10.3 三角形的角平分线、中线和高线 -【绿卡初中创新题】2025-2026学年七年级下册数学同步教案(冀教版·新教材)河北专版

该初中数学教学设计聚焦三角形的角平分线、中线和高线，通过复习角平分线、线段中点及垂线段等旧知，搭建新旧知识联系的学习支架，引导学生从已有认知过渡到三角形“三线”的探究。 此资料以类比探究为主线，结合折纸、画图、硬纸板平衡实验等活动，培养学生几何直观与空间观念，通过几何语言描述“三线”判定与性质发展推理意识，助力学生深化概念理解与动手能力，为教师提供清晰教学流程与丰富实践资源。

10.3 三角形的角平分线、中线和高线 课题 三角形的角平分线、中线和高线 课型 新授课 教学内容 教材第136-138页的内容 教学目标 1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念，了解三角形的重心. 2.经历动手画图、操作、实验和探究的过程，会正确画出已知三角形的角平分线、中线和高线. 3.掌握“三线”的性质，并能应用进行计算。 教学重难点 教学重点：理解三角形的角平分线、中线、高的概念，会画出已知三角形的角平分线、中线和高线. 教学难点：钝角三角形高线的画法及对应性质. 教 学 过 程 备 注 1. 复习旧知，引入课题 在前几节课中，我们分别从三角形的组成要素边和角出发，对三角形的性质进行了探究.其实，在七年级除了边和角本身，关于角我们还学习了角的平分线，关于线段我们还学了线段的重点和垂线段.这节课，我们把这些重要的线和线段融合到三角形中，通过这些线和线段我们进一步来研究三角形. 2.类比探究，学习新知 【探究1】三角形角平分线的定义和特征 问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？OC是一条 （填直线、射线或线段）. 答案：射线 师生活动 学生思考，并举手回答. 追问1 在一张白纸上任意画出一个△ABC，你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗？ 师生活动 让学生拿纸折一下，并说明∠A的平分线. 教师指出：使得角的两边重合的折痕就是∠A的平分线。 追问2 那么你能找到一个三角形的一个内角的平分线吗？ 观察这个内角的平分线是 （填直线、射线或线段）. 答案：线段 师生活动 学生交流讨论，可能会用量角器或用折纸的办法找三角形的内角的平分线，可能会认为三角形的角平分线是射线。教师点评，并纠正，给出定义. 【定义】三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD,则线段AD是△ABC的一条角平分线. 注意：角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段. 追问3 一个三角形有几条角平分线？画一个三角形，用量角器和直尺画出它的所有角平分线.观察所有的角平分线，你有什么发现? 预设：学生能够知道三角形有三条角平分线并画出三条角平分线.通过观察能发现三角形的三条角平分线交于一点(如图）. 教师活动 如果学生的作图中，包含了锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，引导学生总结出任意一个三角形三条角平分线的交点都交于一点，并且在三角形的内部.如果学生作图中缺少某一类，引导学生对剩下的一类或两类进行验证，再进行总结. 【总结】三角形有三条角平分线，三条角平分线在三角形内部交于一点. 【探究2】三角形中线线的定义和特征 问题2 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？ 师生活动 学生回忆线段中点的性质，得出结论. 追问1 如图，如果点E是线段BC的中点，那么线段AE称为△ABC的什么呢？类比三角形的角平分线，猜想一下. 师生活动 学生思考，经过类比，可能得出三角形的中线，教师总结三角形的中线的定义. 【定义】连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.如图，在△ABC中，点E在BC上,BE=EC,则线段AE是△ABC的一条中线. 追问2 在硬纸板上分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 预设：学生画出三角形的三条中线，通过观察能发现三角形的三条角平分线交于一点(如图）. 师生活动 教师可以先指导学生怎么画三角形的中线，避免有的学生不会画.学生根据指导画出三角形的中线，观察，发现规律. 追问3 剪下一个三角形纸片，用厚薄均匀的硬纸板裁出一个相同的三角形，折出这个三角形的三条中线.在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线，将三角形硬纸板吊起，这时三角形硬纸板处于什么状态？ 师生活动 组织学生动手操作，有的学生发现纸板处于平衡状态，说明三条中线的交点是一个平衡点.可能有的学生失误，没找对平衡点，教师给与辅导和帮助. 【总结】三角形的三条中线在三角形内部交于一点，这个交点叫作这个三角形的重心. 【探究3】三角形高线的定义和特征 教师直接给出三角形的高的定义. 【定义】从三角形的一个顶点到它对边所在的直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高．如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F,则线段AF是△ABC的一条高. 问题3 如图，△ABC，请同学们动手画一画并回答问题. 请分别画出BC边上的高，观察三条高，你有什么发现？ 预设：在画钝角三角形BC边上的高时，学生容易出错. 教师指导：三角形的高线是一条线段，锐角三角形中BC边上的高在三角形的内部，直角三角形中BC边上的高是三角形的直角边，钝角三角形中BC边上的高在三角形的外部. 追问1 请同学们类比三角形角平分线和中线的探究，把AB,AC边上的高画出来，观察一个三角形的三条高是否交于一点. 预设：学生能够回答出锐角三角形三条高交于一点，这一点在三角形的内部.直角三角形的三条高交于一点，这一点是三角形的直角顶点，钝角三角形的三条高不交于一点. 教师指导：强调三角形的高线是线段，钝角三角形有两条高在三角形的外部，有一条高在内部，所以没有交在一起，现在我们把三条高，也就是线段延长看看，三条垂线段所在直线交于一点，这一点在三角形的外部. 【总结】 ①锐角三角形的三条高在三角形的内部交于一点. ②直角三角形的三条高交于直角顶点. ③钝角三角形的三条高在三角形的外部交于一点. 【探究4】三角形“三线”的总结 教师活动：教师再次用多媒体动态演示三角形的角平分线、中线和高线画出的过程. 问题4 我们本节课学习了三角形中的角平分线、中线和高线，在我们学习的定义中既包含判定又包含性质，同学们能借助图1 、图2 、 图3，用几何语言对角平分线、中线和高线的判定和性质进行描述吗？ 图1 图2 图3 预设：教师可简单举例，学生类比作答. 角平分线： 判定：∵∠BAD=∠CAD,∴AD是△ABC的角平分线. 性质：∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠CAD. 中线： 判定：∵BE=EC,∴AE是△ABC的中线. 性质：AE是△ABC的中线，∴AE=EC. 高线： 判定：∵AF⊥BC,∴AF是△ABC的高线. 性质：∵AF是△ABC的中线，∴AF⊥BC. 教师总结：三角形中的角平分线、中线和高线，是三角形的三条重要的线段，这三条线段我们把它常常叫它们为三角形的“三线”,利用“三线”的性质我们可以解决很多的几何问题. 3.学以致用，应用新知 例1 如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高线.请指出图中相等的角及相等的线段. 解：∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC. ∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE=∠CAE. ∵AF是△ABC的高线，∴∠AFB=∠AFC=90°, ∴图中相等的角：∠BAE=∠CAE，∠AFB=∠AFC，相等的线段：BD=DC. 例2 如图，已知是的中线，是的中线，若的面积为，则的面积为  ． 答案：3 解析：是的边上的中线，的面积为， 的面积为， 是的边上的中线， 的面积为. 4.随堂训练，巩固新知 （1）下列说法正确的是 （ ） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 答案：B （2）如图所示,过△ABC 的顶点 A,作 BC 边上的高,以下作法正确的是 ( ） A B C D 答案：D (3)如图，点D是△ABC的边BC上一点，BD=3CD，点E是线段AD上一点，DE=2AE，若S△ABC=12，则阴影部分的面积为 ． 答案：7 (3)如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，求AB与AC的长. 解：∵AD是BC边上的中线， △ABD与△ACD的周长差为3， ∴AB-AC=3， ∵△ABC的周长为35，BC=11，∴AB+AC=35-11=24， ∴AC+3+AC=24，解得AC=10.5， ∴AB=13.5． （4）如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小. 解：∵∠BAC=82°，∠C=40°， ∴∠B=180°-∠BAC-∠C=58°， ∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE=∠CAE= ∠BAC=41°， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB=90°， ∴∠BAD=90°-∠B=90°-58°=32°， ∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=41°-32°=9°． 5.课堂小结，自我完善 教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，并请学生回答问题： 1. 三角形的角平分线与角的平分线一样吗？ 2. 三角形的中线和高线是线段、射线还是直线？ 3. 什么叫作三角形的重心？ 4. 三角形分别有几条角平分线？中线？高线？这几条线的交点分别在什么位置？ 6.布置作业 课本P138习题A、B组. 采用梳理知识来龙去脉的形式引出新课，帮助学生建立知识网络和知识之间的联系，进一步明确本节课的学习的方向. 让学生回忆角平分线的性质，有利于下一步，让学生做出一个角平分线。 教师强调三角形的角平分线与角的平分线的区别。 学生亲自动手画三角形的角平分线，加深对三角形角平分线概念的理解.通过观察发现三角形三条角平分线交于一点的特征，培养学生几何直观的能力。同时，结合三角形的分类，继续渗透数学的分类思想. 通过实际画图，发现三角形中线交于一点，让学生能够从动手操作中发现知识. 从实验中发现知识，加深对三角形重心的理解. 学生分两步亲自动手画三角形的高，第一步画钝角三角形BC边上的高时，会暴露出一部分学生画错的问题，在第二步继续画钝角三角形其他边上的高时，再次检查学生是都出错，发展学生的类比思想. 动态演示三角形的角平分线、中线和高线的生成，增强几何直观，加强学生对三角形“三线”的理解. 让学生亲自经历把语言描述转化为数学语言的过程，发展学生的数学语言表达能力. 例1通过识别相等的角和线段，帮助学生理解三角形的“三线” 通过例2，学生了解三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部分，为以后的应用作铺垫. 通过课堂练习，使教师及时了解学生对三角形的角平分线、中线和高线的概念的理解及应用情况，以便教师及时对学生进行矫正． 通过课堂小结，帮助学生梳理本节所学内容，激发学生参与课堂总结的主动性，培养学生的语言概括能力. 板书设计 10.3 三角形的角平分线、中线和高线 1.三角形的角平分线 2.三角形的中线 3.三角形的高线 提纲挈领，重点突出 教后反思 反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程，提升自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $