2026年中考数学二轮信息必刷卷01（南京专用）

2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：依据最新南京中考数学要求，中考数学题要依标命题，所有考点要对标初中考纲要求；如2025年的南京卷，选择题和填空题属于常规题型，主要考查学生的基础素养，难度不大；但解答题考查的难度与深度有所提高，以考查学生的核心素养和综合能力；如第23题开放型题型，第27题知识点的综合考查等； 中考·新考法：选择题第6题侧重图形的变换，与24年教材改革的一个章节一致；第14题通过考查反比例函数的增减性，让学生求出最值，题型比较新颖；第26题主要考查二次函数的图象与性质，但最后一问是学生之前未曾遇到过的题型，要注意审题； 命题·大预测：图形的变换是教改的主要内容，也是近几年中考的热点问题之一，主要有图形的旋转、平移、翻折等问题；中考数学大纲中涉及到的全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似的判定与性质和锐角三角函数等知识点，考查题型比较综合，难度也有所上升；对于南京的中考数学题，前面小题部分难度相对较小，因此在做题时要选择快速完成小题部分，预留足够的时间给大题，是我们拿高分的小妙招！ 第27题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中最大的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，比较各数的大小，找出最大值即可． 【详解】解：∵， ∴最大的数是2， 故选：C． 2．图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①次旋转；②次平移；③次轴对称．其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了旋转变换，平移变换和轴对称变换，根据旋转变换、平移变换和轴对称变换逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：一条“鱼”可以通过绕图案中心旋转与另一条“鱼”重合，故①正确； 通过平移变换无法使一条“鱼”与另一条“鱼”重合，故②错误； 将一条“鱼”沿一条通过图案中心的直线进行轴对称变换，然后沿另一条垂直于第一条直线的通过图案中心的直线进行轴对称变换，可以与另一条“鱼”重合，故③正确； ∴正确的结论为①③， 故选：． 3．设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算，配方法的应用，偶次方的非负性，掌握整式的加减运算法则，配方法，偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法和配方法比较与的大小，即可解答． 【详解】，， ， ， ， ，即． 故选：A． 4．甲、乙两名工人在同一天加工同一种零件．如图，点、的横坐标表示甲上午、下午的工作时间，纵坐标表示甲上午、下午加工的零件数；点、的横坐标表示乙上午、下午的工作时间，纵坐标表示乙上午、下午加工的零件数．则下列说法正确的是（） A．全天加工的零件数，甲比乙多 B．全天的工作时间，甲比乙短 C．上午的工作效率，甲比乙高 D．全天的工作效率，甲比乙低 【答案】D 【分析】本题考查了利用函数图象中横纵坐标表示的意义分析实际问题，解题关键是理解图象横纵坐标含义，通过连线确定工作效率，结合总量、时间关系判断选项。 根据工作效率工作总量工作时间，结合图象中横、纵坐标的含义，分别分析各选项即可． 【详解】解：如图： A．甲全天加工零件数为纵坐标纵坐标；乙全天加工零件数为纵坐标纵坐标．从图中直观来看，，所以，，所以甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，故本选项说法错误，不符合题意； B．甲全天工作时间为横坐标横坐标；乙全天工作时间为横坐标横坐标．从图中可知，，，所以所以，甲全天工作时间长大于乙全天工作时间，故本选项说法错误，不符合题意； C．从图中可知，在相同时间D处时，纵坐标高于纵坐标，即乙上午工作效率比甲高，故本选项说法错误，不符合题意； D．因为全天工作时间长大于乙全天工作时间，甲全天加工零件数少于乙全天加工零件数，所以全天的工作效率，甲比乙低，故本选项说法正确，符合题意； 故选：D． 5．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，先根据三角形内角和定理，求出的度数，然后根据角平分线的定义，求出的度数，再次利用三角形内角和定理，求出的度数，最后根据求出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 6．如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，根据折叠得到，证明，得到，折叠推出垂直平分，设，同角的余角相等，得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：折叠可知：，设交于点， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴垂直平分， ∴，， 设，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 故选B． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．已知一组数据：，，，，．当的值为 时，这组数据的方差最小． 【答案】 【分析】本题考查了方差的定义，根据方差的定义，当数据波动最小时，方差最小，即可求解． 【详解】解：数据中的、、、的平均数为， 时，这组数据的方差最小， 故答案为：． 8．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据题意和题目中的数据，可以先计算出侧面展开图的半径为r，然后根据勾股定理即可求得圆锥的高． 【详解】解：设侧面展开图的半径为r， ， 解得， 设圆锥的高为h， 则， 故答案为：． 9．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，即可求解． 【详解】解：由题意，得， 解得． 故答案为：． 10．我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是米，则数字用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故答案为： 11．将平面镜，按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线经上的D点反射至上的E点，再经E点反射出的光线恰好与平行，若，则的度数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，由光的反射定律可知，，由平角的定义可求出的度数，则由平行线的性质可求出的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解；由光的反射定律可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查利用分式方程的解的情况求参数，掌握分式方程的解法是解题的关键． 先解分式方程可得，再根据解为正数，结合方程的增根建立关于的不等式组，求解即可． 【详解】解： 去分母，得， 解得：， 分式方程的增根为： ∵分式方程的解为正数， ∴， 解得：，且． 故答案为：且． 13．设是方程的两个根，若，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，则，可得原方程为，再解原方程求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴原方程为， ∴， ∴或， 解得， ∴， 故答案为：． 14．如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形外接圆的半径，三角形相似的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定和性质，作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，证明，得出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：作的外接圆，圆心为O，连接并延长，交于点H，连接，如图所示： ∵的高，相交于点F， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的外接圆半径为． 故答案为：． 15．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、坐标与图形，由题意可得，，作于，证明，得出，求出，，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， 如图：作于， ， ∵，垂足为． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 16．已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，对称轴，根据对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合表格数据，得出和的对称轴为直线，整理得，，再结合表格的数据以及对称性进行列式化简，即可作答． 【详解】解：由题意，根据表格数据可得： 二次函数的对称轴为直线， 二次函数的对称轴为直线， 其顶点式分别为，， ∵当时，，， ∴，， ∴ ∴， 故①符合题意； 二次函数的对称轴为直线 二次函数的对称轴为直线， ∴ ∵ ∴ ∴， 故②符合题意； ∵，， ∴当时，则，， ∴， ∵不一定为0， ∴不一定成立， 故③不符合题意； 当时，，， ∴，， ∴， ∴， 故④符合题意； 故答案为：①②④． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）解不等式组：． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则． 先分别求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ， ∴原不等式组的解集为 ． 18．（7分）如图，已知线段a，b．用直尺和圆规作，使，，且分别满足下列条件．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质． （1）作线段b，再作线段b的垂直平分线；作线段，分别以B，C为圆心，为半径画圆弧，交于点A，连接，即为所求； （2）作线段，作的垂直平分线和以为直径的圆O，交点为M，以M为圆心，为半径画圆，以B为圆心，b为半径画圆弧，交圆M于N，连接交圆O于点A，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图，作线段b，再作线段b的垂直平分线；作线段，分别以B，C为圆心，为半径画圆弧，交于点A，连接，即为所求； ； （2）解：如图，作线段，作的垂直平分线和以为直径的圆O，交点为M，以M为圆心，为半径画圆，以B为圆心，b为半径画圆弧，交圆M于N，连接交圆O于点A，连接，即为所求． ． 由作图知，则，所以是等腰直角三角形，所以，所以． ． 19．（7分）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 【答案】每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 【分析】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系列方程是解本题的关键．设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为．再根据大型冷链车比小型冷链车少辆，再列方程解方程即可． 【详解】解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则． 答：每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为． 20．（8分）根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 【答案】见解析 【分析】先求出，根据，得出，从而得出，即，从而证明结论． 【详解】证明： ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式加减运算的应用，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则． 21．（8分）学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具．有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B的六个面分别标有数字、0、0、1、1、1． (1)若同时抛掷这两个魔方，魔方A、B落地后朝上一面数字分别记为a和b．将a、b代入一元二次方程中，求该方程有实数根的概率． (2)同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，列表法与树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，列表得出所有等可能结果是解题关键． （1）先整理得出，再依题意，列表得一共有种等可能的结果，其中使得的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）结合（1）的列表情况，得一共有种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果，运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵有实数根， ∴， 依题意，列表得：     ab 1 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 一共有种等可能的结果，其中使得的有33种结果， ∴方程有实数根的概率； （2）解：依题意，且结合（1）的列表情况， 一共有种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果， ∴魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率． 22．（8分）为了解学生的视力情况，某市抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 25 B 150 C m D 60 (1)_____； (2)求组别A的圆心角度数； (3)如果视力值及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数． 【答案】(1)265 (2) (3)8750人 【分析】（1）根据统计图中的数据，可以得到本次抽查的人数，从而可以得到m的值； （2）根据（1）中的结果和频数分布表，可以得到组别A的圆心角度数； （3）根据统计图中的数据，可以得到该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数． 【详解】（1）解：本次抽查的人数为：， ； （2）解：组别A的圆心角度数是： ； （3）解：（人）， 答：估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数有8750人． 【点睛】本题考查扇形统计图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 23．（8分）如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． (1)求证：； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）连接并延长交于点F，连接，切线的性质得到，，再得到是的垂直平分线，再得出，即可得出结论； （2）连接，得到是的中位线，求出，设，在和中，由勾股定理得，即，，即，从而得到，求解即可． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F，连接，如图： 是的切线， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ； （2）解：连接，如图： ，， ∴是的中位线， ， 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了平行线的判定，等腰三角形的性质，切线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 24．（8分）代数式，代数式． (1)当时，若，则的取值范围是_________； (2)若，，判断代数式与的大小，并说明理由； (3)将“与的差”记为，即．当时，要使的值满足，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一次函数的性质，整式的加减计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意可得不等式，解不等式即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由题意可证明，据此可得结论； （3）先求出，当时，，满足题意；当时，C是x的一次函数，据此讨论m的值利用一次函数的增减性列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，，， ∴， 解得； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：，， ∴ ， ∴ 当时，，满足题意； 当时，则C的值随x增大而增大， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 当时，则C的值随x增大而减小， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 综上所述，． 25．（8分）如图，直线分别是两条河岸线，点在河岸线上，点在河岸线上，且．测得，．（图中所有点均在同一平面内） (1)如果，那么与是否平行？说明理由． (2)如果与平行，那么，，之间满足的数量关系是___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，解直角三角形，正确掌握知识点是解题的关键． （1）设，先证明，由，可得，即可推导出，则四边形是平行四边形，即可解答． （2）先证明四边形是平行四边形，即，根据可得，再由，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（9分）已知二次函数的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)下列结论：①；②无论a取何值，该函数图象与x轴总有公共点；③当时，y的最小值为4；④无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号是________； (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 【答案】(1)； (2)①； (3)时，没有公共点；或1时，1个公共点；或且时，2个公共点． 【分析】（1）根据该函数的图象经过原点，以及经过点和，利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据二次函数的图象与性质，以及二次函数与轴的交点情况，逐个分析求解，即可解题； （3）联立与有：，整理得到，再结合一元二次方程根的判别式，分情况讨论求解，即可解题． 【详解】（1）解：该函数的图象经过原点，以及经过点和， ， 解得， ； （2）解：①由题知，则有，故，①正确； ②当时，，， ， . 当时，有， 即存在该函数图象与x轴无交点的情况，故②错误； ③当时，二次函数开口向下，y没有最小值，故③错误； ④ 整理得：， ∵， ∴, ， ∴时，方程有两个相等的实数根，故④错误． 综上所述，所有正确结论的序号是①； 故答案为：①； （3）解：联立与有：， 整理得， 当时，没有公共点； ，， ， 即， ， ， ， 则①或②， 解①得，该不等式组无解，解②得， 时，没有公共点； 当时，有1个公共点； 即， 解得或1， 或1时，1个公共点； 当时，有2个公共点； 即， 则③或④， 解③得，，解④得， 或且时，2个公共点． 综上所述，时，没有公共点； 或1时，1个公共点； 或且时，2个公共点． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，二次函数与的交点情况，一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式组，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 27．（10分）大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 (1)小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 (2)思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键．（1）根据思路中的相似三角形和全等三角形的性质可直接得到答案； （2）思路1：作等腰的底边上的高，设，，通过等腰直角三角形的性质表示出，证明，可得，即，即，展开整理可得，从而即可证明； 思路：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使由圆周角定理及圆内接四边形性质导角证明，得，即再证明，得，即故只需证明又，故只要证明即可，最后通过证明，即可得到 【详解】（1）解：由题意可知①处补全为，②处补全， ③、④处分别为、； （2）思路1：证明： 作等腰的底边上的高，如图③所示： 则， ，， ， 设，， ， ，， ， ， ， ，即， 即，展开整理可得， 思路2：证明：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使 ， 是直径． 四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ， ，即 ，， ∽， ，即 ，， ，， ， ． ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ∴ ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，满分12分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 C D A D A B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分） 7． 8． 9． 10． 11． 12．且 13．5 14． 15． 16．①②④ 三、解答题（本大题共11小题，满分88分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【详解】解：解不等式①，得 ；································3分 解不等式②，得 ，·······························6分 ∴原不等式组的解集为 ．·······························7分 18．（7分） 【详解】（1）解：如图，作线段b，再作线段b的垂直平分线；作线段，分别以B，C为圆心，为半径画圆弧，交于点A，连接，即为所求； ；·······························3分 （2）解：如图，作线段，作的垂直平分线和以为直径的圆O，交点为M，以M为圆心，为半径画圆，以B为圆心，b为半径画圆弧，交圆M于N，连接交圆O于点A，连接，即为所求． ． 由作图知，则，所以是等腰直角三角形，所以，所以．·······························7分 ． 19．（7分） 【详解】解：设每辆小型冷链车的运货量为，则每辆大型冷链车的运货量为． 由题意，得，·······························2分 解得．·······························4分 经检验，是原方程的解，且符合题意，·······························5分 则． 答：每辆小型冷链车的运货量为，每辆大型冷链车的运货量为．························7分 20．（8分） 【详解】证明： ·······························4分 ∵， ∴， ∴， ∴．·······························8分 21．（8分） 【详解】（1）解：∵有实数根， ∴， 依题意，列表得：     ab 1 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 一共有种等可能的结果，其中使得的有33种结果， ∴方程有实数根的概率；·······························4分 （2）解：依题意，且结合（1）的列表情况， 一共有种等可能的结果，其中魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的有33种结果， ∴魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率．·······························8分 22．（8分） 【详解】（1）解：本次抽查的人数为：， ；·······························2分 （2）解：组别A的圆心角度数是： ；·······························4分 （3）解：（人）， 答：估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数有8750人．·······························8分 23．（8分） 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F，连接，如图： 是的切线， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 是的垂直平分线， ， ， ；·······························3分 （2）解：连接，如图： ，， ∴是的中位线， ，·······························5分 设，在和中，由勾股定理得： ，即， ，即， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的半径为．·······························8分 24．（8分） 【详解】（1）解：∵当时，，，， ∴， 解得；·······························2分 （2）解：，理由如下： ∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴；·······························5分 （3）解：，， ∴ ， ∴ 当时，，满足题意； 当时，则C的值随x增大而增大， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 当时，则C的值随x增大而减小， ∵当时，的值满足， ∴， 解得； 综上所述，．·······························8分 25．（8分） 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， ∴；·······························5分 （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴．·······························8分 26．（9分） 【详解】（1）解：该函数的图象经过原点，以及经过点和， ， 解得， ；·······························3分 （2）解：①由题知，则有，故，①正确； ②当时，，， ， . 当时，有， 即存在该函数图象与x轴无交点的情况，故②错误； ③当时，二次函数开口向下，y没有最小值，故③错误； ④ 整理得：， ∵， ∴, ， ∴时，方程有两个相等的实数根，故④错误． 综上所述，所有正确结论的序号是①； 故答案为：①；·······························5分 （3）解：联立与有：， 整理得， 当时，没有公共点； ，， ， 即， ， ， ， 则①或②， 解①得，该不等式组无解，解②得， 时，没有公共点； 当时，有1个公共点； 即， 解得或1， 或1时，1个公共点； 当时，有2个公共点； 即， 则③或④， 解③得，，解④得， 或且时，2个公共点． 综上所述，时，没有公共点； 或1时，1个公共点； 或且时，2个公共点．·······························9分 27．（10分） 【详解】（1）解：由题意可知①处补全为，②处补全， ③、④处分别为、；·······························4分 （2）思路1：证明： 作等腰的底边上的高，如图③所示： 则， ，， ， 设，， ， ，， ， ， ， ，即， 即，展开整理可得， ·······························6分 思路2：证明：记的外接圆为，交于，连接，延长交于，在上取点，使 ， 是直径． 四边形是的内接四边形， ， 又， ， 又， ， ，即 ，， ∽， ，即 ，， ，， ， ． ∵， ， 四边形是的内接四边形， ， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ， ， ∴ ∴．·······························10分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考二轮信息必刷卷 数 学 考情速递 中考·新动向：依据最新南京中考数学要求，中考数学题要依标命题，所有考点要对标初中考纲要求；如2025年的南京卷，选择题和填空题属于常规题型，主要考查学生的基础素养，难度不大；但解答题考查的难度与深度有所提高，以考查学生的核心素养和综合能力；如第23题开放型题型，第27题知识点的综合考查等； 中考·新考法：选择题第6题侧重图形的变换，与24年教材改革的一个章节一致；第14题通过考查反比例函数的增减性，让学生求出最值，题型比较新颖；第26题主要考查二次函数的图象与性质，但最后一问是学生之前未曾遇到过的题型，要注意审题； 命题·大预测：图形的变换是教改的主要内容，也是近几年中考的热点问题之一，主要有图形的旋转、平移、翻折等问题；中考数学大纲中涉及到的全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、相似的判定与性质和锐角三角函数等知识点，考查题型比较综合，难度也有所上升；对于南京的中考数学题，前面小题部分难度相对较小，因此在做题时要选择快速完成小题部分，预留足够的时间给大题，是我们拿高分的小妙招！ 第27题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键。 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列各数中最大的数是（   ） A． B．0 C．2 D． 2．图中的“双鱼”图案是中心对称图形，其中一条“鱼”经过怎样的变换可以与另一条“鱼”重合？下列结论：①次旋转；②次平移；③次轴对称．其中所有正确结论的序号是（   ） A．① B．①② C．②③ D．①③ 3．设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．甲、乙两名工人在同一天加工同一种零件．如图，点、的横坐标表示甲上午、下午的工作时间，纵坐标表示甲上午、下午加工的零件数；点、的横坐标表示乙上午、下午的工作时间，纵坐标表示乙上午、下午加工的零件数．则下列说法正确的是（） A．全天加工的零件数，甲比乙多 B．全天的工作时间，甲比乙短 C．上午的工作效率，甲比乙高 D．全天的工作效率，甲比乙低 5．如图，在中，是高，是角平分线，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7．已知一组数据：，，，，．当的值为 时，这组数据的方差最小． 8．已知圆锥的底面圆的半径为1，其侧面展开图的圆心角的度数为，则圆锥的高为 ． 9．若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 10．我们要“远离毒品，珍惜生命”，科学研究发现某种毒品的分子直径是米，则数字用科学记数法表示为 ． 11．将平面镜，按如图所示的方式放置，从点M处射出一束光线经上的D点反射至上的E点，再经E点反射出的光线恰好与平行，若，则的度数 ． 12．已知关于的分式方程解为正数，则的取值范围是 ． 13．设是方程的两个根，若，则 ． 14．如图，的高，相交于点F．若，则的外接圆的半径为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，，是的中点，，垂足为．若，，则点的坐标是 ． 16．已知二次函数的部分对应值如下表： … … … … … … 对于下列说法：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（7分）解不等式组：． 18．（7分）如图，已知线段a，b．用直尺和圆规作，使，，且分别满足下列条件．（要求：保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)； (2)． 19．（7分）因调配物资驰援某地，现需要运送一批牛肉共计120吨，原计划使用小型冷链车运输，后因车辆调度原因实际调整为大型冷链车运输，每辆车刚好装满的情况下比原计划少用4辆车．已知每辆大型冷链车的运货量是每辆小型冷链车的1.5倍，求每辆小型冷链车和大型冷链车的运货量各为多少吨？ 20．（8分）根据不等式的性质：若，则；若，则．利用上述方法证明：若，则． 21．（8分）学校举办数学嘉年华活动，设计了一款“数字魔方大挑战”游戏道具．有两个特制的正方体魔方，魔方A的六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3；魔方B的六个面分别标有数字、0、0、1、1、1． (1)若同时抛掷这两个魔方，魔方A、B落地后朝上一面数字分别记为a和b．将a、b代入一元二次方程中，求该方程有实数根的概率． (2)同时抛掷这两个魔方，求魔方A朝上一面数字大于魔方B朝上一面数字的概率． 22．（8分）为了解学生的视力情况，某市抽查了部分学生进行视力检测．根据检测结果，制成下面不完整的统计图表． 被抽样的学生视力情况频数表 组别 视力段 频数 A 25 B 150 C m D 60 (1)_____； (2)求组别A的圆心角度数； (3)如果视力值及以上属于“视力良好”，请估计该市25000名九年级学生达到“视力良好”的人数． 23．（8分）如图，是的外接圆，是的切线，且，连接交于点E． (1)求证：； (2)连接，若为直径，，，求的半径． 24．（8分）代数式，代数式． (1)当时，若，则的取值范围是_________； (2)若，，判断代数式与的大小，并说明理由； (3)将“与的差”记为，即．当时，要使的值满足，直接写出的取值范围． 25．（8分）如图，直线分别是两条河岸线，点在河岸线上，点在河岸线上，且．测得，．（图中所有点均在同一平面内） (1)如果，那么与是否平行？说明理由． (2)如果与平行，那么，，之间满足的数量关系是___________． 26．（9分）已知二次函数的图象经过点和． (1)若该函数的图象经过原点，求a的值； (2)下列结论：①；②无论a取何值，该函数图象与x轴总有公共点；③当时，y的最小值为4；④无论a取何值，方程总有两个不相等的实数根．其中，所有正确结论的序号是________； (3)直接写出该函数图象与一次函数的图象的公共点个数及对应的a的取值范围． 27．（10分）大胆联想，小心求证 【问题提出】 如图，在等腰的斜边及其延长线上分别选取点和点，使求证： 【问题解决】 (1)小明根据已有的学习经验从求证结论出发，反向思考，将“乘积式”转化成“比例式”，联想三角形相似，如图，思路如下，请将他的思路补全 (2)思路1：小亮观察条件“等腰联想“等腰三角形三线合一”性质，作等腰的底边上的高CF，如图所示，…； 思路2：小红观察结论是“乘积式”，联想圆中相关结论，构造的外接圆，如图所示，分别将与转化，…； 思路3：聪明的你又想到…，请自选思路，完成证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $