专题16二次根式的概念（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题16二次根式的概念 【题型01 二次根式的识别】........................................2 【题型02 求二次根式的值】........................................4 【题型03 求二次根式中的参数】....................................5 【题型04 二次根式有意义的条件】..................................7 【题型05 利用二次根式的性质化简】................................8 【解答题4题】...........................................11 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的定义 1. 定义内容 一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。 其中： “​” 称为二次根号（根指数为 2，通常省略不写）； a 称为被开方数，a 可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。 2. 判定两个核心条件（缺一不可） 形式条件：必须含有二次根号 “​”，且根指数为 2（若根指数为 3、4 等，则不是二次根式）； 实质条件：被开方数 a 必须是非负数，即 a≥0（若 a<0，在实数范围内无意义）。 3. 判定示例 是二次根式：、（x≥−1）、​、3； 不是二次根式：（被开方数为负）、（根指数为 3）、（x<0，无意义）。 知识点02:二次根式有意义的条件 1. 单一二次根式 有意义的充要条件：被开方数 a≥0。 例： 有意义 ⟹x−3≥0⟹x≥3。 2. 复合代数式（含分式、多个二次根式） 需同时满足所有约束条件： ➽二次根式：每个被开方数 ≥0； ➽分式：分母0。 例： 有意义 ⟹⟹x≥−1 且 x2。 知识点03:二次根式的核心性质（双重非负性） 1. 性质 1：被开方数非负 中，a≥0（有意义的前提）。 2. 性质 2：二次根式本身非负 对于 a≥0，≥0（二次根式的值为非负数，即算术平方根）。 3. 性质 3：平方还原性质（a≥0） ()2=a 理解：对非负数 a，先开算术平方根，再平方，结果等于原数。 例：()2=4，()2=7。 4. 性质 4：开方取绝对值性质（a 为任意实数） =∣a∣= 理解：对任意实数 a，先平方，再开算术平方根，结果等于该数的绝对值。 例：=∣−3∣=3，=∣5∣=5。 知识点04:典型易错点与解题提醒 1.判定误区：忽略 “形式条件”（如把2误判为不是二次根式）或 “实质条件”（如认为是二次根式）。 2.性质混用：混淆()2与的适用范围（前者a≥0，后者a为任意实数）。 3.非负性应用：遇到 “+∣b∣+c2=0”，直接推出a=0、b=0、c=0。 【题型1.二次根式的识别】 【典例】请任意写一个二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫做二次根式，熟记二次根式的定义是解题的关键． 根据二次根式的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，一个二次根式可写为， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键；根据二次根式的定义，“形如的式子”，逐一判断各表达式即可． 【详解】解：下列各式，，，中是二次根式的有，，共2个； 故选B． 【跟踪专练3】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式规律探索，根据题干所给单项式得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，，，，…， ∴第n 个单项式是， 故选：A． 【题型2.求二次根式的值】 【典例】当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，把代入二次根式中利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，原式， 故选：B． 【跟踪专练2】已知，均为实数，，则的值为 ． 【答案】8 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的值，进而得出y的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：8 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 【跟踪专练3】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件． 先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出． 【详解】解：当输入时， 第一次计算：，不成立，将作为新的； 第二次计算：，成立，输出结果． 故选：C． 【题型3.求二次根式中的参数】 【典例】下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式． 根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，，，不是二次根式，是二次根式， ∴A、B、D不符合要求；C符合要求； 故选：C． 【跟踪专练1】若，满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数与另一个因数相乘的形式是解题的关键． 根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题． 【详解】解：因为， 所以． 因为是整数， 所以正整数m的最小值是2． 故选：B． 【跟踪专练3】若和都是最简二次根式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用，代数式求值，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义得到，解得，代入计算即可． 【详解】解：和都是最简二次根式， ， 解得， ， 故答案为：． 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，列出不等式并求解即可． 【详解】解：二次根式 在实数范围内有意义，需满足被开方数 ， 解不等式 ，得， 故答案为：． 【跟踪专练1】要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，在数轴上表示不等式组的解集． 根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且 解得：且 即， 在数轴上表示为：． 故选：C． 【跟踪专练2】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，函数是分式，分母是二次根式，因此需要分母不为零，且被开方数大于或等于零，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，自变量x的取值需满足 即， 解得 ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是函数有意义条件，算术平方根，熟练掌握二次根式有意义条件，分式有意义条件，是解题的关键． 根据二次根式有意义条件得，，得，解得，根据分式有意义条件得，解得，求出，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，． ∴． ∴． 解得． ∴． ∴． ∴， ∴的算术平方根是． 故选：A． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质（）及积的乘方、分式乘方的运算，熟练掌握二次根式的平方运算规则是解题的关键． （1）利用二次根式性质（），先去掉负号的平方，再化简结果． （2）直接应用二次根式性质（）计算． （3）利用积的乘方公式，分别计算系数和根式的平方，再相乘． （4）利用分式的平方公式，分别计算分子和分母的平方，再化简． 【详解】（1） ， 答案为：． （2）， 故答案为：． （3） ， 故答案为：． （4） ， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 【跟踪专练2】若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、绝对值、二次根式的性质等知识点，掌握绝对值、二次根式的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定x的取值范围，再根据绝对值的性质化简，最后合并同类项即可． 【详解】解：由三角形三边关系，得，即， ∴ ， ． 故答案为． 【跟踪专练3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值．根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴， ∴； 故选：C． 【解答题】 1．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 【答案】冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 【分析】本题主要考查了代入求值，再根据二次根式的计算，求出结果即可； 【详解】解：把代入，得． 解得． 冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米 2．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 【答案】（1）4，1；（2） 【分析】（1）利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程即可． （2）先将等式变形，再利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程，然后解方程得到x和y，再求xy的平方根． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴b=1，a-b=3， ∴a=4； （2）， ∴， ∴， 解得：， ∴xy=16， ∴xy的平方根为±． 【点睛】此题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算．对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题． 3．已知实数，，满足，求的值． 【答案】 10 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质. 本题考查非负数的性质，包括算术平方根、绝对值和完全平方的非负性，以及代数式的求值.通过分析方程中各项的非负性，得出每个部分均为零，从而求出未知数的值，再代入所求表达式计算. 【详解】解：由题意可得： . 4．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简与规律相结合，合理运用规律是解题的关键． （1）根据规律运算即可； （2）根据规律运算即可； （3）根据规律运算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （3） 解：原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16二次根式的概念 【题型01 二次根式的识别】........................................2 【题型02 求二次根式的值】........................................3 【题型03 求二次根式中的参数】....................................3 【题型04 二次根式有意义的条件】..................................4 【题型05 利用二次根式的性质化简】................................4 【解答题4题】............................................4 ★知识梳理★ 知识点01:二次根式的定义 1. 定义内容 一般地，形如 （a≥0）的式子叫做二次根式。 其中： “​” 称为二次根号（根指数为 2，通常省略不写）； a 称为被开方数，a 可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。 2. 判定两个核心条件（缺一不可） 形式条件：必须含有二次根号 “​”，且根指数为 2（若根指数为 3、4 等，则不是二次根式）； 实质条件：被开方数 a 必须是非负数，即 a≥0（若 a<0，在实数范围内无意义）。 3. 判定示例 是二次根式：、（x≥−1）、​、3； 不是二次根式：（被开方数为负）、（根指数为 3）、（x<0，无意义）。 知识点02:二次根式有意义的条件 1. 单一二次根式 有意义的充要条件：被开方数 a≥0。 例： 有意义 ⟹x−3≥0⟹x≥3。 2. 复合代数式（含分式、多个二次根式） 需同时满足所有约束条件： ➽二次根式：每个被开方数 ≥0； ➽分式：分母0。 例： 有意义 ⟹⟹x≥−1 且 x2。 知识点03:二次根式的核心性质（双重非负性） 1. 性质 1：被开方数非负 中，a≥0（有意义的前提）。 2. 性质 2：二次根式本身非负 对于 a≥0，≥0（二次根式的值为非负数，即算术平方根）。 3. 性质 3：平方还原性质（a≥0） ()2=a 理解：对非负数 a，先开算术平方根，再平方，结果等于原数。 例：()2=4，()2=7。 4. 性质 4：开方取绝对值性质（a 为任意实数） =∣a∣= 理解：对任意实数 a，先平方，再开算术平方根，结果等于该数的绝对值。 例：=∣−3∣=3，=∣5∣=5。 知识点04:典型易错点与解题提醒 1.判定误区：忽略 “形式条件”（如把2误判为不是二次根式）或 “实质条件”（如认为是二次根式）。 2.性质混用：混淆()2与的适用范围（前者a≥0，后者a为任意实数）。 3.非负性应用：遇到 “+∣b∣+c2=0”，直接推出a=0、b=0、c=0。 【题型1.二次根式的识别】 【典例】请任意写一个二次根式： ． 【跟踪专练1】下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式，，，中是二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】在一次科技展览会上，机器人利用编程展示了一组按规律排列的单项式形式信号代码，其单项 式依次为：，，，，……，则第n 个单项式是（   ） A． B． C． D． 【题型2.求二次根式的值】 【典例】当时，二次根式的值是 ． 【跟踪专练1】当时，二次根式的值为（   ） A． B．2 C． D． 【跟踪专练2】已知，均为实数，，则的值为 ． 【跟踪专练3】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．1 B． C． D．2 【题型3.求二次根式中的参数】 【典例】下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，满足，则 ． 【跟踪专练2】已知是整数，则正整数m的最小值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练3】若和都是最简二次根式，则 ． 【题型4.二次根式有意义的条件】 【典例】如果二次根式在实数范围内有意义，那么的取值范围为 ． 【跟踪专练1】要使有意义，则的取值范围在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【跟踪专练3】如果，那么的算术平方根是（    ） A．1 B． C．7 D． 【题型5.利用二次根式的性质化简】 【典例】计算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【跟踪专练1】若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【跟踪专练2】若一个三角形的三边长分别为 2，5，，则化简代数式的结果 ． 【跟踪专练3】实数，在数轴上的位置如图所示，则化简后的结果为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限近似的满足如下的关系式：，其中d（单位：厘米）代表苔藓的直径，t（单位：年）代表冰川消失的时间．求冰川消失16年后苔藓的直径． 2．阅读材料并解决下列问题： 已知a、b是有理数，并且满足等式5﹣﹣a，求a、b的值． 解：∵5﹣﹣a 即5﹣ ∴2b﹣a＝5，﹣a＝ 解得：a＝﹣ （1）已知a、b是有理数，并且满足等式﹣1，则a＝　 　，b＝　 　． （2）已知x、y是有理数，并且满足等式x+x+18，求xy的平方根． 3．已知实数，，满足，求的值． 4．【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：： (1)计算：_____；_____； (2)若，则正整数_____； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简： ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $