精品解析：广西柳州市第一中学2025-2026学年度高二上学期期末考试数学试题

柳州市一中2025-2026学年度高二上学期期末考试 数学试题 考试时间：120分 钟 分 值 ：150分 命题人：赵阳阳、贺大慧 审题人：黄翔 注意：1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效. 2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题. 3.选择题，请用 2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑.非选择题，请用 0.5mm 黑色字迹签字笔在答 题卡指定位置作答. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，结合集合的交集的概念及运算，即可求解. 【详解】由集合， 所以. 故选：C. 2. 如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法、分步乘法计数原理求得正确答案. 【详解】由题意知可以按上、下两条线路分为两类， 上线路中有条，下线路中有条. 根据分类计数原理，不同的线路可以有条. 故选：D 3. 设向量的模分别为2和3，且夹角为60°，则等于（ ） A. B. 13 C. D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的模的计算公式，结合向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由题意，向量的模分别为2和3，且夹角为， 则，所以. 故选：C. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 380 B. 200 C. 190 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】求得等差数列的公差，进而求得 【详解】设等差数列的公差为， 则， 所以. 故选：A 5. 函数的零点所在的区间是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据零点存在定理可得正确的选项. 【详解】在 为增函数， ， 而的图象是不间断的，故零点所在的区间为. 故选：B. 6. 已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何关系利用勾股定理即可求出外接球半径,进而求体积. 【详解】 如图,正四棱锥的外接球的球心在高上记为, ,, 在中,,解得, 所以外接球的表面积等于, 故选:B. 7. 在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 【答案】C 【解析】 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，根据，得到圆心C到直线l的距离， 再利用点到直线的距离公式求得t的值即可. 【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C： 因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示， ，在中，. 所以，圆心C到直线 l的距离: 因此，，解得， 故选：C . 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线，记为第一象限的点，双曲线的焦距为，即可得到为等腰直角三角形，从而得到的坐标，即可得到，再由离心率公式计算可得. 【详解】双曲线的渐近线为，记为第一象限的点，如下图所示： 记双曲线的焦距为，依题意可得，，又， ，， 为等腰直角三角形， ，则点的坐标为，所以， ，. 故选：C 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数不能比较大小判断A，应用加法及模长公式计算判断B，应用共轭复数及复数得乘法计算判断C，结合除法运算律及对应点的坐标判断D. 【详解】虚数不能比较大小，A选项错误； 复数，则，则，B选项正确； ，C选项错误； 对应点为，D选项正确. 故选：BD. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的外接圆直径是 D. 内切圆半径是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式得，即可得，再利用余弦定理求，正弦定理求的外接圆直径，利用三角形面积公式求面积和内切圆半径. 【详解】由二倍角公式，可得， 因为，所以， 由余弦定理有， 解得，故A正确； 三角形的面积，故B正确； 的外接圆直径是，故C错误； 设内切圆半径为，结合B选项，三角形面积 ， 解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 抛物线的焦点为F，若P是抛物线C上任意一点，直线PF的倾斜角为，点M是线段PF的中点，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 点M的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 在y轴上存在点E，使得． 【答案】BC 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，然后逐项分析、计算作答. 【详解】抛物线的焦点为，准线， 对于A，直线的方程为：，由消去y并整理得， 解得，，则或，A不正确； 对于B，设点，则点，而P是抛物线C上任意一点，于是得， 即，所以点M的轨迹方程为，B正确； 对于C，设点，则，当且仅当时取“=”，即的最小值为，C正确； 对于D，因点M的轨迹方程为，则设，令， 有，， 于是得为锐角，D不正确. 故选：BC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有___________种．（用数字作答）． 【答案】20 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算得解. 【详解】从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有种. 故答案为：20 13. 函数的图象在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】，，， 故函数的图象在点处的切线方程为，即. 故答案为： 14. 如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 __________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，求得函数的解析式，得到，结合，即可求解. 【详解】因为O为的重心，且，可得， 解得，所以， 所以，所以，所以，解得， 可得， 由，即，可得， 解得，又由，所以， 所以， 于是，所以. . 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． （1）根据频率分布直方图，估计这人年龄的第百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“民法典”知识的宣传使者，若有甲（年龄）、乙（年龄）人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知，根据百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （2）用列举法列出所有的基本事件，根据古典概型的公式计算所求概率. 【小问1详解】 设这人年龄的第百分位数为， 年龄在的频率为， 年龄在的频率为，故， 根据百分位数定义可得，解得. 【小问2详解】 由题意得，第一组应抽取人，记为、甲，第五组抽取4人，记为、、、乙. 对应的样本空间为： ，共个样本点. 设事件“甲、乙两人恰有一人被选上”， 则，共有个样本点. 所以，. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出的值，当时，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项公式； （2）利用裂项求和法求出，利用等差数列的求和公式求出，即可得出. 【小问1详解】 对任意的，， 当时，，即，解得（舍去）或， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，即， 因为，所以， 所以数列是首项和公差均为的等差数列，所以. 【小问2详解】 当为奇数时，， 故数列的前项的奇数项的和为 ， 当为偶数时，， 故数列的前项的偶数项的和为 ， 所以. 17. 如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直判定定理先得平面,进而得到结论. (2) 因为底面，,所以以A为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面所成角的向量求法即可解得结果. 【小问1详解】 证明：，，所以， 因为底面，所以， 因为平面，且， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 【小问2详解】 解：因为底面，，所以，分别以所在直线为轴，轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由， 可得：，，，， 所以，， 因为点E在CD上，且， 所以，所以， 设为平面的一个法向量， 则，，即，， ， 令，则，，， 设直线BE与平面所成的角为， ， 直线BE与平面所成角的正弦值为. 18. 已知函数. （1）若在区间上单调，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到的单调性，从而求出； （2）参变分离得到，，函数有两个不同的零点，等价于与有两个交点，对求导，得到其单调性和最值，求出. 【小问1详解】 的定义域为， ，令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故在区间上单调，显然单调递增，且， 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 令，即，， 所以，， 函数有两个不同的零点，等价于与有两个交点， 令，， 则，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，恒成立，当时，， 所以要想与有两个交点，需. 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设，则， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ； ② 【解析】 【分析】（1）由离心率及双曲线参数关系求得，结合已知令，代入双曲线求参数值，即可得方程； （2）①设，则，设，联立双曲线并应用韦达定理，结合直线、双曲线对称性确定定点位置并得到，再作化简求值，即可得定点坐标； ②应用三角形面积公式、弦长公式，结合求面积的最小值. 【小问1详解】 由题可知， 则， 由轴时，，可令， 代入双曲线得， 解得， 则所求方程为. 【小问2详解】 ①略； ②， 由①得，解得， 令， 则， 因为，所以，则，当时取等号， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市一中2025-2026学年度高二上学期期末考试 数学试题 考试时间：120分 钟 分 值 ：150分 命题人：赵阳阳、贺大慧 审题人：黄翔 注意：1.请把答案填写在答题卡上，否则答题无效. 2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚，密封线内不要答题. 3.选择题，请用 2B 铅笔，把答题卡上对应题目选项的信息点涂黑.非选择题，请用 0.5mm 黑色字迹签字笔在答 题卡指定位置作答. 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知每条线路仅含一条通路，当一条电路从处到处接通时，不同的线路可以有（ ） A. 5条 B. 6条 C. 7条 D. 8条 3. 设向量的模分别为2和3，且夹角为60°，则等于（ ） A. B. 13 C. D. 19 4. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 380 B. 200 C. 190 D. 100 5. 函数的零点所在的区间是(　　) A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥各棱的长度均为2，其顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ） A. 或 B. －1或－6 C. 或 D. －2或－7 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为、，是的渐近线上的一点，点在轴上且为线段的中点.若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 在中，，，，则（ ） A. B. 的面积为8 C. 的外接圆直径是 D. 内切圆半径是 11. 抛物线的焦点为F，若P是抛物线C上任意一点，直线PF的倾斜角为，点M是线段PF的中点，则下列说法正确的是（ ）． A. 若，则 B. 点M的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 在y轴上存在点E，使得． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 某学校要从6名学生中选出3人担任进博会志愿者，则所有的选法有___________种．（用数字作答）． 13. 函数的图象在点处的切线方程为______． 14. 如图，函数 的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则 __________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分分（分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有人． （1）根据频率分布直方图，估计这人年龄的第百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取人，担任“民法典”知识的宣传使者，若有甲（年龄）、乙（年龄）人已确定入选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率. 16. 记为正项数列的前项和，已知. （1）求数列的通项公式； （2）设数列，求数列的前项和. 17. 如图，在四棱锥中，底面，且，，点在上，且. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若在区间上单调，求实数的取值范围； （2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $