21.8 梯形-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦梯形的概念、分类及相关性质，通过生活实例（如车窗玻璃）导入，回顾小学梯形定义与面积公式，衔接初中对梯形底、腰、高的深入学习，构建知识支架。 特色在于结合生活情境抽象数学概念（数学眼光），通过作辅助线转化梯形为平行四边形和三角形培养推理能力（数学思维），例题解决堤坝横断面问题体现应用（数学语言）。动手操作与类比探究提升学生几何直观，为教师提供清晰教学流程和实用解题方法。

21.8 梯形 课题 梯形 课型 新授课 教学内容 教材第153-157页的内容 教学目标 1.明确梯形的概念及相关定义，了解梯形的分类. 2.能利用三角形和四边形的知识解决与梯形有关的问题. 教学重难点 教学重点：掌握梯形及相关的概念． 教学难点：掌握梯形的分类，会解决与梯形相关的问题． 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 活动一： 老师：观察下面这样的图形吗？它们有什么共同点？ 学生：它们都是梯形. 老师：梯形是如何定义的？ 学生：只有一组对边平行的四边形叫作平行四边形. 老师：观察下图，自己说一说梯形中各部分的名称. 学生：…… 老师：在梯形中，有哪两类比较特殊的梯形？ 学生：直角梯形和等腰梯形. 活动二： 老师：观察下图，车窗玻璃是什么形状的？ 学生：是梯形. 老师：梯形的面积公式是怎样的？ 学生：梯形的面积=（上底+下底）×高÷2. 老师：同学们回答的很好.在前面我们学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形的基础上，我们这节课就来一起研究一下梯形吧. 2.类比探究，学习新知 梯形也是一类比较特殊的四边形，在现实生活中有着较为广泛的应用. 【观察与思考】 在现实生活中，还存在着一类四边形，它们与平行四边形不同，请观察下面的图片，从中找出这类四边形，并就它们的共同特征和不同特性，和同学互相交流. 【师生互动】 老师：观察上面四幅图片，与平行四边形不同的四边形是什么？ 学生：是梯形. 老师：梯形与平行四边形有什么不同？ 学生：平行四边形是两组对边分别平行，梯形只有一组对边平行. 老师：同学们回答的不错.现在一起从上面四幅图中抽象出一类四边形，如图. 老师：下面我们一起来总结一下吧. 【课堂小结】 我们把只有一组对边平行的四边形叫作梯形. 在梯形中，平行的两边叫作梯形的底，通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底；不平行的两边叫作梯形的腰；梯形上底和下底之间的垂线段叫作梯形的高. 【师生互动】 老师：根据上面的定义，我们一起通过下图来看一下梯形的各部分名称. 如图21.8-1，在梯形ABCD中，DC和AB分别是梯形的上底和下底，AD和BC都是梯形的腰，DE⊥AB于点E，DE是梯形的高. 老师：我们继续看下面两幅图，说一说这两个梯形有什么特别之处. 学生1：左边的梯形有一个角是直角. 学生2：右边的梯形的两条腰是相等的. 老师：回答的不错，那我们该怎么定义这两种梯形呢？ 学生：分别是直角梯形和等腰梯形. 老师：好，我们一起给出直角梯形和等腰梯形的定义. 【课堂小结】 如图21.8-2，有一个角是直角的梯形叫作直角梯形，两腰相等的梯形叫作等腰梯形，它们都是特殊的梯形. 判定一个四边形是正方形，只要判定这个四边形既是矩形又是菱形即可. 【做一做】 画出一个梯形，并按下列要求分割这个梯形. （1）分割成一个平行四边形和一个三角形. （2）分割成一个矩形和两个直角三角形. 【师生互动】 老师：同学们先在纸上画一个梯形. 学生：画好了. 老师：想一想，在图形上画一条线，把这个梯形分割成一个平行四边形和一个三角形. 学生操作，老师巡视，同时给予指导. 老师：我们再画一个梯形，然后再想办法把它分割成一个矩形和两个直角三角形. 学生操作，老师巡视，同时给予指导. 【例题讲解】 例1 已知：如图21.8-3，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD=BC. 求证：∠A=∠B. 【解题思路】 （1）证明两个角相等，一般有哪些方法？ （2）如何把所给的梯形转化为平行四边形和三角形的组合？ （3）平行四边形有哪些性质？平行线有哪些性质？ 【规范解答】 证明：如图21.8-4，过点C作CE∥AD，交AB于点E. ∵AB∥DC， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∴AD=EC. 又∵AD=BC，∴EC=BC.∴∠CEB=∠B. ∵CE∥AD，∴∠CEB=∠A.∴∠A=∠B. 【思考探究】 想一想：如果把例1已知中的“AD=BC”换成“∠A=∠B”，你还能证出AD=BC吗？ 【师生互动】 老师：你能根据上面的要求写出已知和求证吗？ 学生：已知：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=∠B. 求证：AD=BC. 老师：根据写出的已知和求证，自己试着证明一下. 例2 如图21.8-5，梯形ABCD是一座水库堤坝的横断面，已知AD∥BC，∠B=45°，∠DCB=30°，坝顶AD=6 m，AB=10 m，求CD的长及堤坝横断面（即梯形ABCD）的面积. 【解题思路】 （1）求线段的长度一般用到什么定理？ （2）梯形的面积公式是什么？ （3）求梯形ABCD的面积需要知道哪些量？ 【规范解答】 解：如图21.8-6，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F， 则∠AEF=∠DFC=90°，∴AE∥DF. 又∵AD∥BC，∴四边形AEFD是矩形. ∴AE=DF，AD=EF. 在Rt△ABE中，∵∠B=45°，∴AE=BE. 由AB²=AE²+BE²，得(10)²=2AE². 解得AE=10 m.∴AE=BE=DF=10 m. 在Rt△DFC中，由∠DCB=30°，得CD=2DF=20 m. ∴FC=(m). ∴BC=BE+EF+FC=10+6+10=16+10(m). ∴S梯形ABCD=(AD+BC)·AE =×(6+16+10)×10=110+50(m²). 答：CD的长为20 m，堤坝横断面的面积为（110+50）m². 3.随堂训练，巩固新知 1.如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，点E在边AB上，CE∥AD，AE=5，△BCE的周长为27，求梯形ABCD的周长. 【解题思路】 （1）梯形ABCD的周长如何求？ （2）哪些线段的长是已知的？哪些线段的长是未知的？如何求？ 2.在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=90°，AB=10，BC=13， DC=15，求梯形的高. 【解题思路】 （1）求线段的长一般用到什么定理？ （2）如何构造直角三角形从而求出梯形的高？ 4.布置作业 课本P156-157习题第1-4题. 回顾小学阶段学习过的梯形的定义及分类、梯形的面积公式，从而引出本节课的主要内容——梯形.此环节重在让学生参与进来，将注意力集中到课堂之上. 小学阶段的很多梯形的知识本节课我们会继续学习，在讲课时，需要注意侧重点. 在“观察与思考”中，着重强调两点，一个是“四边形”，第二个是“与平行四边形不同”，让学生回忆平行四边形的定义，同时从图片中找出这类四边形. 明确平行四边形与梯形的区别，为后面给出梯形的定义作铺垫. 在梯形的相关概念中，注意区分梯形的底与腰，同时注意区分梯形的上底和下底，明确梯形的高有无数条，但是高的种类只有一种. 小学阶段我们已经学习过梯形的各部分的名称，此处在讲解时，可以尽量简短一些，只要学生能正确说出各部分的名称即可. 常见的特殊梯形只有等腰梯形和直角梯形两类，注意这两类梯形的特点. 在直角梯形中，它的高就是其中一条腰的长，而等腰梯形的两条腰长是相等的. 在学生操作的过程中，需要学生明确梯形的定义，保证画出的四边形是一个梯形. 在解答“做一做”时，解题方法不是唯一的，要鼓励学生从多个角度去思考问题，同时对于学习有困难的学生给予帮助. 解决梯形问题时，常把梯形转化为平行四边形和三角形的组合. 解答例1的关键是正确作出辅助线，在梯形中，经常作平行于其中一腰的线段构造平行四边形. 在等腰梯形中，上底与腰所成的两个内角相等，下底与腰所成的两个内角也相等. 针对“思考探究”，仍然可以过点过点C作CE∥AD，交AB于点E. 在解答例2时，本题是把梯形分割成一个矩形和两个直角三角形，在解答过程中，要渗透分割梯形的思想，让学生在潜移默化的过程中掌握梯形的分割技巧，为后面解决问题作铺垫. 在解答过程中，注意回忆之前学过的勾股定理、矩形以及梯形面积公式的知识，引发学生思考. ∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥AB.又∵CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形. ∴AD=CE，AE=CD.再结合给出的已知条件，可以求出梯形ABCD的周长. 过点B作BE⊥CD，根据已知条件，可以求出CE=DC-DE=DC-AB= 3,在Rt△BCE中，利用勾股定理可以求出线段BE的长，线段BE的长即为梯形的高. 板书设计 21.8 梯形 1.只有一组对边平行的四边形叫作梯形. 2.在梯形中，平行的两边叫作梯形的底，通常把较短的底叫作上底，较长的底叫作下底；不平行的两边叫作梯形的腰；梯形上底和下底之间的垂线段叫作梯形的高. 3.有一个角是直角的梯形叫作直角梯形，两腰相等的梯形叫作等腰梯形，它们都是特殊的梯形. 4.解决梯形问题时，常把梯形转化为平行四边形和三角形的组合. 督促学生记课堂笔记，找出课时中的重点内容. 学科网（北京）股份有限公司 $