第06讲 一元一次不等式（组）与一次函数（知识详解+17典例分析+习题巩固）2025-2026学年北师大版八年级数学下册同步讲义与测试

第06讲 一元一次不等式（组）与一次函数（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式与一次函数的关系 1. 一元一次不等式与一次函数的关系 一元一次不等式 kx+b>0(或kx+b ≥ 0) 的解集 y=kx+b 中，y>0(y ≥ 0) 时x 的取值范围 一次函数 kx+b<0(或kx+b ≤ 0) 的解集 y=kx+b 中，y<0(y ≤ 0) 时x 的取值范围 2. 利用一次函数的图象可解一元一次不等式，反过来通过解一元一次不等式可确定相应一次函数值的范围对应的自变量的取值范围，其实质是“数”题“形”解，“形”题“数”解。其具体对应关系如下： 一元一次不等式的解集（“数”） “数”题“形”解 “形”题“数”解 一次函数的图象（“形”） kx+b>0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴下方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b>a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 下方的部分所对应的x 的取值范围 kx + >x +  （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）上方的部分所对应的x 的取值范围 kx +<x + （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）下方的部分所对应的x 的取值范围 【知识点02】一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的综合应用 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案．常见的问题有购物问题、利润问题、支出问题等 。 2. 解答方案决策问题的一般步骤 (1) 根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式 =kx+ 和 =x+； (2) 根据 与 之间的大小关系( > 或= 或 <)，分情况求得相应的 x 的值或取值范围； (3)比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策 。 【知识点03】一元一次不等式组的定义 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2. 表示方式 不等式组可以用“{”表示， 也可以用形如a²x+b²<ax+b<ax+b 的方式表示 。 考向：利用一元一次不等式组的定义进行识别 【知识点04】一元一次不等式组的解集 1. 定义 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) 不等式组的解集在数轴上的表示 无公共部分 不等式组的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点05】解一元一次不等式组 1. 定义 求不等式组解集的过程叫做解不等式组 . 特别提醒：解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【知识点06】一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： ①审：分析题目中的已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的不等关系 ②设：设出合适的未知数 ③列：根据题目中的不等关系列出不等式组 ④解：解各不等式，并写出不等式组的解集 ⑤验：检验所求的解集是否符合题意和实际意义 ⑥答：写出答案 【题型一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是 ． 变式1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 【题型二】根据两条直线的交点求不等式的解集 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线（）经过点．当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ． 变式1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数解析式． (2)直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 【题型三】一元一次不等式组的定义 例5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【题型四】求不等式组的解集 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点位于第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·单元测试）若三个数2，，中最小的数是2，则的取值范围是 ． 变式2．（25-26八年级下·全国·单元测试）解不等式组： 【题型五】解特殊不等式组 例7．（22-23八年级·全国·课后作业）要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 变式1．解不等式组． (1)6﹣x＜2x+3≤7； (2)． 【题型六】求一元一次不等式组的整数解 例8．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 变式1．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【题型七】由一元一次不等式组的解集求参数 例9．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）不等式的整数解是1、2、3、4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例10．（24-25八年级下·广东佛山·月考）关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是 ． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【题型八】由不等式组解集的情况求参数 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 变式2．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）对于任意实数、，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，求的取值范围． 【题型九】不等式组和方程组结合的问题 例12．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（2022·河南商丘·一模）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 变式2．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）已知方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 【题型十】列一元一次不等式组 例13．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．今年3月某天的最高气温为12℃，最低气温为﹣1℃，则这天气温t（℃）的变化范围是 ． 变式2．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 【题型十一】不等式组的行程问题 例14．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 变式1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【题型十二】不等式组的工程问题 例15．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 变式1．沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【题型十三】不等式组的经济问题 例16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【题型十四】不等式组的分配问题 例17．（24-25八年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【题型十五】不等式组的方案选择问题 例18．（25-26八年级·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）某景区内有两种不同的娱乐项目，门票价格分别为：A种为60元/张，B种为12元/张，一旅行团准备在不超过500元的情况下，购买这两种娱乐项目的门票共15张，并要求A种门票数量不少于B种门票数量的一半． (1)共有哪几种符合题意的购买方案？ (2)根据计算判断，哪种购买方案更省钱？ 【题型十六】不等式组的阶梯收费问题 例19．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 变式1．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【题型十七】一元一次不等式组的其他应用 例20．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 变式2．（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？ 一、单选题 1．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 4．已知点，在一次函数（k，b都是常数，且）的图象上，，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．把若干支笔分给一些学生，如果每人分5支，那么余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生分到的笔少于3支，则学生至少有（    ） A．11人 B．12人 C．13人 D．14人 6．若关于的一元一次不等式组有且只有三个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程a的解为正整数，则满足条件的所有整数a的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 9．方程组中，若未知数x，y满足不等式组，则满足条件的的整数值是（   ） A．4，3 B． C． D． 10．若关于x的不等式组无解，a的取值范围是（    ） A．a＞2 B． C． D．a＜2 二、填空题 11．不等式组的解集是 ． 12．若关于的不等式（）的解集为，则直线不经过第 象限． 13．如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集为 ． 14．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 15．如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是 ． 16．若关于的不等式组的解集为，求的取值范围为 ． 17．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，，，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是 ． 18．某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 ． 三、解答题 19．解不等式组： 20．解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．    21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与轴交于点，且与正比例函数图像交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)直接写出时，的取值范围． 22．某商场销售A，B两种型号的制氧机，其中每台A型制氧机比B型制氧机的进价多150元，用1.92万元购进A型制氧机与用1.8万元购进B型制氧机的数量相同． （1）求A型、B型制氧机每台的进价； （2）商场计划购进A，B两种型号的制氧机共80台，其中A型制氧机的进货量不少于B型制氧机的，且不超过40台．若A型制氧机每台售价2850元，B型制氧机每台售价2650元，商场决定从销售A型制氧机的利润中按每台捐献a（45＜a＜55）元给红十字会，做为慈善基金．设商场售完80台制氧机并捐献后获得的利润为W元，求商场获得最大利润W的进货方案． 23．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 一元一次不等式（组）与一次函数（知识详解+17典例分析+习题巩固） 【知识点01】一元一次不等式与一次函数的关系 1. 一元一次不等式与一次函数的关系 一元一次不等式 kx+b>0(或kx+b ≥ 0) 的解集 y=kx+b 中，y>0(y ≥ 0) 时x 的取值范围 一次函数 kx+b<0(或kx+b ≤ 0) 的解集 y=kx+b 中，y<0(y ≤ 0) 时x 的取值范围 2. 利用一次函数的图象可解一元一次不等式，反过来通过解一元一次不等式可确定相应一次函数值的范围对应的自变量的取值范围，其实质是“数”题“形”解，“形”题“数”解。其具体对应关系如下： 一元一次不等式的解集（“数”） “数”题“形”解 “形”题“数”解 一次函数的图象（“形”） kx+b>0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<0（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在x 轴下方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b>a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 上方的部分所对应的x 的取值范围 kx+b<a（k ≠ 0）的解集 直线y=kx+b（k ≠ 0）在直线y=a 下方的部分所对应的x 的取值范围 kx + >x +  （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）上方的部分所对应的x 的取值范围 kx +<x + （k ≠ 0）的解集 直线y=kx+（k ≠ 0）在直线y=x+（ ≠0）下方的部分所对应的x 的取值范围 【知识点02】一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的综合应用 1.一次函数、一元一次方程与一元一次不等式这三者之间的关系常用来解决比较型的方案决策问题，即对两种不同的方案进行比较，从而判断或选择某种合算的方案．常见的问题有购物问题、利润问题、支出问题等 。 2. 解答方案决策问题的一般步骤 (1) 根据条件中两组独立的变量关系，列出相关的两个一次函数表达式 =kx+ 和 =x+； (2) 根据 与 之间的大小关系( > 或= 或 <)，分情况求得相应的 x 的值或取值范围； (3)比较所得结果，根据问题的要求进行判断或决策 。 【知识点03】一元一次不等式组的定义 1. 定义 一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 2. 表示方式 不等式组可以用“{”表示， 也可以用形如a²x+b²<ax+b<ax+b 的方式表示 。 考向：利用一元一次不等式组的定义进行识别 【知识点04】一元一次不等式组的解集 1. 定义 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集 . 2. 一元一次不等式组解集的四种情况 不等式组 ( a ＞ b) 不等式组的解集在数轴上的表示 无公共部分 不等式组的解集  x>a  x<b  无解  b<x<a 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大取中间 【知识点05】解一元一次不等式组 1. 定义 求不等式组解集的过程叫做解不等式组 . 特别提醒：解一元一次不等式组的实质就是寻找不等式组中所有不等式解集的公共部分 . 2. 解一元一次不等式组的一般步骤 (1)分别解每一个不等式； (2)利用数轴法或口诀法确定不等式组的解集； (3)写出不等式组的解集 . 【知识点06】一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的一般步骤： ①审：分析题目中的已知量、未知量及它们之间的关系，找出题目中的不等关系 ②设：设出合适的未知数 ③列：根据题目中的不等关系列出不等式组 ④解：解各不等式，并写出不等式组的解集 ⑤验：检验所求的解集是否符合题意和实际意义 ⑥答：写出答案 【题型一】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 例1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，那么不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，核心是将不等式的求解转化为一次函数图像中对应的的取值范围，体现了数形结合的思想． 法1：结合函数图像，不等式的解集就是直线在轴上方部分对应的横坐标的取值范围； 法2：将点，点代入，可求得，将代入不等式，然后解一元一次不等式即可求解． 【详解】解：法1：直线与x轴交于点， 当时，函数图像在轴上方，此时， 不等式的解集是． 法2：将点，点代入， 得，解得， 将，代入，得， ， ， 即． 故选：． 例2．（25-26八年级下·全国·期中）如图，一次函数的图象经过点与，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握利用函数图象求解不等式的方法是解题的关键． 不等式等价于，观察一次函数图象，找到图象在轴上方时对应的的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴当时， ∵不等式即为 ∴从图象可知，当函数图象在轴上方时， ∴此时的取值范围是 ∴不等式的解集是 故答案为： ． 变式1．（24-25八年级下·云南临沧·期末）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数与的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键． 根据图象得：当时，函数图象位于轴上方，此时，即可求解． 【详解】解：根据图象得：当时，函数图象位于轴上方，此时， ∴关于的不等式的解集为． 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）若直线经过点． (1)求的值； (2)若，直接写出的取值范围是__________． 【答案】(1) (2) 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、求一次函数解析式 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，一次函数与不等式的关系： （1）将代入即可求解； （2）先计算出时x的值，再根据一次函数图象的增减性求解． 【详解】（1）解：直线经过点， ， 解得； （2）解：由（1）得， 令，得， 解得， ， y随x的增大而减小， 当时，， 故答案为：． 【题型二】根据两条直线的交点求不等式的解集 例3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，直线（）经过点．当时，的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握相关内容是解题的关键； 先对不等式进行变形，再结合一次函数的性质以及点P在直线上求出x的取值范围． 【详解】解：解不等式 移项得 ∵ ∴ 则不等式系数化为1得 ∵点P在直线上 ∴ 移项得 把代入得 综上可得，x的取值范围为： 故选：D ． 例4．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）一次函数（，为常数，且）和一次函数（，为常数，且）在同一坐标系中的图象如图所示，若这两个函数的交点C的坐标为，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据一次函数与不等式解答即可． 【详解】解：函数和的图象交于点， 且不等式恰好有3个非负整数解， 可得：,且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，关键是根据一次函数与不等式的关系解答． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数解析式． (2)直线交直线于点，交直线于点，且点在点的右边，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数解析式、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的相关内容是解题的关键； （1）用待定系数法求函数的解析式； （2）用m表示出点E、F的坐标，然后分别代入对应的解析式中，根据两点位置关系列出不等式即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得 解得 直线的函数解析式为． （2）解：由题意可知，点，的纵坐标均为． 设，． 将点代入， 得， 解得． 将点代入， 得． ∵点在点的右边， ， ， 解得， 即的取值范围为． 【题型三】一元一次不等式组的定义 例5．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列不等式组是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】一元一次不等式组需满足两个条件：只含一个未知数，且每个不等式均为一次不等式．选项A符合条件，其他选项要么含多个未知数，要么有二次项． 本题考查了一元一次不等式组的概念，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【详解】解：A、不等式组只含未知数x，且每个不等式均为一次不等式，是一元一次不等式组，符合题意． B、为二次不等式，不是一元一次不等式组，不符合题意． C、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． D、含两个未知数，不是一元一次不等式组，不符合题意． 故选：A． 变式1．（23-24八年级下·山东青岛·期末）如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是． 【详解】解：图中温度为：，则， 故选：D． 变式2．（2024·河南周口·三模）某生物兴趣小组要在温箱里同时培养A，B两种菌苗，已知A种菌苗生长的适宜温度的范围是 ，B种菌苗生长的适宜温度 的范围是 ，那么温箱里的温度应该设定的范围是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的定义 【分析】本题考查了求不等式组解集的意义；由题意知，温度要同时适宜两种菌苗的生长，就是求这两个范围的公共部分． 【详解】解：这两个温度范围的公共部分是：； 故答案为：． 【题型四】求不等式组的解集 例6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知点位于第一象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集 【分析】点在第一象限需横纵坐标均大于0，列不等式组求解． 本题考查了解不等式，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：∵点P在第一象限， ∴，， 由， 得； 由， 得， 即； ∴m的取值范围为 故选：A． 变式1．（25-26八年级下·全国·单元测试）若三个数2，，中最小的数是2，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，理解题意并熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键． 根据题意，是最小的数，因此不大于另外两个数，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：由题意得： 解得：， 故答案为：． 变式2．（25-26八年级下·全国·单元测试）解不等式组： 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，取两个不等式解集的公共部分即可求解． 【详解】解： 解不等式①，去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 解不等式②，移项得， 合并同类项得， 系数化为得， ∴原不等式组的解集为． 【题型五】解特殊不等式组 例7．（22-23八年级·全国·课后作业）要使方程组有正整数解，则整数a有 个． 【答案】4 【知识点】解特殊不等式组、代入消元法 【分析】先解方程组，用含a的代数式表示出方程组的解，根据方程组有正整数解求出a的范围，再求出符合的整数a即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， 即方程组的解是， ∵方程组有正整数解， ∴， 解得：， ∴整数a有，，0，4，共4个， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和解一元一次不等式组等知识点，能得出关于a的不等式组是解此题的关键． 变式1．解不等式组． (1)6﹣x＜2x+3≤7； (2)． 【答案】(1)1＜x≤2 (2)﹣1＜x 【知识点】求不等式组的解集 【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解不等式6﹣x＜2x+3，得：x＞1， 解不等式2x+3≤7，得：x≤2， 则不等式组的解集为1＜x≤2； （2））解不等式3（x﹣2）+4＜5x，得：x＞﹣1， 解不等式x≥3x+1，得：x， 则不等式组的解集为﹣1＜x． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是先求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【题型六】求一元一次不等式组的整数解 例8．（2025·甘肃武威·一模）不等式组的整数解 ． 【答案】0，1 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定，解题的关键是正确求解每个一元一次不等式的解集，再通过找两个解集的公共部分得到不等式组的解集，进而找出整数解． 先解第一个不等式，通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；再解第二个不等式，同样通过移项、合并同类项、系数化为1求出其解集；然后找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集；最后在该解集中筛选出所有整数，得到不等式组的整数解． 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 解， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 则不等式组的解集为， 其中的整数为0、1． 故答案为：0，1． 变式1．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 【题型七】由一元一次不等式组的解集求参数 例9．（2023八年级下·甘肃平凉·竞赛）不等式的整数解是1、2、3、4，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键．先根据整数解均大于0可得，则可得不等式组的解集为，再根据整数解是1、2、3、4可得一个关于的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：不等式可化为， ∵不等式的整数解是1、2、3、4，整数解均大于0， ∴， ∴， 又∵不等式的整数解是1、2、3、4， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴， 故选：C． 例10．（24-25八年级下·广东佛山·月考）关于的不等式恰有两个负整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先求出不等式的解集为，由不等式恰有两个负整数解，可得这两个负整数解为：，，由此可得的取值范围． 本题主要考查一元一次不等式的整数解，熟练掌握解不等式，找出不等式的两个整数解是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵关于的不等式恰有两个负整数解， ∴这两个负整数解为：，， ∴， ∴． 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：解不等式，得， 解不等式得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰有3个整数解， ∴3个整数解为、0、1， ∴， 解得：， 故选：B． 变式2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·月考）若一个不等式组A有解且解集为，则称为不等式组A的解集中点值，若不等式组A的解集中点值是不等式（组）B的解，则称不等式（组）B对于不等式组A中点包含． (1)已知关于x的不等式组A：和不等式B：， ①不等式组A的解集中点值为________． ②不等式B对于不等式组A________（填“是”或“不是”），中点包含． (2)已知关于x的不等式组C：和不等式组D：，若不等式组D对于不等式组C中点包含，求m的取值范围． 【答案】(1)①5，②是 (2) 【知识点】求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组A的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组B的解集判断即可求解； （2）求出不等式组C和D的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：①， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∴不等式组A的解集中点值为； 故答案为：5 ②∵在的范围内， ∴不等式B对于不等式组A是中点包含． 故答案为：是 （2）解：， 解得：， ∴不等式组A的解集中点值为， ， 解得：， ∵不等式组D对于不等式组C中点包含， ∴， ∴． 【题型八】由不等式组解集的情况求参数 例11．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于，的方程组其中．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】解方程组用t表示x和y，代入得到，再根据t的范围求M的范围． 本题考查了含参不等式的解集，熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程组 ② − ①，得 ∴ ， 代入②，得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ． 故选：B． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 首先解不等式组中的第一个不等式，然后根据不等式组无解，可以得到答案． 【详解】解：解不等式 ，得； ∵不等式组无解， ∴， 故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·广东揭阳·期中）对于任意实数、，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算．例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解．根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 解集中恰有两个整数解，小于6的连续两个整数是4，5， ， ， a的范围为． 【题型九】不等式组和方程组结合的问题 例12．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 变式1．（2022·河南商丘·一模）若方程组的解，满足，则的取值范围为 ． 【答案】/ 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两个方程相加，得到，代入然后求解即可． 【详解】解：解方程组： 得，， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 变式2．（22-23八年级下·安徽宿州·期中）已知方程组的解满足，． (1)求m的取值范围； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法、整式的加减运算 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）解方程组得和的值，由，得，解之即可； （2）知，，再去绝对值符号、括号，计算加减即可． 【详解】（1）解：解方程组得， ，， ， 解得； （2）解：， ，， 则． 【题型十】列一元一次不等式组 例13．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）某种药品的说明书上有如图所示的文字，设每日服用药品的剂量为，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据给出的用量、找出x的取值范围是解题的关键． 据说明书上的用法用量即可得出关于x的取值范围． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 变式1．今年3月某天的最高气温为12℃，最低气温为﹣1℃，则这天气温t（℃）的变化范围是 ． 【答案】-1≤t≤12 【知识点】列一元一次不等式组 【分析】这一天的气温应该大于或等于最低气温而小于或等于最高气温． 【详解】解：因为最低气温是-1℃，所以-1≤t，最高气温是12℃，t≤12，则今天气温t（℃）的范围是-1≤t≤12． 故答案为：-1≤t≤12． 【点睛】此题考查了不等式的定义，解答此题要知道，t包括-1℃和12℃，符号是≤，≥． 变式2．在数轴上有A，B两点，其中点A所对应的数是a，点B所对应的数是1．已知A，B两点的距离小于3，请你利用数轴． (1)写出a所满足的不等式； (2)数，0，4所对应的点到点B的距离小于3吗？说明理由． 【答案】(1) (2)数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3 【知识点】数轴上两点之间的距离、列一元一次不等式组 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，旨在考查学生的数形结合能力． （1）找到数轴上与B点距离等于3的两点即可求解； （2）由（1）可知，当，数所对应的点到点B的距离小于3；当或，数所对应的点到点B的距离大于3；当或，数所对应的点到点B的距离等于3． 【详解】（1）解：如图所示： 数轴上两点与B点距离等于3， ∵A，B两点的距离小于3， ∴点A在之间， ∴； （2）解：∵ 由（1）可知：数所对应的点到点B的距离大于3，数0所对应的点到点B的距离小于3，数4所对应的点到点B的距离等于3． 【题型十一】不等式组的行程问题 例14．（24-25八年级下·全国·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【答案】 【知识点】不等式组的行程问题 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 变式1．（24-25八年级下·湖南衡阳·期中）小张骑自行车匀速从甲地到乙地，在途中休息了1小时后，仍然按原路行驶，他距乙地的距离y与时间x的关系如图中折线所示；小李骑摩托车匀速从乙地到甲地，比小张晚出发6小时，他距乙地的距离y与时间x的关系式如图中线段所示． (1)小李到达甲地后，小张再经过___小时到达乙地，小张骑自行车的速度是___千米/时． (2)小张出发几小时与小李相遇？ (3)若小李想在小张修休息期间与他相遇，则小李出发的时间应在什么范围？（直接写出答案） 【答案】(1) (2)小时 (3)时间范围是 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式、不等式组的行程问题 【分析】本题考查一次函数的应用、一次函数的图象、一次函数的行程问、一元一次不等式组的应用题等知识点，掌握时间、速度和路程之间的关系及一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据图象以及速度与路程、时间得关系计算即可； （2）分别写出线段和对应的函数关系式，当二人相遇时离乙地的距离相等，据此列关于x的方程并求解即可； （3）设小李a小时的时候出发，写出小张距乙地的距离y与时间x的关系式，求出它的图象与交点的横坐标，令二者交点的横坐标位于点D和E的横坐标之间，从而求出a的取值范围即可． 【详解】（1）解：小李到达甲地后，小张再经过（小时）到达乙地， 小张骑自行车的速度是（千米/时）． 故答案为：1，15． （2）解：设线段的解析式为，则 ，解得：， 所以线段的解析式为， 设线段的解析式为，则，解得：， 所以线段的解析式为， 当小张与小李相遇时，得，解得． 答：小张出发小时与小李相遇． （3）解：设小李a小时的时候出发，则小张距乙地的距离y与时间x的关系式为， 当时，解得， 若小李想在小张修休息期间与他相遇，则，解得：， 所以小李出发的时间范围是． 【题型十二】不等式组的工程问题 例15．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【知识点】不等式组的工程问题、分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 变式1．沅陵一中有360张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得知，甲组工作效率是乙组的1.5倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5天；已知甲组每天需要付工资800元，乙组每天需要付工资400元； （1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？ （2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200元，时间不超过12天，请你帮学校算一算有几种维修方案（天数不足1天的按1天算）；每种方案需要多少钱？ 【答案】（1）甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌；（2）甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元 【知识点】不等式组的工程问题、分式方程的工程问题 【分析】（1）设乙小组每天各维修x张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案； （2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据题意可列出关于m的一元一次不等式组，得出m的值即可得出答案． 【详解】（1）设乙小组每天维修x张旧课桌， ∴甲小组每天维修1.5x张旧课桌， 根据题意可知： ， 解得：x＝24， 经检验，x＝24是原分式方程的解， 答：甲每天维修张36旧课桌，乙每天维修24张旧课桌； （2）由甲单独负责，此时完成工作需要＝10天，需要费用为10×800＝8000元， 由乙单独负责，此时完成工作需要＝15天，需要费用为15×400＝6000元， 故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成， 设甲负责m张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌， ∴， 解得：m＝216， 此时学校需要付费为：800×+400×＝7200元 答：由甲负责216张旧课桌，乙负责144张旧课桌，需要费用为7200元． 【点睛】本题考查分式方程及一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确找出等量关系列出方程． 【题型十三】不等式组的经济问题 例16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 变式1．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【知识点】不等式组的经济问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 【详解】解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 【题型十四】不等式组的分配问题 例17．（24-25八年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【知识点】不等式组的分配问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【题型十五】不等式组的方案选择问题 例18．（25-26八年级·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【知识点】不等式组的方案选择问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可． 【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本， 由题意得：， 解得， ∵x为正整数， ∴x的取值为34、35、36、37， 则不同的购买方案种数为4种． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）某景区内有两种不同的娱乐项目，门票价格分别为：A种为60元/张，B种为12元/张，一旅行团准备在不超过500元的情况下，购买这两种娱乐项目的门票共15张，并要求A种门票数量不少于B种门票数量的一半． (1)共有哪几种符合题意的购买方案？ (2)根据计算判断，哪种购买方案更省钱？ 【答案】(1)共有两种符合题意的购票方案．即方案一：购买A种门票5张，则购买B种门票10张；方案二：购买A种门票6张，则购买B种门票9张． (2)购买A种门票5张，则购买B种门票10张更省钱． 【知识点】不等式组的方案选择问题、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了不等式组在解决实际问题中的应用，培养学生运用数学知识于生活实际的良好思想习惯．注意本题的不等关系为：购票费不超过500元；A种门票的数量不少于B种门票数量的一半．根据题意列出不等式组求出符合条件的方案，然后将方案进行分组讨论，选出较为省钱的方案． 【详解】（1）解：设A种门票x张，则B种门票张 根据题意得 解得． ∴满足条件的x为5或6， ∴共有两种购买方案 方案一：A种门票5张，B种门票10张 方案二：A种门票6张，B种门票9张． （2）解：方案一购票费用：（元） 方案二购票费用：（元） ∵元＜元， ∴方案一更省钱． 【题型十六】不等式组的阶梯收费问题 例19．某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围 ． 【答案】 【知识点】不等式组的阶梯收费问题 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 变式1．为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人． (1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？ (2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？ 【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； (2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、不等式组的阶梯收费问题 【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用； （1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可． 【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人； （2）设租用辆型车，则租用辆型车， 根据题意得：， 解得：， 又，均为不小于的正整数， ， 种， 一共有种租车方案． ， 即型车每辆租金小于型车每辆租金， 当租用型车越多时，总租金越小， 当时，辆，总租金为元． 答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元． 【题型十七】一元一次不等式组的其他应用 例20．（2026·江西·模拟预测）☆跨学科物理 小明用天平称一个物体的质量，天平调节平衡后，他将两个该物体放在天平的左边，右边分别放两个、三个的砝码，天平状态如图所示，则该物体的质量m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题意可知且，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题图可知，且， ∴， 故选D． 变式1．（2025·湖南·模拟预测）我市某学校有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住人，则还有人无宿舍住；若每间住人，其余宿舍住满，且有一间宿舍不空但所住的人数不足人．若设宿舍间数为，根据题意应满足的不等式（组）为 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，准确列出关系式是解题的关键． 根据总人数列式，利用最后一间宿舍人数大于等于1且小于5建立不等式组． 【详解】解：设宿舍间数为，则总人数为人， 若每间住7人，则前间住满，最后一间宿舍不空但所住人数不足5人， 即最后一间宿舍人数满足， 得， 即不等式组． 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·甘肃张掖·月考）某班班委会购买了一批书奖励班级进步学生，如果分给每位同学4本书，那么还剩下28本书；如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本．求该班进步学生有多少个，共购买了多少本书？ 【答案】该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，列出一元一次不等式组是解题的关键；设该班进步学生有x个，共购买了本书，根据“如果分给每位同学5本书，那么有一位同学分得的书不足4本，但至少有1本”列出一元一次不等式组，求解即可． 【详解】解：设该班进步学生有x个，共购买了本书， 由题意得：， 解得：； 由于x为正整数，则x为30或31或32； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 当时，则购买了（本）； 答：该班进步学生有30个时，共购买了148本书；该班进步学生有31个时，共购买了152本书；该班进步学生有32个时，共购买了156本书． 一、单选题 1．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】 解不等式，移项、合并同类项得： 两边都除以2得， 解不等式，移项、合并同类项得： 两边都除以-3得， ∴不等式组解集为 故本题选D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的求解是解答本题的关键． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出各不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 不等式组的解集为． 故选：B． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 3．如图，直线与直线相交于点，则关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以两函数图象交点为分界，直线在直线的上方时，．此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息． 【详解】解：根据图象可得：不等式的解集为：， 故选：A． 4．已知点，在一次函数（k，b都是常数，且）的图象上，，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 对k、b的正负进行分类讨论，并分别根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：当时，，且y随x的增大而增大，当，不能确定、的正负，则或，故C、D错误； 当时，，且y随x的增大而增大，， 、均小于0，即，故A选项正确； 当时，，且y随x的增大而减小，， 、均大于0，即，故B选项错误． 故选A． 5．把若干支笔分给一些学生，如果每人分5支，那么余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生分到的笔少于3支，则学生至少有（    ） A．11人 B．12人 C．13人 D．14人 【答案】A 【分析】设学生有x名，根据题意得，然后求解即可． 【详解】解：设学生有x名，根据题意得： ， 解得：， ∵x为正整数， ∴或12， ∴学生至少有11名； 故选A． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 6．若关于的一元一次不等式组有且只有三个奇数解，且关于的分式方程的解是整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组得，再由不等式组有且只有三个奇数解，得到，进而得到整数是，，，，，，，，再解分式方程得，再由方程的解是整数得到整数是，，，再求所有满足条件的整数的值之和即可． 【详解】   由①，得；由②，得． 这个不等式有且只有三个奇数解， 整数是，，，，，，，． 该分式方程的解为整数及分式有意义， 整数为，，． 所有满足条件的整数的和为 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解集，分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解本题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．若点在的内部，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点A、B的坐标，再根据题意列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：令，∴点 令，∴ ∵点在的内部 ∴  解得 故选：D． 【点睛】本题考查求一元一次不等式与一次函数，熟练掌握由直线与坐标轴的交点求不等式的解集是解题的关键． 8．若关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程a的解为正整数，则满足条件的所有整数a的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解不等式组，根据“该不等式组有解”，得到关于a的一元一次不等式，解分式方程，根据分式方程的解为正整数，找出符合条件的a的值，从而求解． 【详解】解：， 解不等式①，得：x≤3， 解不等式②，得：x≥2-a， ∵不等式组有解， ∴2-a≤3， 解得：a≥-2， 分式方程去分母，得：1-a+x=-a(x-2)， 解得：x=， ∵分式方程有正整数解，且x≠2， ∴符合条件的整数a有-2；1，共2个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确掌握解分式方程的方法和解一元一次不等式组方法是解题的关键． 9．方程组中，若未知数x，y满足不等式组，则满足条件的的整数值是（   ） A．4，3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解方程组和解不等式组的方法和步骤．根据题意，先求出方程组的解，然后把方程组的解代入不等式组，即可求出的取值范围，然后得到的整数解即可． 【详解】解：由题意得：， 由，解得：， 把代入，得：， 把，代入不等式组，得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为：， ∴满足条件的的整数解有：和， 故选：C． 10．若关于x的不等式组无解，a的取值范围是（    ） A．a＞2 B． C． D．a＜2 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得； 解不等式②得； ∵关于x的不等式组无解， ∴， 故选：B． 二、填空题 11．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案． 【详解】 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集是：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的知识，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式组的性质，从而完成求解． 12．若关于的不等式（）的解集为，则直线不经过第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，一次函数的图象性质，掌握由不等式解集确定的符号，结合一次函数图象性质判断象限是解题的关键． 由不等式解集条件确定与的正负，再根据一次函数图象性质判断直线所经象限． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴，且，即， ∴直线的斜率，截距， ∴图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故答案为：第四象限． 13．如图，直线交坐标轴于，两点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了 不等式的性质，一次函数与不等式的解集．数形结合是解题的关键． 由不等式的性质可得不等式，根据解集为一次函数图象在x轴上方所对应的x的取值范围，结合图象作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由图象可知，不等式的解集为， 故答案为：． 14．如果关于，的二元一次方程组有解，且关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解，那么所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组的整数解，由方程组得，根据方程组有解得，不等式组解得，根据不等式组有且只有个整数解得出，从而确定的取值范围，继而得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组有解， ∴联立得， ∴ ∴， 解不等式组得， ∵关于的一元一次不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得， ∴整数，，，，和为． 故答案为：19． 15．如图，直线与直线相交于点P，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是根据函数图象的位置关系确定不等式的解集． 不等式的解集，对应直线的图象在直线图象下方时的取值范围；结合两直线交点，确定该取值范围． 【详解】解：不等式的解集，即直线在直线下方时的取值范围． 由图知，两直线交于，当时，的图象在的图象下方． 故答案为：． 16．若关于的不等式组的解集为，求的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及解集的确定，解题的关键是分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组解集确定参数的取值范围． 先分别求解不等式组中的两个不等式，再结合已知的不等式组解集，确定的取值范围． 【详解】解：解不等式 ． ． ． ． ． 解不等式 ． ． ． 因为第一个不等式的解集是，第二个不等式的解集是，所以． 解这个不等式 ． ，即． ． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 17．一次函数与的图象如图所示，下列说法：①；②，，，是直线上不重合的两点．则；③；④；⑤当时，．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了一次函数的性质，两个一次函数图象交点问题，一次函数与不等式；能熟练利用一次函数的性质，数形结合求解是关键；①由一次函数的性质得，，即可判断；②可得，，，求出，代入后即可判断；③当时， ，，结合图象，即可判断； ④当时， ，，结合图象，即可判断；⑤当时，，，结合图象，即可判断． 【详解】解：①由图象得：，， ， 故此项正确； ②，，，是直线上不重合的两点， ， ， ， ， ， ， ， 故此项不正确； ③当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项正确； ④当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项正确； ⑤当时， ， ， 由图象得：当时，， ， 故此项错误； 故答案为：①③④． 18．某种出租车的收费标准：起步价5元（即行驶距离不超过3千米都需付5元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收1.2元（不足1千米按1千米计）．某人乘这种出租车从甲地到乙地共付车费15.8元，设甲地到乙地路程是x千米，则x的范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 设甲地到乙地的路程为千米，根据题意列出一元一次不等式组，并求解即可获得答案． 【详解】解：设甲地到乙地的路程为千米， 根据题意，可得， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 19．解不等式组： 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 20．解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上．    【答案】，数轴见解析 【分析】先求出两个不等式的解集，然后再求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集是， 把不等式的解集表示在数轴上，如图所示：    【点睛】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是熟练求出两个不等式的解集． 21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）与轴交于点，且与正比例函数图像交于点． (1)求的值及一次函数的解析式； (2)直接写出时，的取值范围． 【答案】(1)y=x+3 (2)x＜3 【分析】（1）根据A，C两点的坐标，用待定系数法求函数解析式； （2）结合函数图像，进行分析即可． 【详解】（1）解：∵一次函数y=mx＋n（m≠0）与正比例函数y=2x图像交于点C（a，6）， ∴2a=6，解得a=3， ∵一次函数y=mx+n（m≠0）的图像经过点A（-3，0），点C（3，6）， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为y=x+3． （2）∵一次函数y=mx+n（m≠0），与正比例函数y=2x图像交于点C（3，6）， ∴mx＋n＞2x的解集是x＜3， ∴mx＞2x－n的解集为x＜3． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出a的值，是解答本题的关键． 22．某商场销售A，B两种型号的制氧机，其中每台A型制氧机比B型制氧机的进价多150元，用1.92万元购进A型制氧机与用1.8万元购进B型制氧机的数量相同． （1）求A型、B型制氧机每台的进价； （2）商场计划购进A，B两种型号的制氧机共80台，其中A型制氧机的进货量不少于B型制氧机的，且不超过40台．若A型制氧机每台售价2850元，B型制氧机每台售价2650元，商场决定从销售A型制氧机的利润中按每台捐献a（45＜a＜55）元给红十字会，做为慈善基金．设商场售完80台制氧机并捐献后获得的利润为W元，求商场获得最大利润W的进货方案． 【答案】（1）A型制氧机每台的进价2400元，B型制氧机每台的进价2250元；（2）当45＜a＜50时，商场购进A型号的制氧机40台，则购进B型号的制氧机40台，获得最大利润；当a=50时，商场购进A、B型号的制氧机的台数在符合题意范围内均可，获利润为32000元；当50＜a＜55，商场购进A型号的制氧机27台，则购进B型号的制氧机53台，获得最大利润 【分析】（1）设A型制氧机每台的进价m元，则B型制氧机每台的进价（m﹣150）元，根据用1.92万元购进A型制氧机与用1.8万元购进B型制氧机的数量相同列出分式方程，解之即可解答； （2）设购进A型号的制氧机x台，则购进B型号的制氧机（80﹣x）台，根据题意列出W关于x的一次函数关系式以及x的范围，利用一次函数的性质分类讨论求解即可． 【详解】解：（1）设A型制氧机每台的进价m元，则B型制氧机每台的进价（m﹣150）元， 根据题意，得：， 解得：m=2400， 经检验，m=2400是所列分式方程的解， m﹣150=2250（元）， 答：A型制氧机每台的进价2400元，B型制氧机每台的进价2250元； （2）设购进A型号的制氧机x台，则购进B型号的制氧机（80﹣x）台， ∵A型制氧机的进货量不少于B型制氧机的，且不超过40台， ∴，解得：， 根据题意，W=（2850﹣2400﹣a）x+（2650﹣2250）（80﹣x）=（50﹣a）x+32000， ∵45＜a＜55， ∴①当45＜a＜50时，50﹣a＞0， ∴W随x的增大而增大， 当x=40时，W有最大值； ②当a=50时，W是定值32000元； ③当50＜a＜55时，50﹣a＜0， ∴W随x的增大而减小，又x为整数， ∴当x=27时，W有最大值， 综上，当45＜a＜50时，商场购进A型号的制氧机40台，则购进B型号的制氧机40台，获得最大利润；当a=50时，商场购进A、B型号的制氧机的台数在符合题意范围内均可，获利润为32000元；当50＜a＜55，商场购进A型号的制氧机27台，则购进B型号的制氧机53台，获得最大利润． 【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，解答的关键是读懂题意，找准各个数量间的关系，正确列出分式方程、不等式以及一次函数的表达式，并熟练运用一次函数的性质解决问题． 23．根据素材．完成任务． 学校组织同学参与甲、乙两款模型的制作．每款模型都需要用到长、短两种管子的材料． 同学们进行市场调研后获得以下信息，根据信息设计材料的采购方案： 素材一 月日，同学们前往市场进行调研，从出售管子的商店广告牌获得右边表格内的信息．如果当天直接采购，同学们计算发现：花费元向该商店购得的长管子数量比花元购得的短管子数量少根． ．长管子的单价是短管子的倍． ．从月日起，购买根长管子赠送根短管子．商店库存数量有限，长管子仅剩根，短管子仅剩根． 素材二 另一部分同学对模型结构进行研究后发现：如果用根长管子、根短管子制作了个甲雪花模型和个乙雪花模型，制作一个甲模型所需长短管子数量之比是，制作乙模型需要的长短管子数量之比是 素材三 进入月后，学校发放活动经费元，同学们向该商店采购长、短管子各若干根全部用来制作甲、乙雪花模型（材料无剩余），且采购经费恰好用完． 问题解决 任务一 确定采购单价： 求长管子、短管子每根单价分别多少元? 任务二 分析雪花模型结构： 求制作一个甲款、一个乙款雪花模型分别需要长、短管子各多少根? 任务三 拟定采购方案： 采购长短管子分别多少根? 【答案】任务一：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元；任务二：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根；任务三：采购方案：①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子；②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子 【分析】任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元，根据题意列出方程即可求解； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根，根据题意列出二元一次方程组解答即可求解； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子，根据题意可得，即得，再列出不等式组求出的取值范围，进而根据必须能被整除得到，，，，据此解答即可求解； 本题考查了分式方程的应用，二次元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意找到等量关系和不等量关系是解题的关键． 【详解】解：任务一：设短管子每根单价为元，则长管子每根单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，符合题意， ∴， 答：短管子每根单价为元，长管子每根单价为元； 任务二：设制作一个甲款雪花模型需要长管子根，则短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，则短管子根， 根据题意得，， 解得， ∴，， 答：制作一个甲款雪花模型需要长管子根，短管子根，制作一个乙款雪花模型需要长管子根，短管子根； 任务三：设学校中采购了根长管子，根短管子， 根据题意得，， 解得， ∵商店中长管子仅剩根，短管子仅剩根 ， ∴， 解得， ∵必须能被整除， ∴，，，， 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，不合题意，此时材料有剩余； 当时，， 设制作甲雪花模型个，乙雪花模型个， 则， 解得，符合题意， 此时购买根短管子，送根短管子可以用完， ∴可以购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； 综上，采购方案有两种： ①购买根长管子，购买根短管子，送根短管子； ②购买根长管子，购买根短管子，送根短管子． 1 学科网（北京）股份有限公司 $