第二十章 勾股定理 章节复习讲义（6知识详解+29典例分析）2025-2026学年人教版八年级数学下册同步讲义与测试

第二十章 勾股定理 章节（6知识详解+29典例分析） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是将实际问题抽象成数学模型(直角三角形)，再利用勾股定理求解. 1. 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长； (2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 知识拓展：一般地，在平面直角坐标系中，设任意两点为A(，)和B(，)，则AB＝先将点的坐标转化为线段长度，再利用勾股定理求解 【知识点04】用勾股定理作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为√n(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【知识点05】勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)找：找出三角形三边中的最长边； (2)算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则 不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别 为a，b，c，∠C＝90° 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且 a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 △ABC 为直角三角形，且∠C＝90° 续表 勾股定理 勾股定理的逆定理 关系 【知识点06】勾股数 1. 勾股数 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 意义 某些三角形能根据勾股数快速判断是否为直角三角形 常见勾股数 常见的勾股数有3，4，5(这是最著名的一组，俗称“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等. 勾股数有无数组 注意 以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但是能构成直角三角形的三条边的数不一定是勾股数. 2.勾股数的倍数：每组勾股数的相同正整数倍也是勾股 数，即一组勾股数同时扩大为原来的k(k为正整数)倍 后，依然是勾股数. 但注意，每组勾股数缩小为原来的时，虽然三边仍然满足勾股定理，但不一定还是勾股数. 如：3，4，5是一组勾股数，6，8，10是一组勾股 数，但0.3，0.4，0.5不是一组勾股数.不是正整数 思路导引： 【题型一】用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．3 2．（25-26八年级下·全国·月考）十一世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺．两棵棕榈树的树干间的距离是40肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时抓到了这条鱼．按题意画出如下示意图，这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部有多远？ 【题型二】已知两点坐标求两点距离 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）若，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 5．（24-25八年级下·北京海淀·月考）对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系xOy中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是______（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 【题型三】勾股树（数）问题 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 7．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． (1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； (2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 【题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 8．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）已知图中两个正方形的面积分别为和，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．16 C．36 D．64 9．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形面积为 ． 【题型五】勾股定理与网格问题 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在网格格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧交所在的网格线于点，连接，则的长为 ．（结果保留根号） 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 【题型六】勾股定理与折叠问题 12．（24-25八年级下·广东阳江·月考）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 14．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【题型七】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 15．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 16．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【题型八】利用勾股定理证明线段平方关系 17．如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 18．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【题型九】勾股定理的证明方法 19．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【题型十】以弦图为背景的计算题 22．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A．B． C． D． 23．（25-26八年级下·全国·周测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为13，求小正方形的边长． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 24．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 25．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【题型十二】勾股定理与无理数 26．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 27．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，，则在数轴上点表示的实数是 ． 【题型十三】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 28．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 29．（25-26八年级下·全国·期末）一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【题型十四】求旗杆高度(勾股定理的应用) 30．（24-25八年级下·河南安阳·期末）图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 31．（24-25八年级下·全国·期末）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【题型十五】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 32．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 33．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【题型十六】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 34．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是 35．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一木杆在点处折断，离地面的距离，木杆顶端点落在地面，离木杆底端的距离，，求木杆折断之前有多高？ 【题型十七】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 36．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 37．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【题型十八】解决航海问题(勾股定理的应用) 38．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 海里． 39．（24-25八年级下·四川南充·月考）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【题型十九】求河宽(勾股定理的应用) 40．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 41．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【题型二十】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 42．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 43．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【题型二十一】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 44．（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 45．（24-25八年级下·福建厦门·月考）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【题型二十二】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 46．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 47．（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 【题型二十三】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 48．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 49．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【题型二十四】求最短路径(勾股定理的应用) 50．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方体礼品盒的长为，宽为，高为，．现要在礼品盒上从点到点贴上一条彩带，则这条彩带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 51．（25-26八年级下·全国·周测）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从处快速到达图书馆处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若，，则标牌上“■”处的数字是 ． 【题型二十五】判断三边能否构成直角三角形 52．（25-26八年级下·全国·月考）以下列各组数为三边长的三角形中不是直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．8，15，17 C．24，7，25 D．15，20，25 53．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为 ． 【题型二十六】在网格中判断直角三角形 54．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 55．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， (1)的长为_____，的长为_____ (2)求证： 【题型二十七】利用勾股定理的逆定理求解 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 57．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，则的度数为 ．    58．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【题型二十八】勾股定理逆定理的实际应用 59．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 60．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是 ． 61．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【题型二十九】勾股定理逆定理的拓展问题 62．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 63．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十章 勾股定理 章节（6知识详解+29典例分析） 【知识点01】勾股定理 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c² 图示 符号语言 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，则a²＋b²＝c² 续表 变式 a²＝c²－b²，b²＝c²－a²； c＝，a＝，b＝ 基本思想方法 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这一“数”结合起来，它是数形结合思想的典范 拓展 设三角形的三边长分别为a，b，c(c 为最长边)，则在锐角三角形中满足a²＋b²＝c²，在钝角三角形中满足a²＋b²＝c² 注意 勾股定理揭示的是直角三角形的三边间的等量关系，只有在直角三角形中才能使用勾股定理, 这是应用勾股定理的条件. 【知识点02】勾股定理的证明 勾股定理的证明方法有很多，其中结合图形的切割、拼接，通过面积相等证明是最常见的一种方法，举例列表如下： 方法 图形 证明 “赵爽弦图” 因为大正方形的边长为c，所以大正方形的面积为c². 又大正方形的面积＝4×ab＋(b－a)²＝   a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 刘徽“青朱出入图” 设大正方形的面积为S，则S＝c². 根据“出入相补，以盈补虚”的原理，得S＝a²＋b²，所以a²＋b²＝c² 加菲尔德总统拼图 设梯形的面积为S，则S＝(a＋b)(a＋b)＝a²＋b²＋ab. 又S＝ab＋ab＋c²＝c²＋ab，所以a²＋b²＝c² 毕达哥拉斯拼图 由图①得大正方形的面积＝c²＋4×ab， 由图②得大正方形的面积＝a²＋b²＋4×ab，比较两式易得 a²＋b²＝c²在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理 【知识点03】勾股定理的应用 利用勾股定理解决生活中的实际问题，关键是将实际问题抽象成数学模型(直角三角形)，再利用勾股定理求解. 1. 运用勾股定理解决实际问题的一般步骤 2. 勾股定理应用的常见类型 (1)已知直角三角形的任意两边长求第三边长； (2)已知直角三角形的任意一边长及另两边的数量关系求未知边的长； (3)证明包含有平方(算术平方根)关系的几何问题； (4)求解几何体表面上的最短路程问题； (5)构造方程(或方程组)计算有关线段长度，解决生产、生活中的实际问题. 知识拓展：一般地，在平面直角坐标系中，设任意两点为A(，)和B(，)，则AB＝先将点的坐标转化为线段长度，再利用勾股定理求解 【知识点04】用勾股定理作长度是 (n为大于1 的整数)的线段 实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上容易找到有理数与它对应的点，但要在数轴上标准标出无理数对应的点则比较难，由此，我们可借助勾股定理作出长为√n(n 为大于1 的整数)的线段以及在数轴上画出表示无理数的点. 画长为的线段 如图，当直角三角形的两条直角边长都为1时，斜边长为，即1²＋1²＝()²；当两条直角边长分别为1，时，斜边长为，即1²＋()²＝()²；⋯依此类推，可以画出长为， ，，⋯的线段 在数轴上表示 如图构造两条直角边长都是1 的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点；构造两直角边长分别为，1的直角三角形，利用勾股定理得到斜边的长为，再用圆规截取的方法画出在数轴上的对应点，⋯.依此规律可以在数轴上作出表示， ，，⋯的点 主要应用 画出长为无理数的线段，在数轴上画出表示无理数的点 【知识点05】勾股定理的逆定理 1. 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形. 2. 利用边的关系判定直角三角形的步骤 (1)找：找出三角形三边中的最长边； (2)算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； (3)判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则 不是. 3. 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别 为a，b，c，∠C＝90° 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且 a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 △ABC 为直角三角形，且∠C＝90° 续表 勾股定理 勾股定理的逆定理 关系 【知识点06】勾股数 1. 勾股数 定义 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 意义 某些三角形能根据勾股数快速判断是否为直角三角形 常见勾股数 常见的勾股数有3，4，5(这是最著名的一组，俗称“勾三股四弦五”)；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等. 勾股数有无数组 注意 以勾股数为三边长的三角形是直角三角形，但是能构成直角三角形的三条边的数不一定是勾股数. 2.勾股数的倍数：每组勾股数的相同正整数倍也是勾股 数，即一组勾股数同时扩大为原来的k(k为正整数)倍 后，依然是勾股数. 但注意，每组勾股数缩小为原来的时，虽然三边仍然满足勾股定理，但不一定还是勾股数. 如：3，4，5是一组勾股数，6，8，10是一组勾股 数，但0.3，0.4，0.5不是一组勾股数.不是正整数 思路导引： 【题型一】用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在等腰三角形中，，，是高上任意一点，是腰上任意一点．如果，，那么线段的最小值是（    ） A．2.4 B．4 C．4.8 D．3 【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、垂线段最短 【分析】依据题意，作点关于的对称点，连接EF′．作于H．根据垂线段最短可知，当共线，且与重合时，的值最小，最小值就是线段的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，作于点． ，， ，直线是等腰三角形的对称轴， 点在上， ． 根据垂线段最短可知，当点，，共线，且点与点重合时，的值最小，最小值就是线段的长． 在中，． ， ， 的最小值为． 故选：C. 【点睛】本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题． 2．（25-26八年级下·全国·月考）十一世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望．一棵树高30肘尺（肘尺是古代的长度单位），另外一棵树高20肘尺．两棵棕榈树的树干间的距离是40肘尺．每棵树的树顶上都停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时抓到了这条鱼．按题意画出如下示意图，这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部有多远？ 【答案】这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部肘尺 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】设肘尺，则肘尺，利用勾股定理建立方程，求出的值即可． 【详解】解：由题意，得肘尺，肘尺，40肘尺，． 设肘尺，则肘尺． 在和中， ，． ， ， 解得． 故这条鱼出现的地方离比较高的棕榈树的底部肘尺． 【点睛】本题考查勾股定理的应用；解决本题的关键是善于挖掘题目的隐含信息． 【题型二】已知两点坐标求两点距离 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）若，，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标系中描点、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了勾股定理的应用，坐标与图形．先画图描出点，，，，再结合图形与勾股定理逐一分析即可. 【详解】解：，，，如图所示， ∴，故A符合题意； 如图， ∴，故B不符合题意； 如图， ∴，，故C不符合题意； 如图， ∴，， ∴，故D不符合题意； 故选A． 4．（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，点到原点的距离是 ． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查勾股定理．根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为， ∴点到原点的距离是， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·北京海淀·月考）对于一些二次根式，我们可以用数形结合的方法进行研究．如，可以看作平面直角坐标系中，动点与定点或之间的距离（如图）．请参考上面的方法解决下列问题： (1)若将看作平面直角坐标系xOy中，动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是______（写出一个即可）； (2)若，直接写出d的最大值． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点间的距离公式，勾股定理，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． （1）根据题干提供的信息进行解答即可； （2）根据已知条件得到，由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差，根据三角形任意两边之差小于第三边，得出当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长，求出最大值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴动点与定点C之间的距离，则点C的坐标可以是或． （2）解：∵， ∴由（1）可知：表示点与点的距离和点与点的距离之差， ∵三角形任意两边之差小于第三边， ∴当P、E、F三点共线时，取最大值，且最大值为的长． ∴d的最大值为：． 【题型三】勾股树（数）问题 6．（24-25八年级下·四川南充·期末）下列各数组中，是勾股数的是（    ） A．1，1， B．1，，2 C．12，13，5 D．4，5，6 【答案】C 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题主要考查了勾股数，勾股数的定义：如果a，b，c为正整数，且满足，那么a、b、c叫做一组勾股数．先判断所给数据是否为正整数，再验证两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方． 【详解】解：A、是无理数，故1，1，不是勾股数，该选项不符合题意； B、是无理数，故1，，2不是勾股数，该选项不符合题意； C、，故12，13，5是勾股数，该选项符合题意． D、，故4，5，6不是勾股数，该选项不符合题意． 故选：C． 7．（2024·河北秦皇岛·一模）我们把满足的三个正整数a，b，c称为“勾股数”．若是一组勾股数，n为正整数． (1)当，时，请用含n的代数式表示，并直接写出n取何值时，a为满足题意的最小整数； (2)当，时，用含n的代数式表示，再完成下列勾股数表． a b c _____ 40 41 11 60 _____ 【答案】(1)，当时，满足题意的最小整数 (2)，9，61 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）根据变形式 可得到结果，根据的算术平方根是最小整数得到结果； （2）根据变形式得到结果，根据变形式 得即可得到c的值，根据变形成 得到a的值． 【详解】（1）解：， 把，代入中， 得， ∵n为正整数， ∴当时，满足题意的最小整数； （2）， ，，， ，，， 补全勾股数表如下： 【题型四】以直角三角形三边为边长的图形面积 8．（24-25八年级下·甘肃平凉·期中）已知图中两个正方形的面积分别为和，则字母A所代表的正方形的面积为（    ） A．4 B．16 C．36 D．64 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形的面积和正方形的面积分别表示出的平方及的平方，又三角形为直角三角形，根据勾股定理求出的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：依题意得 ∵正方形的面积等于， ． 正方形的面积为， ． 为直角三角形，根据勾股定理得： ，即字母A所代表的正方形的面积为． 故选：C． 9．（24-25八年级下·湖南邵阳·期中）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形面积为 ． 【答案】144 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理及学生知识迁移的能力，掌握知识点是解题的关键． 结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，即可解答． 【详解】解：字母B所代表的正方形的面积 故答案为：144． 【题型五】勾股定理与网格问题 10．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、、均在网格格点（网格线的交点）上，以点为圆心，长为半径画弧交所在的网格线于点，连接，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据网格和作图可知，，，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由网格可知，，， 由作图可知，， 则， 故答案为：． 11．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在的正方形网格中，每个边长为1的小正方形的顶点叫做格点，点是格点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．） (1)在图1中作出所有长为5的线段，且点是格点； (2)在图2中先作一条线段，使，再作一条线段，且、为格点； (3)在图3中作一条线段，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查网格作图-应用与设计作图，涉及勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）由网格特点或勾股定理取格点，即可得解； （2）由网格特点和勾股定理，取格点、，可得到，； （3）由网格特点和勾股定理，取格点，可得到，再取与格线的交点，得到． 【详解】（1）解：如图1，格点和线段或点和线段即为所求作； ； （2）解：如图2，格点和点，线段和线段即为所求作； ； （3）解：如图3，线段即为所求作． 【题型六】勾股定理与折叠问题 12．（24-25八年级下·广东阳江·月考）如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，那么折痕与线段的交点与点的距离为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点，， ， 在中，， 解得． 即． 故选：C． 13．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 【答案】/ 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，然后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：； 14．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将三角形纸片沿直线折叠，使点落在斜边上，与点重合，求的长度 【答案】 【知识点】勾股定理与折叠问题 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，根据折叠得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意可得与关于成轴对称， ，，， 在中，， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，即． 【题型七】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 15．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在中，斜边，则的值为（    ） A．12 B．22 C．32 D．无法计算 【答案】C 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 【分析】本题考查了勾股定理．先由勾股定理求得，即可求得的值． 【详解】解：∵在中，斜边， ∴， ∴， 故选：C． 16．（2023·吉林白城·模拟预测）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题： 如图①，和都是等边三角形，点在上． 求证：以、、为边的三角形是钝角三角形． 【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】如图②，四边形和四边形都是正方形，点在上． ①猜想：以、、为边的三角形的形状是________； ②当时，直接写出正方形的面积． 【答案】探究发现：详见解析；拓展迁移：①直角三角形；② 【知识点】利用勾股定理求两条线段的平方和（差）、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识； 【探究发现】如图1，连接，根据等边三角形的性质证明，得，，进而可以得到以、、为边的三角形是钝角三角形； 【拓展迁移】①连接，，得，，再证，得是直角三角形，即可得出结论； ②由勾股定理得，则，再由正方形的性质和勾股定理得，即可得出结论． 【详解】探究发现：证明：如图1，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ，， ， 为钝角三角形， 以、、为边的三角形是钝角三角形； 拓展迁移：①以、、为边的三角形是直角三角形，理由如下： 如图2，连接， 四边形和四边形都是正方形， ，，，， ， ， ， ，， ， 是直角三角形， 即以、、为边的三角形是直角三角形； 故答案为：直角三角形； ②由①可知，，， ， ， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 正方形的面积为11.5． 【题型八】利用勾股定理证明线段平方关系 17．如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 【答案】C 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】根据勾股定理和圆面积公式可以得到S1=S2+S3，从而得到问题解答． 【详解】解：由题意可得： ∵在直角三角形BDO中， ∴S1=S2+S3， ∴S2=S1-S3=40-18=22， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握圆面积公式和勾股定理的意义是解题关键． 18．在中，，若，如图1，则有；若为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作于点D，设．在中，，在中，． 当为锐角三角形时．所以小明的猜想是正确的． (1)请你猜想，如图3，当为钝角三角形时，与的大小关系． (2)证明你猜想的结论是否正确． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】利用勾股定理证明线段平方关系 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握题干中给定的方法，是解题的关键： （1）类比题干，猜想，即可； （2）过点作，交的延长线为点，设，得到，再根据勾股定理，得到，进行证明即可． 【详解】（1）解：猜想； （2）证明：过点作，交的延长线于点，设， 则： 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故猜想正确． 【题型九】勾股定理的证明方法 19．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积法验证勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案． 【详解】解：A、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； B、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； C、，能用面积验证勾股定理，不符合题意； D、，不能用面积验证勾股定理，符合题意； 故选：D． 20．（25-26八年级下·全国·课后作业）下面四幅图中，能证明勾股定理的有 个． 【答案】3 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据图形利用面积关系可得解． 【详解】解：对图①，大正方形的面积为：， 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ，故图①能证明勾股定理； 对图②，梯形的面积为， 也可看作是个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图②能证明勾股定理； 对图③，大正方形的面积为：； 也可看作是个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：， ， 整理可得：，故图③能证明勾股定理； 对图④，大正方形的面积为：； 也可看作是个矩形和个小正方形组成，则其面积为：, ，故图④不能证明勾股定理． 综上，图①②③可证明勾股定理，有个， 故答案为：． 21．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，2个全等的直角三角形与1个小直角梯形恰好拼成1个大直角梯形，这个图形能证明勾股定理．请你写出证明过程． 【答案】见解析 【知识点】勾股定理的证明方法 【分析】本题考查了面积法证明勾股定理等知识，解决问题的关键是表示同一个图形的面积用两种不同计算方法． 根据列出关系式，进而得出结论． 【详解】证明：如图．， ， ， ． 【题型十】以弦图为背景的计算题 22．（24-25八年级下·陕西安康·期末）“勾股定理”被称为“千古第一定理”，其证明的方法多种多样．中国汉代数学家在注释《周髀算经》时给出一个图形，后来人们称它为“赵爽弦图”．这个图形是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【知识点】以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查“赵爽弦图”的图形特征，对选项中的图形进行判断．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形图案． 【详解】解：A、是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成的大正方形，符合“赵爽弦图”的特征； B、是由四个直角三角形组成的大正方形，但直角三角形的排列方式与“赵爽弦图”不符； C、是由正方形和三角形组成的图形，不符合“赵爽弦图”的特征； D、是由三角形组成的大三角形，不符合“赵爽弦图”的特征； 故选：A． 23．（25-26八年级下·全国·周测）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为13，求小正方形的边长． 【答案】小正方形的边长为 【知识点】用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键． 观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积4个直角三角形的面积，利用已知，大正方形的面积为，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案． 【详解】解：由题意可知中间小正方形的边长为，每一个直角三角形的面积为， ，即， ． ， ， ． （负值舍去），即小正方形的边长为． 【题型十一】用勾股定理构造图形解决问题 24．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 【答案】B 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出图形，正确构造直角三角形、根据勾股定理计算即可． 【详解】解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于，    则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 25．（24-25八年级下·广西崇左·期末）如图1，已知点O是矩形的边上一点， 求证：． 分析求证：观察求证目标，为二次型等式，结构与勾股定理类似，考虑构造直角三角形利用勾股定理进行求证． 证明：过O 点作 垂直，垂足为E， 设，，， 在直角三角形中， 在直角三角形中， 所以 即得证 请您模仿以上方法完成以下问题； (1)如图2，已知点O 是矩形内任意一点，求证：； (2)如图3，已知点O在矩形的外部，结论还能成立吗？请给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)结论还能成立，见解析 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． （1）过O点作垂直与分别交于点，设，根据勾股定理分别表示出，， ，，即可证明； （2）结论仍成立，同（1）思路即可证明． 【详解】（1）证明：过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， ， 即． （2）解：结论仍成立，证明如下： 过O点作垂直与分别交于点， 设， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 所以， 所以． 【题型十二】勾股定理与无理数 26．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，数轴上的点表示的数是，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查的是勾股定理与无理数，实数与数轴；先根据勾股定理求出三角形的斜边长，即可求出A点表示的数． 【详解】解：图中的直角三角形的两直角边为和， 斜边长为：， 到的距离是，那么点所表示的数为：． 故选：A． 27．（23-24八年级下·广东汕头·期中）如图，，则在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，求出长是解题的关键． 先由勾股定理求解，再由即可求解数轴上点表示的实数． 【详解】解：， ， 点在原点的左侧，到原点的距离是， 点表示的实数是． 故答案为：． 【题型十三】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 28．（24-25八年级下·江西赣州·期末）一只小猫爬楼梯，楼梯斜靠在墙上，楼梯底部距离墙角米（即），由于楼梯滑动，底部滑动了米（即），楼梯的高度为米（即），则楼梯下滑了 米．（即求的长）． 【答案】 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理分别求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， 在中， ∴米 故答案为：． 29．（25-26八年级下·全国·期末）一架方梯长，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端点离墙． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端由点A向下滑动至点，，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)这个梯子的顶端距地面 (2)梯子的底端在水平方向滑动了 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理列式运算即可； （2）求出的长，再利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， 在中，， ∴这个梯子的顶端距地面； （2）根据题意，得，， ∴， 在中，， 所以， 即梯子的底端在水平方向滑动了． 【题型十四】求旗杆高度(勾股定理的应用) 30．（24-25八年级下·河南安阳·期末）图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ） A．3尺 B．3.75尺 C．4尺 D．4.25尺 【答案】B 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：设的长度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长度为3.75尺， 故选：B． 31．（24-25八年级下·全国·期末）如图是某俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小明，该项目段和段均由不锈钢管材打造，总长度为27米，长方形和长方形均为木质平台的横截面，点在上，点在上，点在上，经过现场测量得知米，米．    (1)小明猜想立柱的长为8米，请判断小明的猜想是否正确？如果正确，写出理由；如果错误，请求出立柱的正确长度； (2)为加强游戏的安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索，经测量米，请你求出要焊接的钢索的长． 【答案】(1)不正确的，10米 (2)米 【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理、求出的长是解题的关键． （1）设米，则米，在中，利用勾股定理列方程，求出x，结合即可得出结论； （2）由题意得米，则米，在中，由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：小明的猜想不正确；理由如下： 由题意可知：，，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 小明的猜想不正确，立柱的正确长度为10米； （2）解：由题意可知：， ， 中，由勾股定理得：， 即， 米， 焊接的钢索的长为米． 【题型十五】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 32．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·月考）如图，有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】解：如图过点B作于点C，则米，米， ∴米， ∴米， ∴小鸟至少飞行米， 故选：C． 33．（23-24八年级下·广西崇左·期中）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【知识点】求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 【题型十六】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 34．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）如图，一棵大树在离地面 处折断，树的顶端落在离树干底部处，那么这棵树折断部分的长度是 【答案】/10米 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设这棵树折断部分的长度为，由图得， （）， 故答案为：． 35．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，一木杆在点处折断，离地面的距离，木杆顶端点落在地面，离木杆底端的距离，，求木杆折断之前有多高？ 【答案】 【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用) 【分析】此题考查了利用勾股定理解决实际问题，正确理解题意中的数量关系构建勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得，， ． ． 木杆折断之前高为． 【题型十七】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 36．（24-25八年级下·云南红河·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的边沿，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，因为水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺．可得，整理得，即可作答． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，高出水面2尺． ∴ 整理得， 故选：D． 37．（24-25八年级下·广东潮州·月考）如图，一株水草立于湖水中，此时测得尺，随后将水草拉至与水面齐平时，测得尺．试求湖水有多深? 【答案】8尺 【知识点】用勾股定理解三角形、解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则尺，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设为x尺． ∵尺， ∴（尺）． ∵， ∴． 在中， ∵，， ∴． ∴． 答: 水深8尺． 【题型十八】解决航海问题(勾股定理的应用) 38．（24-25八年级下·湖北随州·期中）如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距 海里． 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：设轮船向东北航行到，向东南方向航行到， 由题意得，海里， 海里， ， 故答案为：． 39．（24-25八年级下·四川南充·月考）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．求C岛和A港之间的距离． 【答案】 【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用) 【分析】根据题意，利用勾股定理求出的长度，再求出的长度，再用勾股定理求出的长度即可． 本题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是求出，的长度． 【详解】解：由题意，得：，， 中，， 由， ∴， 中，， 答：C岛和A港之间的距离． 【题型十九】求河宽(勾股定理的应用) 40．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 41．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【知识点】求河宽(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 【题型二十】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 42．（24-25八年级下·西藏日喀则·期中）如图，在高2米，坡角为的楼梯表面铺地毯，地毯的长需（　　）米． A． B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用．地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度为． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴， ∴， ∴． 故选C． 43．（22-23八年级下·重庆九龙坡·期中）如图，某会展中心准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，若地毯每平方米元，则铺完这个楼道至少需要 元． 【答案】 【知识点】求台阶上地毯长度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理可得，即得地毯的长为，进而可得地毯的面积，再乘以单价即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理得，， ∴地毯的长为， ∴地毯的面积为， ∴铺完这个楼道至少需要元， 故答案为：． 【题型二十一】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 44．（22-23八年级下·广东珠海·期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为 【答案】/8米 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 45．（24-25八年级下·福建厦门·月考）滨海西大道的限速为（已知）．如图，一辆小汽车在滨海西大道上的直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了后，行驶到B处，测得小汽车与车速检测仪间距离为，问：这辆小汽车超速了吗？ 【答案】没有超速，理由见详解 【知识点】判断汽车是否超速(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 利用勾股定理求出然后求出速度进行比较即可． 【详解】解：根据题意得，由勾股定理得， ∴小车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车没有超速． 【题型二十二】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 46．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，公路和公路在点处交汇，公路上点处有学校，点到公路的距离为，现有一卡车在公路上以的速度沿方向行驶，卡车行驶时周围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为 s． 【答案】24 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)、三线合一 【分析】本题考查了勾股定理的应用及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间路程速度．设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束，在中求出，继而得出，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到处刚好开始受到影响，行驶到处时结束了噪声的影响． 则有， 在中，， ， 则该校受影响的时间为：． 该学校受影响的时间为24秒． 故答案为：24 47．（2026·重庆大渡口·一模）如图，一艘轮船以的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以的速度由东向西移动，距台风中心的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离也是． (1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？ (2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航行多少小时？ 【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区 (2) 【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 【分析】本题考查行程问题，方向角； （1）求出当台风中心移动到距时，轮船是否通过点即可判断； （2）分别确定轮船停止和重新开始移动时台风中心的位置，根据台风中心移动的时间就是停止时间求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 方法一： 设小时后，当台风中心在点时，轮船在点，此时，则，， ∵， ∴， 整理得， 解得， 当时，，此时轮船还没有经过， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； 方法二：当台风中心移动到距时，移动时间小时， 此时轮船航行距离，即还没有通过点，如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区， ∴如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区； （2）解：如图，取点、，使， 当轮船运动到警戒线的点时，此时台风中心移动到点处，运动时间，此时； 轮船从点运动到点用时（小时）， 设台风中心小时从移动到，则， ∴当轮船重新开始移动到点时，此时台风中心距离刚好，此后都不再受台风影响， ∴在轮船停止航行时间段，台风从移动到点，， ∴轮船停止航行时间为（小时）， ∴设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行小时． 【题型二十三】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 48．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图铁路上、两点相距千米，、为铁路两边的两个村庄，，，垂足分别为和，千米，千米，现在要在铁路旁修建一个候车点，使得、两村到该候车点的距离相等．则候车点应距点（   ）    A．12千米 B．16千米 C．20千米 D．24千米 【答案】B 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意得到是解题的关键． 设，则，利用勾股定理得到，则，解方程即可． 【详解】解：设，则， ，，，两村到候车点的距离相等， ， ， ， 解得：， 则候车点应距点． 故选：B． 49．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，某地方政府决定在相距的A，B两站之间的公路旁E点，修建一个土特产加工基地，且使C、D两村到点E的距离相等，已知于A，于B，，，那么基地E应建在离A站多少的地方？ 【答案】基地E应建在离A站的地方 【知识点】选址使到两地距离相等(勾股定理的应用) 【分析】本题考查勾股定理的应用，设，得到，根据勾股定理结合C、D两村到点E的距离相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， 设，则：， 在中，， 在中，， ∵，，， ∴，即：， 解得：， ∴， ∴基地E应建在离A站的地方． 【题型二十四】求最短路径(勾股定理的应用) 50．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，长方体礼品盒的长为，宽为，高为，．现要在礼品盒上从点到点贴上一条彩带，则这条彩带的长度最短为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】两点之间线段最短、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】根据不同侧棱展开，分别求得对应的边，利用勾股定理求得对应路径，再结合实数大小比较即可． 【详解】解：将长方体展开成平面图形如图所示: ∵长方体的长为,宽为,高为,CB＝, ∴在图中的长为：， 在图中的长为：， 在图中的长为：， ， ∴这条彩带的长度最短为 故选：A． 【点睛】本题考查了平面展开图象的最短路径问题和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉分类讨论思想的应用． 51．（25-26八年级下·全国·周测）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从处快速到达图书馆处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在处立一个标牌：“少走■米，踏之何忍？”如图，若，，则标牌上“■”处的数字是 ． 【答案】6 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握利用勾股定理计算直角三角形的边长，再通过路程差计算少走的距离是解题的关键． 先在直角三角形中用勾股定理求出的长度，再计算绕行路程与直线路程的差，得到少走的距离． 【详解】解：∵草地为长方形， ∴，为直角三角形 ∵在中，斜边，直角边， ∴根据勾股定理，另一条直角边 ∵行人若不穿越草地，需走的路程为 ， ∴比直接穿过草地少走的距离为 ． ∴标牌上“■”处的数字是． 故答案为：． 【题型二十五】判断三边能否构成直角三角形 52．（25-26八年级下·全国·月考）以下列各组数为三边长的三角形中不是直角三角形的是（    ） A．4，5，6 B．8，15，17 C．24，7，25 D．15，20，25 【答案】A 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两较小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形是直角三角形；否则不是. 逐项验证即可． 【详解】解：A、 + ， ， 以为边的三角形不是直角三角形，故符合题意； B、 + ， ， + = ， 是直角三角形，故不符合题意； C、 + ， ，∴ + = ， 是直角三角形，故不符合题意； D、 + ， ， + = ，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握该定理． 53．（24-25八年级下·陕西商洛·期末）已知的三边长分别为，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理和三角形面积公式，由三边长度，利用勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，，， ，， ， 所以是直角三角形，且为直角边，为斜边， 故， 故答案为：． 【题型二十六】在网格中判断直角三角形 54．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】格点图中画等腰三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解． 【详解】解：如图， 格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个 故选：D． 55．（22-23八年级下·广东东莞·期中）如图，方格纸中小正方形的边长为1，的三个顶点都在小正方形的格点上， (1)的长为_____，的长为_____ (2)求证： 【答案】(1)，． (2)见解析 【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、在网格中判断直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，根据格点坐标确定直角边长度，进而求出和的长． （2）通过勾股定理求出的长，再验证是否等于，若成立则． 【详解】（1）解： 由勾股定理得，． 故答案为：，． （2）解：由勾股定理得． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【题型二十七】利用勾股定理的逆定理求解 56．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积． 本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵三边之比为， ∴设三边分别为，，． ∵周长为， ∴， ∴． ∴三边分别为，，． ∵， ∴三角形为直角三角形，直角边为和． ∴面积为． 故选：D． 57．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，，，，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】由勾股定理的逆定理得到，则为直角三角形，由勾股定理计算出，得出，从而得到结论． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形，， ． ，， ， ， ， 是直角三角形，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握并运用是解题的关键． 58．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、二次根式的乘法、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，掌握通过构造辅助线将四边形问题转化为三角形问题，利用勾股定理及逆定理求解角度是解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质求出的长度和的度数，再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，得到的度数，最后将和相加得到的度数． 【详解】解：，， ，． 由勾股定理，得． ，， ，， ， 为直角三角形，， ． 【题型二十八】勾股定理逆定理的实际应用 59．（24-25八年级下·山西吕梁·期中）如图，在一块四边形空地上种植草皮，测得，，，，．若每平方米草皮需要200元，则需要投入（    ） A．5100元 B．7000元 C．7200元 D．16800元 【答案】C 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形的面积的面积的面积 ， ∴学校要投入资金为：（元）， 故选：C． 60．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中长为5个结间距的边所对的角便是直角．依据是 ． 【答案】如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握若三角形三边长满足，则该三角形是直角三角形是解题的关键． 先以结间距为单位确定三角形的三边长，再计算三边的平方，验证两个较短边的平方和是否等于最长边的平方，从而确定对应的判定依据． 【详解】解：设每个结间距的长度为，则三角形的三边长分别为 、、, ∵， ∴该三角形的三边长满足较短两边的平方和等于最长边的平方， ∴长为个结间距的边所对的角是直角，依据是如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形． 故答案为：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形． 61．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，某湿地公园有一块四边形草坪，公园管理处计划修一条从点到点的小路，经测量，，，，，． (1)小路的长为 m． (2)淇淇带着小狗在草坪上玩耍，淇淇站在点处，小狗从点开始以的速度在小路上沿的方向奔跑，到点时停止奔跑．当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了多少秒？ 【答案】(1)25 (2)当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用 【分析】（1）先运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）先证明，再运用面积法，得出，根据勾股定理列式计算得出长度，最后结合运动速度，即可作答． 【详解】（1）解： 在中， ， 小路的长为. 故答案为：25. （2）解：如图所示，过点作于点． 当小狗在小路上奔跑，且跑到点的位置时，小狗与淇淇的距离最近． ，，，， ， 是直角三角形，， 则， ， ， ． ． 故当小狗在小路上奔跑且与淇淇的距离最近时，小狗总共跑了16s． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等面积法，解题的关键是正确掌握相关性质内容． 【题型二十九】勾股定理逆定理的拓展问题 62．根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 63．（23-24八年级下·福建莆田·月考）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， . 1 学科网（北京）股份有限公司 $