专题14分式的乘除（知识梳理+题型精析+新课预习讲义）2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题14分式的乘除 【题型01 分式乘法】..............................................2 【题型02 分式除法】..............................................4 【题型03 分式乘除混合运算】......................................6 【题型04 分式乘方】..............................................8 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】..............................9 【题型06 分式加减乘除混合运算】.................................12 【题型07 分式化简求值】.........................................14 【题型08 分式最值】.............................................16 【题型09 解答题4题】...........................................19 ★知识梳理★ 知识点01:分式的乘法法则（核心基础） 1.文字表述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。 2.字母表示：（b、d 均不为 0） 3.核心技巧：先约分，后相乘（最关键），避免分子分母直接相乘导致数值过大，约分对象为分子与分母的公因式（单项式 / 多项式因式）。 4.单项式分式相乘示例：===（x0，y0）。 知识点02:分式的除法法则（转化为乘法，核心思想：化除为乘） 1.文字表述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2.字母表示：（前提：b、c、d 均不为 0）。 3.关键步骤： ① 除式变倒数，除号变乘号； ② 后续按分式乘法法则计算（先约分后相乘）。 4.示例：==（x0，x±2，x1）。 知识点03:分式的乘方运算（乘除的延伸，与整式乘方结合） 1.文字表述：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 2.字母表示：()n=(（b0，n 为正整数） 3.注意事项： ① 分子、分母是多项式时，需整体乘方，不可单独对某一项乘方； ② 乘方与乘除混合时，先算乘方，再算乘除。 知识点04:分式乘除的关键前置步骤 —— 因式分解 分式乘除中，分子或分母为多项式时，必须先因式分解，才能找到公因式进行约分，常用因式分解方法： 1.提公因式法：如ax+ay=a(x+y)； 2.平方差公式：如a2−b2=(a+b)(a−b)； 3.完全平方公式：如a2±2ab+b2=(a±b)2； 核心：因式分解彻底，才能实现最大程度约分，简化计算。 知识点05:分式乘除混合运算规则（运算顺序，避免出错） 1.同级运算：从左到右依次进行，不可随意改变运算顺序； 2.混合乘方：先算乘方，再算乘除； 3.有括号：先算括号内的（括号内先通分再计算，再参与外部乘除）； 4.最终结果：必须化为最简分式或整式（分子分母无公因式）。 知识点06:核心注意事项（高频易错点，必掌握） 1.分母不为 0 的全面性：运算过程中，所有原分式的分母、除式的分子、约分 2.消去的因式均不能为 0，若为求值题，需先确定字母的取值范围； 3.约分的前提：只有分子与分母之间能约分，分子内部、分母内部不可单独约分 4.符号处理：负号可提前至分式前，方便计算，如==​，多个负号遵循 “奇负偶正”； 5.整式与分式的乘除：把整式看成分母为 1 的分式，再按法则计算 6.乘方的符号：分式乘方时，负号的乘方遵循正整数乘方规则. 【题型1.分式乘法】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法运算，根据分式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的乘除运算，通过直接计算每个选项的左边表达式，与右边结果比较，只有D选项正确利用了相反数的性质进行简化，即可求解． 【详解】解：A：∵ ，∴ A错误； B：∵ ，∴ B错误； C：∵ ，∴ C错误； D：∵ ，∴ ，与右边相等，∴ D正确． 故选：D． 【跟踪专练2】计算•的结果是 ． 【答案】 【分析】先将原式进行因式分解，再进行分式的乘法运算，化简求值就可． 【详解】解：原式＝ ＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的乘法运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算，本题属于基础题型． 【跟踪专练3】定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】分别算出各分式的差与积，再由和谐分式的定义即可得出结论． 【详解】解：A.∵， ， ∴与不是和谐分式，故A不符合题意； B.∵， ， ∴与不是和谐分式，故B不符合题意； C.∵， ， ∴，故C符合题意； D.， ， ∴与不是和谐分式，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算和乘法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则和乘法运算法则． 【题型2.分式除法】 【典例】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法，解题的关键是熟练使用除以一个数等于乘以这个数的倒数计算解题． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】计算（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查分式的除法运算，利用分式除法法则将除法转化为乘法，再通过约分简化计算． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【跟踪专练2】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，先将除法运算转换为乘法运算，再因式分解后约分即可求解，掌握分式的乘除运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的乘除与乘方运算，需依据分式相关运算法则逐一计算各选项并判断正误． 【详解】分式乘法法则为分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分， 选项A：，运算正确； 分式乘方需分子、分母分别乘方， 选项B：，运算错误； ， 选项C：，运算错误； 分式除法需转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数， 选项D：，运算错误； 综上，正确答案为A． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】化简2x÷的结果是（　　） A．2 B．2xy C． D． 【答案】C 【分析】先将除法转化为乘法，再计算，即可求解． 【详解】解：． 故选：C 【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握分式的乘除混合运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【答案】C 【分析】根据分式乘除法则逐一计算判断即可． 【详解】解：①，计算正确； ②，计算正确； ③，计算错误； ④，计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【跟踪专练2】如果，那么分式的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的约分法则是解题的关键．设，则，把原式根据分式的乘除法法则化简，代入计算即可． 【详解】解：设，则， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，，计算求解即可． 【详解】解： ， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算．解题的关键在于探究分式的规律． 【题型4.分式乘方】 【典例】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 化简后与选项对照即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】（1） ；                  （2） ； （3） ；                   （4） ． 【答案】 【分析】根据分式乘方的运算法则计算即可； 【详解】解：（1）， （2） （3）， （4）， 故答案为：，， 【点睛】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键 【跟踪专练2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘除法．先进行分式平方及立方的运算，然后约分，即可得出答案． 【详解】解： ． 故选：C． 【跟踪专练3】计算的结果是 ． 【答案】 【分析】先算乘方，再算乘除即可得到答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值，属于基础题． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】已知，则的值为（    ） A．－5 B．27 C．23 D．25 【答案】C 【分析】等式两边同时平方即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的运算，解题关键是根据题目信息，两边同时平方，利用等式变形求解． 【跟踪专练1】计算： ． 【答案】 【分析】在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分． 分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】在下列各式中：①；②；③；④．相等的两个式子是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】先根据分式的运算法则计算各式，然后可得答案． 【详解】解：①； ②； ③； ④． ∴①③两个式子是相等的， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算法则、正确计算是解题的关键． 【跟踪专练3】（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【答案】 【分析】（1）根据分式的乘法法则计算即可； （2）先算乘方，再算乘法即可； （3）先算乘方，再算除法即可； （4）先算乘方，再算乘除法即可； （5）先算乘方，再算除法即可； 【详解】解：（1） （2）； （3）原式=； （4）原式=； （5）； 故答案为：，，，， 【点睛】本题考查了分式的乘、除、乘方的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键 【题型6.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算 ． 【答案】/ 【分析】利用乘法的分配律即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【跟踪专练1】化简结果是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先化简括号内的分式差，找到公分母后相减，再与后面的分式相乘，利用因式分解和约分简化表达式． 【详解】解： ， 故选B． 【跟踪专练2】记．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了分式的运算，整式的运算，理解新定义和掌握分式的运算法则是解题的关键．根据题意，可知、、均不为0，由题目所给定义表示出，，，再通分计算即可． 【详解】根据题意，可知、、均不为0， ， ， ， ， 故答案为：4． 【跟踪专练3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的变形与求解，核心是通过逆向推导还原被撕去的表达式；解题的关键是利用等式性质，将已知部分变形为方程并求解未知项；设撕坏的部分为未知数（即 ■），根据图片信息列出方程，求解即可． 【详解】解：设撕坏的一角 ■，则原式可表示为： 故选A． 【题型7.分式化简求值】 【典例】已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，分式的化简，把代入计算即可求解，掌握分式的化简是解题的关键． 【详解】解：已知，则， 故选：D ． 【跟踪专练1】如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，对进行化简，得，把代入，进行解答，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练2】若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知条件，将A的表达式通分后化简，可得，进而直接计算的值． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴． 故选A． 【跟踪专练3】已知a、b、c均为非零实数，满足，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质以及分式的化简求值，分类讨论是解题的关键． 先对的值进行分类讨论①设，进而得出，再进行化简求值；②，得到，满足，最后进行化简即可． 【详解】解：①若， 设， ， ， ， ， ； ②若， ， 则， ， 综上，或． 故答案为：或． 【题型8.分式最值】 【典例】若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 先将分式化简、变形为，由为正整数知，据此可得，从而得出答案． 【详解】解： ， ∵为正整数， ， ， ， ∴表示的值的点落在段②． 故选：B． 【跟踪专练2】已知，且，求的最小值． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式，分式，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，当，时，由得：，计算，利用上述不等式即可得出，即可求解． 【详解】解：首先证明：当，时，； ∵, ∴， 即； ∵，，， ∴； ∵， 而， ∴， ∴， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【跟踪专练3】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 解答题 1．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了分式的乘除运算、因式分解（平方差公式、完全平方公式、提取公因式），熟练掌握分式乘除的运算法则及因式分解的方法是解题的关键． （1）分式乘法，分子乘分子、分母乘分母后约分； （2）分式乘法，先约分再计算； （3）分式除法转乘法，因式分解后约分； （4）提取分子公因式，除法转乘法后约分； （5）先因式分解，再分式乘法约分； （6）先因式分解，除法转乘法后约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了分式的乘方及乘除混合运算，解题的关键是先算乘方再算乘除，准确运用法则进行符号判断、因式分解与约分． （1）直接运用分式乘方法则，分子分母分别乘方，再化简． （2）运用分式乘方法则，注意系数的乘方及负数的奇次幂为负，再整理系数与字母的幂． （3）先对分子分母因式分解，再利用分式乘法法则约分，简化得到结果． （4）先算乘方（确定符号、幂的运算），再将除法转乘法，最后同底数幂运算和约分． （5）先算乘方，再将除法转乘法，统一成连乘形式后，合并同类项并约分． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式的约分和几种常见的分解因式的方法是解题的关键． 四个小题均可以按照混合运算法则，先算乘方，再把除法化成乘法，然后约分即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．先化简，再求值：，从中选取一个你喜欢的数作为的值，代入求出原式的值． 【答案】，． 【分析】此题考查了分式的化简求值，先计算括号内的分式减法，再计算除法，得到最简结果，再选取有意义的的值代入计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， ∵和时，分式无意义， ∴， ∴当时，原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14分式的乘除 【题型01 分式乘法】..............................................2 【题型02 分式除法】..............................................3 【题型03 分式乘除混合运算】......................................3 【题型04 分式乘方】..............................................4 【题型05 含乘方的分式乘除混合运算】..............................4 【题型06 分式加减乘除混合运算】..................................5 【题型07 分式化简求值】..........................................5 【题型08 分式最值】..............................................6 【题型09 解答题4题】............................................6 ★知识梳理★ 知识点01:分式的乘法法则（核心基础） 1.文字表述：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母。 2.字母表示：（b、d 均不为 0） 3.核心技巧：先约分，后相乘（最关键），避免分子分母直接相乘导致数值过大，约分对象为分子与分母的公因式（单项式 / 多项式因式）。 4.单项式分式相乘示例：===（x0，y0）。 知识点02:分式的除法法则（转化为乘法，核心思想：化除为乘） 1.文字表述：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 2.字母表示：（前提：b、c、d 均不为 0）。 3.关键步骤： ① 除式变倒数，除号变乘号； ② 后续按分式乘法法则计算（先约分后相乘）。 4.示例：==（x0，x±2，x1）。 知识点03:分式的乘方运算（乘除的延伸，与整式乘方结合） 1.文字表述：分式的乘方，把分子、分母分别乘方。 2.字母表示：()n=(（b0，n 为正整数） 3.注意事项： ① 分子、分母是多项式时，需整体乘方，不可单独对某一项乘方； ② 乘方与乘除混合时，先算乘方，再算乘除。 知识点04:分式乘除的关键前置步骤 —— 因式分解 分式乘除中，分子或分母为多项式时，必须先因式分解，才能找到公因式进行约分，常用因式分解方法： 1.提公因式法：如ax+ay=a(x+y)； 2.平方差公式：如a2−b2=(a+b)(a−b)； 3.完全平方公式：如a2±2ab+b2=(a±b)2； 核心：因式分解彻底，才能实现最大程度约分，简化计算。 知识点05:分式乘除混合运算规则（运算顺序，避免出错） 1.同级运算：从左到右依次进行，不可随意改变运算顺序； 2.混合乘方：先算乘方，再算乘除； 3.有括号：先算括号内的（括号内先通分再计算，再参与外部乘除）； 4.最终结果：必须化为最简分式或整式（分子分母无公因式）。 知识点06:核心注意事项（高频易错点，必掌握） 1.分母不为 0 的全面性：运算过程中，所有原分式的分母、除式的分子、约分 2.消去的因式均不能为 0，若为求值题，需先确定字母的取值范围； 3.约分的前提：只有分子与分母之间能约分，分子内部、分母内部不可单独约分 4.符号处理：负号可提前至分式前，方便计算，如==​，多个负号遵循 “奇负偶正”； 5.整式与分式的乘除：把整式看成分母为 1 的分式，再按法则计算 6.乘方的符号：分式乘方时，负号的乘方遵循正整数乘方规则. 【题型1.分式乘法】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算•的结果是 ． 【跟踪专练3】定义：如果两个分式的积等于这两个分式的差乘以一个常数，那么这两个分式叫做和谐分式．如，则与是和谐分式．下列每组两个分式是和谐分式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型2.分式除法】 【典例】计算： ． 【跟踪专练1】计算（    ） A． B． C． D．1 【跟踪专练2】计算： ． 【跟踪专练3】下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型3.分式乘除混合运算】 【典例】化简2x÷的结果是（　　） A．2 B．2xy C． D． 【跟踪专练1】下列各分式运算结果正确的是（    ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 【跟踪专练2】如果，那么分式的值是 ． 【跟踪专练3】有一组数据：．记，则（    ） A． B． C． D． 【题型4.分式乘方】 【典例】化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】（1） ；                  （2） ； （3） ；                   （4） ． 【跟踪专练2】计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练3】计算的结果是 ． 【题型5.含乘方的分式乘除混合运算】 【典例】已知，则的值为（    ） A．－5 B．27 C．23 D．25 【跟踪专练1】计算： ． 【跟踪专练2】在下列各式中：①；②；③；④．相等的两个式子是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【跟踪专练3】（1） ；              （2） ； （3） ；   （4） ； （5） ． 【题型6.分式加减乘除混合运算】 【典例】计算 ． 【跟踪专练1】化简结果是（　　） A．2 B． C． D． 【跟踪专练2】记．若，则 ． 【跟踪专练3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（   ） A． B． C． D． 【题型7.分式化简求值】 【典例】已知，则分式的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如果，那么 ． 【跟踪专练2】若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C．-1 D．2 【跟踪专练3】已知a、b、c均为非零实数，满足，则 ． 【题型8.分式最值】 【典例】若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【跟踪专练1】如图，若x为正整数，则表示的值的点落在（　　） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【跟踪专练2】已知，且，求的最小值． 【跟踪专练3】定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 解答题 1．计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．先化简，再求值：，从中选取一个你喜欢的数作为的值，代入求出原式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $