2026年中考数学第一轮复习（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）第25课时：《平移与旋转》

2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 25 课时 平移与旋转 一、核心知识 （一）平移的相关概念与性质 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿着___________移动一定的____________，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的____________和____________，只改变图形的____________。 2. 平移的核心性质 对应线段____________； 对应角____________； 对应点所连的线段____________； 平移前后的图形____________（周长、面积、对应边、对应角均保持不变）。 3. 平移的作图步骤 确定已知图形的____________（如顶点、端点等）； 根据平移方向和距离，作出每个关键点的____________（作关键点的平行线段，使线段长度等于平移距离）； 顺次连接各对应点，得到平移后的图形。 4. 平移的相关计算 平移距离：对应点之间的 为平移距离； 图形平移后的坐标变化（平面直角坐标系中）： 水平平移：点(x,y)向右平移a个单位得 ，向左平移a个单位得 ； 垂直平移：点(x,y)向上平移b个单位得 ，向下平移b个单位得 ； 斜向平移：可分解为水平平移和垂直平移的组合（如向右平移a个单位且向上平移b个单位，坐标变为(x+a,y+b)）。 （二）旋转的相关概念与性质 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着 某个固定点（旋转中心）按____________角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。旋转不改变图形的____________和______ ，只改变图形的____________。 2. 旋转的核心要素 旋转中心：图形旋转时围绕的固定点； 旋转方向：顺时针或逆时针； 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，旋转角都____________。 3. 旋转的核心性质 对应线段____________； 对应角____________； 对应点到旋转中心的距离____________； 旋转前后的图形____________； 旋转中心是对应点所连线段的____________。 4. 旋转的作图步骤 确定已知图形的____________、 、旋转方向和旋转角； 连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角作出对应线段（使对应线段长度等于原线段，旋转角等于已知角度），得到各关键点的____________； 顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。 5. 旋转的相关计算 旋转角计算：通过对应点与旋转中心的连线夹角求解，或利用全等三角形、等腰三角形性质推导； 图形旋转后的坐标变化（平面直角坐标系中，绕原点旋转常见角度）： 点(x,y)绕原点顺时针旋转90∘得(y,−x)； 点(x,y)绕原点逆时针旋转90∘得(−y,x)； 点(x,y)绕原点旋转180∘得(−x,−y)。 （三）平移与旋转的区别与联系 项目 平移 旋转 运动方式 沿固定方向移动固定距离 绕固定点旋转固定角度 核心要素 平移方向、平移距离 旋转中心、旋转方向、旋转角 对应点连线 平行（或共线）且相等 相等且夹角等于旋转角 图形对称性 平移前后的图形是____________图形（沿平移方向的垂直平分线对称） 旋转前后旋转180∘时的图形是____________图形 联系 都是____________（不改变图形的形状和大小）；复杂图形的运动可由平移和旋转组合而成 （四）平移与旋转的应用（图案设计、几何证明与计算） 1. 图案设计 核心思路：以基本图形为基础，通过平移、旋转的组合，设计出对称、美观的图案； 关键步骤：确定基本图形，选择平移方向 / 距离或旋转中心 / 方向 / 角度，重复操作形成图案。 2. 几何证明与计算 平移的应用：通过平移将分散的线段、角集中到一个图形中，方便利用全等三角形、勾股定理等知识求解； 旋转的应用：通过旋转构造全等三角形，转化线段长度或角度关系，解决线段相等、角度计算、最值问题等（常见旋转模型：等腰三角形旋转、正方形旋转、等边三角形旋转）。 二、核心能力 题型 1 平移的性质与坐标变化 解题思路 识别平移特征：根据 “对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等” 判断图形是否为平移变换； 坐标计算：平面直角坐标系中，根据平移方向和距离，直接套用坐标变化规律（水平平移变横坐标，垂直平移变纵坐标）； 验证结果：通过对应点距离是否等于平移距离、对应线段是否平行且相等验证答案正确性。 题型 2 旋转的性质与坐标变化 解题思路 明确旋转要素：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，再分析对应点、对应线段、对应角的关系； 坐标计算：绕原点旋转时，直接套用常见角度的坐标变化规律；绕非原点旋转时，先平移至原点，旋转后再平移回原位置； 角度与线段计算：利用 “对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等”，结合等腰三角形、全等三角形性质求解。 题型 3 平移与旋转的作图 解题思路 平移作图： 标记关键点，按平移方向和距离作出对应点（可借助直尺、三角板画平行线）； 顺次连接对应点，标注平移方向和距离。 旋转作图： 连接关键点与旋转中心，按旋转方向用量角器量出旋转角，作出对应线段； 确保对应线段长度相等，顺次连接对应点，标注旋转中心、旋转方向和旋转角。 题型 4 平移与旋转的综合应用（几何证明与计算） 解题思路 图形转化：通过平移或旋转将不规则图形转化为规则图形（如矩形、三角形），或把分散的条件集中到一个图形中； 构造全等：旋转问题中，常构造旋转型全等三角形（如将等腰三角形的腰旋转至另一腰的位置），利用全等性质转化线段和角度； 结合其他知识：与勾股定理、等腰三角形性质、平行线性质等结合，求解线段长度、角度或证明线段 / 角相等； 最值问题：利用平移或旋转将动点转化为定点，结合 “两点之间线段最短”“垂线段最短” 求解最值。 题型 5 平移与旋转的图案设计 解题思路 确定基本图形：选择简单、对称的图形作为基本图形（如三角形、正方形、线段）； 选择变换方式：根据图案需求，确定是单一平移 / 旋转，还是组合变换（先平移再旋转、先旋转再平移）； 规范作图：按平移 / 旋转的作图步骤操作，确保图形变换准确，图案对称、美观； 标注说明：标注基本图形、变换方式（平移方向 / 距离、旋转中心 / 方向 / 角度）。 三、易错警示 平移性质应用误区 错误：认为 “平移后的图形与原图形一定关于某条直线对称”（忽略平移方向与对称轴的关系）；平面直角坐标系中，混淆水平与垂直平移的坐标变化（如将向右平移误记为纵坐标变化）；计算平移距离时，误将对应线段的长度当作平移距离（平移距离是对应点之间的线段长度，非对应线段）。 提醒：平移后的图形不一定是轴对称图形，仅当平移方向与图形的对称轴垂直时才对称；牢记 “水平平移变横、垂直平移变纵” 的坐标变化规律；平移距离是对应点连线的长度，与对应线段长度相等，但需注意对应点的正确匹配。 旋转要素判断错误 错误：旋转角判断错误（误将对应线段的夹角当作旋转角，正确旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）；忽略旋转方向（顺时针与逆时针旋转后的图形位置不同）；绕非原点旋转时，直接套用绕原点旋转的坐标规律。 提醒：判断旋转角时，务必连接对应点与旋转中心，夹角即为旋转角；作图时明确标注旋转方向；绕非原点旋转时，需通过 “平移 — 旋转 — 平移” 的步骤转化，再进行坐标计算。 作图规范问题 错误：平移作图时，未作出平行线段导致对应点位置偏差；旋转作图时，对应线段长度不相等、旋转角不准确；作图后未标注关键信息（平移方向 / 距离、旋转中心 / 方向 / 角度）。 提醒：平移作图需借助直尺和三角板保证对应线段平行；旋转作图时，用圆规确保对应线段长度相等，用量角器准确量出旋转角；作图完成后，必须标注变换的关键信息，确保作图规范。 综合应用时思路僵化 错误：遇到平移或旋转相关的综合题时，无法想到通过变换转化图形，导致条件分散难以求解；旋转问题中，未发现旋转型全等三角形，无法转化线段和角度。 提醒：牢记 “平移可集中线段，旋转可构造全等” 的核心思路，遇到分散的线段或角时，优先考虑通过平移或旋转转化；熟悉常见的旋转模型（如等腰直角三角形绕直角顶点旋转、等边三角形绕顶点旋转），快速找到解题突破口。 坐标变化规律混淆 错误：绕原点旋转时，混淆顺时针与逆时针旋转90∘的坐标变化（如将(x,y)顺时针旋转90∘误记为(−y,x)）；旋转180∘时，误将坐标变为(x,−y)或(−x,y)。 提醒：牢记绕原点旋转的坐标规律：“顺 90 变(y,−x)，逆 90 变(−y,x)，180 变(−x,−y)”，可通过画图验证或举例记忆（如点(1,0)顺时针旋转90∘后为(0,−1)，符合规律）。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·四川模拟）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A. B. C. D. 2.（24-25·江苏模拟）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①次旋转；②次平移；③次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A.①③ B.①② C.②③ D.①②③ 3.（22-23·广东模拟）已知点坐标为，将点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，则点的坐标为（   ） A. B. C. D. 4.（23-24·河北中考）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（    ） A.平行四边形 B.等腰梯形 C.正六边形 D.圆 5.（24-25·吉林模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A. B. C. D. 6.（24-25·四川中考）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点，连接，若，则（  ） A. B. C. D. 7.（23-24·广东中考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A. B. C. D. 8.（24-25·吉林模拟）如图为建造楼梯的设计图，虚线为楼梯的倾斜线，与地面的夹角．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点铺到点），已知米，则所铺地毯的总长度为（    ） A.米 B.米 C.米 D.米 9.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A. B. C. D. 10.（23-24·甘肃模拟）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，若，，则阴影面积等于（    ） A. B. C. D. 11.（24-25·西藏模拟）如图，在方格纸中的经过变换得到，正确的变换是（    ） A.把向右平移格 B.把向右平移格，再向上平移格 C.把绕着点顺时针旋转，再向右平移格 D.把绕着点逆时针旋转，再向右平移格 12.（24-25·贵州模拟）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（    ） A. B. C. D. 13.（23-24·四川中考）如图，在中以为边作点与点在的两侧，则的最大值为（      ） A. B. C. D. 14.（24-25·安徽模拟）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A.的最大值是 B.的最小值是 C.的最小值是 D.的最大值是 15.（23-24·四川中考）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（    ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（22-23·广东模拟）如图，线段可以看成由线段先向下平移__________个单位，再向右平移____________个单位得到． 17.（24-25·四川模拟）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是____________． 18.（22-23·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移个单位长度得到，则点的对应点的坐标是           ．   19.（23-24·江苏中考）直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是           ． 20.（24-25·四川中考）如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得，连接，则四边形的周长为__________． 21.（24-25·北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将线段沿某一方向平移后得到，若点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为_________________． 22.（22-23·河南模拟）两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，若，则＝____________． 23.（22-23·内蒙古中考）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，得到．连接，交于点，则的值为        ． 24.（22-23·辽宁中考）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在上分别截取，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为        ．   25.（22-23·四川中考）如图，在中， ，．将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结，使得面积为，连结，则的最大值是______________．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·河南模拟）如图，菱形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点．若反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过和的中点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）①将菱形向下平移_________个单位长度，可使反比例函数的图象经过点； ②将菱形向右平移_______个单位长度，可使一次函数的图象经过点． 27.（24-25·福建中考）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 28.（24-25·湖南月考）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． （1）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则    ； （2）下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是        （填写序号）； （3）根据中的值，写出不等式的解集:            ．  29.（22-23·湖南中考）如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，当平分四边形的面积时，求的长． 30.（23-24·广西模拟）综合与实践 主题任务：“我的校园我做主”草坪设计 任务背景：学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九班参加校园美化设计任务：校园内有一块宽为米，长为米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路， 具体要求：矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；两条小路必须设计成平行四边形； 驱动任务一：九班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系 ，与 ；（请填“相等”或“不相等”） 驱动任务二：验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究： 纵向小路面积 横向小路面积 纵横交叉面积 小路总面积 甲方案 乙方案 丙方案 （2）请用含的代数式表示甲方案中小路总面积：______________； 驱动任务三： （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为平方米．请计算两条小路的宽度是多少？ 驱动任务四：为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角．若时，请用含的三角函数表示两条路重叠部分四边形的面积，并直接写出最小值． 31.（23-24·广西中考）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，平分． （1）求证：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 32.（23-24·江苏中考）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是________，_______（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 33. （23-24·四川中考）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和中， ，，， ___①___． ． 又， 在中，___②___． ，， ___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______； “②”处应填：______； “③”处应填：_____． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图，在正方形中，点、分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于、两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图，在矩形中，点、分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图，在中，，，，点、在边上，且．设，，求与的函数关系式． 34.（24-25·四川模拟）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． （1）列表：与的部分对应值如表，则____，_____； ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 35.（23-24·四川中考）综合与实践 （1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图、图．在图中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． （2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图、图、图．在图中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为______． ②证明：四边形为平行四边形． （3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成块，按图的方式补全图，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026 年中考第一轮复习 （核心知识 + 核心能力 + 解题思路 + 易错警示 + 真题演练） 第 25 课时 平移与旋转 一、核心知识 （一）平移的相关概念与性质 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿着______某个固定方向______移动一定的______距离______，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的______形状______和______大小______，只改变图形的______位置______。 2. 平移的核心性质 对应线段______平行（或在同一直线上）且相等______； 对应角______相等______； 对应点所连的线段______平行（或在同一直线上）且相等______； 平移前后的图形______全等______（周长、面积、对应边、对应角均保持不变）。 3. 平移的作图步骤 确定已知图形的______关键点______（如顶点、端点等）； 根据平移方向和距离，作出每个关键点的______对应点______（作关键点的平行线段，使线段长度等于平移距离）； 顺次连接各对应点，得到平移后的图形。 4. 平移的相关计算 平移距离：对应点之间的 线段长度即 为平移距离； 图形平移后的坐标变化（平面直角坐标系中）： 水平平移：点(x,y)向右平移a个单位得 (x+a,y) ，向左平移a个单位得 (x−a,y) ； 垂直平移：点(x,y)向上平移b个单位得 (x,y+b) ，向下平移b个单位得 (x,y−b) ； 斜向平移：可分解为水平平移和垂直平移的组合（如向右平移a个单位且向上平移b个单位，坐标变为(x+a,y+b)）。 （二）旋转的相关概念与性质 1. 旋转的定义 在平面内，将一个图形绕着 某个固定点（旋转中心）按______某个方向（顺时针或逆时针）旋转一定的______角度（旋转角），这样的图形运动叫做旋转。旋转不改变图形的______形状______和___大小___ ，只改变图形的______位置______。 2. 旋转的核心要素 旋转中心：图形旋转时围绕的固定点； 旋转方向：顺时针或逆时针； 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角，旋转角都______相等______。 3. 旋转的核心性质 对应线段______相等______； 对应角______相等______； 对应点到旋转中心的距离______相等______； 旋转前后的图形______全等______； 旋转中心是对应点所连线段的______垂直平分线的交点______。 4. 旋转的作图步骤 确定已知图形的______关键点______、 旋转中心 、旋转方向和旋转角； 连接关键点与旋转中心，按旋转方向和旋转角作出对应线段（使对应线段长度等于原线段，旋转角等于已知角度），得到各关键点的______对应点______； 顺次连接各对应点，得到旋转后的图形。 5. 旋转的相关计算 旋转角计算：通过对应点与旋转中心的连线夹角求解，或利用全等三角形、等腰三角形性质推导； 图形旋转后的坐标变化（平面直角坐标系中，绕原点旋转常见角度）： 点(x,y)绕原点顺时针旋转90∘得(y,−x)； 点(x,y)绕原点逆时针旋转90∘得(−y,x)； 点(x,y)绕原点旋转180∘得(−x,−y)。 （三）平移与旋转的区别与联系 项目 平移 旋转 运动方式 沿固定方向移动固定距离 绕固定点旋转固定角度 核心要素 平移方向、平移距离 旋转中心、旋转方向、旋转角 对应点连线 平行（或共线）且相等 相等且夹角等于旋转角 图形对称性 平移前后的图形是______轴对称______图形（沿平移方向的垂直平分线对称） 旋转前后旋转180∘时的图形是______中心对称______图形 联系 都是______全等变换______（不改变图形的形状和大小）；复杂图形的运动可由平移和旋转组合而成 （四）平移与旋转的应用（图案设计、几何证明与计算） 1. 图案设计 核心思路：以基本图形为基础，通过平移、旋转的组合，设计出对称、美观的图案； 关键步骤：确定基本图形，选择平移方向 / 距离或旋转中心 / 方向 / 角度，重复操作形成图案。 2. 几何证明与计算 平移的应用：通过平移将分散的线段、角集中到一个图形中，方便利用全等三角形、勾股定理等知识求解； 旋转的应用：通过旋转构造全等三角形，转化线段长度或角度关系，解决线段相等、角度计算、最值问题等（常见旋转模型：等腰三角形旋转、正方形旋转、等边三角形旋转）。 二、核心能力 题型 1 平移的性质与坐标变化 解题思路 识别平移特征：根据 “对应线段平行且相等、对应点连线平行且相等” 判断图形是否为平移变换； 坐标计算：平面直角坐标系中，根据平移方向和距离，直接套用坐标变化规律（水平平移变横坐标，垂直平移变纵坐标）； 验证结果：通过对应点距离是否等于平移距离、对应线段是否平行且相等验证答案正确性。 题型 2 旋转的性质与坐标变化 解题思路 明确旋转要素：先确定旋转中心、旋转方向和旋转角，再分析对应点、对应线段、对应角的关系； 坐标计算：绕原点旋转时，直接套用常见角度的坐标变化规律；绕非原点旋转时，先平移至原点，旋转后再平移回原位置； 角度与线段计算：利用 “对应线段相等、对应角相等、对应点到旋转中心距离相等”，结合等腰三角形、全等三角形性质求解。 题型 3 平移与旋转的作图 解题思路 平移作图： 标记关键点，按平移方向和距离作出对应点（可借助直尺、三角板画平行线）； 顺次连接对应点，标注平移方向和距离。 旋转作图： 连接关键点与旋转中心，按旋转方向用量角器量出旋转角，作出对应线段； 确保对应线段长度相等，顺次连接对应点，标注旋转中心、旋转方向和旋转角。 题型 4 平移与旋转的综合应用（几何证明与计算） 解题思路 图形转化：通过平移或旋转将不规则图形转化为规则图形（如矩形、三角形），或把分散的条件集中到一个图形中； 构造全等：旋转问题中，常构造旋转型全等三角形（如将等腰三角形的腰旋转至另一腰的位置），利用全等性质转化线段和角度； 结合其他知识：与勾股定理、等腰三角形性质、平行线性质等结合，求解线段长度、角度或证明线段 / 角相等； 最值问题：利用平移或旋转将动点转化为定点，结合 “两点之间线段最短”“垂线段最短” 求解最值。 题型 5 平移与旋转的图案设计 解题思路 确定基本图形：选择简单、对称的图形作为基本图形（如三角形、正方形、线段）； 选择变换方式：根据图案需求，确定是单一平移 / 旋转，还是组合变换（先平移再旋转、先旋转再平移）； 规范作图：按平移 / 旋转的作图步骤操作，确保图形变换准确，图案对称、美观； 标注说明：标注基本图形、变换方式（平移方向 / 距离、旋转中心 / 方向 / 角度）。 三、易错警示 平移性质应用误区 错误：认为 “平移后的图形与原图形一定关于某条直线对称”（忽略平移方向与对称轴的关系）；平面直角坐标系中，混淆水平与垂直平移的坐标变化（如将向右平移误记为纵坐标变化）；计算平移距离时，误将对应线段的长度当作平移距离（平移距离是对应点之间的线段长度，非对应线段）。 提醒：平移后的图形不一定是轴对称图形，仅当平移方向与图形的对称轴垂直时才对称；牢记 “水平平移变横、垂直平移变纵” 的坐标变化规律；平移距离是对应点连线的长度，与对应线段长度相等，但需注意对应点的正确匹配。 旋转要素判断错误 错误：旋转角判断错误（误将对应线段的夹角当作旋转角，正确旋转角是对应点与旋转中心连线的夹角）；忽略旋转方向（顺时针与逆时针旋转后的图形位置不同）；绕非原点旋转时，直接套用绕原点旋转的坐标规律。 提醒：判断旋转角时，务必连接对应点与旋转中心，夹角即为旋转角；作图时明确标注旋转方向；绕非原点旋转时，需通过 “平移 — 旋转 — 平移” 的步骤转化，再进行坐标计算。 作图规范问题 错误：平移作图时，未作出平行线段导致对应点位置偏差；旋转作图时，对应线段长度不相等、旋转角不准确；作图后未标注关键信息（平移方向 / 距离、旋转中心 / 方向 / 角度）。 提醒：平移作图需借助直尺和三角板保证对应线段平行；旋转作图时，用圆规确保对应线段长度相等，用量角器准确量出旋转角；作图完成后，必须标注变换的关键信息，确保作图规范。 综合应用时思路僵化 错误：遇到平移或旋转相关的综合题时，无法想到通过变换转化图形，导致条件分散难以求解；旋转问题中，未发现旋转型全等三角形，无法转化线段和角度。 提醒：牢记 “平移可集中线段，旋转可构造全等” 的核心思路，遇到分散的线段或角时，优先考虑通过平移或旋转转化；熟悉常见的旋转模型（如等腰直角三角形绕直角顶点旋转、等边三角形绕顶点旋转），快速找到解题突破口。 坐标变化规律混淆 错误：绕原点旋转时，混淆顺时针与逆时针旋转90∘的坐标变化（如将(x,y)顺时针旋转90∘误记为(−y,x)）；旋转180∘时，误将坐标变为(x,−y)或(−x,y)。 提醒：牢记绕原点旋转的坐标规律：“顺 90 变(y,−x)，逆 90 变(−y,x)，180 变(−x,−y)”，可通过画图验证或举例记忆（如点(1,0)顺时针旋转90∘后为(0,−1)，符合规律）。 四、真题演练 （一）选择题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 1.（24-25·四川模拟）窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中“四钱纹、梅花纹、拟日纹、海棠纹”的可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题主要考查了平移作图， 根据平移的定义“ 平移是指将一个图形或物体按照一定的方向移动一定的距离，而形状和大小保持不变的变换 ”解答即可． 【解答】解：、本选项的图案可以看作由“基本图案”经过平移得到； 、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到； 、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到； 、本选项的图案不可以看作由“基本图案”经过平移得到． 故选：． 2.（24-25·江苏模拟）如图，双鱼图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①次旋转；②次平移；③次轴对称．其中所有正确结论的序号为（    ） A.①③ B.①② C.②③ D.①②③ 【答案】A 【解析】 本题考查了图形的变换，掌握旋转、平移、轴对称的性质是关键． 根据图形变换，数形结合分析即可判定． 【解答】解：根据题意，其中一条“鱼”经过次旋转可以与另一条“鱼”重合，或者其中一条“鱼”沿着对称轴折叠，再沿着对称轴折叠可以与另一条“鱼”重合， 经过①③的变换即可， 故选： ．  3.（22-23·广东模拟）已知点坐标为，将点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，则点的坐标为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据平移变换与坐标变化规律：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减，可得答案． 【解答】解：点坐标为，将点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到，则点的坐标为——， 即， 故选：． 4.（23-24·河北中考）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（    ） A.平行四边形 B.等腰梯形 C.正六边形 D.圆 【答案】A 【解析】证明平行四边形是平移重合图形即可． 【解答】如图，平行四边形中，取，的中点，，连接． 则有：，，， 四边形向右平移可以与四边形重合， 平行四边形是平移重合图形． 故选：． 5.（24-25·吉林模拟）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解． 【解答】解：由题意得，正八边形的中心角为， 八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为， 故选：． 6.（24-25·四川中考）如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点，连接，若，则（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【解答】在中，，是中点， ， ， ， 沿方向向右平移至， ， 故选：． 7.（23-24·广东中考）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】把阴影部分分别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为列出方程即可． 【解答】解：如图，设小道的宽为， 则种植部分的长为，宽为 由题意得：． 故选． 8.（24-25·吉林模拟）如图为建造楼梯的设计图，虚线为楼梯的倾斜线，与地面的夹角．现在要在楼梯上铺地毯（沿台阶从点铺到点），已知米，则所铺地毯的总长度为（    ） A.米 B.米 C.米 D.米 【答案】A 【解析】本题考查了解直角三角形的应用和平移的性质，根据正切求出的长，再通过平移性质即可求出地毯的长度，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解答】解：， ， 所铺地毯的总长度为（米）， 故选：． 9.（24-25·浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，，则的值为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，根据对应点坐标可判断出平移方式，再根据平移方式求出、的值即可得到答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，平移至的位置．若点，的坐标分别为，平移后点，的坐标分别为，， 平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ， ， 故选：． 10.（23-24·甘肃模拟）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，若，，则阴影面积等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意知阴影部分面积等于梯形的面积，再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，根据平移的距离求出，然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：两个三角形大小一样， 阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ， ， 阴影部分的面积 ， 故选． 11.（24-25·西藏模拟）如图，在方格纸中的经过变换得到，正确的变换是（    ） A.把向右平移格 B.把向右平移格，再向上平移格 C.把绕着点顺时针旋转，再向右平移格 D.把绕着点逆时针旋转，再向右平移格 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】试题分析：观察图象可知，先把绕着点逆时针方向旋转，然后再向右平移即可得到． 根据图象，绕着点逆时针方向旋转与形状相同，向右平移格就可以与重合． 考点：几何变换的类型． 12.（24-25·贵州模拟）如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】将绕点逆时针旋转至，    四边形是正方形， ，， 由旋转性质可知：，，， ， 点三点共线， ，，， ，， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 故选：．   13.（23-24·四川中考）如图，在中以为边作点与点在的两侧，则的最大值为（      ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】此题暂无解析 【解答】解：如图，把绕顺时针旋转得到 （三点共线时取等号）， 的最大值为 故选   14.（24-25·安徽模拟）如图，在四边形中，，，，，点为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（   ） A.的最大值是 B.的最小值是 C.的最小值是 D.的最大值是 【答案】A 【解析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【解答】解：将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，． 又，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交于点，则四边形是矩形， ． ， ， ，即点在上运动， 四边形和四边形是矩形， ，，， ， ，，， ， 最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时， ，故错误，符合题意； 故正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时 当、、三点共线时，最小， 四边形是矩形， ，， 的最小值 故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ，， ， ， ， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 15.（23-24·四川中考）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，．下列三个结论：①若，则；②若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；③将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（    ） A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 【答案】D 【解析】根据，设，得到，进而得到，求出的值，判定①，根据的面积是正方形面积的倍，求出，进而得到，判断②；旋转得到，进而得到点在以为直径的半圆上，取的中点，连接，得到，判断③． 【解答】解：在中，， 设，则：， ， ， ， ， ， ；故①正确； 若的面积是正方形面积的倍，则：， ，即：， 或（舍去）， ， 点是的三等分点；故②正确； 将绕点逆时针旋转得到， ， 点在以为直径的半圆上， 取的中点，连接，则：，， ， ， 即：的最大值为；故③正确； 故选． （二）填空题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题）   16.（22-23·广东模拟）如图，线段可以看成由线段先向下平移_______2_____个单位，再向右平移_______2_____个单位得到． 【答案】, 【解析】根据平移的规律求解即可． 【解答】解：由由题意得线段先向下平移个单位，再向右平移个单位得到线段， 故答案为：，2 17.（24-25·四川模拟）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的面积是____________． 【答案】 【解析】本题考查平移的性质，相似三角形的判定和性质，三线合一，根据平移的性质，推出，根据对应边上的中线比等于相似比，求出的长，三线合一求出的长，利用面积公式进行求解即可． 【解答】解：等腰中，，， ， 为中线， ，， ，， ， 将沿其底边中线向下平移， ，， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． 18.（22-23·山东中考）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．若将向左平移个单位长度得到，则点的对应点的坐标是     (3,3)      ．   【答案】(3,3) 【解析】根据平移的性质即可得出答案． 【解答】将向左平移个单位长度得到，， . 故答案为． 19.（23-24·江苏中考）直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是           ． 【答案】 【解析】根据题意可求得与坐标轴的交点和点，可得，结合旋转得到，则，求得，即有点，利用待定系数法即可求得直线的解析式． 【解答】解：依题意画出旋转前的函数图象和旋转后的函数图象，如图所示,    设与轴的交点为点， 令，得；令，即， ，， ，，即 直线绕点逆时针旋转，得到直线， ，， ，则点， 设直线的解析式为，则， 解得， 那么，直线的解析式为．  20.（24-25·四川中考）如图，将周长为的沿方向平移个单位长度得，连接，则四边形的周长为____24________． 【答案】 【解析】本题考查平移的性质，掌握平移的不变性是解题的关键． 根据平移的性质可得、，然后求出四边形的周长等于的周长与、的和，再求解即可． 【解答】解：沿方向平移个单位长度得到， ，， 四边形的周长 的周长 ． 故答案为：． 21.（24-25·北京模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．将线段沿某一方向平移后得到，若点的对应点的坐标为．则点的对应点的坐标为__________________． 【答案】 【解析】本题主要考查了平移的性质，由平移到可确定平移方式，进而根据平移方式即可确定点的坐标． 【解答】解：由平移到可知： 点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ， 则点的对应点的坐标为， 故答案为： 22.（22-23·河南模拟）两块全等的等腰直角三角板如图放置，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，当点落在直线上时，若，则＝___或_________． 【答案】或 【解析】作直线，则；设点为坐标原点，则，，则直线为：，设点，利用、两点的距离公式求得点坐标，再求、两点距离即可解答； 【解答】解：如图，作直线， 是等腰直角三角形，是中点，， ，，，， ，， 设点为坐标原点，则，， 设所在的直线为：，代入，坐标可得直线为：， 点在直线上，设点，由两点距离公式可得： ， ，解得： 点坐标为（在延长线上）， 或（在延长线上）， 点坐标， ， 或， 故答案为：或； 23.（22-23·内蒙古中考）如图，在中，，将绕点逆时针方向旋转，得到．连接，交于点，则的值为   5     ． 【答案】 【解析】过点作于点，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、是等腰直角三角形，可得，再由，得，证明，可得，即，再由，求得，从而求得，，即可求解． 【解答】解：过点作于点，，，， ， 将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 是等腰直角三角形， ， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ，即， ，， ， ，即， 又， ， ，， ， 故答案为：．   24.（22-23·辽宁中考）如图，在正方形中，点为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，在上分别截取，使，连接，交对角线于点，连接并延长交于点．若，，则的长为        ．   【答案】 【解析】根据题干条件可得，所以，得到，又证明得，，所以，,设正方形的边长为，列双勾股方程解得正方形的边长，再根据，即可求出答案． 【解答】由题意可得，，， .，,是等腰直角三角形，连接，，，连接，，，，，又，，，连接，，，，设，，，，，，，，得，，解得（舍），，，，又，， 故答案是．      25.（22-23·四川中考）如图，在中， ，．将射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结，使得面积为，连结，则的最大值是______________． 【答案】 【解析】先整理得，过点向上作线段，使得，则，结合整理得，证明，即，运用即定角定弦，故点在以为直径的圆上，连接，并延长与交于一点，即为，运用勾股定理得，即可作答． 【解答】解：射线绕点顺时针旋转到，在射线上取一点，连结， 面积为， ， 过点向上作线段，使得， 即 ， 连接， ， ， ， ， ， ， 故点在以为直径的圆上， ， 记圆心为直径的中点， 即的半径 连接，并延长与交于一点，即为， 此时为的最大值， 故 故答案为：．  （三）解答题演练（2023-2025 年中考真题 / 模拟题） 26.（24-25·河南模拟）如图，菱形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，与相交于点．若反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过和的中点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）①将菱形向下平移___1.6______个单位长度，可使反比例函数的图象经过点； ②将菱形向右平移____4_____个单位长度，可使一次函数的图象经过点． 【答案】反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 ①（或）；② 【解析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据平移规律结合函数解析式进行解答即可． 【解答】（1）解：由题意可知，点的坐标为， 把代入得到，解得，， ， 由题意可知，的中点的坐标为， 设一次函数的解析式是，把和代入得到， ， 解得， （2）①点的坐标为， 时，， ， 即将菱形向下平移个单位长度，可使反比例函数的图象经过点； 故答案为： ②的坐标为， 当时，，解得， ， 即将菱形向右平移个单位长度，可使一次函数的图象经过点． 故答案为： 27.（24-25·福建中考）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的．已知过点，交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】 见解答 【解析】（1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 【解答】（1）解：是等边三角形， ． 是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ， 又， 垂直平分， ， 由知，， ， ， 是等边三角形． 28.（24-25·湖南月考）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到． （1）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则    ； （2）下列关于函数的性质：①图象关于点对称；②随的增大而减小；③图象关于直线对称；④的取值范围为．其中说法正确的是   ①④     （填写序号）； （3）根据中的值，写出不等式的解集:            ． 【答案】; ①④; 或. 【解析】（1）根据“左加右减”的规律即可求解； （2）根据平移的性质得出①正确；类比反比例函数图象的性质即可判断②④，根据平移的性质将向左平移个单位，得出，即可判断③； （3）根据题意，画出两个函数图象，结合图象即可求解． 【解答】（1）函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，. 故答案为． （2）可以看作是由向左平移个单位得到的，函数图象的对称中心为，将其对称中心向左平移个单位， 则对称中心为，故①正确; ②类比反比例函数图象，可得，故函数图象不是连续的， 在直线两侧，随的增大而减小，故②错误； ③关于直线对称， 同①可得，向左平移个单位得到， 图象关于直线对称，故③错误； ④平移后的对称中心为，左右平移图象后，与轴没有交点， 的取值范围为，故④正确． 故答案为①④． （3），不等式, 如图所示，在第三象限内和第一象限内，， 或 故答案为或．       29.（22-23·湖南中考）如图，在中，，，点在边上，将线段绕点按顺时针方向旋转得到，线段交于点，作于点，与线段交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，当平分四边形的面积时，求的长． 【答案】见解答; 见解答; . 【解析】（1）根据旋转的性质可得，再根据，可得，即可； （2）根据，可得点，，，四点共圆，从而得到，，从而得到，进而得到，可证明，即可； （3）连接，根据，，可得，，，设，则可得，，，，，，再由平分四边形的面积，可得，从而得到关于的方程，即可求解． 【解答】（1）证明：线段绕点按顺时针方向旋转得到，， ， ，即， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：，点，，，四点共圆， ，， ， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：如图，连接， ， ，， ，， ， ，， ， 设，则， ，，， ， ，， 平分四边形的面积， ， ， 即， 解得（负值舍去）， ．   30.（23-24·广西模拟）综合与实践 主题任务：“我的校园我做主”草坪设计 任务背景：学校举办“迎五一，爱劳动”主题实践活动，九班参加校园美化设计任务：校园内有一块宽为米，长为米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路， 具体要求：矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；两条小路必须设计成平行四边形； 驱动任务一：九班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系 相等 ，与 不相等 ；（请填“相等”或“不相等”） 驱动任务二：验证猜想：各个实践小组用如表格进行研究： 纵向小路面积 横向小路面积 纵横交叉面积 小路总面积 甲方案 乙方案 丙方案 （2）请用含的代数式表示甲方案中小路总面积：____平方米__________； 驱动任务三： （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为平方米．请计算两条小路的宽度是多少？ 驱动任务四：为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图）进行研究．若两条小路与矩形两组对边所夹锐角．若时，请用含的三角函数表示两条路重叠部分四边形的面积，并直接写出最小值． 【答案】相等，不相等 平方米 米 【解析】（1）应用平移的性质即可求得答案； （2）根据小路总面积横向小路面积纵向小路面积重叠部分的面积，即可得出答案； （3）表达出草地面积，建立方程求解即可； 【解答】（1）解：如图， ， ，不确定， ， 故答案为：相等，不相等； （2）（平方米）， 故答案为：平方米； （3）由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：两条小路的宽度是米； 31.（23-24·广西中考）如图，中，，．的垂直平分线分别交，于点，，平分． （1）求证：； （2）如图，将绕点逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】见解答 ①，；②或 【解析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当、、三点共线，且点在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分和重合，和重合，两种情况讨论即可． 【解答】（1）解：证明：垂直平分， ， ， 平分 ， ， 又； ； （2） 解：①， ， ， ， 又， ，， 垂直平分， ，， ， ， 取中点，连接，，作于， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ，，， 根据垂线段最短知， 又， 当、、三点共线，且点在线段时，取最大值，最大值为， 此时， 面积的最大值为； ②，， ， 同理 为直角三角形时，只有， 当和重合时，如图， ，， ， ， ， ， 、、三点共线， 为直角三角形， 此时旋转角； 当和重合时，如图， 同理，， ， ， ， ， 、、三点共线， 又 为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 32.（23-24·江苏中考）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”． （1）如图，是线段的四等分点．若，则在图中，线段的“平移关联图形”是___CE_____，____2____（写出符合条件的一种情况即可）； （2）如图，等边三角形的边长是．用直尺和圆规作出的一个“平移关联图形”，且满足（保留作图痕迹，不要求写作法）； （3）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是、、，以点为圆心，为半径画圆．若对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，直接写出的取值范围． 【答案】， 图见解析（答案不唯一） 或 【解析】（1）根据平移的性质，进行求解即可； 延长，在射线上截取线段，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，即为所求； 分在圆内和圆外两种情况，进行求解即可． 【解答】（1）解：是线段的四等分点．， ， ， 线段的平移图形是，； 故答案为：，； （2）解：如图所示，即为所求； 由作图可知：， 四边形为菱形， ， ， 四边形为菱形， ， 即为所求； （3）点的坐标分别是、、， ， 对上的任意点，连接所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足，且， ， 当在圆外，点在轴上，时， ，， ， 当在圆内，点在轴上，时， ，， ， 综上：或．   33. （23-24·四川中考）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题： 【问题情境】 如图，在中，，，点、在边上，且，，，求的长． 解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和中， ，，， ___①___． ． 又， 在中，___②___． ，， ___③___． 【问题解决】 上述问题情境中，“①”处应填：______； “②”处应填：______； “③”处应填：___5___． 刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变． 【知识迁移】 如图，在正方形中，点、分别在边上，满足的周长等于正方形的周长的一半，连结，分别与对角线交于、两点．探究的数量关系并证明． 【拓展应用】 如图，在矩形中，点、分别在边上，且．探究的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）． 【问题再探】 如图，在中，，，，点、在边上，且．设，，求与的函数关系式． 【答案】【问题解决】①；②；③；【知识迁移】，见解析；【拓展应用】；【问题再探】 【解析】【问题解决】根据题中思路解答即可； 【知识迁移】如图，将绕点逆时针旋转，得到．过点作交边于点，连接．由旋转的特征得．结合题意得．证明，得出．根据正方形性质得出．结合，得出．证明，得出．证明．得出．在中，根据勾股定理即可求解； 【拓展应用】如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点，将绕着点顺时针旋转，得到，连接．则．则，，根据，证明，得出，过点作交于点，过点作交于点，则四边形为矩形．得出，证明是等腰直角三角形，得出，，在中，根据勾股定理即可证明； 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点．由旋转的特征得．根据，得出，证明，得出，根据勾股定理算出，根据，表示出，证明，根据相似三角形的性质表示出，，同理可得．，证明四边形为矩形．得出，，在中，根据勾股定理即可求解； 【解答】 【问题解决】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，连接． 由旋转的特征得，，，． ，， ． ， ，即． ． 在和中，，，， ①． ． 又， 在中，②． ，， ③． 【知识迁移】． 证明：如图，将绕点逆时针旋转，得到． 过点作交边于点，连接． 由旋转的特征得． 由题意得， ． 在和中，， ． ． 又为正方形的对角线， ． ， ． 在和中，， ， ． 在和中，， ． ． 在中，， ． 【拓展应用】． 证明：如图所示，设直线交延长线于点，交延长线于点， 将绕着点顺时针旋转，得到，连接． 则． 则，， ， ， 在和中 ， ， ， 过点作交于点，过点作交于点，则四边形为矩形． ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 即， 又， ， 即， 【问题再探】如图，将绕点逆时针旋转，得到，连接．过点作，垂足为点，过点作，垂足为．过点作，过点作交于点、交于点． 由旋转的特征得． ， ， ，即， 在和中，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，即， ， 同理可得． ， ， ， 又， 四边形为矩形． ， ， 在中，． ， 解得． 34.（24-25·四川模拟）学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． （1）列表：与的部分对应值如表，则__2___，_____； ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． ．．． （2）描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； （3）根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向__左___平移___1__个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围__或___． 【答案】， 见解答 ①；②左，，或 【解析】（1）将，分别代入，即可求解； （2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数平移的平移方式，的解集转化为的图象在直线下方时，对应的的取值范围，再结合函数图象即可求解． 【解答】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：作图如下： （3）解：函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到，而 的对称中心为， 平移后的函数图象的对称中心为， 如图： 当时，， 解得：， ， 即， ， 不等式的解集为函数的图象在直线下方时，对应的的取值范围， 对称中心为， 由函数图象可得：不等式的解集为或， 时，的取值范围或， 故答案为：①；②左，，或． 35.（23-24·四川中考）综合与实践 （1）操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图、图．在图中，四边形为梯形，，是边上的点．经过剪拼，四边形为矩形．则______． （2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图、图、图．在图中，是四边形边上的点．是拼接之后形成的四边形． ①通过操作得出：与的比值为__1____． ②证明：四边形为平行四边形． （3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形剪成块，按图的方式补全图，并简单说明剪开和拼接过程．若不能，请说明理由． 【答案】 ①；②见详解 见详解 【解析】（1）由“角角边”即可证明； （2）①由操作知，将四边形绕点旋转得到四边形，故，因此；②由两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明； （3）取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点与点重合，与重合，与重合，点的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 【解答】（1）解：如图， ， ， 由题意得为中点，‘ ’， ， 故答案为：； （2）解：①如图，由操作知，点为中点，将四边形绕点旋转得到四边形， ， ， 故答案为：； ②如图， 由题意得，是的中点，操作为将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形绕点旋转得到四边形，将四边形放在左上方空出， 则，， ，，， ， ， 三点共线，同理三点共线， 由操作得，， ， ， ， 四边形为平行四边形； （3）解：如图， 如图，取为中点为，连接，过点，点分别作，，垂足为点，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形绕点旋转至四边形，将四边形放置左上方空出，使得点与点重合，与重合，与重合，点的对应点为点，则四边形即为所求矩形． 由题意得，，， ， ， 由操作得，， ， ， 三点共线， 同理三点共线， ， 四边形为矩形， 如图，连接， 为中点， ， 同理， ， ， ， ， ，， ， 由操作得，，而， ， 同理，， ，，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， 同理， 四边形能放置左上方空出， 按照以上操作可以拼成一个矩形．   第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $