第21章 专题11 特殊平行四边形中的最值问题-【绿卡初中创新题】2025-2026学年八年级下册数学习题课件(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学课件聚焦第二十一章四边形中的专题11特殊平行四边形最值问题，系统梳理利用“垂线段最短”“对称性”“三角形三边关系”三类解题方法，通过典例解析与变式训练串联知识点，构建“方法-例题-应用”的逻辑知识网络。 其亮点在于以核心素养为导向，如典例1通过菱形性质转化EF为OP，培养几何直观（数学眼光），利用垂线段最短推理最小值，发展逻辑推理（数学思维），变式训练分层设计（如基础选择与填空），兼顾不同学生需求，助力知识巩固，提升教师复习教学的针对性与效率。

2 第二十一章　四边形 专题11　特殊平行四边形中的最值问题 3 类型1　利用“垂线段最短”求线段的最值 典例1　（石家庄裕华期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F. 若AC=10，BD=5，求EF的最小值. 学霸说：利用“垂线段最短”求线段的最值问题，常借助特殊平行四边形的性质进行转化.本题中，易知四边形OEPF是矩形，连接OP，根据矩形的对角线相等，可得EF= ，当OP⊥AB时，OP最小，此时EF有最小值. OP 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 4 解：如图，连接OP.∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA= AC=5，OB= BD= ， ∴∠AOB=90°，AB= = . ∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠OEP=∠OFP=90°， ∴四边形OEPF是矩形，∴EF=OP， ∴当OP取最小值时，EF的值最小. 根据垂线段最短，知当OP⊥AB时，OP最小， 此时S△ABO=OA·OB= AB·OP，∴OP= =， 即EF的最小值为. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 5 变式训练 1. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P是BC边上的一点，作PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F，则EF的最小值为 （　　） A. 2 B. 2.2 C. 2.4 D. 2.5 C 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 6 2. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一动点，DF⊥BD，且DF=BE，连接CE，CF，EF. 若AB=2，则EF的最小值为________. 2 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 7 类型2　利用“对称性”求线段和的最值 典例2　（邯郸永年期末）如图，正方形ABCD的周长为24，P为对角线AC上的一个动点，E是CD的中点，求PE+PD的最小值. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 8 解：如图，连接BP，BE. ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于直线AC对称， 又∵点P在对角线AC上，∴PB=PD， ∴PE+PD=PE+PB，当B，P，E三点共线时，PE+PB有最小值，即BE的长. ∵正方形ABCD的周长为24，E是CD的中点， ∴BC=CD=6，∠BCD=90°，CE= CD=3， ∴BE===3，∴PE+PD的最小值为3. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 9 3. （衡水桃城期末）如图，P是矩形ABCD的对角线BD上一点，AB=3，BC=5，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF，则AP+EF的最小值为 （　　） A. B. 4 C. D. 8 C 变式训练 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 10 4. 如图，已知菱形ABCD的边长为6，M是对角线AC上的一个动点，且∠ABC=120°，则∠BAC=_________°，MA+MB+MD的最小值为_________. 30 18 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 11 类型3　利用“三角形的三边关系”求线段的最值 典例3　如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，过点P作PG⊥BC，PH⊥CD，垂足分别为G，H，连接GH. 若AB=8，AD=6，EF=6，求GH的最小值. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 12 解：如图，连接AC，AP，CP. ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=90°， ∴AC===10. ∵P是线段EF的中点，∴AP=EF=3. ∵PG⊥BC，PH⊥CD，∴∠PGC=∠PHC=90°， ∴四边形PGCH是矩形，∴GH=CP. 在△APC中，AC-AP<CP，当A，P，C三点共线时， AC-AP=CP，此时CP最小，最小值为AC-AP=10-3=7，∴GH的最小值是7. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 13 5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴的正半轴上移动，点A，C之间的距离为4，连接OC. 给出下列两个结论： ①∠BAD的度数为100°； ②线段OC长度的最大值为2+2. 下面判断正确的是 （　　） A. ①②都对 B. ①错②对 C. ①对②错 D. ①②都错 B 变式训练 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 14 6. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AB为边在三角形外作平行四边形AEDB，对角线AD与BE交于点F. 若AE=2，AB=5，则CF的最大值为________. 3.5 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 15 7. 如图，已知∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当点B在边ON上运动时，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，求在运动过程中点D到点O的最大距离. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 16 解：如图，取AB的中点E，连接OE，DE，OD. ∵OD≤OE+DE， ∴当O，E，D三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，OD=OE+DE. ∵∠AOB=90°，四边形ABCD是矩形，AB=2，BC=1， ∴OE=AE=AB=1，AD=BC=1， ∴在Rt△ADE中，DE===， ∴OD的最大值为+1. 变式2 变式3 变式4 变式5 变式6 变式7 变式1 典例1 典例2 典例3 18 $