利用一元二次方程根的判别式判定一元二次方程根的情况： b²−4ac>0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的实数根; b²−4ac=0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实数根;（不能说“方程只有一个根”）方程在实数范围内无根，不能说“方程无根” b²−4ac<0⇔方程ax²+bx+c=0(a≠0) 没有实数根。 【知识点09】一元二次方程根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系# 数学语言 如果,是一元二次方程 的两个根，那么+=，⋅= 。 文字语言 一元二次方程的两根之和等于一次项系数与二次项系数的比值的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比值。 使用条件 （1）方程是一元二次方程，且要化为一般形式；（2）方程有实数根，即𝑏²−4𝑎𝑐≥0 。 示例 一元二次方程根与系数 的关系的推导 【知识点10】列一元二次方程解应用题 1.列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容摘要 注意事项 ①审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的数量关系。 等量关系往往体现在关键词句中。 ②设 设未知数，一种是直接设法，另一种是间接设法。 有单位的要带单位。 ③列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据数量关系列出方程。 方程两边单位要统一。 ④解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值。 一般不必写出解方程的过程。 ⑤验 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义。 一般两个根中只有一个符合实际意义。 ⑥答 写出实际问题的答案。 注意语句完整。 2.常见实际问题中的数量关系及表示方法 常见问题 数量关系及表示方法 平均增长率（降低率）问题 𝑎为起始量，𝑏为终止量，𝑛 为增长（或降低）的次数。 平均增长率公式：𝑎(1+𝑥)=𝑏(𝑥为平均增长率) 。 平均降低率公式：𝑎(1−𝑥)=𝑏(𝑥为平均降低率) 。 传播问题 𝑎为传染源数，𝑥为每个传染源传播的个数，则传播𝑛 轮后感染的总个数为𝑎(1+𝑥) 。 几何图形的面积问题 涉及的知识点有三角形的三边关系、三角形全等、各种规则图形（三角形、长方形、正方形、梯形、圆等）的面积或周长公式等。 当所涉及的图形是不规则图形时，需割补成规则图形 数字问题 若一个两位数十位上的数字是𝑎,个位上的数字是𝑏 ，则这个数可以表示为10𝑎+𝑏 ；若一个三位数百位上的数字是𝑎,十位上的数字是𝑏，个位上的数字是𝑐 ，则这个数可以表示为100𝑎+10𝑏+𝑐 。 商品销售 利润问题 毛利润=售价-进价；毛利率=×100% ； 总毛利润=总销售额-总成本=单件毛利润× 总销量。 【题型一】一元二次方程的定义 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）下列是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，找出是一元二次方程的选项即可． 【详解】解：A、该选项的方程含有分式，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、该选项有一个未知数且最高次数为2，是一元二次方程，故该选项符合题意； C、该选项的方程是一元一次方程，故该选项不符合题意； D、该选项有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；形如，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义进行分析判断即可． 【详解】解：A. ，是分式方程，不符合题意； B. ，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，为一元二次方程，故符合题意； D. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：C． 【题型二】由一元二次方程的定义求参数 3．把方程化成一般式，则正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将方程进行去括号、移项整理成一般式，同类项对应的系数相等即可得出答案． 【详解】解：将去括号得； 移项得 ∴，． 故选：B． 【题型三】判断是否是一元二次方程的解 4．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）写出一个一元二次方程，使其一个根为2： ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】一元二次方程的定义、判断是否是一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程根的定义去构造方程即可． 本题考查了一元二次方程的根，正确理解方程的根是解题的关键． 【详解】解：根据题意写出一个一元二次方程，使其一个根为2，则该方程可以是． 故答案为：．（答案不唯一） 【题型四】由一元二次方程的解求参数 5．（23-24八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则m的值是（   ） A． B． C．9 D．14 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解的定义．把代入，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是2， ∴， 解得：． 故选：D 6．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于x的方程至少有一个整数解．则整数k的值为 ． 【答案】2或10 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的整数解、一元二次方程的整数解及参数分离法求整数参数，解题的关键是分“”和“”讨论，对一元二次方程通过正确整理方程分离参数，将表示为关于整数解的代数式，再根据为整数的条件，确定的可能值，进而求出． 分和：时方程为一元一次方程，求解判断是否为整数解；时，将一元二次方程整理为（关键是正确移项整理），分离参数得；根据一元二次方程根的判别式得出解得，因为整数，得出，，即可求出的整数解，列举的整数解代入计算，并验证方程是否有整数解即可得答案． 【详解】解：分两种情况讨论：   1. 当时，方程化为， 即，解得，不是整数，舍去； 2.当时，方程为一元二次方程，移项整理：， 即，因式分解得， ∵时，左边，右边，故， ∴， ∵方程至少有一个整数解， ∴， 解得， ∵为整数，， ∴， ∴，， 解得， ∴整数可以为、、、、、， 当时，（整数，有效）； 当时，（整数，有效）； 当时，（与时重复）； 经检验，当取其它整数时，的值均不为整数，故舍去， 验证：时，方程，解为或（均为整数）； 时，方程，解为或（为整数）． 综上，整数的值为2或10． 故答案为：2 或10． 【题型五】一元二次方程的解的估算 7．（23-24八年级下·浙江杭州·月考）已知，依据下表，它的一个解的范围是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的估算，由表格可知，的值随着的增大而增大，那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0，据此可得答案． 【详解】解：由表格可知，的值随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 那么在与之间必然有一个数使得代数式的值为0， ∴方程的一个解的范围为． 故选：B． 【题型六】化成一元二次方程的一般式 8．（24-25八年级下·浙江金华·期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）． A．9，5， B．9，4， C．9，，4 D．9，，5 【答案】B 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的各项系数是解题的关键．元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数，），其中a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，由此解答即可． 【详解】解：由得， 所以二次项系数、一次项系数、常数项分别是9，4，， 故选：B． 9．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 2 【知识点】多项式的项、项数或次数、化成一元二次方程的一般式 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握形如的式子叫做一元二次方程是解题的关键． 先将方程化为一般形式，即可求解． 【详解】解：将方程化成一般形式为， ∴二次项系数为2，一次项系数为，常数项为． 故答案为：． 【题型七】因式分解法解一元二次方程 10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 由因式分解法即可求解． 【详解】解： 或。 解得：或， 故选：C． 11．（24-25八年级下·浙江·月考）一元二次方程的解是 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解，得， ∴，， 解得，． 故答案为：， 12．（23-24八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解，熟练掌握解一元二次方程——因式分解法是解题的关键． （1）利用解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答； （2）先将原方程进行化简整理可得，然后利用解一元二次方程——因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得：，； （2）， ， ， 或， 解得：，． 【题型八】解一元二次方程——直接开平方法 13．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）用下列哪种方法解方程最合适（   ） A．配方法 B．开平方法 C．因式分解法 D．公式法 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】由于方程可变形为，所以用直接开平方法解方程最合适． 【详解】解：， ， ， 所以， 故选：B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程：根据方程特点选择合适的方法解方程是解决问题的关键． 14．（23-24八年级下·浙江绍兴·月考）对于实数p、q，我们用符号表示p，q两数中较小的数，如，若，则 ． 【答案】2或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的综合应用，熟练掌握一元二次方程的求解及分类讨论的思想方法是解题关键．由题意分三种情况讨论：，，，再由定义列方程求解即可； 【详解】解：， 当即时，， ， ， 或（舍去）， 当即时，， ， ， ， （舍去）或， 当即时，，此时不符合题意； 综上所述，或， 故答案为：或． 15．（24-25八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查解一元二次方程，正确计算是解题的关键． （1）利用开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解： ， 则或， 解得，． （2）解： 方程的两边同加，得， 即， 则或， 所以，． 【题型九】解一元二次方程——配方法 16．（23-24八年级下·浙江金华·月考）把方程化成的形式，则的值是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】B 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出、的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 17．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）将配方成的形式，则 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查配方法，将方程进行配方即可解答． 【详解】解：将配方，得， ∴． 故答案为： 18．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列一元二次方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】解一元二次方程——配方法、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程， （1）先配方，再开方，可得解； （2）根据因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 配方，得， 即， 解得，； （2）解：， 因式分解，得， 即或， 解得，． 【题型十】配方法的应用 19．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 20．（23-24八年级下·浙江温州·期中）用配方法解一元二次方程时，可将原方程配方成，则的值是 ． 【答案】20 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．根据配方法的一般步骤，将配方为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即 ∴． 故答案为：20． 21．（24-25八年级下·浙江杭州）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)最大值为 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为． 【题型十一】公式法解一元二次方程 22．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 23．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【题型十二】根据判别式判断一元二次方程根的情况 24．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 【答案】D 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由已知条件可知，方程的判别式，说明方程有两个相等的实数根，因此两根之差为0． 【详解】方程的判别式为． ∵， ∴． ∵当时，方程有两个相等的实数根． ∴两根之差为． 故选D． 25．（22-23八年级下·浙江杭州·月考）关于的一元二次方程：①若，则方程必有两个不相等的实数根；②若，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是 ． 【答案】② 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：①，则方程有两个不相等或相等的实数根，即①错误； ①，则方程必有两个不相等的实数根，故②正确． 故答案为②． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，有两个不同的实根；当判别式等于0时，有两个相同的实根；当判别式小于0时，无实根． 26．（22-23八年级下·浙江·期中）已知关于x的方程， (1)证明：当a取任何实数时，方程都是一元二次方程； (2)当时，解这个方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，原方程无解 【知识点】配方法的应用、根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的定义 【分析】（1）无论a取何实数满足一元二次方程的条件是，二次项系数不为0，即，利用配方法即可得出结论； （2）求出，即此时方程无解． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴，即， ∴当a取任何实数时，关于x的方程都是一元二次方程； （2）解：当，原方程为，即， ∴， ∴此时方程无解． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，配方法的应用，根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键． 【题型十三】根据一元二次方程根的情况求参数 27．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据方程没有实数根，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为： 当方程无实数根时，需满足 ，即： 此不等式成立的条件是 与 符号相反， 若 ，则需 ，即 ， 若 ，则需 ，即 ， 则只有D选项满足第一种情况，此时 ，符合题意． 故选： D． 28．（2023八年级下·浙江宁波·竞赛）如果方程只有一个实数解，则p的值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是将所给方程的左边化为乘积的形式．将所给方程化为，则或，要使方程有且仅有一个实数满足，则方程有两个相等的实数根，且方程无实数根或方程无实数根，且方程有两个相等的实数根，根据根的判别式列出不等式组即可求解． 【详解】解： 或， 方程有且仅有一个实数解， 方程有两个相等的实数根，且方程无实数根或方程无实数根，且方程有两个相等的实数根， ，解得：， 或，无解， 综上，． 故答案为： 29．（24-25八年级下·浙江金华·月考）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若中，，和的长是方程的两根，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)且； (2)是等边三角形，理由见详解 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程以及等边三角形的定义； （1）根据根的判别式列出不等式即可求解； （2）先求出k的值，再求出一元二次方程的根，进而即可得到答案 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且，解得：且； （2）解：把代入得：，解得：， ∴，解得：， ∴和的长分别是：2，2， ∴，即是等边三角形 【题型十四】换元法解一元二次方程 30．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方程形式，再解出对应的x值即可． 【详解】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 31．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）若关于的方程（其中、均为常数）的解是，，则关于的方程的解是 ． 【答案】， 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】此题考查换元法解一元二次方程，利用换元法转化方程是解题的关键； 把看成一个整体，根据方程的解，解方程即可． 【详解】令，则方程可化为， 关于的方程的解是，， 或， 解得，． 故答案为：，． 【题型十五】一元二次方程的根与系数的关系 32．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）关于x的一元二次方程的两实数根互为相反数，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式，是解决本题的关键．若方程的两根互为相反数，则两根的和为；可用含的代数式表示出两根的和，即可列出关于的方程，解方程求出的值，再把所求的的值代入判别式进行检验，使的值应舍去． 【详解】解：∵ ∴设原方程的两根为，则 由题意，得 ∴ 又∵ ∴当时，，原方程无实根； 当时，，原方程有实根． ∴． 故选：D． 33．（24-25八年级下·浙江金华·期末）写一个二次项系数为，两根分别为和的一元二次方程： ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】根据根与系数的关系再造方程即可． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：根据题意可得方程为：， 整理得， 故答案为：． 34．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 【题型十六】传播问题(一元二次方程的应用) 35．（22-23八年级下·浙江衢州·月考）一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有人被传染，根据“有一个人患了流感，经过两轮传染后共有144人患了流感”，即可得出关于x的一元二次方程，然后求解即可解答． 【详解】解∶设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得 ，即， 解方程得：，（舍去）． 答：平均每轮一个人传染11个人． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、列出一元二次方程是解题的关键． 36．（22-23八年级下·浙江绍兴·期中）新型冠状病毒肺炎具有人传人性，调查发现：人感染病毒后如果不隔离，那么经过两轮传染将会有人感染，若设人平均感染人，则的值为 ． 【答案】14 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】第一轮共感染人，第二轮共感染（人），根据经过两轮传染将会有人感染，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【题型十七】增长率问题(一元二次方程的应用) 37．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件36元降到每件25元，设该商品平均每次降价的百分率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率（降低率）问题中的应用．解题的关键是理解连续两次降价的含义，根据原价、降价百分率和现价之间的关系列出方程． 分析商品降价过程：原价为每件元，平均每次降价的百分率为x，第一次降价后价格为元；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后价格为元，而现价为元，由此可列出方程． 【详解】解：已知商品原价为每件元，平均每次降价的百分率为x． 第一次降价后，商品价格为元； 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，所以第二次降价后，商品价格为元． 又因为经过连续两次降价后，售价为每件元， 所以可列方程为． 故选：A． 38．（24-25八年级下·浙江温州·期末）AI技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了增长率问题，关键是用已知的2月份和4月份的点击率列出方程求解． 设点击率从2月到4月的月平均增长率为，根据2月其点击率达到5.25亿次，4月其点击率达到7.56亿次，可列出方程． 【详解】设点击率从2月到4月的月平均增长率为， 由题意得：， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·浙江金华·期末）随着全球对环境保护的重视，新能源汽车行业迎来了快速发展．某新能源汽车销售公司统计显示，今年三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，假设该公司每月新能源汽车销量的增长率相同． (1)求该公司新能源汽车销量的月平均增长率． (2)已知每辆新能源汽车的交付需要经过检测和调试等多个环节，每位员工每月可处理250辆汽车的交付任务．若该公司现有20名负责交付的员工，按（1）中的增长率预测能否完成今年六月份的新能源汽车交付任务？若不能，至少需要增加几名员工． 【答案】(1)该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%； (2)不能，至少需要增加2名员工． 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，列方程，量是解题关键． （1）设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为x，三月份与五月份的新能源汽车销量分别为4000辆和4840辆，列出方程求解即可； （2）首先求出六月份的销量，进而得出20名负责交付的员工能完成的任务，再利用每位员工每月最多可处理250辆汽车的交付任务，即可得出需要的人数． 【详解】（1）解：设该公司新能源汽车销量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得：，（不合题意舍去）． 答：该公司新能源汽车销量的月平均增长率为10%． （2）解：每月新能源汽车销量的增长率相同， 六月份的新能源汽车销量为：． 每位员工每月处理250辆汽车的交付任务，现有20名负责交付的员工， ． 不能完成今年六月份的新能源汽车交付任务． 需要增加员工（名）， 因为员工人数必须为整数，所以至少需要增加2名员工， 答“至少需要增加2名员工． 【题型十八】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 40．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图是某校五四青年的宣传海报，中间是一个长与宽之比为的矩形图案，周围是宽度为的白色边框，其中图案面积等于边框面积的2倍，设这张矩形图案的长为，根据题意列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．分别表示出图案面积和海报面积，根据边框面积图案面积，可得海报面积图案面积边框面积，即可列出方程． 【详解】解：通过题意易知，矩形的面积， 又∵矩形的周围是的边框， ∴整个海报的长为，宽为，面积为， 又∵边框面积矩形图案面积， ∴边框面积， ∴海报面积图案面积边框面积， 即． 故选：D． 41．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于 ． 【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了解一元二次方程，图形的剪拼，根据四块图形的特点，找出可以重合的边，拼接出正方形并得到正方形的边长是解题的关键． 观察图形可得，两个直角梯形的斜腰重合在一起可以组成一个长为，宽为的矩形，两个直角三角形的斜边重合可以组成一个长为，宽为的矩形，两个矩形放在一起恰好可以组成一个边长为的正方形，然后根据剪拼前后两个图形的面积不变列式求解即可． 【详解】解：如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为， 根据剪拼前后图形的面积相等可得，， 由题意得，， 故可得：， 整理得，， 解得：（舍去）． 故答案为：． 42．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用篱笆围成如图的矩形菜地，其中间也用一道篱笆隔开，菜地的一边靠墙（墙长为40米）．已知篱笆的总长为60米（篱笆全部用完），设长x米． (1)用含x的代数式表示的长． (2)矩形这块菜地的面积能否为225平方米？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)米 (2)能；15 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积列出方程． （1）根据题意表示出即可； （2）根据矩形这块菜地的面积为225平方米，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为60米，长x米， ∴米； （2）解：能；根据题意得： ， 解得：，， 当时，， ∵墙长为40米， ∴不符合题意舍去； ∴x的值为15． 【题型十九】数字问题(一元二次方程的应用) 43．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【详解】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：C． 44．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知两个连续正奇数的积是，设其中较小的正奇数是x，可列方程 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析列方程是解题的关键． 首先，设其中一个奇数为，则另一个奇数为，列式即可求解； 【详解】解：设其中一个奇数为，则另一个奇数为， 根据两个连续正奇数的积是， 可得：， 故答案为：； 【题型二十】营销问题(一元二次方程的应用) 45．（22-23八年级下·浙江温州·月考）某商店经销一种销售成本为40元的水果，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克：销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，设销售单价为每千克（）元，月销售利润达8000元.则方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据题意销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，得到销售单价为时销量为：，再根据：利润（单价成本）数量，列出方程即可得出答案． 【详解】解：售价为时的销量为：， 月销售利润达8000时得：， 故答案选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找出数量关系列出方程是解题关键． 46．（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)日平均增长率为 (2)每个玩偶降价元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到 5940 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； （2）解：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【题型二十一】动态几何问题(一元二次方程的应用) 47．在中，，动点P从点A沿线段向点B移动，一动点Q从点B沿线段向点C移动，两点同时开始移动，点的速度为，点的速度为，当到达点时两点同时停止运动．若使的面积为，则点P运动的时间是（　　） A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s 【答案】A 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】设点运动的时间为，则，，利用三角形的面积计算公式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合当到达点时两点同时停止运动，即可得出点运动的时间． 【详解】解：设点运动的时间为，则，， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当到达点时两点同时停止运动， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 48．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图所示，中，． (1)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，点P和点Q间的距离是？ (2)点P从点A开始沿边向B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由； (3)若P点沿射线方向从A点出发以的速度移动，点Q沿射线方向从C点出发以的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)2.4秒 (2)不能，理由见解析 (3)经过秒或5秒或秒后，的面积为 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设经过x秒，点P和点Q间的距离是，列出方程求解即可； （2）设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； （3）分三种情况：①点P在线段上，点Q在线段上；②点P在线段上，点Q在射线上；③点P在射线上，点Q在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过x秒，点P和点Q间的距离是，依题意有 ， 解得：， 经检验，符合题意． 故经过2.4秒点P和点Q间的距离是； （2）解：设经过y秒，线段能将分成面积相等的两部分，依题意有 的面积， ， 即， ∵， ∴此方程无实数根， ∴线段不能将分成面积相等的两部分； （3）解：①设经过m秒，点P在线段上，点Q在线段上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； ②设经过n秒，点P在线段上，点Q在射线上；依题意有 ， 即， 解得， 经检验，符合题意． ③设经过k秒，点P在射线上，点Q在射线上， 依题意有 ， 即， 解得， ， 经检验， 不符合题意，舍去， ∴； 综上所述，经过）秒或5秒或秒后，的面积为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 【题型二十二】工程问题(一元二次方程的应用) 49．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【知识点】工程问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 50．全球疫情爆发时，口罩极度匮乏，中国许多企业都积极地生产口罩以应对疫情，经调查发现：1条口罩生产线最大产能是78000个/天，每增加1条生产线，每条生产线减少2000个/天，工厂的产线共x条 （1）该工厂最大产能是_____个/天（用含x的代数式表示）． （2）若该工厂引进的生产线每天恰好能生产口702000个，该工厂引进了多少条生产线？ 【答案】（1）；（2）该工厂引进了27条或13条生产线． 【知识点】列代数式、工程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案； （2）结合（1）的结论，列一元二次方程并求解，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得该工厂最大产能是：个/天 故答案为：； （2）根据题意，得， 解得，， 该工厂引进了27条或13条生产线． 【点睛】本题考查了一元二次方程、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解． 【题型二十三】行程问题(一元二次方程的应用) 51．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 52．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动．学生坚持长跑，不仅能够帮助身体健康，还能够收获身心的愉悦．周末，小明和小齐相约一起去天府绿道跑步．若两人同时从地出发，匀速跑向距离处的地，小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍，那么小明比小齐早5分钟到达地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小明每分钟跑多少米？ (2)若从地到达地后，小明以跑步形式继续前进到地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从地到地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)480米 (2)70分钟 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用)、分式方程的行程问题 【分析】（1）设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米，根据题意建立分式方程，解方程即可得； （2）设小明从地到地锻炼共用分钟，再根据热量的消耗规律建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设小齐每分钟跑米，则小明每分钟跑米， 由题意得：， 解得：， 经检验，既是所列分式方程的解也符合题意， 则， 答：小明每分钟跑480米． （2）解：设小明从地到地锻炼共用分钟， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：小明从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 【题型二十四】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 53．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）某校八年级组织班级足球友谊赛，每个班级都要和其他班级比一场，共比赛了21场．设参加这次比赛的有x个班级，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系“共进行了21场比赛”是解决本题的关键．设参加这次比赛的有x个班级，则每一个班比赛场，由于是单循环形式，故足球友谊赛的总场数为场，从而可建立方程解答． 【详解】解：设参加这次比赛的有x个班级，由题意得 ， 故选：D． 54．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某次乒乓球友谊赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各赛1场），参赛总人数少于10人，一位选手已参加了部分比赛，中途因伤退出比赛，比赛结束统计共赛25场，则受伤选手未参加的比赛场数为 ． 【答案】3 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】题目主要考查循环赛问题，理解题意，列出代数式求解是解题关键． 设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场，根据题意，代入计算求解即可． 【详解】解：设参赛总人数为n人（），则无人退出的情况下共比赛场， ∵比赛结束统计共赛25场， ∴当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， 此时，选手未参加的比赛场数为场； 当时，，，不符合题意； 故答案为：3． 【题型二十五】其他问题(一元二次方程的应用) 55．（23-24八年级下·浙江·期中）为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据石头从井口落下的距离与时间的关系式列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 故选：C． 56．（22-23八年级下·浙江·单元测试）毕业之际，九年级数学兴趣小组的同学相约到某礼品店购买礼品，每两个同学都相互赠送一件礼品，共购买礼品30件，设该数学兴趣小组有人，根据题意，可列方程为 ． 【答案】 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】由题意，列出一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：设该数学兴趣小组有人，根据题意得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程解实际应用题，根据题意建立等量关系是解题的关键． 57．（24-25八年级下·浙江温州·期中）综合与实践：洗衣粉售价方案设计，某厂家生产的一种洗衣粉采用A、B两种包装，当前销售的相关信息如下表：该厂家经市场调研发现适当提升包装洗衣粉售价可以增加每日利润，已知售价每提升1元会少卖2袋．一段时间后，由于产能下降，厂家决定每日定额生产150千克的洗衣粉（当日全部售出）．另外厂家下调了包装洗衣粉的售价，已知其售价每降低1元会多卖2袋．根据以上信息解决问题：设包装洗衣粉每袋售价提高元（）． 包装规格 含量（千克／袋） 2 1 成本（元／袋） 10 5 售价（元／袋） 25 17 日销量（袋） 60 40 (1)问该厂家每日销售包装洗衣粉的利润能否达到1000元？若能，请求出包装洗衣粉的售价；若不能，请说明理由． (2)当厂家每日定额产销150千克洗衣粉时，设包装洗衣粉每袋售价降低元（）． ①求关于的函数关系． ②请通过计算判断厂家销售两种包装洗衣粉的日总利润能否达到1450元？ 【答案】(1)能，包装洗衣粉的售价为30或35元 (2)①，②达不到1450元，见解析 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的运用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋，由此列方程求解即可； （2）①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克，由此列式求解即可； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元），由此列式求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下， 由题意设包装洗衣粉每袋售价提高元（），则每袋的利润为（元），日销售量为袋， ∴， 解，得， ∴（元）或（元）， 包装洗衣粉的售价为30或35元； （2）解：①厂家每日定额产销150千克洗衣粉，包装洗衣粉提价元后的日销售量为袋，每袋量2千克，包装洗衣粉日销量为袋，降低元后的销量为，每袋含量为1千克， ∴， 化简，得； ②包装洗衣粉提价后的利润为（元），包装洗衣粉降低元后的利润为（元）， ∴日总利润为 ， ∴， 此时， ∴达不到1450元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $