11.3 解一元一次不等式-【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦“解一元一次不等式”核心内容，通过复习方程的解、一元一次方程解法等旧知，类比引入不等式的解、解集及一元一次不等式概念，构建从方程到不等式的知识支架。 以卡车行驶情境探究不等式解与解集，用数轴直观表示解集发展几何直观，类比方程解法总结不等式步骤培养推理意识，帮助学生形成数学思维，为教师提供结构化教学流程与易错点指导。

11.3 解一元一次不等式 第1课时 解一元一次不等式 （1） 课题 解一元一次不等式 （1） 课型 新授课 教学内容 教材第152-154页的内容 教学目标 1.理解不等式的解、解集以及解不等式这些概念的含义. 2.能用数轴正确表示不等式的解集. 3.掌握一元一次不等式的概念，并能利用不等式的性质解简单的一元一次不等式. 教学重难点 教学重点：不等式解及解集的含义，一元一次不等式的概念，利用数轴表示不等式的解集，利用不等式的基本性质解简单的一元一次不等式. 教学难点：利用数轴表示不等式的解集，利用不等式的基本性质解简单的一元一次不等式. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 教师引导学生回顾：（1）方程的解，（2）解方程，（3）一元一次方程及其解法，（4）不等式，（5）不等式的基本性质，（6）数轴上点的特点. 师生活动 学生回顾，教师指名学生回答，其他学生补充，集体交流. 教师点明课题：通过前面探究不等式的基本性质，我们知道不等式与方程非常相似，那不等式的解又是怎样的呢？我们今天就来探究一下. 2. 类比探究，学习新知 【探究1】认识不等式的解及解集和解不等式 （11.1一起探究）在公路上，有大、小两辆卡车从甲地向乙地运货.大卡车的行驶速度为60 km/h，小卡车的行驶速度为80 km/h，大卡车比小卡车早出发1h. 教师用课件出示情境问题并提问：在这个问题中，当汽 车开出3h时，小卡车赶上大卡车；当x＞3时，小卡车超过 大卡车，即当x＞3时，8＞60(x+1）.那么满足8x＞60(x+1） 的值有多少个呢？ 问题1（1）对于给定的x值，完成下表： x 80x 60(x+1) x的值是否 符合80x>60(x+1) 3.5 280 270 是 4.1 328 306 是 5.4 6.8 答案：432,384，是；544,468，是. 师生活动 学生计算，填写表格. 追问1 请再任意选择两个大于3的x的值，检验其是否符合80x>60(x+1)？ 预设：任意选择两个大于3的值，都是不等式的解. 追问2 上述数值3.5，4.1，5.4，6.8都满足不等式80x>60(x+1)，类比方程的解，你能说出什么叫不等式吗？ 师生活动 教师可以提示学生类比一元一次方程的有关概念思考.学生根据提示思考并交流，教师指名学生回答，集体点评，教师完善并出示不等式解的概念. 【定义】能使含有未知数的不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解. 追问3 你认为不等式80x＞60(x＋1)的解有多少个？ 预设:无数个. 教师提问：不等式80x＞60(x＋1)的解有无数个，那我们把这无数个解叫作什么？ 师生活动 学生尝试回答，教师点评并给出不等式解集的概念. 【总结】一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 追问1：类比解方程，你能说出什么是解不等式吗？ 预设:求不等式解集的过程叫作解不等式. 追问2 不等式的解和不等式的解集有什么区别呢？ 师生活动 学生思考，分组交流讨论，发言作答.教师点评总结. 教师举例展示：以不等式x-6＞0为例，x＞6,就是不等式的解集，包含不等式的所有解，而x=7,x=8.3,x=9.5,x=11,这些都是不等式的解. 预设:①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值,而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值. ②不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个数值都是不等式的一个解. 【总结】 【探究2】用数轴表示不等式的解集 教师用课件出示问题并组织学生活动：想一想，动手试一试. 问题2 （1）不等式80x＞60(x＋1)的解集为x＞3，如何在数轴上表示出这个解集呢？ （2）－2x≥2的解集为x≤－1，如何在数轴上表示出这个解集呢？ 师生活动 教师可以和学生共同完成（1），教师给出学生提示性地语言，让学生独自画出，最后教师板演，学生独立完成（2），最后板演，总结. 引导语言： （1）先在数轴上标出表示3的点，则点右边所有的点表示的数都大于3，而点左边所有的点表示的数都小于3. 把表示3 的点画成空心圆圈，表示解集不包括3. 因此可以按如图方式表示不等式的解集x＞3. （2） 类似地，解集x≤－1在数轴上的表示如图所示，解集 x≤－1中包含－1，所以在数轴上将表示－1的点画成实心点. 【总结】不等式解集的表示： （1）用数轴表示不等式的解集时,大于向右画,小于向左画; （2）“＞”,“＜”画空心圆圈.“≥”，“≤”画实心点. 【探究3】认识一元一次不等式 问题3 前面我们遇到了这些不等式：x＞3, 80x＞60(x＋1), m＋10≤ m , 2x＜x＋2，它们的共同点是什么？ 师生活动 教师提出问题，学生独立思考，.教师指明学生回答，集体点评. 预设:这些不等式的左右两边都是整式，每个不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是1. 追问1 这些特点和你学过的什么比较相似? 预设:一元一次方程. 追问2 你能类比一元一次方程的概念，给具有这些特点的不等式命名吗？ 师生活动 学生思考，教师指名学生回答，其他学生补充，集体交流，教师完善并出示一元一次不等式的概念. 3. 【定义】我们把含有一个未知数且未知数的次数都是1的不等式，叫作一元一次不等式. 3.例题讲解，学以致用 教师出示例题并提问：我们之前能根据不等式的基本性质解简单的一元一次方程，那么前面我们探究了不等式的基本性质，认识了一元一次不等式，你能利用不等式的基本性质解简单的一元一次不等式吗？ 例1 解不等式 2x+1＜5，并把解集在数轴上表示出来. 师生活动 学生思考并尝试解不等式，教师巡视并指名学生板演.学生完成后，集体点评，教师规范解题步骤. 解：不等式两边都减去1，得2x＜5-1，即2x＜4. 将未知数的系数化为1，得x＜2. 解集在数轴上表示，如图所示. 教师提醒：不等式两边都减去1的过程类似于解方程中的移项变形. 【总结】类似于利用等式的基本性质解一元一次方程，就是利用等式的基本性质将方程变形为x=a的形式，利用不等式的基本性质解简单的一元一次不等式，就是利用不等式的基本性质将不等式逐步变形为x＞a，x≥a，x＜a，x≤a. 4.随堂训练，巩固新知 （1） 下列不等式中，不含有x=-1这个解的是（ A ） A.2x+1≤-3 B.2x-1≥-3 C.-2x+1≥3 D.-2x-1≤3 答案：A （2）看图写出不等式的解集: 答案：(1)x＜-4；(2)x ≥1.5. （3） 已知是关于 x 的一元一次不等式， 则 a 的值是 ． 答案：1 （4）解不等式14-2x≥6，并把解集在数轴上表示出来. 解：不等式两边都减14，得-2x≥6-14,即-2x≥-8， 将未知数的系数化为1，得x≤4， 解集在数轴上表示，如图所示. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： 1. 什么是不等式的解、不等式的解集？不等式的解与解集有什么区别？ 2. 在用数轴上表示不等式的解集时需要注意些什么？ 3.什么是解不等式？ 6.布置作业 课本P154习题A组、B组. 复习方程的相关知识，引出新课的内容，渗透类比思想，激发学生的学习兴趣. 学生通过简单的计算容易发现有些数值能使含有未知数的不等式成立，有些数值不能使含有未知数的不等式成立，自然得出不等式的解的概念. 通过一组问题的设计，引导学生作答并思考，得出不等式的解集及解不等式的概念. 通过对比，让学生能够区分不等式的解与解集． 通过两个问题的探究，引导学生学会利用数轴表示不等式的解集. 通过问题3，让学生类比一元一次方程思考，总结一元一次不等式的特点，得出一元一次不等式的概念，提升学生的知识迁移能力和总结概括能力.注意三个条件：未知数的个数，未知数的次数，且不等式的两边都是整式. 通过解决例题，引导学生类比解一元一次方程，利用不等式的基本性质解一元一次不等式，理解利用一元一次不等式的基本性质解简单的一元一次不等的思路和方法，发展学生的类比推理能力、运算能力和应用意识等核心素养. 通过随堂练习，检查学生对知识的掌握程度，对掌握不好的学生能够及时给予帮助. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 11.3 解一元一次不等式 第1课时 解一元一次不等式（1） 1.不等式的解、解集及解不等式的概念 2.用数轴表示不等式的解集 3.一元一次不等式 4.例题 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 第2课时 解一元一次不等式（2） 课题 解一元一次不等式（2） 课型 新授课 教学内容 教材第155-157页的内容 教学目标 1.掌握一元一次不等式的解法，能熟练的解一元一次不等式. 2.经历探究一元一次不等式解法的过程，学生通过合作、类比等学习方法，加深对化归思想的体会. 教学重难点 教学重点：理解用不等式的性质解一元一次不等式的步骤. 教学难点：会熟练地解一元一次不等式. 教 学 过 程 备 注 1.复习旧知，引入课题 你还记得解一元一次方程的步骤吗？我们一起来通过解一元一次方程－=1回顾一下. 师生活动 学生自主解答一元一次方程，回忆解一元一次方程的一般步骤，教师指名学生回答，集体点评. 解：去分母，得 4(x-1)-3(2x-3)=12. 去括号，得 4x-4-6x+9=12. 移项，得 4x-6x=12+4-9. 合并同类项，得 -2x=7. 系数化为1，得 x=. 解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 教师点明课题：今天我们来探究一下一元一次不等式的解法. 2.类比探究，学习新知 问题1 我们类比解一元一次方程的一般步骤，解下列不等式，并把它们的解集表示在数轴上. （1）14＋3（x－5）＜11； （2）－1=. 师生活动 教师提出问题，学生独立思考，自主类比，尝试解不等式，教师找同学板演解题过程，同时教师巡视检查及时纠正错误. 预设： 解：（1）去括号，得14+3x-15＜11. 移项，得3x＜11-14+15. 合并同类项，得3x＜12. 将未知数的系数化为1，得x＜4. 在数轴上表示这个不等式的解题如图所示. （2）去分母，得x+5-2≤3x+2. 移项，得x-3x≤2-5+2. 合并同类项，得-2x≤-1. 将未知数系数化为1，得x≥. 在数轴上表示这个不等式的解题如图所示. 追问1通过上面的两个题目的解答过程，尝试总结解一元一次不等式的步骤. 师生活动 学生思考并交流，教师指名学生回答，其他学生补充，集体交流. 【总结】解一元一次不等式的步骤： (1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项； (5)系数化为1. 追问2 对比第（1）小题和第（2）小题的解题过程，将未知数的系数化为1时应注意什么？ 师生活动 学生思考并交流，教师指名学生回答，学生互评，教师点评后总结. 预设：未知数的系数化为1时，要看未知数系数符号.若未知数的系数是正数，则不等号的方向不变；若未知数的系数是负数，则不等号的方向要改变. 追问3 解一元一次不等式每一步变形的依据是什么？ 师生活动 教师引导学生结合例题的解题过程思考每一步变形的依据. 预设：去分母的依据是不等式的基本性质2，去括号的依据是去括号法则，移项的依据是不等式的基本性质1，合并同类项的依据是合并同类项法则，将未知数的系数化为1的依据是不等式的基本性质2或3. 追问4 解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同之出？并完成下面的表格. 一元一次方程 一元一次不等式 相同点 不同点 师生活动 学生思考并交流，教师指名学生回答，其他学生补充，集体交流，教师完善. 预设： 一元一次方程 一元一次不等式 相同点 （1）去分母，（2）去括号，（3）移项，（4）合并同类项，（5）将未知数的系数化为1 不同点 每一步都是等号连接 在上面的步骤（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数时，要改变不等号的方向 3. 例题讲解，应用新知 例1 当x在什么范围内取值时，代数式的值比x+1的值大？ 师生活动 师生活动教师展示例题，学生自主思考，然后解答，教师请同学上台板演，同时巡视检查，及时纠正错误.学生完成后，教师进行点评，并让学生思考“在解答的过程中哪些地方容易出错”，然后教师根据学生的回答及时补充，总结易错点. 解：根据题意，x应满足不等式＞x+1. 去分母，得1+2x>3(x+1). 去括号，得1+2x>3x+3. 移项，合并同类项，得－x>2. 将未知数的系数化为1，得x<－2. 即当x<－2时，代数式 的值比x+1的值大. 【易错点】（1）不等式的两边同乘(或除以)一个负数时，改变不等号的方向； （2）移项要变号； （3）去分母时不要漏乘不含分母的项； （4）不要忽视分数线的括号作用； （5）去括号时，括号前是减号的括号里各项注意要改变符号. 例2 求不等式的正整数解. 解：去分母，得3(x+1) ≥2(2x－1). 去括号，得3x+3≥4x－2. 移项，合并同类项，得－x≥－5. 将未知数的系数化为1，得x ≤ 5. 所以，满足这个不等式的正整数解为x=1，2，3，4，5. 教师指出：求不等式的正整数解，先求出不等式的解集，再找正整数解. 4.随堂训练，巩固新知 （1）不等式 2x-1≥3x—5 的正整数解的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 答案：D （2）已知关于 x 的不等式 2x+m〉-5 的解集如图所示，则 m 的值为 （ ） A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案：C （3）下面是小明同学解不等式 的过程： 去分母，得x+5-1＜3x+2 . 移项、合并同类项，得 -2x＜-2. 将未知数的系数化为1，得 x＜1. 他的解法有错误吗？如果有错误，请你指出错在哪里. 解：有错误. 去分母时，－1没有乘2；将未知数的系数化为1时，不等式的两边都除以－2，不等号的方向没有改变. （4）x取什么值时，代数式 －的值是正数？ 解：根据题意，x应满足不等式 －＞0， 去分母，得1－x－3(2x+1)>0. 去括号，得1－x－6x－3>0. 移项，合并同类项，得－7x>2. 将未知数的系数化为1，得x<﹣. 即当x<﹣时，代数式 －的值是正数. 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： 1.解一元一次不等式和解一元一次方程有哪些相同和不同之处？ 2.在解一元一次不等式时应注意哪些问题？ 6.布置作业 课本P156-157习题A组、B组. 通过复习解一元一次方程的步骤和不等式的基本性质引入新课，为迁移类比和新课打好基础. 通过类比解一元一次方程的步骤，尝试解两个不等式，体会解答的过程与步骤，归纳总结解一元一次不等式的步骤，渗透类比思想的同时，提升学生归纳总结能力. 通过想一想，让学生从具体的解答过程中概况总结，得出解一元一次不等式的一般步骤，发展学生的类比迁移能力. 通过对比一元一次方程与一元一次不等式的解法步骤，加深对一元一次不等式解法的理解. 通过例1的解答，师生共同总结解一元一次不等式中的易错点，强调解答过程中的注意事项和解题步骤的规范性，提高学生的计算能力． 通过例2的讲解，让学生对一元一次不等式的解法应用有一定的了解，掌握解题技巧，为以后解答题目做铺垫. 巩固解一元一次不等式的步骤，提升学生对知识的灵活运用. 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 第2课时 解一元一次不等式（2） 1.解一元一次不等式的一般步骤 2.解一元一次方程与解一元一次不等式的异同点 3.例题 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $