精品解析：四川省合江县马街中学校2025-2026学年高三下学期开学检测数学试题

高2026届高三下期开学检测 数学 第I卷 选择题 58分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. -1 B. C. D. 2i 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 6. 若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 10. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 抛物线 的准线方程为 C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 11. 在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（ ） A. 若M为的中点，则三棱锥体积为定值 B. 存在点P使得 C. 当时，平面截长方体所得截面的面积为 D. 若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是___________. 13. 已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为_____. 14. 已知函数，，若，，则的最小值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）若，角的平分线交于点，求. 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点. （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 18. 已知函数. （1）若，求的极值. （2）若且，关于的方程在上仅有一个实根. （i）证明：； （ii）求的最大值. 19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2026届高三下期开学检测 数学 第I卷 选择题 58分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则（ ） A. -1 B. C. D. 2i 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 则． 故选：D 2. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的性质即可逐项判断. 【详解】对于A，因为，所以函数为奇函数，故A不正确； 对于B，因为，所以函数为偶函数，故B正确； 对于C，因为，所以函数为奇函数，故C不正确； 对于D，因为，所以函数为非奇非偶函数，故D不正确． 故选：B． 3. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解一元二次不等式及绝对值不等式，再由交集运算即可求解. 【详解】因为集合， ， 所以， 故选：C 4. 已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间线、面平行或垂直的判定与性质，对每个选项逐一判断，通过举反例可判断ABC，由线面平行的性质可判断D. 【详解】对于A，如图所示：，但，故A错误； 对于B.，如图所示：满足 ，但，故B错误； 对于C，满足，但不平行，故C错误； 对于D， ，由线面平行的性质可和，故D正确. 故选：D. 5. 已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 16 B. 32 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】应用，再结合等比数列基本量运算计算求解. 【详解】因为，则， 所以， 因为，所以， 所以或舍， 所以. 故选：C. 6. 若一组数据的平均值，方差，若删去一个数之后，平均值没有改变，方差变为40，则这组数据的个数（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到删除的数为5，再利用方差公式求解. 【详解】由题意得到删去一个数之后，平均值没有改变，所以删除的数为5， 由题意，得， 删除一个数后的方差为：， 得，即． 故选：A. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式结合的范围求出，进而得到余弦值和正切值，结合诱导公式求出答案. 【详解】由题意得， 解得或． 又，所以， 则，， 所以，， ，， 故ACD错误、B正确． 故选：B 8. 已知圆锥的母线长为定值，则该圆锥的体积最大时，其母线与底面所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，求出圆锥的高以及圆锥的体积，通过对求导判断其单调性，可求得体积最大值及此时，即可求出答案. 【详解】如图，设圆锥的底面半径为，母线为，则圆锥的高为， 则圆锥的体积为，记， 则， 由可得，由，可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，即圆锥的体积最大， 此时，母线与底面所成的角即，其余弦值为. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取 100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图： 用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则（ ） A. 若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植 B. 若种下12粒A类种子，则有10粒种子5天内发芽的概率最大 C. 从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145 D. 若种下10粒B类种子， 5至8天发芽的种子数记为X， 则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图形和概率的概念可判断A选项；由题意可知发芽数X服从二项分布，，再由，且，可求k的最大值；由概率的根据对立事件的性质和相互独立事件的概率公式，可计算选项C;由题意可知X服从二项分布，，可判断D选项. 【详解】从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A错误； 若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，， ， 则，且， 可得，且， 所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B正确； 记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；  事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽； 根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率： ，故C正确； 由题意可知X服从二项分布，， 所以，故D错误； 故选：BC 10. 过抛物线 的焦点的直线交抛物线于 两点 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） A. 为定值 B. 抛物线 的准线方程为 C. 过 两点作抛物线的切线，两切线交于点 ，则点 在以为直径的圆上 D. 若过点且与直线垂直的直线 交抛物线于 两点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，B，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及焦半径公式解方程即可；对于C，利用导数的几何意义求出，直线垂直即可判断；对于D，利用韦达定理以及焦半径公式求出，即，由直线与直线垂直得即可. 【详解】对于A，由已知设过点的直线方程为， 联立方程 ， 消去 得 ，可得， 又因为 ， 所以，则 ， 解得（定值）， A 正确; 所以抛物线方程为， 准线方程为 ，B错误; 对于 C，抛物线 ， 即 ， 则 ， 所以， 故直线垂直， 所以点在以为直径的圆上， C正确; 对于 D，因为， 解得， 因为直线垂直于直线，直线的方程为 所以， 则 ，D 正确. 故选：ACD. 11. 在长方体中，，E为的中点，点P满足，则（ ） A. 若M为的中点，则三棱锥体积为定值 B. 存在点P使得 C. 当时，平面截长方体所得截面的面积为 D. 若Q为长方体外接球上一点，，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理可判定A，根据线面垂直的性质定理可判定B，根据面面平行的性质定理作出截面可判定C，判断出相对外接球的位置从而求最值可判断D. 【详解】对于A：因为M为的中点，E为的中点，所以，所以面， 则P到面的距离为定值，所以体积为定值，所以A正确． 对于B：AP在平面的投影在线段上，若，又， 且，所以平面，又平面，所以， 因为四边形为正方形，所以与BE不垂直，所以B错误． 对于C：平面与平面重合，平面与平面重合，所以延长会 与直线有交点N，因为，又，所以， 即N为点E，又平面平面，所以平面和平面的交线 与平行，取中点F，则平面截长方体所得截面为矩 形，所以面积为，所以C正确． 对于D：易知长方体的外接球半径为，球心是的中点O，由，得， ，，则点P在球外，点E在球内，， 如图，建立空间直角坐标系，设，则， 所以，即， 所以，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：立体几何中截面问题往往根据线面平行的性质定理或者面面平行的性质定理作出与各面的交线，从而得出截面. 第II卷 非选择题 92分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解即可. 【详解】根据二项式展开式的通项公式 则展开式中项为 又，则该项为， 已知项的系数是20，则，即， 解得. 故答案为： 13. 已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意得即，进一步即可求解. 【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，整理得，因此，所以的离心率为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若，，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先证明据，结合，求出，令，根据函数的单调性求出代数式的最小值即可． 【详解】， 即， ①，， ②， 又在，上单调递增， 故由①②得， 故， 令，则， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在，递增， 故， 故答案为：． 【点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用或求单调区间；第二步：解；第三步：比较方程的根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较区间端点的函数值与极值的大小． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为. （1）求的大小； （2）若，角的平分线交于点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式，以及，化简等式，再根据两角和的余弦公式，即可求解； （2）根据面积公式，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由，得， 整理得，即， ， 因为， 所以； 【小问2详解】 ， 则， 则，所以， 而， 则有，所以 16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： 一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 2 3 6 4 3 2 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 （1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 （2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题．以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为，求分布列和； （3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）分布列： 0 1 2 3 ； （3）分布列： 0 1 2 3 期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知完善列联表，进而求卡方值，应用独立性检验的基本思想得到结论； （2）（3）根据已知分析随机变量的可能值并求出对应概率，进而写出分布列，再求期望、方差. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 锻炼 合计 不经常 经常 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. 【小问2详解】 因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率 即可得，， ，， ，， 故所求分布列为 0 1 2 3 故． 【小问3详解】 易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生， 所以的所有可能取值为，且服从超几何分布： ，， ， 故所求分布列为 0 1 2 3 可得. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，过的平面与分别交于点. （1）证明：四边形为平行四边形； （2）若，则当为何值时，直线与平面所成角的正弦值最大？ 【答案】（1） 因为平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，所以. 因为平面平面，平面平面，平面平面，所以， 所以四边形为平行四边形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理和性质定理证明线线平行，即可得证； （2）取的中点，利用面面垂直的性质定理证明，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，然后代入线面角的向量公式，利用二次函数性质求解最值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接， 由及，得为等边三角形，所以. 又平面平面，平面平面平面， 所以平面. 又平面，所以，由及， 得为等腰直角三角形，所以. 以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向， 建立如图的空间直角坐标系， 则，， 所以， 设，则， 设平面的法向量为， 则，即，令，得， 所以平面的一个法向量为. 设直线与平面所成的角为， 则， 所以当，即为的中点时，， 故当时，直线与平面所成角的正弦值最大. 18. 已知函数. （1）若，求的极值. （2）若且，关于的方程在上仅有一个实根. （i）证明：； （ii）求的最大值. 【答案】（1）极小值，极大值. （2）（i）证明如下： 令， 则， 令，显然在上单调递增，又， 所以存在唯一的，满足，即， 且当时，，即，当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增，是在上的极小值，也是最小值， 又因为，要使在上仅有一个实根，必需，所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）求导，结合函数的单调性求得极值； （2）（i）令，利用导数判断单调性求出最值，得证；（ii）由，结合，可得，得，构造函数令，利用导数判断单调性求出最值. 【小问1详解】 若，则， 所以， 令，得，令，得或. 故在上单调递增，在上单调递减， 所以极小值，极大值. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知， 将代入，得. 所以. 所以， 令， 则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 故的最大值为. 19. 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）若直线过点，与交于两点，在轴上方，直线交于点，直线，交于点. （i）求的最小值； （ii）设直线与直线相交于点中点为交于点，证明：直线与定圆相切. 【答案】（1）； （2）（i）6； （ii）证明：因为直线与直线相交于点，又的中点为，所以，， 设，当时，， ， 由题意得，所以，当时，也满足， 故平分，所以，所以为的中垂线， 所以，即在圆上， 又，所以，所以与定圆相切. 【解析】 【分析】（1）设，根据直线的斜率之积为，列出方程，整理即可得出曲线的轨迹方程. （2）设出直线的方程并与曲线联立，利用韦达定理得，与， 联立得，即得的表达式，然后利用基本不等式求出最值即可；（）利用斜率公式和三角函数和差角公式可得，得，进而得到圆的方程，利用可得直线与定圆相切. 【小问1详解】 设，则，所以， 所以， 所以，即， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （i）依题意知，直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立，消去得， 设，所以， 所以， 设，由题意知，， ， 由题意知，所以， ，所以，即， 所以，所以，所以，即在直线上， 由题意知，所以， 所以，即，所以， 所以，所以， 即在直线上，因为直线的方程为，直线的方程为，由，得， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为6； （ii）略 【点睛】关键点睛：对于圆锥曲线中的最值问题，常见思路为适当设出参数，然后得到所求最值关于参数的表达式，随后利用基本不等式，代数式恒等变形，函数单调性求得最值；要证明直线与定圆相切，可如本题中利用数形结合，平面几何知识来证明，也可以找到一点，是直线到定点距离为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $