7.2余弦函数的图像与性质（题型专练）高一数学沪教版必修第二册

7.2 余弦函数的图像与性质 题型1 五点法画余弦函数图像 1．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析. 【分析】（1）（2）列出表格，利用五点法作出函数图象. 【详解】（1）取值列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 0 描点、连线，作出函数的图象： （2）取值列表如下： x 0 π 2π 1 0 0 1 描点、连线，作出函数的图象： 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数.画出在上的图象. 【答案】答案见解析 【分析】用五点法作图，先列表格，然后描点连线画图即可. 【详解】因为，所以列表如下： 0 π x 0 π y 2 4 0 0 2 4．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，试画出的图像. 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，在同一坐标系中分别画出正余弦函数图像，即可得到结果. 【详解】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图像，上方的画成实线，下方的画成虚线，则实线部分即为的图像. 题型2 求含余弦函数的定义域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 【答案】 【分析】求出的解后可得函数的定义域. 【详解】由题设有即，故， 故函数的定义域为. 故答案为： 3．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得，求出x的取值范围，即可得到函数的定义域． 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 4．（24-25高二·上海·假期作业）求函数的定义域. 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式，求出答案. 【详解】欲求函数定义域，则由，解得， 解得，取， 可得到定义域为 5．（25-26高一上·宁夏固原·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由根式知，利用余弦函数性质解不等式求定义域范围即可. 【详解】令，得， 解得， 即， 故答案为：. 题型3 求余弦函数单调区间 1．（25-26高一上·山东淄博·期末）函数的单调递增区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】令，，求出的取值范围，可得答案. 【详解】由得单调递增区间为， 可得，， 解得：， 故函数的单调递增区间是，. 故选：C 2．（25-26高一上·山东淄博·月考）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性、定义域和余弦函数的单调性求解即可. 【详解】设，则在上是单调递减的， 因为，所以， 即①. 要求原函数的单调递增区间，即是求余弦函数的单调递减区间. 当时，单调递减， 此时，结合①式，可得. 所以原函数的单调递增区间为. 故答案为：. 3．（25-26高一上·河南新乡·期末）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角和的余弦公式化简，再由余弦函数的单调性逐项判断即可. 【详解】， 当时，，由余弦函数的单调性知，单调递减，故A错误； 当时，，由余弦函数的单调性知，不单调，故B错误; 当时，，由余弦函数的单调性知，单调递增，故C正确; 当时，，由余弦函数的单调性知，不单调，故D错误. 故选：C 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，得，，，.根据余弦函数的单调性可得正确选项. 【详解】当时，，，，. 在上递减，在上单调递增. 所以在上递减． 故选：D. 5．（2025·山东·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性逐项分析判断. 【详解】依题意，函数， 对于A，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，A错误； 对于B，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，当时，，余弦函数在上单调递减， 因此在上单调递增，C正确； 对于D，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，D错误. 故选：C. 题型4 求余弦函数奇偶性与周期 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】C 【分析】由周期公式和奇偶性的定义即可判断. 【详解】由周期公式可得的最小正周期是， 又，是偶函数. 故选：C 2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先考虑偶函数排除选项A，然后看周期排除B，C. 【详解】选项A：是奇函数，不符； 选项B：最小正周期为，不符； 选项C：不具有周期性，不符； 选项D：最小正周期为，且为偶函数，符合. 故选：D. 3．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】D 【分析】首先根据二倍角公式化简函数解析式，再判断函数的性质. 【详解】， 所以函数的最小正周期为， 又，所以为偶函数. 故选：D. 4．（24-25高一下·四川成都·期中）下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正余弦函数的周期性和奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以函数为奇函数，故A不符题意； 对于B，函数的最小正周期， 因为， 所以函数为偶函数，故B符合题意； 对于C，因为， 所以函数为奇函数，故C不符题意； 对于D，函数的最小正周期，故D不符题意. 故选：B. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】C 【分析】由周期公式和奇偶性的定义即可判断. 【详解】由周期公式可得的最小正周期是， 又，是偶函数. 故选：C 题型5 求余弦函数的对称性 1．（25-26高一·全国·假期作业）函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】令求解. 【详解】令，解得，， 所以函数的对称轴方程为，. 故选：A. 2．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的对称性结合整体思想求出函数的对称中心，然后逐一验证即可. 【详解】已知，余弦函数的对称中心为， 令，解得， 则函数的对称中心为，排除选项， 时，，对应选项， 对于选项，当时，， 故点不在函数图象上，不是对称中心，错误 故选：D 3．（25-26高三上·广东·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质求出函数的对称轴方程，即可判断. 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的对称轴为， 当时，故B符合题意，、、均不符合题意. 故选：B 4．（25-26高三上·北京房山·月考）函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法可求得的对称中心坐标为，逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先根据余弦函数对称轴的性质求出的表达式，在代入中计算即可. 【详解】令，解得， 是函数图像的一条对称轴，， 则， 当为偶数时，，则； 当为奇数时，，则， 的值为或. 故选：C. 题型1 根据余弦函数单调性比较大小 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）与的大小关系是 ．（用“>”连接） 【答案】 【分析】由余弦函数的周期性，再结合在上单调递减，即可比较大小. 【详解】， ， 因为，而在上单调递减， 所以， 即． 故答案为： 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角函数的单调性判断AB，利用放缩法结合基本不等式判断C，假设使得，利用三角恒等变换化简判断D. 【详解】选项A：因为在上单调递增， 在上单调递减， 结合函数图象可得存在使得，此时，A说法错误； 选项B：当时，，即， 因为在单调递减，所以当时，，B说法错误； 选项C：当时，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，而， 所以， 当时，且， 所以， 同理可得， 当时，， 综上，C说法正确； 选项D：假设使得， 则， 由函数图象易知当时， 所以，所以， 因为，，所以，， 即恒成立，与假设矛盾， 所以不存在使得，D说法错误； 故选：C 3．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式有，，，最后利用的单调性即可求解. 【详解】由，， ，又， 因为在单调递减， 所以，即，所以. 故选：D. 4．（2025·江苏·模拟预测），则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正余弦函数的单调性可判断AB；取，结合正弦函数单调性可判断C；利用余弦函数的单调性和奇偶性，分和讨论即可判断D. 【详解】对A，因为，且函数在区间上单调递增， 所以，，所以，即， 所以，错误； 对B，因为函数在区间上单调递增， 所以，当时，，， 所以，即， 此时，错误； 对C，当时，，， 所以， 此时，错误； 对D，因为是偶函数，且在上单调递减， 所以，当且时，，， 所以，即，， 此时； 当且时，，， 所以，即，， 此时. 综上，，正确. 故选：D 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角函数性质结合题意可得答案. 【详解】由图，在单位圆中，设， 则. 因在上单调递减，则. 又，则，从而. 故选：A 题型2 求余弦函数的最值或值域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 2．（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，结合二次函数的性质求函数的值域. 【详解】令，则， 显然开口向上且对称轴为，则在上单调递减， 由，，故，即. 故选：C 3．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 4．（25-26高一上·河北邢台·期末）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设，得出结合二次函数的单调性得出最值即可求解. 【详解】设， 则， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取最小值， 当时，取最大值， 则的取值范围为. 故选：C. 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数，的值域． 【答案】 【分析】将函数变形为关于的二次函数，应用复合函数求值域的方法求解即可. 【详解】因为． 因为， 所以． 从而当，即时，； 当，即时，． 所以函数值域为． 题型3 根据余弦函数单调性求参 1．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为 . 【答案】 【分析】利用余弦函数的单调性求解.由的范围求出，结合图像可以得到，列出不等式组，计算得解. 【详解】已知，，那么，所以， 因为余弦函数在上单调递增， 而函数在区间上单调递增，所以， 由此可得不等式组，可得，则的最大值为1. 故答案为：1. 2．（25-26高一上·江苏常州·期末）函数恒有，且在上单调递减，则 . 【答案】或 【分析】由已知可得，可得，已知在上单调递减，可得，解得，时时，检验后得到结论 【详解】由已知恒有， 可得，可得， 可得，可得， 已知在上单调递减， 可得，可得，解得， 时时， 时，，符合题意， 时，，符合题意. 故答案为：或. 3．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意确定当时，，再结合余弦函数的单调性，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】当时，， 由于余弦函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上单调递增，需满足， 即，即的取值范围是， 故答案为： 4．（25-26高一上·甘肃天水·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可得，再结合余弦函数的性质求解即可. 【详解】由，得， 又因为函数在上单调递增， 由余弦函数的性质可知，在上单调递增， 则，解得. 因为， 所以的取值范围为. 故答案为： 5．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性结合整体思想求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以 又因为函数在区间上单调递减， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 题型4 根据余弦函数的奇偶性求参 1．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 2．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数奇偶性可得，据此可得答案. 【详解】因为奇函数， 则，则. 故选：D 4．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质，求得，进而得到答案. 【详解】由函数是偶函数，可得， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 5．（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的奇偶性求解即可. 【详解】由是偶函数， 则，，即，， 则时，，时，，时，， 则的最小值是. 故选：A. 题型5 根据余弦函数的对称性求参 1．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用余弦型函数的对称性进行求解即可. 【详解】因为点是函数的图象的一个对称中心， 所以， 因为，所以由， 所以当时，有最小值. 故选：D 2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）“，”是“函数关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用余弦函数的对称性结合充要条件的概念即得. 【详解】由关于对称， 代入可得， 解得， 即与是等价的，所以必要性成立. 反之，若，当时，，故函数关于对称，所以充分性成立. 综上，两者互为充要条件. 故选： 3．（25-26高一上·广东·期末）已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】由题意结合余弦函数的对称性可得，再结合求解即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称， 所以，则， 又，则或或或， 所以满足条件的所有的和为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据余弦函数对称轴的性质，建立关于的方程，进而求解的最小值. 【详解】函数的图象关于直线对称， 所以，，得，， 因为，所以当时，取最小值，为， 故选：A. 5．（25-26高三上·海南·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据余弦型函数的对称中心即可求解. 【详解】由题意可知，解得， 又因为，所以，则. 故选：A 题型1 含绝对值的余弦函数图像性质 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质，分段求出值域即可得解. 【详解】依题意，，当时，， 当时，， 所以函数的值域为. 故选：B 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合余弦函数的对称轴可得函数的对称轴为，进而结合题设得到，进而求解即可. 【详解】因为函数的对称轴为， 则函数的对称轴为， 当时，， 因为函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴， 所以，解得， 则的取值范围是. 故选：A 3．（2026高三·北京·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质求出最小正周期. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 4．（25-26高三上·安徽·月考）下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各选项函数的周期性，再判断其在上的单调性，筛选出同时满足“非周期函数”和“单调递增”的选项. 【详解】对于选项A：，其图像关于轴对称， 时，时，无周期性重复图像，故不是周期函数. 当时，，在上单调递增，符合题意. 对于选项B：，当时，， 在上单调递减，不符合递增要求. 对于选项C：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 对于选项D：，其周期为，是周期函数，不符合“不是周期函数”的要求. 故选：A 5．（2026高三·北京·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数、余弦函数的性质求出最小正周期. 【详解】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 题型2 根据余弦函数的交点或者零点求参 1．（25-26高一上·天津·期末）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用二倍角的余弦公式及辅助角公式化简函数的解析式为，求出的零点，从而得到使得没有零点的条件，列出相应不等式，求解可得的取值范围. 【详解】． 令，得. 因为在区间内没有零点， 所以当时，则， 则内不包含任何； 则可得，所以. 由，得. 当时，，符合题意； 当时，.因为，所以； 当时，，不合题意. 综上，的取值范围是. 故选：C. 2．（2025高一上·江苏·专题练习）函数，关于函数的零点情况说法不正确的是（    ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点 【答案】D 【详解】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， A，当时，在上与无公共点，正确； B，当时，在上与只有1个公共点，正确； C，当时，在上与有2个公共点，正确； D，由图象，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍，即， 因为，可得，区间长度为，所以不存在t的值，使得有3个零点，不正确. 故选：D 3．（25-26高三上·江西·月考）若，，中的2个是的相邻零点，另外1个不是的零点，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】AB 【分析】本题先根据相邻零点求出半周期，再根据余弦函数性质确定另一个是否为零点，然后利用确定的值. 【详解】若，是的相邻零点，因为，，，不是的零点，，此时； 若，是的相邻零点，，一定是的零点，不符； 若，是的相邻零点，，，则不是的零点，此时，． 故选：AB． 4．（25-26高三上·河南郑州·期中）曲线与在有唯一交点，则的值为 . 【答案】2 【分析】借助图象可发现将向上平移2个单位，曲线与在有唯一交点. 【详解】因为，则， 曲线与图象有5个交点，如图，    若想让曲线与在有唯一交点， 则需将向上平移2个单位，如图，    所以. 故答案为：2 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则 ．    【答案】/ 【分析】通过两点间的距离以及三角函数的周期性来求解函数中的参数，进而求出指定点的函数值. 【详解】设，由可得， 令，得或， 即， ，， 由题图可知， 因为零点在增区间中， ，解得， ，， 故． 故答案为：. 题型3 余弦函数的综合性质 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 【答案】A 【分析】首先明确函数的定义域，然后利用奇偶性的概念判断奇偶性，再利用函数单调性的定义，结合正弦函数和余弦函数的单调性和不等式的性质即可判断在上的单调性． 【详解】因为，所以的定义域为， 易知，所以为偶函数． 设，且，则，， 所以，，， 于是，即， 所以在上单调递增． 故选：A 2．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知函数，下列命题： ① ②函数为奇函数 ③若，则或， ④若（）在区间上恰有3个零点，则 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】计算的值，并结合三角函数的值域可判断①；利用奇函数满足的性质可判断②；解三角函数方程可判断③；求出的零点，利用第三个零点在内，第四个不在可得答案. 【详解】函数 的分析如下： 对于① ：，而 的最大值为 1，因此不等式恒成立，命题为真； 对于②：，计算 ，不是奇函数，命题为假； 对于③：由，得： ， 则 或 ，， 解得 或 ，，命题为真； 对于④：， 零点满足 ，解得 . 由 时恰有 3 个零点，得：第三个零点应小于等于，第四个零点应大于， 即， 解得 ，命题为真. 综上，真命题为①、③、④，共 3 个. 故选：C 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为1，最小值为 D．在上单调递减，在上单调递增 【答案】D 【分析】作出函数的图象，对于，验算是否成立即可；对于，由，即可判断；对于，借助函数单调性，只需求出函数在上的最大值和最小值验算即可判断CD. 【详解】作出函数的图象如图中实线所示. 对于，由图可知，函数的图象关于直线对称， 对任意的， ， 所以函数的对称轴为，故错误； 对于，对任意的， 结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误； 对于，由选项可知，函数的对称轴为， 且该函数的最小正周期为，要求函数的最大值和最小值， 只需求出函数在上的最大值和最小值， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为， 所以，因此的最大值为，最小值为，故错误； 对于，由选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，故正确. 故选：D 4．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 【答案】D 【分析】求的最小正周期可判断A；由的对称中心的性质可判断B；求出的单调递减区间可判断C；求出的对称轴方程可判断D． 【详解】的最小正周期为，A错误； 由，B错误； 当时，， 所以在区间上单调递增，C错误； 由的图象关于直线对称， 得的最小值为，D正确． 故选：D． 5．（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②是以为最小正周期的周期函数； ③在区间上单调递增； ④在上有个零点； 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】化简函数的解析式，利用特殊值法可判断②；数形结合可判断①③④. 【详解】由， 当时，即当时， ，即； 当时，即当时， ，即. 所以， 作出函数的图象如下图所示： 对于①，由图可知，函数的值域为，①对； 对于②，因为，，所以， 所以不是函数的周期，②错； 对于③，由图可知，函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在区间上不单调，③错； 对于④，由图可知，函数在区间上的零点为、， 即函数在上有个零点，④对. 故答案为：①④. 题型4 根据余弦函数的综合性质求参 1．（25-26高一上·北京通州·月考）设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 【答案】B 【分析】根据在区间上的单调性以及，求得图象的对称中心、对称轴、函数的最小正周期，即可判断各选项. 【详解】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期， 而，且， 所以是图象的一条对称轴. 因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B 2．（25-26高三上·福建莆田·月考）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】结合题意，根据余弦函数的奇偶性、对称性、单调性求解即可. 【详解】因为函数是奇函数， 所以，而，则， 此时， 由是图象的一条对称轴， 所以，则， 又在区间上单调，则，即，则或6， 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意； 当时，， 由，则，因为函数在上单调递增， 所以在上单调递增， 即在上单调递减，满足题意. 综上所述，或6. 故选：B. 3．（25-26高一上·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据周期公式及条件，可得范围，根据余弦函数的对称性，可得的表达式，即可得值，进而可得解析式，代入数据，即可得答案. 【详解】因为，所以，解得， 因为的图象关于点中心对称， 所以，且，所以， 解得，令，得， 所以， 所以． 故选：B 4．（25-26高一上·天津滨海新·期末）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据所给条件，结合余弦函数的周期、对称轴、中心、单调性求出可判断①②，再由函数解析式及余弦型函数的性质，判断③④. 【详解】因为为的一条对称轴，是的一个对称中心， 又因为在上单调递减，所以， 所以，故①正确； 所以，因为是的一条对称轴， 所以，所以，又，所以， 所以， 所以，是偶函数，故②正确； 当时，，所以有且只有当时，即时，函数在区间上只有一个零点，故③正确； 当时，，所以由余弦函数的单调性知，当时，，故④正确. 故选：D 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设函数（且）满足以下条件：①，均有；②，，且，则关于x的不等式的最小正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题干条件得到，，，进而解不等式得到，进而解不等式即可求解. 【详解】由①得，，则，（1） 由②得：，则，（2） 且，即， 联立（1）（2）得：， 因为，所以， 解得：，，所以，则， 将代入得：， 因为，所以，则， 即， 由，得， 则，即， 则或 解得或， 则的最小正整数为1. 故选：A 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2 余弦函数的图像与性质 题型1 五点法画余弦函数图像 1．（25-26高一上·全国·课前预习）用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西南宁·月考）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)； (2). 3．（24-25高一下·全国·课堂例题）已知函数.画出在上的图象. 4．（2025高一·全国·专题练习）作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数，试画出的图像. 题型2 求含余弦函数的定义域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）函数的定义域为 3．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域为 . 4．（24-25高二·上海·假期作业）求函数的定义域. 5．（25-26高一上·宁夏固原·期末）函数的定义域为 . 题型3 求余弦函数单调区间 1．（25-26高一上·山东淄博·期末）函数的单调递增区间是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·山东淄博·月考）函数的单调递增区间为 . 3．（25-26高一上·河南新乡·期末）函数在下列区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 题型4 求余弦函数奇偶性与周期 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期末）函数是（   ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4．（24-25高一下·四川成都·期中）下列函数中，以2为最小正周期且是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）函数，是（   ） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 题型5 求余弦函数的对称性 1．（25-26高一·全国·假期作业）函数的对称轴方程为（ ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·辽宁大连·一模）函数图象的一个对称中心是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·月考）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·北京房山·月考）函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·上海·期中）已知是函数图像的一条对称轴，若，则的值是（     ） A． B． C．或 D．或 题型1 根据余弦函数单调性比较大小 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）与的大小关系是 ．（用“>”连接） 2．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山东聊城·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江苏·模拟预测），则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·江苏南通·月考）已知，比较，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型2 求余弦函数的最值或值域 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·河南安阳·专题练习）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河北邢台·期末）若，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课堂例题）求函数，的值域． 题型3 根据余弦函数单调性求参 1．（25-26高一上·河北石家庄·期末）已知函数在区间上单调递增，则正实数的最大值为 . 2．（25-26高一上·江苏常州·期末）函数恒有，且在上单调递减，则 . 3．（25-26高一上·北京朝阳·月考）函数在区间上单调递增，则的取值范围是 . 4．（25-26高一上·甘肃天水·月考）若函数在上单调递增，则的取值范围为 . 5．（2025高一上·江苏·专题练习）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是 . 题型4 根据余弦函数的奇偶性求参 1．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期末）已知常数，函数为偶函数，则 . 3．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知函数是偶函数，且，则的最小值为 . 5．（2025·内蒙古通辽·三模）已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 题型5 根据余弦函数的对称性求参 1．（2026·新疆·模拟预测）若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河南驻马店·期末）“，”是“函数关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高一上·广东·期末）已知函数的图象关于直线对称，若，则满足条件的所有的和为 ． 4．（25-26高三上·湖南·月考）函数的图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 5．（25-26高三上·海南·月考）已知函数的图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C．2 D． 题型1 含绝对值的余弦函数图像性质 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏·期末）已知函数的图象在区间上有且仅有一条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高三·北京·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·安徽·月考）下列函数中，不是周期函数，且在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026高三·北京·专题练习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 题型2 根据余弦函数的交点或者零点求参 1．（25-26高一上·天津·期末）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·江苏·专题练习）函数，关于函数的零点情况说法不正确的是（    ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点 3．（25-26高三上·江西·月考）若，，中的2个是的相邻零点，另外1个不是的零点，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（25-26高三上·河南郑州·期中）曲线与在有唯一交点，则的值为 . 5．（25-26高一上·全国·单元测试）如图，已知函数，点是直线与函数的图象的两个交点，若，则 ．    题型3 余弦函数的综合性质 1．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则（    ） A．为偶函数，且在上单调递增 B．为偶函数，且在上单调递减 C．为奇函数，且在上单调递增 D．为奇函数，且在上单调递减 2．（25-26高一上·山东青岛·月考）已知函数，下列命题： ① ②函数为奇函数 ③若，则或， ④若（）在区间上恰有3个零点，则 其中真命题的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2026高三·全国·专题练习）已知函数，则（    ） A．的对称轴为 B．的最小正周期为 C．的最大值为1，最小值为 D．在上单调递减，在上单调递增 4．（24-25高二下·江西宜春·月考）已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称 C．在区间上单调递减 D．若的图象关于直线对称，则的最小值为 5．（24-25高一下·北京西城·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①的值域是； ②是以为最小正周期的周期函数； ③在区间上单调递增； ④在上有个零点； 其中所有正确结论的序号是 . 题型4 根据余弦函数的综合性质求参 1．（25-26高一上·北京通州·月考）设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 2．（25-26高三上·福建莆田·月考）已知函数是奇函数，是图象的一条对称轴，且在区间上单调，则的可能取值有（    ） A．1个 B．2个 C．6个 D．无数个 3．（25-26高一上·陕西商洛·期末）记函数，的最小正周期为．若，且的图象关于点中心对称，则（    ） A．1 B． C． D．3 4．（25-26高一上·天津滨海新·期末）已知函数在上单调递减，且为的一条对称轴，是的一个对称中心，给出下列判断： ①. ②函数为偶函数. ③函数在区间上只有一个零点. ④函数在区间上的最大值为. 其中，判断正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高一上·江苏无锡·期末）设函数（且）满足以下条件：①，均有；②，，且，则关于x的不等式的最小正整数解为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $