1.1 三角形内角和定理 （第二课时）课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.1 三角形内角和定理 第二课时 第一章 三角形的证明及其应用 北师大数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1. 理解三角形外角的概念. 2. 掌握三角形内角和定理的推论，并会运用它们解决问题. 新课导入 02 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角. 外角的一条边是该内角的一边 外角的另一条边是该内角另一边的反向延长线 外角的顶点是该内角的顶点 如图，∠1是△ABC的一个外角. 问题 你能在图中画出△ABC的其他外角吗? 每一个三角形都有6个外角. 每一个顶点相对应的外角都有2个， 且这2个角为对顶角. B C A D 4 2 3 1 新知探究 03 知识点 三角形外角的性质 思考 ∠1与其他角有什么关系?请证明你的结论. B C A D 4 2 3 1 ∠1 +∠4 =180°， ∠1=∠2+∠3， ∠1>∠2，∠1>∠3. 证明如下： ∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理)， ∴∠2+∠3=180°-∠4(等式的基本性质)， ∵∠1+∠4=180°(平角的定义)， ∴∠1=180°-∠4(等式的基本性质)， ∴ ∠1=∠2+∠3(等量代换)， ∴ ∠1>∠2，∠1>∠3. B C A D 4 2 3 1 由三角形内角和定理，可以得到 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 由此可得 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 分析：只要具备什么条件，就能说明AD∥BC ? C B A D E ∠DAC=∠C 或者 ∠EAD=∠B 或者 ∠DAB+∠B=180° 证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)，∠B=∠C， ∴ ∠C=∠EAC. ∵ AD平分∠EAC， ∴ ∠DAC=∠EAC. ∴ ∠DAC=∠C. ∴ AD∥BC. C B A D E 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 证明：∵ ∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ，∠B=∠C(已知) ， ∴ ∠B=∠EAC. ∵ AD平分∠EAC， ∴ ∠EAD=∠EAC， ∴ ∠EAD=∠B， ∴ AD∥BC. C B A D E 例1 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC. 还有其他证法吗? 例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 分析：你学过哪些关于角的不等关系的定理? 这里能直接使用吗?你遇到的困难是什么? 你能通过添加辅助线，构造出直接使用相 关定理的图形吗? 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 不能直接使用，∠BPC与∠A不是同一个三角形的内、外角. B A C P 证明：如图，延长BP，交AC于点D. ∵ ∠BPC是△PDC的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于 任何一个和它不相邻的内角). ∵ ∠PDC是△ABD的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角). ∴ ∠BPC>∠A. B A C P D 例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 有.证明：如图，连接AP，并延长AP交BC于点 D， ∵ ∠BPD>∠BAD，∠CPD>∠CAD， ∴ ∠BPD+∠CPD>∠BAD+∠CAD， 即∠BPC>∠BAC. B A C P D 例2 已知：如图，P是△ABC内一点，连接PB，PC. 求证：∠BPC>∠A. 还有其他证法吗? 随堂练习 04 1. 如图，∠1，∠2是不是△ABC的外角?图中还有哪些角可以看作一个三角形的外角? 解：∠1不是△ABC的外角，∠2是△ABC的外角. 图中∠BAC，∠BFE是△AEF的外角， ∠BAE是△ABC的外角. 19 2. 如图，在△ABC中， ∠A=45°，外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数. 解：∵∠A+∠B=∠DCA=100°，∠A=45°， ∴ ∠B=55°. ∵ ∠DCA+∠ACB=180°，∠DCA=100°， ∴ ∠ACB=80°. B C A D 20 3. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 C 21 4. 如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度? 解：∵ ∠1=∠ABC+∠ACB， ∠2=∠BAC+∠ACB， ∠3=∠ABC+∠BAC， ∴∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠BAC =2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=2×180°=360°. A B C 1 3 2 22 5. 如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 23 6. 在△ABC中，若∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，E为线段BD上任一点，∠CDB=90°. (1)求∠ABD的度数. 24 解：∵∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5(已知)， ∴可设∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x. 由题意得3x+4x+5x=180°(三角形内角和定理)， 解得x=15°， ∴∠A=45°. 又∠CDB=∠A+∠ABD=90°(三角形的一个外角 等于和它不相邻的两个内角的和)， ∴ ∠ABD=90°-∠A=90°-45°=45°. 25 (2) 求证：∠BEC>∠A. 证明： ∵ ∠BEC是△CDE的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BEC>∠BDC(三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角). ∵ ∠BDC是△ABD的一个外角(外角的定义)， ∴ ∠BDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一 个和它不相邻的内角)， ∴ ∠BEC>∠A. 26 课堂小结 05 三角形内角和定理 三角形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 推论 三角形的外角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 谢谢观看 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 29 $