1.2 等腰三角形（第2课时 等腰三角形的判定）同步练习 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.2等腰三角形（第2课时等腰三角形的判定）同步练 一、单选题 1．用反证法证明命题“在△ABC中，若，则”时，首先应假设（    ） A． B． C． D． 2．在△ABC中，，，的对边长分别为，，．下列条件中，不能判定 △ABC是等腰三角形的是（   ） A．，， B． C．， D． 3．如图，在△ABC中，，平分，下列结论不一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，△ABC的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．如图，在△ABC中，点为的平分线和的平分线的交点，，，，将平移使其顶点与重合，则图中阴影部分的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则△AMN的周长为（    ）    A． B． C．5 D．不能确定 8．如图，在中，，，若某个直角三角形与△ABC能拼成一个等腰三角形（无重叠部分），则拼成的等腰三角形有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 9．如图， 平分 ， ，垂足为 ， 交 的延长线于点 ，若 恰好平分 ，则下列结论中：   ①是△ABC的高； ②是△ABC的中线； ③； ④ ． 其中正确的个数有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 10．如图，，若，，则 ． 11．如图，已知交于E，且，则 ． 12．小凡家门前有一块如图所示的三角形空地，为一条石子路，通过测量得知，为边上的中点，，，石子路的长为．小凡的奶奶想将该空地利用起来，于是用竹篱笆将围挡起来，放养一群兔子，则竹篱笆的边的长度为 m． 13．小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为，边与其中一把直尺边缘的交点为，则的长度是 14．如图，在△ABC中，，和的平分线分别交于点、，若，，则的值为 ． 15．如图，，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形．若，则的边长为 ． 16．已知，如图，在△ABC中，，，，点D在边上运动，连接，将沿着翻折，点B落在点E处，连接．当时，的长为 ． 三、解答题 17．如图，在△ABC中，，，为中点，点在线段上，交于点，． (1)求的度数； (2)求△BMN的周长． 18．已知：如图，在△ABC中，平分，且点是的中点．求证：． 19．如图，已知，，和相交于点O． (1)求证：； (2)判断△BOC的形状，并说明理由． 20．如图，点B，F，C，E在同一条直线上，，与交于点G． (1)求证：△GF是等腰三角形； (2)连接，求证：． 21．数学课上，老师出示了如图中的题目． 如图，在等边△ABC中，点在上，点在的延长线上，且．试确定线段与的大小关系，并说明理由． 小优与同桌小秀讨论后，进行了如下解答： 【特殊情况，归纳猜想】 （）如图，当为的中点时，确定线段与的大小关系，并说明理由； 【特例启发，推理证明】 （）如图，当不是的中点时，小优和小秀认为（）中的结论仍然成立，请你帮助小优和小秀完成证明过程； 【拓展延伸，问题解决】 （）当点在的延长线上时，点在边上，且，请自己画图，并探究（）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在△ABC中，，则”时，首先应假设∠B=∠C， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答． 根据等腰三角形的判定定理，有两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形．分别验证各选项是否符合判定条件． 【详解】解：A、 ， ∴ 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； B、∵ ， ，没有两边相等， ∴ △ABC不是等腰三角形，不能判定是等腰三角形，符合题意； C、∵ ， ， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； D、， ， ， 是等腰三角形，能判定是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 3．D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质．根据等腰三角形的判定和性质，逐项判断，即可． 【详解】解：∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵平分， ∴，，故B，C选项正确，不符合题意； 根据题意无法得到与的大小关系，故D选项错误，符合题意； 故选：D 4．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 5．A 【分析】此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握，属于中档题． 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形； ∵平分， ∴， ∴，则是等腰三角形； ∵， ∴，则是等腰三角形， 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定； 连接、，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以是的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：，同理，所以图中阴影部分的周长就是边的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵点为角平分线交点， ∴和分别平分和， ∴， ∵将平移，使其顶点与点重合， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即图中阴影部分的周长为． 故选：D ． 7．A 【分析】本题考查平行线的性质及等腰三角形的判定，核心是利用“角平分线+平行线”推出等腰三角形，从而将的周长转化为与的长度之和． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 同理可得． 的周长为． ∵，， ∴周长为； 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了等腰三角形，考虑以为腰的等腰三角形即可． 【详解】解：把分别沿边翻折，有两种等腰三角形，还有两种情况如下图所示； 左图中，则， ∴； 右图中，则， ∴． 综上，共有4种拼法； 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，证明为等腰三角形， 由等腰三角形的性质得，，即可判定①②；过点作于，由角平分线的性质可得，，即可判定③；证明，得，同理可得，即得，即可判定④，综上即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴，，故①②正确； 过点作于，如图， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴，故③正确； 在和中 ， ， ∴， ∴， 同理可得， ∴，故④正确； 综上，结论正确的个数有个， 故选：． 10．2 【分析】本题考查了全等三角形的性质．等角对等边，根据全等三角形的性质得到，，根据等角对等边得出，进而可知． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用两直线平行，同位角相等可得，利用等量代换和等腰三角形的判定定理解答即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．4.8 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长到，使，连接，则，证明和全等得，进而得，由此即可得出的长． 【详解】解：延长到，使，连接，如图所示： 则， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ∴， ， 在中，， ∴， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查角平分线的判定，平行线性质及等角对等边，根据图形可得是的角平分线，再根据平行线性质及等角对等边即可得到答案． 【详解】解：作，， 由题意可得，如图所示， ，，， ， ， ， ， ， 点、在这把直尺上的刻度读数分别是、， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定． 先由平行线的性质得，，再由角平分线的定义求得，从而由等角对等边得出，即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了规律型：图形的变化类：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．也考查了等边三角形的性质． 利用等边三角形的性质得到，，则可计算出，所以，利用同样的方法得到，，，利用此规律得到，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， … ∴． ∵， ∴当时，， 故答案为：． 16．2.5 【分析】本题考查了翻折，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，根据翻折得出，，根据平行线的性质得出，，等量代换得出，根据等角对等边得出，即可求解． 【详解】解：∵翻折， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故答案为：． 17．(1) (2)11 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质. （1）根据等腰三角形的性质可得，再由为的中点，可得平分，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵为的中点， ∴平分， ∴， 故度数为． （2）解∶∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 18．见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理，掌握相关知识是解决问题的关键．作，，根据角平分线性质定理，可得，根据定理，易证，即可证得． 【详解】证明：如图，作于点，于点， 平分， ， 是的中点， ， ，， 在和中， ， ∴， ， ． 19．(1)证明见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】本题考查了补角的定义，全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质． （1）根据已知条件利用补角的定义得到，再利用等边对等角得出，证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论得到，再由等角对等边可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：是等腰三角形， 理由：由（1）知，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行线的判定，证明是解题的关键． （1）可证明，再利用证明得到，再由等角对等边可证明结论； （2）可证明，得到，再由三角形内角和定理可推出，据此可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：由（1）得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 21．（），理由见解析；（）见解析；（）不发生变化，证明见解析 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）过点作交于点，可证是等边三角形，得到，再证明，得到，即可求证； （）过点作交的延长线于点，同理（）证明即可求证； 本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）解：，理由如下： ∵是等边三角形，点为的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （）证明：如图，过点作交于点， 则， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （）不发生变化，证明如下： 如图，过点作交的延长线于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $