1.1 三角形内角和定理 （第一课时）课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.1 三角形内角和定理 第一课时 第一章 三角形的证明及其应用 北师大数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 目录 学习目标 03 01 02 04 课堂导入 新知探究 随堂练习 05 课堂小结 学习目标 01 1. 探索并证明三角形内角和定理、全等三角形的判定定理(AAS). 2. 掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定定理和性质，并能解决简单问题，进一步发展推理能力. 新课导入 02 在八年级上册“证明”一章中，我们给出了八条基本事实，并从其中的几条基本事实出发证明了有关平行线的一些结论. 运用这些基本事实和已经学习过的定义、定理，我们还可以证明有关三角形的一些结论. 新知探究 03 知识点1 三角形内角和定理 思考 我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗? 测量法 60°+48°+72°=180° 思考 我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗? 折叠法 思考 我们知道，三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗? 在七年级，我们曾剪下三角形的一个内角进行转移， 然后借助平行线的判定与性质证明这个结论. 思考 (1) 如图，如果只把∠A移动到∠1的位置，那么你能说明这个结论的正确性吗? 如图，由操作可知∠A=∠1，可以利用“内错角相等，两直线平行”证明一组平行线，进而利用平行线的性质及平角的定义说明结论是正确的. 思考 如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果? 如果不移动∠A，那么可以思考构造平行线 将等角进行转移. 如图，可以构造CE∥AB，这样同样可以达到 将∠A转移到∠1的位置的效果. 思考 (2) 你能说说这个结论的证明思路吗?请试着写出证明过程. 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，延长BC至D，过点C作射线CE，使CE∥BA， 则∠1=∠A，∠2=∠B. ∵ 点B，C，D在同一条直线上， ∴ ∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°. 这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线. 三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°. 思考 (1) 如图，在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个内角“凑”到点A处，过点A作直线PQ，使PQ∥BC，他的想法可行吗?如果可行，你能写出证明过程吗? 可行. ∵ PQ∥BC(已知)， ∴ ∠PAB=∠ABC，∠QAC=∠ACB(两直线平行，内错角相等). 又∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(平角的定义)， ∴ ∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°(等量代换). 思考 (2) 对于三角形内角和定理，你还有其他证明方法吗? 证明：在BC上任取一点D，过点D分别作MD∥ AC 交AB于点M，ND∥ AB交AC于点N， ∵ MD∥ AC ， ND∥ AB， ∴ ∠1=∠C，∠3=∠B ， ∠2=∠BMD=∠A . 又∠1+∠2+∠3=180°， ∴ ∠C+∠A+∠B=180°. 为了证明三个角的和为180°,将其转化为一个平角，这种转化思想是数学中的常用方法. 例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. B C A D 解：在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理). ∵ ∠B=38°，∠C=62°， ∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°. ∵ AD平分∠BAC， ∴ ∠BAD=∠CAD = ∠BAC=×80°=40°. 在△ADB中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形内角和定理). ∵ ∠B=38°，∠BAD=40°， ∴ ∠ADB=180°-38°- 40°=102°. 思考 我们已经探索过“两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等”这个结论，你能用有关的基本事实和已经学习过的定理证明它吗? 知识点2 全等三角形的判定定理与性质定理 已知：如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°， 在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°， ∵ ∠A=∠D，∠B=∠E， ∴ ∠C=∠F. 又∵ BC=EF，∠B=∠E， ∴ △ABC≌△DEF(ASA) . 根据全等三角形的定义，我们可以得到 定理 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.(AAS) 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 跟踪训练 已知：如图， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2， 试说明：AB=AD. 证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC， ∴ ∠B=∠D=90 °. 在△ABC和△ADC中， ∴ △ABC≌△ADC (AAS)， ∴ AB=AD. 随堂练习 04 1. 已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC上，且 DE∥BC. 求证：∠ADE=50°. 证明：在△ABC中， ∵ ∠A=60°，∠C=70° (已知)， ∴ ∠B=180°-∠A-∠C=180°-60°-70°=50° (三角形内角和定理). 又DE∥BC， ∴ ∠ADE=∠B=50°(两直线平行，同位角相等). 26 2. 如图，在△ABC中，已知∠A=50°，BD与CE是△ABC的高，点O是它们的交点，求∠ABD，∠COD的度数. 解：∵ BD与CE是△ABC的高， ∴ ∠ADB=90°，∠BEC=90°. ∵ ∠A=50°， ∴ ∠ABD=180°-∠A-∠ADB=180°-50°-90°=40°， ∴ ∠BOE=180°-∠BEC-∠ABD=180°-90°-40°=50°， ∴ ∠COD=∠BOE=50°. 27 3. 如图，在△ABC中，AD，BE分别是边BC，AC上的高，试证明∠DAC与∠EBC的数量关系． 证明：因为AD，BE分别是边BC，AC上的高， 所以∠ADC＝90°，∠BEC＝90°． 所以∠DAC＋∠C＝90°， ∠EBC＋∠C＝90°． 所以∠DAC＝∠EBC． 28 4. 已知：点F在AB上，点E在AC上，BE和CF相交于点O，AE=AF，∠B=∠C. 求证： BF=CE. 证明：在△ABE和△ACF中， ∴ △ABE≌ △ACF (AAS)， ∴ AB=AC (全等三角形对应边相等). ∵ AE=AF， ∴ AB-AF=AC-AE (等式性质)， ∴ BF=CE. A B C F E O 29 5. 如图，已知：AB⊥AC ，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. (1) 你能在图中找出一对全等三角形吗? 并说明全等的理由； A E m C B D 30 证明：能， △BDA≌△AEC. ∵ BD⊥m，CE⊥m， ∴ ∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴ ∠B＋∠BAD＝90°. ∵ AB⊥AC， ∴ ∠BAD＋∠CAE＝90°， ∠B＝∠CAE. A E m C B D 在△BDA和△AEC中， ∴ △BDA≌△AEC (AAS). 31 5. 如图，已知：AB⊥AC ，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. (2) 试探索BD、CE、DE之间的关系. ∵ △BDA≌△AEC， ∴ BD＝AE，AD＝CE， ∵ DE＝AD＋AE ∴ DE＝CE＋BD. A E m C B D 32 课堂小结 05 三角形内角和定理 判定：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 借助平行线将三角形的三个内角拼成一个平角 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 证明 全等三角形 内容 三角形三个内角的和等于180° 谢谢观看 人教版数学八年级下册 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 35 $