专题18二次根式的加减题型突破讲义(知识梳理+题型精析+强化巩固专练+寒假预习)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题18二次根式的加减题型突破讲义 01 题型梳理 基础 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算 过关题 能力 3.二次根式的混合运算 4.已知字母的值.化简求值 提升题 5.已知条件式.化简求值 6.二次根式的大小比较 拓展 7.求二次根式中的参数 8.二次根式的应用 拔高题 02 重点内容 核心概念：同类二次根式 1.定义 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则称为同类二次根式。 关键：先化简，再判断；与根号外系数无关，只看最简后的被开方数。 2.合并法则（类比合并同类项) ma+nva=(m+n)va (a=0) 只把根号外系数相加减，根指数与被开方数不变 非同类二次根式不能合并，保留原式。 二·二次根式加减运算（核心步骤+法则） 1.运算本质 二次根式加减=化简所有根式+合并同类二次根式。 2.三步标准流程 化：将每个二次根式化为最简二次根式（最关键一步）； 找： 找出所有同类二次根式，分组归类： 合： 合并同类二次根式（系数相加减），非同类根式照抄。 3. 运算律（与整式加减一致） 试卷第1页，共3页 加法交换律： a+b=b+a; 加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c); 去括号/添括号法则：括号前为4”，去括号不变号；括号前为”，去括号 各项变号。 三.二次根式加减与乘除对比（易混点） 运算 根号外系数 被开方数 化简要求 加减 相加减 不变（仅合并同类） 先化最简，再合并 乘除 相乘除 相乘除 结果化最简 基础过关题 【题型1.同类二次根式】 1.已知最简二次根式√x-1与二次根式√18是同类二次根式，则x= 2.下列二次根式中，能与√5合并的是() A.√5 B.V25 C.√45 D.√0.7 3.若2m+2n-5与"√m+n都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则m+n= 4.若最简二次根式√2a-b+6与3a-4a+3b是同类二次根式，那么() A.a=2,b=1B.a=1,b=-1 C.a=1,b=0 D.a=1,b=1 【题型2.二次根式的加减运算】 5.5√万+2斤=__；√20-√45= 6.下列运算正确的是() A.5÷5=3B.45-√5=4C.8÷V2=4 D.5x=6 7.计算厅否+6-的结果为 8.陈老师在黑板上写了一个式子：(3+1)口5-)，“口”中的运算符号没有给出.如果运 算结果是有理数，那么“口”中的运算符号可能是() A.一或× B.×或÷ C.+或 D.一或÷ 试卷第1页，共3页 解答题 9.计算： (1)45+⑧-8+25 e3i-2S+s ÷2W5 能力提升题 【题型3.二次根式的混合运算】 10.计算：63-V28 √万 11.2√a+3√b的一个有理化因式是() A.-2a-3bB.2a+3b C.√2a-3b D.-2√a+3√b 12.已知6-√2的小数部分b=2-√2，如果用a表示它的整数部分，那么ab2-3ab-4b的 值是 13.计算V12 的结果是() A.12 B.4V5 C.25 D.6 解答题 14.计算： m-5目 ②5-5+1- 【题型4.己知字母的值.化简求值】 15.已知x=2-2,那么(x-2)2-x的值为 16.若x=1-√2025，则代数式x2-2x+2的值是() A.2024 B.2025 C.2026 D.-2025 17.己知y=√x-2+V2-x+6,则x+y= 试卷第1页，共3页 18.已知a=2,6=-8,c=5,则代数式-b+-4ac的值为（) 2a A.-4+√6 B.4+√6 C.-4+V6 D.4+V6 2 2 解答题 19.己知x=(V2+2)2,y=6-42 (1)x的值为 ,x2-y2的值为 (2)若x2+nxy+y2=160,则的值为 【题型5.已知条件式.化简求值】 20.若V(a-3)2=2则a的值为() A.5 B.±5 C.5或1 D.-5或1 21.已知w=4,那么x长+\ 的值是 22.已知+1=-1，则化简 +4的结果为() a+1 A.-2a B.2a C.2a+2 D.-2 a a 解答题 的值， 23.已知ab=3,求式子10aa而5后*15V6 【题型6.二次根式的大小比较】 24.比较大小：25_V10.(选填“>”、“=”、“<”). 25.已知：a=√6-√5，b=√万-√6，c=2√2-√万，则a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 2019, 26.已知a=V2020h= 20,比较大小：名一（策><“政=)· V2021 27.已知k,m,n都是整数，若√90=k0,√⑧00=20√m,√180=6√n,则下列关于 k,m,n大小关系的结论，正确的是() A.m<k<n B.m=n<k C.m<n<k D.k<m=n 试卷第1页，共3页 拓展拔高题 【题型7.求二次根式的参数】 28.若二次根式√x-3的值为0，则x的值为 29.若√24n是整数，则正整数n的最小值是() A.3 B.4 C.5 D.6 30.已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是_， 解答题 31.类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法.。 (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：√x+1=2 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程_，解这个方程，得x=·经检验，x=_是原方 程的解， (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：V9x2-5x+3x=1: ②代数式V2+4+V7-x)+4的值能否等于7？若能，求出x的值：若不能，请说明理由. 【题型8.二次根式的应用】 32.古希腊的几何学家海伦（约公元50年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别 为a,b,c,那么三角形的面积S与a,b,c之间的关系式是S=√p(p-a(p-b)(p-c ,其中p=a+b+C,若三角形的三边长分别为4,6,8，则该三角形的面积为 2 33.按一定规律排列的实数：√2,2，√6，√⑧，√0，…，第200个数是() A.10 B.√200 C.20 D.V800 34.在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加2√5cm,宽增加4√5cm,就成为了一个面 积为192cm的正方形，则原长方形纸片的对角线为 cm, 解答题 试卷第1页，共3页 35.某学校有一块长方形的文化长廊区域ABCD(如图)，该区域的长BC为6√3米，宽 AB为√48米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为 (25-1米 (1)求该长方形文化长廊区域ABCD的周长；（结果保留根号） (②)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元/平 方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 试卷第1页，共3页 专题18二次根式的加减题型突破讲义 基础 过关题 1.同类二次根式 2.二次根式的加减运算 能力 提升题 3.二次根式的混合运算 4.已知字母的值.化简求值 5.已知条件式.化简求值 6.二次根式的大小比较 拓展 拔高题 7.求二次根式中的参数 8.二次根式的应用 一.核心概念：同类二次根式 1. 定义 几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则称为同类二次根式。 关键：先化简，再判断；与根号外系数无关，只看最简后的被开方数。 2. 合并法则（类比合并同类项） m+n=(m+n)(a≥0) 只把根号外系数相加减，根指数与被开方数不变； 非同类二次根式不能合并，保留原式。 二.二次根式加减运算（核心步骤 + 法则） 1. 运算本质 二次根式加减 = 化简所有根式 + 合并同类二次根式。 2. 三步标准流程 化：将每个二次根式化为最简二次根式（最关键一步）； 找：找出所有同类二次根式，分组归类； 合：合并同类二次根式（系数相加减），非同类根式照抄。 3. 运算律（与整式加减一致） 加法交换律：a+b=b+a； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 去括号 / 添括号法则：括号前为 “+”，去括号不变号；括号前为 “-”，去括号各项变号。 三.二次根式加减与乘除对比（易混点） 运算 根号外系数 被开方数 化简要求 加减 相加减 不变（仅合并同类） 先化最简，再合并 乘除 相乘除 相乘除 结果化最简 【题型1.同类二次根式】 1．已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】解：， 又最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3 ． 2．下列二次根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】能与合并的二次根式，必须是与的被开方数相同的最简二次根式，所以需要先把每个选项化为最简二次根式，再判断被开方数是否为． 【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数是，与的被开方数不同，不能合并，不符合题意； B、，是整数，不是二次根式，不能与合并，不符合题意； C、，被开方数是，与的被开方数相同，能合并，符合题意； D、​​，被开方数是，与的被开方数不同，不能合并，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式的概念，解题关键是先将各选项化为最简二次根式，再判断被开方数是否相同． 3．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式， ∴，， 解得：，， 此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。 ∴， 故答案为：5； 4．若最简二次根式与是同类二次根式，那么（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，利用同类二次根式得出方程组是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义，可得关于、的二元一次方程组，根据解方程组，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与是同类二次根式得： ， 解得：． 故选：D． 【题型2.二次根式的加减运算】 5． ； ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减，第一小题直接合并；第二小题先化简平方根再计算. 【详解】解：， . 故答案为 ；. 6．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据二次根式的乘除和加减法则，需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：∵，∴ A错误； ∵，∴ B错误； ∵，∴ C错误； ∵，∴ D正确； 故选：D． 7．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，解题关键是先把二次根式化为最简二次根式，再准确合并同类二次根式． 先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式，从而计算出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 8．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，通过计算每种运算的结果并判断其是否为有理数来求解. 分别计算“”、“”、“”、“”四种运算的结果，判断是否为有理数. 【详解】解：加法：（无理数），不符合题意； 减法：（有理数），符合题意； 乘法：（有理数），符合题意； 除法：（无理数），不符合题意. ∴ “□”中的运算符号可能是或. 故选：A. 解答题 9．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先根据二次根式的加减法计算括号内的运算，再计算除法即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【题型3.二次根式的混合运算】 10．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的运算．根据运算法则先对二次根式进行化简，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 11．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，有理化因式需使乘积为有理式，利用平方差公式消除根号即可求解． 【详解】解：选项A、B和原式相乘后含，选项C相乘后仍含根号，均不是有理式； ∵，结果为有理式． 故选：D． 12．已知的小数部分，如果用表示它的整数部分，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的整数部分与小数部分的确定，代数式求值，提公因式法进行因式分解，掌握提取公因式简化计算是解题的关键． 根据的小数部分确定的整数部分，再代入表达式计算． 【详解】解：的小数部分， ， 故整数部分，小数部分 代入： 原式 故答案为：． 13．计算的结果是（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的化简方法，及二次根式的乘法法则，加减运算法则进行求解即可． 【详解】解：∵ , , , , ∴ 括号内为 , ∴ 原式  . 故选：A． 解答题 14．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算、零指数幂，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的减法即可； （2）先计算二次根式的乘除法，零指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4.已知字母的值.化简求值】 15．已知x＝2﹣，那么（x﹣2）2﹣x的值为 ． 【答案】 【分析】先把x的值代入（x﹣2）2﹣x中，然后利用二次根式的性质计算． 【详解】解：∵x＝2﹣， ∴（x﹣2）2﹣x＝（2﹣﹣2）2﹣（2﹣） ＝2﹣2＋ ＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确进行计算． 16．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 17．已知，则 ． 【答案】8 【分析】此题考查二次根式的性质，已知字母的值求式子的值，根据已知等式及，得到，，由此求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为8． 18．已知，，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查二次根式的化简求值，把，，代入后计算即可． 【详解】∵，，， ∴， 故选：D． 解答题 19．已知，． (1)的值为________，的值为________． (2)若，则的值为________． 【答案】(1) ， (2)6 【分析】（1）利用完全平方公式求的值；利用平方差公式法因式分解求解即可； （2）利用完全平方公式和提公因式法因式分解，将等式分组因式分解成含有的等式，将的值代入等式即可求出的值. 【详解】（1）解：，，． 故答案为：，. （2）解：，，， ， ． 故答案为：6. 【点睛】本题考查了二次根式的运算、完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是掌握整体代入法． 【题型5.已知条件式.化简求值】 20．若则a的值为（    ） A．5 B． C．5或1 D．或1 【答案】C 【分析】根据二次根式的运算法则可得出，再分情况计算a的值即可． 【详解】解：， 当时，；当时，； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 21．已知，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 22．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 解答题 23．已知，求式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式化简求值，掌握二次根式的乘除法的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式的乘除法法则进行化简，然后将整体代入进行求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时， 原式． 【题型6.二次根式的大小比较】 24．比较大小： ．（选填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】此题主要考查实数的大小，二次根式性质，解题的关键是熟知实数的性质． 利用二次根式性质，比较实数的大小即可． 【详解】解：∵，有， ∴． 故答案为：． 25．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 26．已知，比较大小： 1（填“”“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，二次根式的大小比较，先计算，再进一步比较大小即可. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 27．已知，，都是整数，若，，，则下列关于，，大小关系的结论，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，实数大小的比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键． 可根据二次根式的乘法法则进行化简，求出、、的整数值，然后比较大小即可. 【详解】解：∵ ，且， ∴． ∵，且， ∴． ∵，且， ∴． ∴, , , ． 故选：A． 【题型7.求二次根式的参数】 28．若二次根式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的值为时，被开方数必须为的条件是解题的关键． 根据二次根式的性质，当二次根式的值为时，被开方数必须为． 【详解】解：∵二次根式 的值为， ∴被开方数 ， 解得 故答案为：． 29．若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使为整数，需满足是完全平方数，由，即可确定n的最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， 则是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 30．已知有意义，如果关于的方程没有实数根，那么的取值范围是 ． 【答案】． 【分析】把方程变形为，根据方程没有实数根可得，解不等式即可． 【详解】解：由得， 有意义，且， 方程没有实数根，即， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定的取值范围． 解答题 31．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 【题型8.二次根式的应用】 32．古希腊的几何学家海伦（约公元年）在研究中发现：如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积S与，，之间的关系式是，其中．若三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】根据如果一个三角形的三边长分别为，，，那么三角形的面积与，，之间的关系式是，其中，可以求得题目中所求三角形的面积． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握海伦公式． 33．按一定规律排列的实数：，2，，，，…，第200个数是（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了与实数有关的规律探索，化简二次根式，观察发现被开方数是序号的2倍，据此规律求解即可． 【详解】解：第一个数为， 第二个数为， 第三个数为， 第四个数为， ……， 以此类推可知， 第个数为， ∴第个数是， 故选：C． 34．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为的正方形，则原长方形纸片的对角线为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，勾股定理，根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长，进而求出长方形的长和宽，再根据长方形纸片的对角线的平方等于长方形的长的平方加上宽的平方列式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∴长方形的长为，长方形的宽为， ∴原长方形纸片的对角线为， 故答案为：． 解答题 35．某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $